1) Los triángulos rectángulos notables son aquellos donde se conocen las medidas de los ángulos agudos y por lo tanto se puede determinar la proporción entre sus lados. 2) Se presentan los triángulos rectángulos notables de 45°, 30°-60° y aproximaciones a estos. 3) Se muestran ejercicios resueltos que aplican las razones trigonométricas de estos triángulos.

1. Matemática 3º de Secundaria
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS NOTABLES
Son aquellos triángulos rectángulos donde
conociendo las medidas de sus ángulos
agudos, se puede saber la proporción
existente entre sus lados.
Como por ejemplo:
b) Triángulo de 16º y 74º
1. Triángulo Notable de 45º
k
c) Triángulo de 8º y 82º
45º
k
k
82º
5 2k
k
45º
k
8º
7k
2. Triángulo Notable de 30º y 60º
Ejercicios Resueltos
30º
30º 30º
2k
60º
k
2k
2k
3
k
2
1. Calcular: E = Sen 30º + Tg37º
60º
k
60º
k
Solución:
Reemplazando valores:

E


1

2

2

3
1 3


 E 1
4
4 4
3. Triángulo Notables Aproximados
2. Evaluar: E 
a) Triángulo de 37º y 53º
sen 2 45º  cos60º
csc30º
Solución:
Reemplazando:





2
2





2
2

1
2
2 1

1
4 2


2
2
E=
1
2
Prof. Jhon Villacorta V.

2. 07. Determine el valor de “m” para que “x” sea
Práctica dirigida Nº 01
30º. cos2x 
m1
m1
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
01. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º
a) 1
d) 3/4
b) 2
e) 4/3
c) 1/4
08. Sea: F  θ  
02. Calcular
F 
 = 10º
a)
10 . cos 37 º 2 . sec 45º
b) 1/2
e) 2/3
 9θ 

Tg3θ . Sec6θ  Cot 

2 


Para evaluar:
 . sen 30º 3 . tg 60º
a) 1
d) 2
 9θ 

Sen3θ . Cos6θ . Csc 

2 


c) -1/3
13
b)
6 /8
d)
15 / 7
c) 15
e) 17
09. Del gráfico hallar: ctg
03. Calcular:
E  6tg30º sec 45º 3 sec 53º
b) 5
c) 7
e) 11
a) 3
d) 9
a) 1,6
b) 1,7
45º
c) 0,4
x+3
d) 0,6
e) 1,4
04. Calcular: E = sec37º + ctg53º - 2sen30º
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2

2x + 1
5x - 3
10. Del gráfico, hallar Ctg 
4
5
7
b)
4
a)
05. Resolver:
5xsen53º - 2sec60º = xtg45º + sec245º
a) 1
d) 1/2
b) 2
e) 1/4
c) 3
2
c)
5
7
d)
5
5

53º
10
e) 1
11. Del gráfico calcular: E 
06. Indicar el valor de “x” en:
tg(2x - 5º) = sen230º + sen260º
a)
a) 15º
d) 30º
b) 20º
e) 35º
c) 25º
4 2
5
x
4
b)
5
c)
2
5
53º
senx
seny
y
45º
d) 4 2
e) 1
Prof. Jhon Villacorta V.

3. 6. Hallar “x”.
Tarea Nº 01
1
Siendo: Csc x 45º
Csc30º
1. Calcular:
E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
b) –2
d) 2
c) 2
a) –1
e) 3
c) 1
7. Determine tg  en el gráfico.
a)
a) 1
b) 2
d) 4
b)
3
3
3
2
d)
3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)
3
c)
2. Calcular: “x”
3
6
e)
3 3
2
csc30º
c) 3
e) 5
3. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)
a) 25/12
d) 49/24
b) 25/24
e) 7/18
sec60º
8. De la figura calcular a/b
a) 1
b) 2
c) 5
d) 7
e) 8
Tg30º  Sec60º  Sen37º  Cos30º
Sen 2 45º
a)
3
5
b)
11 3
5
d)
5 3
3
e)
2 3
5
c)
d) 1  2
a+b
9. Del gráfico hallar
y
x
a) 1
tg
2
53º
a-b
3 3
5
5. Calcular:
a)

c) 49/12
4. Calcular:
E
30º
45º
2

b) 2
c) 3
b)
2 1
e)
2 2
c)
2 1
d) 4
e) 6

x
37º
y
y
Prof. Jhon Villacorta V.

4. PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
1. Razones Trigonométricas Recíprocas
Ejercicios Resueltos
Para un mismo ángulo, siempre se cumple:
1. Resolver el menor valor positivo de “x”
verifique:
Sen5x = Cosx
Sen . Csc = 1
Cos . Sec = 1
Solución:
Tg . Ctg = 1
Dada la ecuación: Sen5x = Cosx
Luego los ángulos deben sumar 90º,
entonces:
Ejemplos:




5x + x = 90º
6x = 90º
Sen 10º . Csc10º = 1
Tg A . Ctg A = 1
Cos(x+y).Sec(x+y) = 1
Csc(x + y – z). Sen(x + y – z) = 1
.x = 15º.
2. Resolver “x” el menor positivo que verifique:
Sen3x – Cosy = 0
Tg 2y . Ctg30º – 1 = 0
2. Razones trigonométricas de Ángulos
Complementarios
Solución:
Nótese que el sistema planteado es
equivalente a:
Si:  y  son dos ángulos complementarios,
siempre se cumple que:

2y = 30º
(R.T. recíprocas)
a
tg = ctg
sec = csc
 Tg2y . Ctg30º = 1

c
sen = cos
 Sen3x = Cosy  3x + y = 90º (R.T.
complementarios)

.y = 15º.
Reemplazando en la primera igualdad:
3x + 15º = 90º
b
3x = 75º
Es decir:
 +  = 90º
Ejemplos:
 Sen20º = Cos 70º
 Tg 50º = Ctg 40º
.x = 25º.
3. Si: Sen 9x – Cos 4x = 0,
Tg7x
calcular: P 
Ctg6x
Solución:
 Sec 80º = Csc10º
Del Dato:
Sen 9x = Cos 4x
9x + 4 x = 9 0 º
13x = 9 0º
Prof. Jhon Villacorta V.

5. Pero:
7x + 6 x = 13x
7x + 6 x = 90º
7.
Calcular: E 
Entonces: R.T.(7x) = Co–R.T.(6x)
Tg7x
Luego:
a) 1
d) -1
1
Ctg6x

sen10º 2tg20º 3sec40º


cos 80º ctg70º csc50º
P=1
8.
b) 2
e) -2
c) 0
Si: Sec7x = Csc4x
2Senx Tg3x
Calcular: E 

Cos10x Ctg8x
Práctica Dirigida Nº 02
a) 0
d) -1
1.
(
)
b) tg10º . ctg10º = 1
(
)
c) sec(x + 40º) = csc(50º - x)
(
(
)
e) tg20º = ctg20º
(
9.
Calcular: cos(x + y)
)
d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1
)
Si: Sen(x – 5º) . Csc(25º - x) = 1
Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º)
Señale el valor de “x”
Si: Sen2x . Csc40º = 1
a) 10º
b) 5º
d) 20º
e) 40º
Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40º) = 1
Calcular: Cos3x
a) 1
d)
4.
3
c)
2
2
b) 24º
e) 8º
3
5
b)
2
2
e)
3
2
c) 36º
c)
1
2
10. Simplificar:
Tg10º  Tg20º  Tg30º ........ Tg80º
E
Ctg10º  Ctg20º  Ctg30º ........ Ctg80º
a) 1
d)
b)
3
2
e)
1
2
sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º +
a) 17º
d) 30º
c)
1
3
2
2
11. Determine “x” :
Hallar “x”
Si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1
b) 20º
e) 34º
tg 1 5º
ctg 75º
c) 28º
Determine “x” en:
Sen(3x + 25º) . Csc(x + 35) = 1
a) 5º
d) 15º
6.
1
2
2
e)
3
b)
a) 12º
d) 48º
5.
c) 15º
2
a)
d)
3.
c) 2
Poner V o F según convenga:
a) sen20º = cos70º
2.
b) 1
e) -2
b) 8º
e) 20º
c) 10º
Calcular:
E = (7tg10º - 2ctg80º) (ctg10º + tg80º)
a) 5
d) 12
b) 14
e) 8
c) 10
Prof. Jhon Villacorta V.

6. Tarea Nº 02
1.
b) 12º
e) 18º
d)
1
2
4
e)
5
b)
3
5
b) 20º
e) 50º
d)
b) 2
3
2
e)
c)
a) 4
d) 10
b) 6
e) 12
b) 4
e) 7
3x
2
c) 5
Determine el valor de “x” en :
Tg(x – 10º) = Tg1º Tg2º Tg3º ……. Tg89º
a) 30º
d) 65º
b) 45º
e) 75º
c) 55º
10. Si: sen(x – 20º) = cos(y - 30º)
Calcular:
xy
xy
Sen(
)  Cos(
)
4
2
Cos(x  y  85º)  Sen(x  y  120º)
3
a) 1/2
d) 0
b) 2
e) 1
c) -1
11. Calcular :

3
 x) tg(
 x)
5
8
E


3
cos(
 x) ctg(  x)
8
10
sen(
c) 11
2sen10º 3tg30º 5 sec 20º


cos80º ctg60º
csc 70º
c) 3
Si: Sec(4x – 10º) = Csc(40º - x)
Calcular: E  tg2 3x  csc
9.
c) 30º
Simplificar:
E
8.
2 sec x
csc 16x
b) 2
e) 5
a) 3
d) 6
2 3
3
b) 13
e) 7
a) 1
d) 4
2
2
Calcular:
E = (4Sen2º + 3Cos88º) Csc2º
a) 14
d) 9
6.
c)
Si: Sen(3x – 10º) . Csc(x + 10º) = 1
Calcular:
E = Sec6x . Tg8x . Tgx
a) 1
5.
c) 14º
Señale el valor de “x”
Si: Cos(2x – 10º) . Sec(x + 30º) = 1
a) 10º
d) 40º
4.
E  tg5x tg12x 
Sabiendo que: Tg3x . Ctg(x + 40º) = 1
Calcular: cos3x
a) 1
3.
Si: Sen3x = Cos14x
Calcular:
Señale el valor de “x”
Si: Sen3x . Csc54º = 1
a) 10º
d) 16º
2.
7.
a) 2
d) 0
b) 3
e) 1/2
c) 1
c) 8
Prof. Jhon Villacorta V.