1. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
FÍSICA I -Licenciaturas de Física y Matemáticas
PRÁCTICO Nº 8 – Oscilaciones, movimiento armónico simple
Ejercicio 1.- Un oscilador consta de un bloque de m = 512 g de masa unido a un resorte. En t = 0, se estira
34,7 cm respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su movimiento cada 0,484 segundos.
Halle: a) el período, b) la frecuencia, c) la frecuencia angular, d) la constante de fuerza, e) la velocidad
máxima, f) la fuerza máxima ejercida sobre el bloque, g) la ecuación de movimiento del oscilador (asumiendo
que v(0) =0), y, h) ¿En qué factor debe aumentarse la masa del bloque para que se duplique el período de
oscilación?
De la letra del problema tenemos: m = 512 g = 0,512 kg
En t(0) x(0) = 34,7 cm = 0,347m y además v(0) =0 , por tanto con estas condiciones iniciales se
tiene que x(0) = 0,347m = A
y que el movimiento se repite cada 0,484s
a) T = 0,484 s (por la propia definición de periodo) T = 0,484 s
b) f =
T
1
=
484
,
0
1
= 2,066Hz f = 2,07Hz
c) ω = 2πf = 12,98 rad/s ω = 13,0 rad/s
d) Como ω =
m
k
⇒ k = ω 2
m = 86,2857 N/m k =86,3 N/m
e) vmax = A ω = 4,50406 m/s vmax = 4,50 m/s
f) Fmax = kA = 29,941 N Fmax = 29,9 N
g) Con las condiciones iniciales dadas (x(0) = A y v(0) = 0) la solución de la ecuación del M.A.S.
es del tipo x(t) = Acos ω t = 0,347 cos(13,0 t)
x(t) = 0,347 cos(13,0 t)
Ejercicio 2.- Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación:
x(t) = 6,12 cos (8,38t +1,92) con x en metros y t en segundos. Halle:
a) el desplazamiento, la velocidad, y la aceleración en el tiempo t = 1,90s y sus valores máximos,
b) la frecuencia y el período del movimiento.
c) Si la masa vale m = 0,350 kg, ¿Cuánto vale la energía cinética, y la energía mecánica?
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 1

2. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 3.- Si la posición, velocidad y aceleración iniciales de un objeto que se mueve con movimiento
armónico simple son x0, v0 y a0, y si la frecuencia angular de la oscilación es ω,
a) Demuestre que si la posición del objeto se describe como: x(t) = Acos(ωt +θ), entonces
2
0
2
0 





+
=
ω
v
x
A y
0
0
x
v
tg
ω
φ −
=
Si se describe como x(t) = B sen(ωt +θ), ¿cuánto valen B y θ ?
b) Demuestre que la posición y la velocidad del objeto para todo instante puede escribirse como:
t
sen
v
t
x
t
x ω
ω
ω 







+
= 0
0 cos
)
( y, t
v
t
sen
x
t
v ω
ω
ω cos
)
( 0
0 +
−
=
c) Si la amplitud del movimiento es A, demuestre que
2
2
0
0
2
0
2
ω
A
x
a
v
ax
v =
−
=
−
a) x(t) = Acos(ωt +φ) ⇒ v(t) = =
dt
dx
-Aωsen(ωt +φ)
x(0) = Acos(φ) = x0 ; v(0) = =
dt
dx
-Aωsen(φ) = v0 ⇒
ω
φ 0
)
(
v
Asen −
=
Dividiendo miembro a miembro:
ω
φ 0
)
(
v
Asen −
= (1) entre Acos(φ) = x0 (2) ⇒
0
0
cos x
v
A
Asen
ω
φ
φ −
= ⇒
0
0
x
v
tg
ω
φ −
=
Elevando (1) y (2) al cuadrado, y sumando miembro a miembro: 2
0
2
0
2
2
2
2
cos x
v
A
sen
A +








−
=
+
ω
φ
φ
=
+ )
cos
( 2
2
2
φ
φ
sen
A 2
0
2
0
x
v
+








−
ω
⇒ 2
0
2
0
x
v
A +








−
=
ω
b) Veamos que esta expresión es solución de la ecuación del MAS 0
2
2
2
=
+
dt
x
d
x
ω :
t
sen
v
t
x
t
x ω
ω
ω 







+
= 0
0 cos
)
( ⇒ t
v
t
sen
x
t
v
t
sen
x
t
v ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω cos
cos
)
( 0
0
0
0 +
−
=








+
−
=
t
sen
v
t
x
t
a ω
ω
ω
ω 0
2
0 cos
)
( −
−
= = 







−
− t
sen
v
t
x ω
ω
ω
ω 0
0
2
cos = - )
(
2
t
x
ω
Por lo que verifica la ecuación del MAS, veamos si verifica las condiciones iniciales:
)
0
(
)
0
(
cos
)
0
( 0
0 ω
ω
ω sen
v
x
x 







+
= = x0 )
0
(
cos
)
0
(
)
0
( 0
0 ω
ω v
sen
x
v +
−
= = 0
v
Efectivamente verifica las condiciones iniciales, por tanto es solución.
c)
2
2
0
0
2
0
2
ω
A
x
a
v
ax
v =
−
=
−
ax
v −
2
= ( )
( ) ( )
( ) ( )
φ
ω
φ
ω
ω
φ
ω
ω +
+
−
−
+ t
A
t
A
t
sen
A cos
cos
2
2
= ( ) ( ) =
+
+
+ φ
ω
ω
φ
ω
ω t
A
t
sen
A 2
2
2
2
2
2
cos
2
2
ω
A
0
2
0
)
0
( x
a
a ω
−
=
=
Por otro lado: =
2
2
ω
A
2
2
0
2
0
ω
ω 







+








− x
v
=
2
2
0
2
0 ω
x
v + = ( ) 0
0
2
2
0 x
x
v ω
−
− = 0
0
2
0 x
a
v −
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 2

3. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 4.- Existe una relación interesante entre un sistema masa-
resorte y un péndulo simple. Supongamos que se cuelga una masa M
del extremo de un resorte, y que cuando la masa está en equilibrio,
el resorte está estirado una distancia h. Demuestre que la frecuencia
de este sistema masa-resorte es la misma que la de un péndulo
simple de masa m y longitud h, aún cuando m ≠ M.
Constante del resorte k: Mg = kh ⇒
h
Mg
k =
La frecuencia del sistema masa-resorte, está dada por
h
g
h
g
M
h
Mg
M
k
f
π
π
π
π
π
ω
2
1
2
2
1
2
2
=
=
=
=
=
Esta última expresión coincide con la frecuencia de un péndulo simple de longitud l = h.
Ejercicio 5.- Parcial de Ingeniería 2002 – Una partícula de masa 2,0 kg está unida a un resorte de
constante elástica 72 N/m y se mueve a lo largo del eje x en un movimiento armónico simple. Se observa
que en t = 0,0 s la velocidad de la partícula es máxima, igual a 4,2 m/s. Tomando x = 0,0 m como la
posición de equilibrio del sistema, la ecuación de movimiento de la partícula es (con t medido en segundos y x
medido en metros):
a) x(t) = 1,4 sen (6,0 t) b) x(t) = 0,70 cos (6,0 t) c) x(t) = 0,11sen (38 t)
d) x(t) = 0,11cos (38 t) e) x(t) = 0,70 sen (6,0 t)
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 3

4. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 6.- Dos bloques (m = 1,22 kg y M = 8,73 kg) y un resorte (k =
344 N/m) están dispuestos sobre una superficie horizontal, sin fricción,
como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción estática entre los
bloques es de 0,42. Halle la amplitud máxima posible del movimiento
armónico simple sin que ocurra un desplazamiento entre los bloques.
Ejercicio 7.- Un bloque de masa M, en reposo sobre una mesa horizontal sin fricción, está unido a un soporte
rígido por medio de un resorte de constante de fuerza k. Una bala de masa m y velocidad v golpea al bloque
como se muestra en la figura. La bala se queda empotrada en el bloque. Determine la amplitud del
movimiento armónico simple resultante en términos de m, M, v, y k.
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 4

5. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 8.- Un cilindro sólido está unido a un resorte horizontal sin
masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie
horizontal, como se ve en la figura. La constante de fuerza k del resorte
es de 2,94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posición en
que el resorte está estirado 23,9 cm, halle
a) la energía cinética de traslación y
b) la energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio.
c) Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efectúa un movimiento armónico
simple con un período
k
M
T
2
3
2π
= , donde M es la masa del cilindro.
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 5

6. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 9.- Un péndulo consta de un disco uniforme de 10,3 cm de radio y una
masa de 488 g unido a una barra de 52,4 cm de longitud que tiene una masa de
272 g, según figura.
a) Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote.
b) ¿Cuál es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo?
c) Calcule el período de oscilación para ángulos pequeños.
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 6

7. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 10.- Parcial de Ingeniería 2002- Una barra de de masa m = 2 kg y longitud L = 1 m está sujeta
en uno de sus extremos de tal forma que puede pivotear alrededor del punto O (ver figura). Se sabe que su
centro de masa está ubicado a 3L/4 respecto al extremo O. Se la aparta un ángulo pequeño de su posición de
equilibrio y se verifica que su período de oscilación es de 2,0 s. ¿Cuánto vale el momento de inercia de la
barra respecto del centro de masa?
a) 0,96 kg.m2
b) 0,51 kg.m2
c) 1,15 kg.m2
d) 0,36 kg.m2
e) 0,17 kg.m2
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 7

8. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 11.- La figura muestra un pequeño disco delgado de radio r y
masa m que está rígidamente unido a la cara de un segundo disco delgado
de radio R y masa M. El centro del disco pequeño se localiza en el borde
del disco grande, el cual está montado en su centro sobre un eje sin
fricción en un plano vertical. El conjunto se hace girar un ángulo θ a partir
de su posición de equilibrio y se suelta. a) Pruebe que la velocidad del
centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es
2
2
)
cos
1
(
2






+
+
−
=
R
r
m
M
Rg
v
θ
.
b) Muestre que el periodo del movimiento es
mgR
mr
R
m
M
T
2
)
2
(
2
2
2
+
+
= π
Solución
a) El sistema es conservativo, por tanto E = K + U = cte.
K0 +U0 =Kf +Uf
Eligiendo como U = 0 en la parte inferior
tenemos que: K0 = 0 (se lanza desde el reposo)
U0 = mgh = mg(R-Rcosθ) = mgR(1-cosθ)
Uf = 0
Kf = 2
0
2
1
ω
I
con: I0 = 2
2
2
2
2
mR
mr
MR
+
+ y
R
v
=
ω
mgR(1-cosθ) =
2
2
2
2
2
2
2
1














+
+
R
v
mR
mr
MR
= 2
2
2
2
4
)
2
(
v
R
mr
R
m
M +
+
v2
= 2
2
2
)
2
(
)
cos
-
(1
)(
4
(
mr
R
m
M
mgR
R
+
+
)
θ
=
2
2
2
cos
-
(1
4
R
r
m
M
gR
+






+
)
θ
⇒
2
2
)
cos
1
(
2






+
+
−
=
R
r
m
M
Rg
v
θ
b) T =
CM
T
O
gd
m
I
π
2
mT = M + m dCM =
M
m
mR
M
m
R
m
M
+
=
+
+ .
0
.
T =






+
+
+
+
M
m
mR
g
m
M
mR
mr
MR
)
(
2
2
2
2
2
2
π =
gmR
mr
R
m
M
2
)
2
(
2
2
2
+
+
π
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 8

9. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 12.- (Examen Marzo 2009) - Un péndulo se forma haciendo girar varilla homogénea larga y
delgada, de longitud L y masa M, alrededor de un punto de ella que está a una distancia x 





<
<
2
0
L
x de su
centro. Si se varía dicha distancia x, el período T para las oscilaciones de pequeña magnitud, varían. ¿Para
qué valor de x, es mínimo el período T?
Sugerencia: exprese el período en función de la distancia x, y luego calcule su derivada respecto a x.
Periodo de un péndulo físico:
gx
x
L
gx
x
L
Mgx
Mx
ML
Mgx
Mx
I
Mgx
I
T CM
O
12
12
2
12
2
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
=
+
=
+
=
= π
π
π
π
π
El período es mínimo, cuando T2
, es mínimo, es decir tenemos que determinar el mínimo de la
función
gx
x
L
x
f
12
12
)
(
2
2
+
=
( )2
2
2
12
12
)
12
(
)
12
(
24
)
(
'
gx
g
x
L
gx
x
x
f
+
−
= ⇒ ⇔
= 0
)
(
' x
f
( )2
2
2
12
12
)
12
(
)
12
(
24
gx
g
x
L
gx
x +
−
=0
0
12
24 2
2
2
=
−
−
⇔ x
L
x
12
12
2
L
L
x =
=
⇔
Ejercicio 13.-(S.4a. 15.55) Un péndulo de longitud L y masa M tiene un
resorte de constante elástica k conectado a él a una distancia h debajo de su
punto de suspensión. Encuentre la frecuencia de vibración del sistema para
valores pequeños de la amplitud θ. Suponga que la suspensión vertical de
longitud L es rígida, pero de masa despreciable.
Solución
2da. Cardinal aplicada al punto de
suspensión O:
IOα = ∑ O
τ
θ
θ
θ cos
sen kxh
MgL
IO −
−
=


x = hsenθ
IO = ML2
θ
θ
θ
θ cos
sen
sen 2
2
kh
MgL
ML −
−
=


Con la aproximación de pequeñas oscilaciones: senθ ≈θ y cosθ ≈ 1
θ
θ
θ 2
2
kh
MgL
ML −
−
=

 = θ
)
( 2
kh
MgL +
−
θ
θ 2
2
ML
kh
MgL +
−
=

 = - ω2
θ
Por tanto f =
π
ω
2
= 2
2
2
1
ML
kh
MgL +
π
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 9

10. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 14.-Una esfera sólida de masa m y radio R rueda sin deslizar
en un canal cilíndrico de radio 5R, como se muestra en la figura.
a) Pruebe que la energía cinética de la esfera vale
2
10
112 2






=
dt
d
mR
K
θ
.
b) Demuestre que para pequeños desplazamientos θ desde el punto de
equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera realiza un
movimiento armónico simple con un periodo
g
R
T
5
28
2π
= .
Sugerencia: Exprese la energía mecánica para una posición genérica teniendo en
cuenta que para pequeños desplazamientos angulares se verifica:
2
cos
1
2
θ
θ ≈
− , y luego como la misma es constante, su derivada respecto al tiempo debe ser nula. Tenga en cuenta
que: ( ) dt
d
dt
d θ
θ
θ 2
2
= y
2
2
2
2
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d θ
θ
θ
=






Solución
a) Como rueda sin deslizar, la energía cinética tiene una componente de traslación
y otra de rotación, con
R
v
=
ω
K = 2
2
2
1
2
1
ω
CM
CM I
mv + =








+ 2
2
2
2
1
R
v
I
mv CM
CM
CM =
2
2
2
1
CM
CM
v
R
I
m 







+
El centro de masa se mueve en una cfa. de radio igual a 4R
Por lo tanto s = 4Rθ ⇒ vCM =
dt
d
R
dt
ds θ
4
=
El momento de inercia de la esfera vale
2
5
2
mR
ICM =
K =
2
2
2
4
5
2
2
1


















+
dt
d
R
R
mR
m
θ
=
2
2
16
5
2
2
1












+
dt
d
R
m
m
θ
=
2
2
16
5
7
2
1












dt
d
R
m
θ
=
2
10
112 2






dt
d
mR θ
b) El sistema es conservativo por tanto: K + U = E = cte
Consideramos que en el punto más bajo la energía potencial es nula, por tanto la energía potencial para un punto genérico a
un ángulo θ vale: U(θ) = mgh con h = 4R(1-cosθ), por otro lado la energía cinética en ese punto genérico vale: K(θ)=
2
10
112 2






dt
d
mR θ
, por tanto E = 4mgR (1-cosθ) +
2
10
112 2






dt
d
mR θ
Para pequeñas oscilaciones:
2
2
cos
1
θ
θ ≈
− ⇒ E= 4mgR 







2
2
θ
+
2
10
112 2






dt
d
mR θ
cambiando la notación E=
2
2
5
56
θ

mR + 2mgRθ2
Derivando respecto al tiempo θ
θ
θ
θ 


 2
2
2
5
56 2
mgR
mR + = 0 ⇒ θ
θ g
R 4
5
112
+

 = 0 ⇒ θ
θ
R
g
28
5
+

 = 0 ⇒
θ
ω
θ 2
+

 = 0 con
R
g
28
5
=
ω Por tanto T =
ω
π
2
⇒
g
R
T
5
28
2π
=
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 10

11. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicio 15.- (Examen Agosto 2008)- La figura muestra un disco uniforme
de radio R = 0,800 m y masa M = 6,00 kg, con un pequeño agujero a una
distancia d del centro que puede servir de centro de pivote. Para un d
particular, el período del péndulo físico es mínimo. ¿Cuánto debe valer la
distancia d, para que el período valga T = 2,40 s?
Periodo de un péndulo físico:
Mgd
Md
MR
Mgd
I
T
2
2
0 2
2
2
+
=
= π
π
⇒
gd
d
R
T
2
2
2
2
2
+
= π
2
2
2
2
2
2
4
d
R
gd
T
+
=
π
⇒ 0
2
4
2
2
2
2
=
+
−
R
gT
d
π
2
2
4
4
4
2
2
2
2
2
2
R
gT
gT
d
−








±
=
π
π ⇒
2
8
8
2
2
2
2
2
2
R
gT
gT
d −








−
=
π
π
= 0,278m
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 11

12. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Ejercicios Opcionales
0.1.- Considere un resorte sin masa de constante de fuerza k en un campo gravitatorio uniforme y unamos a
él un objeto de masa m.
a) Demuestre que si x=0 marca la posición relajada del resorte, la
posición de equilibrio estático está dada por x = mg/k (véase la figura)
b) Demuestre que la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte es
mg
kx
dt
x
d
m =
+
2
2
y que la solución para el desplazamiento en función del
tiempo es x=xmcos(ω t+φ )+mg/k, donde ω2
=k/m como anteriormente.
c) Demuestre por lo tanto que el sistema tiene las mismas ω, v, a ν y T en
un campo gravitatorio uniforme y en ausencia de tal campo, con el único
cambio de que la posición de equilibrio se ha desplazado en mg/k.
d) Considere ahora la energía del sistema como ½ mv2
+ ½kx2
+ mg(h-x)
= constante; y demuestre que la diferenciación respecto al tiempo conduce
a la ecuación de movimiento de la parte (b).
e) Demuestre que cuando el objeto cae desde x = 0 a la posición de equilibrio estático, x = mg/k, la pérdida
de energía potencial gravitatoria va: una mitad a una ganancia en energía potencial elástica y la otra mitad a
una ganancia en energía cinética.
f) Por último, considérese al sistema en movimiento respecto a la posición de equilibrio estático. Calcule por
separado el cambio de energía potencial gravitatoria y de la energía potencial elástica cuando el objeto se
mueve hacia arriba con un desplazamiento xm, y cuando el objeto se mueve hacia abajo con un
desplazamiento xm. Demuestre que el cambio total de la energía potencial es el mismo en cada caso, es decir,
½kxm
2
.
A la vista de los resultados (c) y (f), podemos simplemente despreciar el campo gravitatorio uniforme en el
análisis haciendo el cambio de la posición de referencia de x = 0 a x0 = x- mg/k = 0. La curva de la nueva
energía potencial (U (x0)= ½kx0
2
+ constante) tiene la misma forma parabólica que la curva de la energía
potencial en ausencia de campo gravitatorio (U (x)= ½kx0
2
).
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 12

13. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 13

14. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
O.2.- En el ejercicio anterior, se suelta el objeto desde la posición del resorte relajado. Encontrar la velocidad
en función de la posición. Hallar a velocidad máxima. Considere la longitud natural del resorte como l0.
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 14

15. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
O.3.- Dos resortes están unidos a un bloque de masa m que puede
deslizar libremente sobre una superficie horizontal sin fricción,
como se muestra en la figura. Demuestre que la frecuencia de
oscilación del bloque vale:
2 2
1 2
1 2
1
2
k k
m
ν ν ν
π
+
= = + , donde ν1 y ν2 son las frecuencias a las
que oscilaría el bloque si se uniera solamente al resorte 1 o al resorte 2.
O.4.- (Parcial de Ingeniería 1998)-Un resorte colgado del techo tiene una longitud L0. Cuando se cuelga
del mismo una masa m, el resorte adquiere un longitud L1. El período de las oscilaciones que verifica
otra masa M = 2m, colgada del mismo resorte es:
a) T =
g
L0
2π b) Faltan datos c) T =
g
L1
2π d) T =
g
L1
2
2 π e) T =
g
L
L 0
1
2
2
−
π
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 15

16. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
O5.- (Examen Marzo 2005)- Una bala de m = 6,00 g se dispara horizontalmente contra un bloque de
madera de M = 0,500 kg inicialmente en reposo, apoyado en e una mesa sin fricción. El bloque está
conectado a un extremo de un resorte, cuyo otro extremo se apoya en una pared. La bala penetra el bloque,
moviéndolo y comprime el resorte, de modo que el sistema bloque (con la bala) y resorte entra en un
movimiento armónico simple, con una frecuencia f = 6,00 Hz y una amplitud A = 13,5 cm. ¿Cuánto vale la
velocidad de la bala antes de penetrar el bloque?
Solución
Velocidad máxima en el M.A.S.: fA
A
vMAX π
ω 2
=
= siendo vMAX la velocidad luego del choque
Choque: mv =(M+m) vMAX
Por tanto: fA
m
m
M
v π
2
+
= = =
+
)
135
,
0
(
6
2
6
6
500
π 429 m/s
Respuesta d) 429 m/s.
O.6.-(Examen Diciembre 2007) - Un objeto de masa m = 4,00 kg unido a un resorte oscila con un
movimiento armónico simple en un plano horizontal con una amplitud A = 4,00 cm y con un periodo T =
1,50 s. ¿Cuánto vale la fuerza que ejerce el resorte, en la posición en que el objeto tiene una velocidad igual
a la mitad de su valor máximo?
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1






+
= MAX
MAX v
m
kx
mv ⇒ E
mv
kx MAX
4
3
4
3
2
1
2
1 2
2
=






= = 




 2
2
1
4
3
kA
entonces A
A
x
2
3
4
3
±
=
±
= m
T
m
k 2
2
2 4π
ω =
=
F = A
T
m
2
3
4
2
2
π
= 2,43 N
m (kg) T (s) A (cm) F (N)
4 1,5 4 2,431V1 B
4 1,5 3 1,823V2 A
4 1,2 4,8 4,559V3 C
4 1 4 5,470V4
4 1 6 8,205
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 16

17. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
O.7.-(Examen Agosto 2006) Un disco de masa M = 2,10 kg y radio R = 20,0
cm está rígidamente unido a una masa puntual de valor m = 0,200 kg por una
barra de masa despreciable y longitud a = 50,0 cm con extremos en el centro del
disco y en dicha masa puntual. Todo el sistema está contenido en un plano vertical
como se muestra en la figura, y puede girar libremente alrededor de ejes normales
al plano por Q o por P, siendo Q el punto del borde del disco ubicado sobre la barra
y P el punto diametralmente opuesto.
¿Cuánto vale el cociente entre los períodos de las pequeñas oscilaciones del
sistema en torno a los dos ejes mencionados por P y Q respectivamente
Q
P
T
T
?
Periodo para un péndulo físico:
CM
T
O
gd
m
I
T π
2
=
Q
P
T
T
=
CMQ
T
Q
CMP
T
P
gd
m
I
gd
m
I
=
CMP
Q
CMQ
P
d
I
d
I
Sea dCM la posición del CM del conjunto medida desde el centro:
ma
d
m
M CM =
+ )
( ⇒ a
m
M
m
dCM
+
= = )
0
,
50
(
200
,
0
10
,
2
200
,
0
+
=
30
,
2
10
cm
Sea dCMP la distancia del centro de masa al punto P: dCMP = R + dCM
Análogamente: dCMQ = R - dCM
2
2
2
)
(
2
a
R
m
MR
MR
I P +
+
+
= = 2
2
)
(
2
3
a
R
m
MR
+
+
2
2
2
)
(
2
R
a
m
MR
MR
IQ −
+
+
= = 2
2
)
(
2
3
R
a
m
MR
−
+
Q
P
T
T
=
CMP
Q
CMQ
P
d
I
d
I
=
( )
( )
CM
CM
d
R
R
a
m
MR
d
R
a
R
m
MR
+








−
+
−








+
+
2
2
2
2
)
(
2
3
)
(
2
3
=








+








−
+








−








+
+
30
,
2
10
0
,
20
)
0
,
20
0
,
50
)(
200
,
0
(
2
)
0
,
20
)(
10
,
2
(
3
30
,
2
10
0
,
20
)
0
,
50
0
,
20
)(
200
,
0
(
2
)
0
,
20
)(
10
,
2
(
3
2
2
2
2
Q
P
T
T
=
( )
( ) 







+
+








−
+
30
,
2
10
0
,
20
)
0
,
30
)(
200
,
0
(
1260
30
,
2
10
0
,
20
)
0
,
70
)(
200
,
0
(
1260
2
2
=
8696
,
35060
8696
,
35060
=1
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 17
m
M
a
R
Q
P

18. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 18

19. Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física
O.8.- Un leño (cilindro de madera) lleva una carga de plomo en un extremo de modo que flota en posición
erecta en el agua. La longitud de la parte sumergida es L = 2,56 m. El leño es puesto a oscilar verticalmente
(se lo hunde un poco de su posición de equilibrio). Pruebe que la oscilación es armónica simple y halle el
período de las oscilaciones. Desprecie el hecho de que el agua tiene un efecto amortiguador y considere que el
leño se mantiene siempre vertical
Repartidos de ejercicios -2011 rev1 19