1. Actividad Obligatoria 4B
PRIMERA PARTE:
13) |−𝟑(−𝒙 + 𝟗)| ≥ 𝟐
En esta inecuación con valor absoluto, el argumento es:
|−3(−𝑥 + 9)| ⇒ |3𝑥 − 27|
Las cuatro inecuaciones planteadas y sus respectivas soluciones son:
|3𝑥 − 27| ≥ 2
3𝑥 − 27 ≥ 0 ∧ 3𝑥 − 27 ≥ 2 ∨ 3𝑥 − 27 ≤ 0 ∧ −(3𝑥 − 27) ≥ 2
3𝑥 ≥ 27 ∧ 3𝑥 ≥ 29 ∨ 3𝑥 ≤ 27 ∧ 3𝑥 − 27 ≤ −2
𝑥 ≥
27
3
∧ 𝑥 ≥
29
3
∨ 𝑥 ≤
27
3
∧ 3𝑥 ≤ 25
𝑥 ≥ 9 ∧ 𝑥 ≥
29
3
∨ 𝑥 ≤ 9 ∧ 𝑥 ≤
25
3
Por una parte, el primer par de desigualdades, que deben cumplirse simultáneamente, tiene a
𝑥 ≥
29
3
por solución. Por otra parte, el segundo par, que deben cumplirse simultáneamente, tiene como
solución a 𝑥 ≤
25
3
. Por lo tanto, su solución es:
𝒙 ≤
𝟐𝟓
𝟑
∪ 𝒙 ≥
𝟐𝟗
𝟑
En términos de distancia a un punto, la inecuación se resuelve de la siguiente manera:
|3𝑥 − 27| ≥ 2 ⇒ |3(𝑥 − 9)| ≥ 2 ⇒ 3|𝑥 − 9| ≥ 2 ⇒ |𝑥 − 9| ≥
2
3
9 −
2
3
=
27−2
3
=
𝟐𝟓
𝟑
9 +
2
3
=
27+2
3
=
𝟐𝟗
𝟑
Como se puede apreciar, los conjuntos solución coinciden. Su expresión en notación de intervalo
y en notación de conjunto son respectivamente:
(−∞,
25
3
] ∪ [
29
3
, ∞) {𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑥 ≤
25
3
} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑥 ≥
29
3
}

2. Procedemos a verificar si la solución satisface la inecuación, tomando un punto del interior del
intervalo, puntos del exterior y los puntos extremos:
𝑥 = 8 ⇒ |−3(−8 + 9)| ≥ 2 ⇒ |24 − 27| ≥ 2 ⇒ |−3| ≥ 2 ⇒ 𝟑 ≥ 𝟐 Satisface.
𝑥 = 10 ⇒ |−3(−10 + 9)| ≥ 2 ⇒ |30 − 27| ≥ 2 ⇒ |3| ≥ 2 ⇒ 𝟑 ≥ 𝟐. Satisface.
𝑥 = 8,5 ⇒ |3(−8,5 + 9)| ≥ 2 ⇒ |25,5 − 27| ≥ 2 ⇒ |−1.5| ≥ 2 ⇒ 𝟏. 𝟓 ≥ 𝟐. No satisface.
𝑥 =
25
3
⇒ |3(−
25
3
− 27)| ≥ 2 ⇒ |25 − 27| ≥ 2 ⇒ |−2| ≥ 2 ⇒ 𝟐 ≥ 𝟐. Satisface.
𝑥 =
29
3
⇒ |3(−
29
3
− 27)| ≥ 2 ⇒ |29 − 27| ≥ 2 ⇒ |2| ≥ 2 ⇒ 𝟐 ≥ 𝟐. Satisface.
Ratificamos el resultado con la calculadora Wolfram Alpha:

3. SEGUNDA PARTE:
13. Lugar geométrico con vértice en el punto de coordenadas (-1,2) y foco (-1,0)
Dado que los datos mencionados en el enunciado corresponden a un vértice y un foco, el lugar
geométrico en cuestión es una parábola.
En esta situación, es necesario construir la ecuación que satisfaga la parábola. Para ello,
aprovechamos los datos expresados:
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒: (−1,2) 𝑓𝑜𝑐𝑜: (−1,0)
Para construir la ecuación, falta determinar el valor de 𝑝. Es decir, falta la distancia dirigida
vértice-foco:
𝑝 = 0 − 2 = −2
Con estos datos, podemos interpretar que el eje es una recta vertical y se dirige hacia abajo. Por
lo tanto, la ecuación de la parábola que se utilizará es la siguiente:
{(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 (𝑥 − 𝑎)2
⁄ = 4𝜌(𝑦 − 𝑏)}
Reemplazamos, obteniendo su ecuación correspondiente:
(−1,2) = (𝑎, 𝑏)
(𝑥 − 𝑎)2
= 4𝜌(𝑦 − 𝑏)
(𝑥 − (−1))2
= 4 ∙ −2(𝑦 − 2)
(𝒙 + 𝟏)𝟐
= −𝟖(𝒚 − 𝟐)
Esta ecuación está en su forma estándar. Si la queremos expresar en su forma general, quedaría
de la siguiente manera:
(𝑥 + 1)2
= −8(𝑦 − 2)
𝑥2
+ 2 ∙ 𝑥 ∙ 1 + 12
= −8𝑦 + 16
𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎

4. Determinamos los puntos de corte con los ejes coordenados:
De este modo, los puntos (-5,0) y (3,0) son los que cortan al eje horizontal y el punto (0,
15
8
) corta
con el eje vertical.
En la parábola, podemos determinar sus siguientes elementos:
- Vértice: (-1,2)
- Foco: (-1,0)
- Recta directriz: 𝑦 = 𝑏 − 𝑝 ⇒ 𝑦 = 2 − (−2) ⇒ 𝑦 = 4
- Sentido de las ramas: Vertical hacia abajo.
Esta parábola sí se la puede pensar como una función; el valor numérico de 𝑦 es único por cada
valor asignado a 𝑥:
𝑥2
+ 2𝑥 + 8𝑦 − 15 = 0
8𝑦 = 15 − 2𝑥 − 𝑥2
𝑦 =
15 − 2𝑥 − 𝑥2
8
𝑓: ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑓(𝑥) =
15 − 2𝑥 − 𝑥2
8
= 𝑦
Corte con el eje y
𝑥 = 0
(𝑥 + 1)2
= −8(𝑦 − 2) ⇒ (0 + 1)2
= −8(𝑦 − 2)
1 = −8𝑦 + 16
−15 = −8𝑦
𝟏𝟓
𝟖
= 𝒚
Corte con el eje X
𝑦 = 0
(𝑥 + 1)2
= −8(𝑦 − 2) ⇒ (𝑥 + 1)2
= −8(0 − 2)
𝑥2
+ 2𝑥 + 1 = 16
𝑥2
+ 2𝑥 − 15 = 0
𝑥 =
−2 ± √22 − 4 ∙ 1 ∙ 15
2 ∙ 1
𝑥 =
−2 ± √64
2
𝑥 =
−2 ± 8
2
𝑥 =
−2 + 8
2
𝑥 =
−2 − 8
2
𝒙 = 𝟑 𝒙 = −𝟓

5. Finalmente, graficamos: