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- Unidad III.1 - Equilibrio del Cuerpo Rígido - semana 5.pdf
CÁLCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS
“El equilibrio es la consideración más
importante de la posición de en guardia.”.
Bruce Lee
Mg. Ing. Sergio Herrera Ramírez – Facultad de Ingeniería Civil
AGENDA
1. Equilibrio de una partícula.
2. Equilibrio de sólidos rígidos.
3. Equilibrio de un sólido rígido de dos dimensiones.
4. Reacciones en los apoyos de una estructura bidimensional.
5. Tipos de apoyos.
6. Restricción isostática de un sólido bidimensional.
7. Vinculación hiperestática de un sólido bidimensional.
8. Problemas de cálculo de reacciones en los apoyos de una
estructura bidimensional.
9. Evaluación / actividad aplicativa
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica las ecuaciones de equilibrio
estático para calcular las reacciones en los apoyos de una estructura,
mostrando orden y precisión en sus cálculos.
LOGRO DE LA SESIÓN
 …
 …
 …
 …
SABERES PREVIOS SOBRE EL TEMA
 …
 …
 …
 …
LOGRO CON RELACIÓN A LA INGENIERIA CIVIL
Condición necesaria y suficiente para que una partícula esté en equilibrio es:
0
0
0






z
F
y
F
x
F
0
k
)
F
(
J
)
F
(
i
)
F
(
0
)
k
F
J
F
i
(F
0
F
R
Z
Y
X
Z
Y
X

















Descomponiendo:
Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula
es cero, la partícula está en equilibrio.

3.1 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
Un sólido rígido está en equilibrio cuando las fuerzas externas que
actúan sobre él forman un sistema equivalente a cero:
(Fuerza Nula y Par Nulo)
0
z
M
0
y
M
0
x
M
0
z
F
0
y
F
0
x
F
0
)
F
x
r
(
M
0
F o


















3.2 EQUILIBRIO DE SÓLIDOS RÍGIDOS
3.3 EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO DE DOS DIMENSIONES
 0
o
M
0
y
F
0
x
F
o
M
z
M
:
si
0
y
M
x
M
,
0
z
F
:
plano
el
En











Y
X
J
i
o
Considerando equilibrio en una estructura bidimensional (la estructura y
las fuerzas aplicadas contenidas en un plano) las reacciones,
evidentemente, también estarán contenidas en el plano de la figura.
Una estructura bidimensional tiene 3 clases de movimientos
independientes, es decir, 3 grados de libertad:
Y
X
- Movimiento de translación en la dirección X.
- Movimiento de translación en la dirección Y.
- Movimiento de rotación alrededor del eje Z.
Todo movimiento que tenga ese cuerpo se
puede expresar en estos 3 grados de libertad.
Posición
Inicial
Posición
Final
3.4 REACCIONES EN LOS APOYOS DE UNA
ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL
Reacción
perpendicular
a la superficie
NÚMERO DE
INCÓGNITAS
Reacción en
la dirección
de la barra
90º
R
Apoyo
móvil
GRADOS DE
LIBERTAD
Barra
R
Se anula sólo un
grado de libertad
(la translación en
la dirección de R)
1
3.5 TIPOS DE APOYOS
Ry
Apoyo
fijo
Reacción «R»
representada por
sus componentes
X e Y
GRADOS DE
LIBERTAD
NÚMERO DE
INCÓGNITAS
2 Barras
Anula dos grados de
libertad (anula toda
translación, se fija en
un punto) pero no
evita que el sólido
gire alrededor de la
conexión.
2
Rx
R2
R1
R
GRADOS DE
LIBERTAD
NÚMERO DE
INCÓGNITAS
Anula tres grados de
libertad (se fija en
dos puntos, y el
cuerpo no se traslada
ni rota), inmoviliza
por completo el
cuerpo bidimensional.
3
Ry
Mo
RX
Empotramiento
F1
F2
F1
F2
F1
F2
F1
F2
Formas de anular los tres grados de libertad (anular todo
posible movimiento de un cuerpo).
3.6 RESTRICCIÓN ISOSTÁTICA DE UN SÓLIDO BIDIMENSIONAL
F2
F1
NOTA:
Se debe evitar que las tres reacciones sean concurrentes en un
punto o paralelas; ya que esto permitiría el movimiento del cuerpo y
no se podría mantener el equilibrio del cuerpo.
F1
El cuerpo puede rotar
alrededor del punto
concurrente
F2
El cuerpo puede
trasladarse en la
dirección perpendicular
a las reacciones
Ejemplos:
Cuando se emplea un exceso de ligadura (apoyos) de los
necesarios y suficientes para la restricción isostática.
Hiperestática
1º Grado
(sobra una barra)
Hiperestática
1º Grado
Hiperestática
1º Grado
Hiperestática
1º Grado
Hiperestática
2º Grado
Hiperestática
3º Grado
Hiperestática
2º Grado
Hiperestática
3º Grado
3.7 VINCULACIÓN HIPERESTÁTICA DE UN SÓLIDO BIDIMENSIONAL
ºHIP = GRADO HIPERESTÁTICO: Número de exceso de restricciones isostáticas.
Nº INCOG = NÚMERO DE INCOGNITAS: Número de reacciones a determinar.
Nº EC. EST. = NÚMERO DE ECUACIONES DE LA ESTÁTICA.
(Para estructuras bidimensionales = 3 : FX = 0, FY = 0, Mo = 0 ).
Nº EC. ESP. = NÚMERO DE ECUACIONES ESPECIALES.
Número de rotulas en la estructura ( Mrótula = 0).
ºHIP = Nº INCOG - [Nº EC. EST. + Nº EC. ESP.]
Nº INCOG: 4
Nº EC. EST: 3
Nº EC. ESP: 1
 ºHIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0
 ISOSTÁTICO
Ejemplo:
Rótula Rótula
Rótula
VIGAS GERBER (PUENTES)
ºHIP = 5 – ( 3 + 2 ) = 0
 ISOSTÁTICO
ARCO TRIARTICULADO
ºHIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0
 ISOSTÁTICO
Grado Hiperestático
NOTA 1:
Sentido de las reacciones: se debe suponer un sentido arbitrario para la
fuerza o par, el signo de la respuesta obtenida indicará si la suposición fue
correcta o no.
NOTA 2:
La elección de las ecuaciones de equilibrio a emplear, no debe estar
influenciada por el significado físico de esas ecuaciones. Es deseable
elegir ecuaciones de equilibrio que contengan una sola incógnita, ya que
esto elimina la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones.
NOTA 3:
Las reacciones hiperestáticas se pueden determinar considerando las
deformaciones producidas y ello pertenece al estudio de la “Resistencia
de Materiales”. Estáticamente son indeterminadas.
3.8 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS
DE UNA ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL
PROBLEMA 1:
Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:
A
B
4 tn-m
6 tn
30º
3 tn
2 m 2 m 2 m 2 m
AX
6 cos 30º
3 tn
6 sen 30º
AY BY
4 tn - m
º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático
- Asumimos como sentidos positivos:
Y
X
+
Estáticamente se pueden
determinar las reacciones
2 m 2 m 2 m 2 m
 AY = 3,13 tn
+  MA = 0 :  By = 5,06 tn
- 6 cos 30º (2) + 4 + By (6) – 3 (8) = 0
+  FX = 0 : AX – 6 sen 30º = 0  AX = 3,00 tn
+  FY = 0 : AY – 6 cos 30º + BY – 3 = 0
3 m
3 m
3 m 3 m 3 m 3 m
4 m
2 m
10 tn
20 tn
30 tn
40 tn
A
B
PROBLEMA PARA LOS GRUPOS DE TRABAJO:
Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:
AX
Bx
BY
3m
3m
3m 3m 3m 3m
4m
2m
10 tn
20 tn
30 tn
40 tn
A
B
Significa, solamente, que el sentido
asumido no es correcto, la reacción BX
es hacía la izquierda ( )
+  MB = 0 :
º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático
 BX = - 100 tn
- AX (3) + 40 (6) + 30 (3) + 20 (0) – 10 (3) = 0
 AX = 100 tn
+  FX = 0 :
AX + BX = 0
BY - 40 - 30 – 20 – 10 = 0  By = 100 tn
+  FY = 0 :
PROBLEMA 2:
Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos.
3 m
3 m
A C
F
D
G
E
30º
30º 30º
30º
25 tn
B
50 tn
+  MC = 0 :
30º 30º
25 tn
B
50 tn
30º
30º 60º
60º
60º
A C
AX
AY CY
CX
3m 3m 3m
3
2
3
4
9
4
9
4
9
4
9
º HIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0 : Isostático
Rótula en “B”
 CY = 31,25 tn
- AY (9) + 50 (27/4) + 25 (9/4) = 0  AY = 43,75 tn
+  MA = 0 : + CY (9) - 50 (9/4) - 25 (27/4) = 0
Cuando se tiene una rótula, la condición de equilibrio debe ser aplicada en un
subsistema de manera independiente (en la parte izquierda o derecha de la rótula).
AX
AY
CX
CY
50 tn 25 tn
BX
BX
BY
BY
0
)
4
9
(
50
)
2
9
(
A
)
3
2
3
(
A Y
X 



+  FX = 0 :
+  MB
izquierda = 0 :  AX = 32,48 tn
AX – CX = 0  CX = 32,48 tn
Ahora, regresando al sistema completo:
PROBLEMA PARA LOS GRUPOS DE TRABAJO:
Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:
5 tn
2m
3 tn
1
3

2m 2m 2m
2m
2m
2m
A
B
PROBLEMA 3:
Para la viga mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:
A B
1m 1m
1m 3m
0.5 tn/m
0.5 tn 0.5 tn
RBY
A B
RBX
RA
1m 1m
1m 3m
0.5 tn/m
0.5 tn 0.5 tn
1.5 m 1.5 m
P = (0.5 tn/m)(3m) = 1.5 tn
º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático
Para el cálculo de reacciones cuando se tiene una carga repartida por unidad de longitud,
puede emplearse, en su lugar, una carga equivalente “puntual”, de magnitud igual al área de la
carga repartida y aplicada en el centro de gravedad de dicha carga.
 RBY = 0,75 tn
+  MB = 0 : + 0,5 (6) – RA (5) + 1,5 (3,5) + 0,5 (1) = 0  RA = 1,75 tn
+  FX = 0 : RBX = 0
+  FY = 0 : - 0,5 + RA – 1,5 – 0,5 + RBY = 0
 …
 …
 …
 …
CONCLUSIONES - ¿QUÉ APRENDIÓ HOY?
 …
 …
 …
 …
¿QUÉ TEMAS VAMOS A DESARROLLAR LA SIGUIENTE CLASE?
 Beer, F., Johnston, R. , Mazurek, D. y Eisenberg, E. (2010). Mecánica
vectorial para ingenieros – Estática. Novena Edición, McGraw-
Hill/Interamericana Editores, S.A. ISBN-13: 978-607-15-0277-3. México.
 Hibbeler, R.C. (2010). Mecánica para ingenieros – Estática.
Decimosegunda edición. Pearson Educación, Inc. ISBN: 978-607-442-561-
1. México.
 Herrera, S. (2019). Curso de Estática – Apuntes de clase. Universidad
Nacional de Ingeniería. Perú.
REFERENCIAS

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- Unidad III.1 - Equilibrio del Cuerpo Rígido - semana 5.pdf

  • 2. CÁLCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS “El equilibrio es la consideración más importante de la posición de en guardia.”. Bruce Lee Mg. Ing. Sergio Herrera Ramírez – Facultad de Ingeniería Civil
  • 3. AGENDA 1. Equilibrio de una partícula. 2. Equilibrio de sólidos rígidos. 3. Equilibrio de un sólido rígido de dos dimensiones. 4. Reacciones en los apoyos de una estructura bidimensional. 5. Tipos de apoyos. 6. Restricción isostática de un sólido bidimensional. 7. Vinculación hiperestática de un sólido bidimensional. 8. Problemas de cálculo de reacciones en los apoyos de una estructura bidimensional. 9. Evaluación / actividad aplicativa
  • 4. Al finalizar la sesión, el estudiante aplica las ecuaciones de equilibrio estático para calcular las reacciones en los apoyos de una estructura, mostrando orden y precisión en sus cálculos. LOGRO DE LA SESIÓN
  • 5.  …  …  …  … SABERES PREVIOS SOBRE EL TEMA  …  …  …  … LOGRO CON RELACIÓN A LA INGENIERIA CIVIL
  • 6. Condición necesaria y suficiente para que una partícula esté en equilibrio es: 0 0 0       z F y F x F 0 k ) F ( J ) F ( i ) F ( 0 ) k F J F i (F 0 F R Z Y X Z Y X                  Descomponiendo: Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está en equilibrio.  3.1 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
  • 7. Un sólido rígido está en equilibrio cuando las fuerzas externas que actúan sobre él forman un sistema equivalente a cero: (Fuerza Nula y Par Nulo) 0 z M 0 y M 0 x M 0 z F 0 y F 0 x F 0 ) F x r ( M 0 F o                   3.2 EQUILIBRIO DE SÓLIDOS RÍGIDOS
  • 8. 3.3 EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO DE DOS DIMENSIONES
  • 10. Considerando equilibrio en una estructura bidimensional (la estructura y las fuerzas aplicadas contenidas en un plano) las reacciones, evidentemente, también estarán contenidas en el plano de la figura. Una estructura bidimensional tiene 3 clases de movimientos independientes, es decir, 3 grados de libertad: Y X - Movimiento de translación en la dirección X. - Movimiento de translación en la dirección Y. - Movimiento de rotación alrededor del eje Z. Todo movimiento que tenga ese cuerpo se puede expresar en estos 3 grados de libertad. Posición Inicial Posición Final 3.4 REACCIONES EN LOS APOYOS DE UNA ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL
  • 11. Reacción perpendicular a la superficie NÚMERO DE INCÓGNITAS Reacción en la dirección de la barra 90º R Apoyo móvil GRADOS DE LIBERTAD Barra R Se anula sólo un grado de libertad (la translación en la dirección de R) 1 3.5 TIPOS DE APOYOS
  • 12. Ry Apoyo fijo Reacción «R» representada por sus componentes X e Y GRADOS DE LIBERTAD NÚMERO DE INCÓGNITAS 2 Barras Anula dos grados de libertad (anula toda translación, se fija en un punto) pero no evita que el sólido gire alrededor de la conexión. 2 Rx R2 R1 R
  • 13. GRADOS DE LIBERTAD NÚMERO DE INCÓGNITAS Anula tres grados de libertad (se fija en dos puntos, y el cuerpo no se traslada ni rota), inmoviliza por completo el cuerpo bidimensional. 3 Ry Mo RX Empotramiento
  • 14. F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 Formas de anular los tres grados de libertad (anular todo posible movimiento de un cuerpo). 3.6 RESTRICCIÓN ISOSTÁTICA DE UN SÓLIDO BIDIMENSIONAL
  • 15. F2 F1 NOTA: Se debe evitar que las tres reacciones sean concurrentes en un punto o paralelas; ya que esto permitiría el movimiento del cuerpo y no se podría mantener el equilibrio del cuerpo. F1 El cuerpo puede rotar alrededor del punto concurrente F2 El cuerpo puede trasladarse en la dirección perpendicular a las reacciones Ejemplos:
  • 16. Cuando se emplea un exceso de ligadura (apoyos) de los necesarios y suficientes para la restricción isostática. Hiperestática 1º Grado (sobra una barra) Hiperestática 1º Grado Hiperestática 1º Grado Hiperestática 1º Grado Hiperestática 2º Grado Hiperestática 3º Grado Hiperestática 2º Grado Hiperestática 3º Grado 3.7 VINCULACIÓN HIPERESTÁTICA DE UN SÓLIDO BIDIMENSIONAL
  • 17. ºHIP = GRADO HIPERESTÁTICO: Número de exceso de restricciones isostáticas. Nº INCOG = NÚMERO DE INCOGNITAS: Número de reacciones a determinar. Nº EC. EST. = NÚMERO DE ECUACIONES DE LA ESTÁTICA. (Para estructuras bidimensionales = 3 : FX = 0, FY = 0, Mo = 0 ). Nº EC. ESP. = NÚMERO DE ECUACIONES ESPECIALES. Número de rotulas en la estructura ( Mrótula = 0). ºHIP = Nº INCOG - [Nº EC. EST. + Nº EC. ESP.] Nº INCOG: 4 Nº EC. EST: 3 Nº EC. ESP: 1  ºHIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0  ISOSTÁTICO Ejemplo: Rótula Rótula Rótula VIGAS GERBER (PUENTES) ºHIP = 5 – ( 3 + 2 ) = 0  ISOSTÁTICO ARCO TRIARTICULADO ºHIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0  ISOSTÁTICO Grado Hiperestático
  • 18. NOTA 1: Sentido de las reacciones: se debe suponer un sentido arbitrario para la fuerza o par, el signo de la respuesta obtenida indicará si la suposición fue correcta o no. NOTA 2: La elección de las ecuaciones de equilibrio a emplear, no debe estar influenciada por el significado físico de esas ecuaciones. Es deseable elegir ecuaciones de equilibrio que contengan una sola incógnita, ya que esto elimina la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones. NOTA 3: Las reacciones hiperestáticas se pueden determinar considerando las deformaciones producidas y ello pertenece al estudio de la “Resistencia de Materiales”. Estáticamente son indeterminadas. 3.8 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS DE UNA ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL
  • 19. PROBLEMA 1: Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos: A B 4 tn-m 6 tn 30º 3 tn 2 m 2 m 2 m 2 m
  • 20. AX 6 cos 30º 3 tn 6 sen 30º AY BY 4 tn - m º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático - Asumimos como sentidos positivos: Y X + Estáticamente se pueden determinar las reacciones 2 m 2 m 2 m 2 m  AY = 3,13 tn +  MA = 0 :  By = 5,06 tn - 6 cos 30º (2) + 4 + By (6) – 3 (8) = 0 +  FX = 0 : AX – 6 sen 30º = 0  AX = 3,00 tn +  FY = 0 : AY – 6 cos 30º + BY – 3 = 0
  • 21. 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 4 m 2 m 10 tn 20 tn 30 tn 40 tn A B PROBLEMA PARA LOS GRUPOS DE TRABAJO: Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:
  • 22. AX Bx BY 3m 3m 3m 3m 3m 3m 4m 2m 10 tn 20 tn 30 tn 40 tn A B Significa, solamente, que el sentido asumido no es correcto, la reacción BX es hacía la izquierda ( ) +  MB = 0 : º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático  BX = - 100 tn - AX (3) + 40 (6) + 30 (3) + 20 (0) – 10 (3) = 0  AX = 100 tn +  FX = 0 : AX + BX = 0 BY - 40 - 30 – 20 – 10 = 0  By = 100 tn +  FY = 0 :
  • 23. PROBLEMA 2: Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos. 3 m 3 m A C F D G E 30º 30º 30º 30º 25 tn B 50 tn
  • 24. +  MC = 0 : 30º 30º 25 tn B 50 tn 30º 30º 60º 60º 60º A C AX AY CY CX 3m 3m 3m 3 2 3 4 9 4 9 4 9 4 9 º HIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0 : Isostático Rótula en “B”  CY = 31,25 tn - AY (9) + 50 (27/4) + 25 (9/4) = 0  AY = 43,75 tn +  MA = 0 : + CY (9) - 50 (9/4) - 25 (27/4) = 0
  • 25. Cuando se tiene una rótula, la condición de equilibrio debe ser aplicada en un subsistema de manera independiente (en la parte izquierda o derecha de la rótula). AX AY CX CY 50 tn 25 tn BX BX BY BY 0 ) 4 9 ( 50 ) 2 9 ( A ) 3 2 3 ( A Y X     +  FX = 0 : +  MB izquierda = 0 :  AX = 32,48 tn AX – CX = 0  CX = 32,48 tn Ahora, regresando al sistema completo:
  • 26. PROBLEMA PARA LOS GRUPOS DE TRABAJO: Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos: 5 tn 2m 3 tn 1 3  2m 2m 2m 2m 2m 2m A B
  • 27. PROBLEMA 3: Para la viga mostrada, determinar las reacciones en los apoyos: A B 1m 1m 1m 3m 0.5 tn/m 0.5 tn 0.5 tn
  • 28. RBY A B RBX RA 1m 1m 1m 3m 0.5 tn/m 0.5 tn 0.5 tn 1.5 m 1.5 m P = (0.5 tn/m)(3m) = 1.5 tn º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático Para el cálculo de reacciones cuando se tiene una carga repartida por unidad de longitud, puede emplearse, en su lugar, una carga equivalente “puntual”, de magnitud igual al área de la carga repartida y aplicada en el centro de gravedad de dicha carga.  RBY = 0,75 tn +  MB = 0 : + 0,5 (6) – RA (5) + 1,5 (3,5) + 0,5 (1) = 0  RA = 1,75 tn +  FX = 0 : RBX = 0 +  FY = 0 : - 0,5 + RA – 1,5 – 0,5 + RBY = 0
  • 29.  …  …  …  … CONCLUSIONES - ¿QUÉ APRENDIÓ HOY?  …  …  …  … ¿QUÉ TEMAS VAMOS A DESARROLLAR LA SIGUIENTE CLASE?
  • 30.  Beer, F., Johnston, R. , Mazurek, D. y Eisenberg, E. (2010). Mecánica vectorial para ingenieros – Estática. Novena Edición, McGraw- Hill/Interamericana Editores, S.A. ISBN-13: 978-607-15-0277-3. México.  Hibbeler, R.C. (2010). Mecánica para ingenieros – Estática. Decimosegunda edición. Pearson Educación, Inc. ISBN: 978-607-442-561- 1. México.  Herrera, S. (2019). Curso de Estática – Apuntes de clase. Universidad Nacional de Ingeniería. Perú. REFERENCIAS