SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 79
Descargar para leer sin conexión
1
3. Ecuaciones diferenciales de orden superior
(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)
2
Ecuaciones lineales: teoría básica
Un problema de valor inicial de n-ésimo
orden consiste en resolver la EDO lineal:
sujeta a las n condiciones iniciales:
Resolverlo consiste en encontrar una función
y(x) en definida en un intervalo I que contiene a
x0, donde se cumplen la ecuación y las
condiciones iniciales.
)()()()()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
d
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
10
)1(
1000 )(,,)(,)( −
−
==′= n
n
yxyyxyyxy
3
Existencia de una solución única
(Condición suficiente)
Sea an(x), an-1(x), …, a0(x), y g(x) continuas en I,
con an(x) ≠ 0 para todo x de I. Si x = x0 es
cualquier punto de este intervalo, entonces existe
una solución y(x) del problema anterior en I y es
única.
•Ejemplo:
posee la solución trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer
orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la única
solución en cualquier intervalo que contenga a x = 1.
0)1(,0)1(,0)1(,0753 =′′=′==+′+′′+′′′ yyyyyyy
4
• Ejemplo: Comprueba que y = 3e2x + e–2x – 3x es la
única solución de
La ED es lineal, los coeficientes y g(x) son todos
funciones continuas, y a2(x) = 1 es distinto de 0 en
cualquier intervalo que contenga x = 0. La solución
propuesta cumple la EDO y es única en I.
1)0(',4)0(,124" ===− yyxyy
Comprueba que y = cx2 + x + 3 es solución del PVI:
en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones. Observa que el
coeficiente de la derivada a2(x) = x2 más alta se hace cero en x = 0 y ese
punto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las
condiciones iniciales.
1)0(,3)0(,6222
=′==+′−′′ yyyyyx
5
Problemas de valores en la frontera
• Resolver:
sujeta a :
se llama problema de valor
en la frontera (PVF) y a las
restricciones se conocen
como condiciones de contorno
o condiciones en la frontera.
Nota: Las condiciones de contorno
pueden ser también sobre las derivadas.
)()()()( 012
2
2 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa =++
10 )(,)( ybyyay ==
6
Vimos que x = c1 cos 4t + c2 sin 4t era solución de
(a) Supongamos el PVF
Si x(0) = 0, entonces c1 = 0, y x(t) = c2 sen 4t.
Si x(π/2) = 0, obtenemos 0 = 0 independientemente
de c2. De modo que tenemos infinitas soluciones.
(b) Si
tenemos que c1 = 0, c2 = 0:
x(t) = 0, solución única.
016" =+ xx
0
2
,0)0(,016 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==+′′
π
xxxx
0
8
,0)0(,016 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==+′′
π
xxxx
(c) Si
tenemos que c1 = 0, y 1 = 0
(contradicción). No hay solución.
1
2
,0)0(,016 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==+′′
π
xxxx
7
La siguiente EDO lineal de orden n:
se dice que es no homogénea.
si g(x) = 0 la ecuación es homogénea.
Veremos que para resolver una ecuación no
homogénea tendremos que resolver también la
ecuación homogénea asociada.
0)()()()( 011
1
1 =++++ −
−
− yxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n
)()()()()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
8
• Sea Dy = dy/dx. Al símbolo D se le llama operador
diferencial. Definimos a un operador diferencial de
n-ésimo orden u operador polinominal como
• El operador diferencial L es un operador lineal:
Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente
como
L(y) = 0 y L(y) = g(x)
Operadores diferenciales
)()()()( 01
1
1 xaDxaDxaDxaL n
n
n
n ++++= −
−
))(())(()}()({ xgLxfLxgxfL βαβα +=+
9
Principio de superposición
(ecuaciones homogéneas)
Sean y1, y2, …, yk soluciones de una ecuación
diferencial homogénea de n-ésimo orden en un
intervalo I. Entonces la combinación lineal
y = c1y1(x) + c2y2(x) + …+ ckyk(x)
donde ci, i = 1, 2, …, k, son constantes arbitrarias,
también es una solución en el intervalo.
Nota:
(A) y(x) = cy1(x) también es solución si y1(x) es una solución.
(B) Una ED lineal homogénea siempre posee la solución trivial y(x) = 0.
Ejemplo: Las funciones y1 = x2, y2 = x2 ln x son ambas
soluciones en (0, ∞) de
Luego y = x2 + x2 ln x también es una solución en (0, ∞).
0423
=+′−′′′ yyxyx
10
Dependencia e independencia lineal
Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), …, fn(x) es
linealmente dependiente en un intervalo I, si existen
ciertas constantes c1, c2, …, cn no todas nulas, tales
que:
c1f1(x) + c2f2(x) + … + cn fn(x) = 0
Si el conjunto no es linealmente dependiente, entonces
es linealmente independiente.
En otras palabras, si el conjunto es linealmente
independiente, cuando:
c1f1(x) + c2f2(x) + … + cn fn(x) = 0
entonces necesariamente c1 = c2 = … = cn = 0.
11
¿Son estas funciones linealmente independientes?
c1f1(x) + c2f2(x) = 0
12
Ejemplo: Las funciones f1 = cos2 x, f2 = sin2 x,
f3 = sec2 x, f4 = tan2 x son linealmente
dependientes en el intervalo (-π/2, π/2)
porque
c1 cos2 x +c2 sin2 x +c3 sec2 x +c4 tan2 x = 0
con c1 = c2 = 1, c3 = -1, c4 = 1.
Ejemplo: Las funciones f1 = x½ + 5, f2 = x½ + 5x,
f3 = x – 1, f4 = x2 son linealmente dependientes
en el intervalo (0, ∞), porque
f2 = 1⋅ f1 + 5⋅ f3 + 0⋅ f4
13
)1()1()1(
21
21
1
21
'''
),...,(
−−−
=
n
n
nn
n
n
n
fff
fff
fff
ffW
Wronskiano
Supongamos que cada una de las funciones f1(x),
f2(x), …, fn(x) posee al menos n – 1 derivadas. El
determinante
se llama el Wronskiano de las funciones.
14
Sean y1(x), y2(x), …, yn(x) soluciones de una
ED homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I.
Este conjunto de soluciones es linealmente
independiente si y sólo si W(y1, y2, …, yn) ≠ 0 para
todo x en el intervalo.
TEOREMA Criterio para soluciones
linealmente independientes
Cualquier conjunto y1(x), y2(x), …, yn(x) de n
soluciones linealmente independientes de una ED
homogénea de n-ésimo orden se llama conjunto
fundamental de soluciones.
DEFINICIÓN
Conjunto fundamental de soluciones
15
CH3_15x
Existe un conjunto fundamental de soluciones
para una ED lineal homogénea de orden n en un
intervalo I.
TEOREMA
Existencia de un conjunto fundamental
Sea y1(x), y2(x), …, yn(x) un conjunto fundamental
de soluciones de nuestra ED lineal homogénea en
un intervalo I. Entonces la solución general es
y = c1y1(x) + c2y2(x) + … + cnyn(x)
donde ci son constantes arbitrarias.
TEOREMA
Solución general (ecuaciones homogéneas)
16
• Las funciones y1 = e3x, y2 = e-3x son
soluciones de
y” – 9y = 0 en (-∞, ∞)
Observa que
para todo x. Luego son independientes.
Así que y = c1y1 + c2y2 es la solución general.
06
33
),( 33
33
33
≠−=
−
= −
−
−
xx
xx
xx
ee
ee
eeW
Por ejemplo, la función y = 4 sinh(3x) - 5e3x
es una solución. Observemos que
= 4 sinh 3x – 5e-3x
x
xx
xxx
e
ee
eeey 3
33
333
5
2
4522 −
−
−−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
==−=
17
• Las funciones y1 = ex, y2 = e2x , y3 = e3x son
soluciones de y’’’ – 6y” + 11y’ – 6y = 0 en (-∞, ∞).
Como
para todo valor real de x.
y = c1ex + c2 e2x + c3e3x es la solución general
en (-∞, ∞).
02
94
32),,( 6
32
32
32
32
≠== x
xxx
xxx
xxx
xxx
e
eee
eee
eee
eeeW
18
y = c1y1 + c2y2 +… + ckyk + yp = yc + yp
= función complementaria + una solución particular
Solución General
(Ecuaciones no homogéneas)
Sea yp cualquier solución particular de una EDO no
homogénea en un intervalo I. Y sea y1(x), y2(x), …, yk(x)
un conjunto fundamental de soluciones de su EDO
homogénea asociada, entonces la solución general de
la ecuación en el intervalo es
y= c1y1 + c2y2 +… + ckyk + yp
donde las ci , i= 1,2,….,n son constantes arbitrarias
TEOREMA
19
• La función yp = -(11/12) – ½ x es una
solución particular de
La solución general es
xyyyy 36116 =−′+′′−′′′
xecececyyy xxx
pc
2
1
12
113
3
2
21 −−++=+=
20
Dadas k EDOs
con i = 1, 2, …, k.
Si ypi denota una solución particular de la ED
i-ésima correspondiente a gi(x), tenemos que
es una solución particular de
TEOREMA
)()()()()( 01
)1(
1
)(
xgyxayxayxayxa i
n
n
n
n =+′+++ −
−
)()()( 21
xyxyxyy kpppp +++=
)()()(
)()()()(
21
01
)1(
1
)(
xgxgxg
yxayxayxayxa
k
n
n
n
n
+++=
+′+++ −
−
Principio de superposición
(ecuaciones no homogéneas)
21
• Observemos que
yp1 = -4x2 es una solución particular de
yp2 = e2x es una solución particular de
yp3 = xex es una solución particular de
Entonces es una solución de
824164'3" 2
−+−=+− xxyyy
x
eyyy 2
24'3" =+−
xx
exeyyy −=+− 24'3"
321 ppp yyyy ++=
)()(
2
)(
2
321
228241643
xg
xx
xg
x
xg
exeexxyyy −++−+−=+′−′′
22
Reducción de orden
Sabemos que la solución general de
es y = c1y1 + c2y1.
Supongamos que y1(x) denota una solución
conocida (no trivial). Puesto que la solución y2
es linealmente independiente, supongamos que
y2(x) = u(x) y1(x). Nuestro objetivo será
encontrar una tal u(x). El método se conoce
como reducción de orden.
0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa
23
Dada y1 = ex solución de y” – y = 0, hallar la segunda
solución y2 por el método de reducción de orden.
Solución
Si y(x) = u(x)ex, entonces
que sustituyendo en la EDO:
Como ex ≠ 0, nuestra EDO se convierte en:
Ahora "reduciremos" el orden de la ED gracias al
cambio:
w = u’
que integrando por separación
de variables y deshaciendo el
cambio, nos proporciona:
ueueueyueuey xxxxx
′′+′+=′′′+=′ 2,
0)'2"(" =+=− uueyy x
uecw x
′== −2
1
2
2
12/1 cecu x
+−= −
0'2" =+ uu
02' =+ ww
24
Hemos hallado la segunda solución y2 por el
método de reducción de orden:
Recordemos que teníamos y1 = ex como
primera solución de y” – y = 0. Si tomamos c2
= 0, c1 = -2 para nuestra segunda solución,
tenemos y2 = e-x.
Observa que W(ex, e-x) ≠ 0 para todo x, de
modo que las soluciones son independientes.
xxx
ece
c
exuy 2
1
2
)( +−== −
25
Caso general
• Escribimos la EDO en la forma estándar
Sea y1(x) una solución conocida de la
EDO e y1(x) ≠ 0 para todo x en el intervalo.
• Si definimos y(x) = u(x)y1(x), tenemos
0)()( =+′+′′ yxQyxPy
uyuyyuyuyyuy ′′+′′+′′=′′′+′=′ 11111 2,
0)2(][ 111
cero
111 =′+′+′′++′+′′=
+′+′′
uPyyuyQyyPyu
QyyPy
26
empleando el cambio w = u’.
0)2( 111 =′+′+′′ uPyyuy
0)2( 111 =+′+′ wPyywy
Pdxdx
y
y
w
dw
−=
′
+
1
1
2
∫ +−= cPdxwy ||ln 2
1
∫−
= Pdx
ecwy 1
2
1
Luego
Tomando c1 = 1, c2 = 0, obtenemos
22
1
1 cdx
y
e
cu
Pdx
+= ∫
∫−
∫
∫−
= dx
xy
e
xyy
dxxP
)(
)( 2
1
)(
12
0)2( 111 =+′+ wPyy
dx
dw
y
Dividiendo
entre y1w
y multiplicando
por dx:
cPdxdx
y
y
w
dw
+−=
′
+ ∫∫∫ 1
1
2
27
La función y1= x2 es una solución de
Hallar la solución general en (0, ∞).
Solución:
La forma estándar es
Dando los pasos anteriores, demuestra que:
La solución general es:
04'3"2
=+− yxyyx
0
43
2
=+′−′′
x
y
x
y
xxdx
x
e
xy
xdx
ln2
4
/3
2
2 == ∫
∫
xxcxcy ln2
2
2
1 +=
28
• La ecuación diferencial ay´ + by = 0 se resuelve
ya sea mediante separación de variables o
mediante la ayuda de un factor integrante.
• Observa que si despejamos y´ de la ecuación
diferencial ay´ + by = 0 se obtiene y´ = ky,
donde k es una constante.
Esto nos revela la "naturaleza" de la solución: la
única función elemental no trivial cuya derivada
es una múltiplo de si misma es la función
exponencial, y(x) = emx. Lo que resta será
determinar el valor de m...
29
Ecuaciones lineales homogéneas
con coeficientes constantes
donde ai son constantes, an ≠ 0.
Ecuación o polinomio auxiliar :
Para n = 2,
Si probamos y(x) = emx,
obtenemos la ecuación auxiliar.
0012
)1(
1
)(
=+′+′′+++ −
− yayayayaya n
n
n
n
0=+′+′′ cyybya
0)( 2
=++ cbmamemx 02
=++ cbmam
30
Las dos raíces del polinomio auxiliar son:
(1) b2 – 4ac > 0: reales y distintas, m1 ≠ m2 .
(2) b2 – 4ac = 0: reales e iguales, m1 = m2 = -b/(2a).
(3) b2 – 4ac < 0: complejas conjugadas,
aacbbm 2/)4( 2
1 −+−=
aacbbm 2/)4( 2
2 −−−=
02
=++ cbmam
βαβα imim −=+= 21 ,
31
• Caso 1: Raíces reales y distintas
La solución general es
• Caso 2: Raíces reales repetidas
La solución general es
xm
ey 1
1 =
∫∫ === xmxm
xm
xm
xm
xedxedx
e
e
ey 11
1
1
1
2
2
2
xmxm
xececy 11
21 +=
xm
ececy xm 21
21 += ¿Por qué?
Para obtener la segunda solución utilizamos el
método de reducción de orden, recordando que
m1 = m2 = -b/(2a).
32
• Caso 3: Raíces complejas conjugadas
Escribimos , una
solución general es
Usando la fórmula de Euler:
βαβα imim −=+= 21 ,
xixi
eCeCy )(
2
)(
1
βαβα −+
+=
θθθ
sincos iei
+=
xixe xi
βββ
sincos += xixe xi
βββ
sincos −=−
xee xixi
βββ
cos2=+ −
xiee xixi
βββ
sin2=− −
33
Como es solución
general, tomando C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = -1 ,
tenemos dos soluciones:
Así, eαx cos βx y eαx sen βx son un conjunto
fundamental de soluciones y la solución general
es
xixi
eCeCy )(
2
)(
1
βαβα −+
+=
xeeeey xxixix
βαββα
cos2)(1 =+= −
xieeeey xxixix
βαββα
sin2)(2 =−= −
( ))sin()cos(
)sin()cos(
21
21
xcxcey
xecxecy
x
xx
ββ
ββ
α
αα
+=
+=
34
• Resolver las EDs siguientes:
(a)
(b)
(c)
03'5"2 =−− yyy
3,1/2,)3)(12(352 21
2
=−=−+=−− mmmmmm
xx
ececy 3
2
2/
1 += −
025'10" =+− yyy
5,)5(2510 21
22
==−=+− mmmmm
xx
xececy 5
2
5
1 +=
07'4" =++ yyy
imimmm 32,32,074 21
2
−−=+−==++
)33cos(,3,2 21
2
xsencxcey x
+==−= −
βα
35
Resolver
Solución:
2)0(',1)0(,017'4"4 =−==++ yyyyy
,01744 2
=++ mm im 21/21 ±−=
)2sin2cos( 21
2/
xcxcey x
+= −
,1)0( −=y ,11 −=c ,2)0('e =y 3/42 =c
36
Para la primera ecuación :
Para la segunda ecuación :
Como
Luego
,02
=+′′ yky 0,02
>=−′′ kyky
kxckxcy sincos 21 +=
kxkx
ececy −
+= 21
)sinh()cosh( 21 kxckxcy +=
)cosh()(1/21 kxeey kxkx
=+= −
)sinh()(1/22 kxeey kxkx
=−= −
Resolver las ecuaciones:
37
Ecuaciones de orden superior
Dada la EDO:
La ecuación asociada
se llama su ecuación auxiliar .
0012
)1(
1
)(
=+′+′′+++ −
− yayayayaya n
n
n
n
001
2
2
1
1 =+++++ −
− amamamama n
n
n
n
38
Resolver
Solución:
043 =−′′+′′′ yyy
2223
)2)(1()44)(1(43 +−=++−=−+ mmmmmmm
232 −== mm
xxx
xecececy 2
3
2
21
−−
++=
Resolver
Solución:
02 2
2
4
4
=++ y
dx
yd
dx
yd
0)1(12 2224
=+=++ mmm
immimm −==== 4231 ,
ixixixix
xeCxeCeCeCy −−
+++= 4321
xxcxxcxcxc sincossincos 4321 +++=
39
• Si m1 = α + iβ es una raíz compleja de
multiplicidad k, entonces m2 = α − iβ es
también una raíz compleja de multiplicidad
k. Las 2k soluciones linealmente
independientes son :
Raíces complejas repetidas
xexxexxxexe xkxxx
ββββ αααα
cos,,cos,cos,cos 12 −
xsenexxsenexxsenxexsene xkxxx
ββββ αααα 12
,,,, −
40
Coeficientes indeterminados
Si queremos resolver
Tenemos que hallar y = yc + yp. Veamos cómo
hacerlo, en este caso general, mediante el
método conocido como de coeficientes
indeterminados.
)(01
)1(
1
)(
xgyayayaya n
n
n
n =+′+++ −
−
41
Simplemente haremos una conjetura sobre la forma
de la posible solución particular a partir de la g(x) que
deberá ser un polinomio, seno o coseno, exponencial o
combinación lineal de todas ellas...
Gracias a que las derivadas de las combinaciones
lineales de estas funciones vuelven a ser ellas mismas,
parece razonable que busquemos soluciones particulares
de la misma forma...
Vamos a ilustrar la idea con algunos ejemplos
Coeficientes indeterminados
42
Resolver
Solución:
Ya sabemos cómo obtener una solución yc de la
ecuación homogénea asociada. Ahora, queremos
hallar yp.
Como el lado derecho de la ED es un polinomio,
supondremos entonces,
tras sustituir:
2A + 8Ax + 4B – 2Ax2 – 2Bx – 2C = 2x2 – 3x + 6
6322'4" 2
+−=−+ xxyyy
,2
CBxAxyp ++=
,2' BAxyp += Ayp 2"=
6242,328,22 =−+−=−=− CBABAA
9,5/2,1 −=−=−= CBA 9
2
52
−−−= xxyp
43
Hallar una solución particular de
Solución:
Probemos yp = A cos(3x) + B sen(3x)
Tras sustituir,
Luego
)3(2'" xsenyyy =+−
)3sin(2)3sin()83()3cos()38( xxBAxBA =−+−−
16/73,6/73 −== BA
)3(
73
16
)3cos(
73
6
xsenxyp −=
44
Resolver
Solución:
Probemos
Tras sustituir,
Luego
x
xexyyy 2
6543'2" +−=−−
xx
c ececy 3
21 += −
xx
p EeCxeBAxy 22
+++=
x
xx
xex
eECCxeBAAx
2
22
654
)32(3323
+−=
−+−−−−
4/3,2,23/9,4/3 −=−==−= ECBA
xx
p exexy 22
3
4
2
9
23
3
4
−−+−=
xxx
exxececy 23
21
3
4
2
9
23
3
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+−+= −
Solución homogénea
Pensando en el principio de superposición:
45
Determinar una yp de
Solución:
Probemos: yp = Aex
Tras sustituir: 0 = 8ex (conjetura incorrecta)
Probemos como alternativa: yp = Axex.
Tras sustituir: -3Aex = 8ex
Entonces: A = -8/3,
yp = (−8/3)xe2x
x
eyyy 84'5" =+−
El problema está en que la función complementaria es:
Y la suposición ya está presente en yc.
xx
c ececy 4
21 +=
46
• Si ninguna función en la supuesta yp es parte de yc
En la siguiente tabla se muestran soluciones particulares de prueba.
)(xg Forma de py
1. 1(una constante) A
2. 75 +x BAx +
3. 23 2
−x CBxAx ++2
4. 13
+− xx ECxBxAx +++ 23
5. xsen 4 xsenBxA 44cos +
6. x4cos xsenBxA 44cos +
7.
x
e5 x
Ae5
8.
x
ex 5
)29( − x
eBAx 5
)( +
9.
x
ex 52 x
eCBxAx 52
)( ++
10. xsene x
43
xsenBexAe xx
44cos 33
+
11. xsenx 45 2
xsenGFxExxCBxAx 4)(4cos)( 22
+++++
12. xxe x
4cos3 xseneECxxeBAx xx
4)(4cos)( 33
+++
47
Hallar la forma de yp de
(a)
Solución:
Tenemos que y probamos con
No hay duplicación entre los términos yp e yc
(b) y” + 4y = x cos x
Solución:
Probamos con
Tampoco hay duplicidad entre los términos yp y yc
.
xx
eexyyy −−
−=+− 7525'8" 3
x
exxg −
−= )75()( 3
x
p eECxBxAxy −
+++= )( 23
xECxxBAxxp sin)(cos)( +++=
48
Hallar la forma de yp de
Solución:
Para 3x2:
Para -5 sen 2x:
Para 7xe6x:
Ningún término de duplica un
término de yc
x
xexsenxyyy 62
7253149 +−=+′−′′
CBxAxyp ++= 2
1
xFsenxEyp 22cos2
+=
x
p eHGxy 6
)(3
+=
321 pppp yyyy ++=
49
Si alguna yp contiene términos que duplican
los términos de yc, entonces esa yp se debe
multiplicar por xn, donde n es el entero
positivo más pequeño que elimina esa
duplicación.
Así que la regla formal en este caso es que la solución
particular es una combinación lineal de las
funciones linealmente independientes que se
generan mediante diferenciaciones repetidas de
g(x).
¿Y cuál es la regla si la solución particular así propuesta
es también una solución de la ecuación homogénea
asociada?
50
Resolver
Solución:
Primero probamos: yp = Ax + B + C cos x + E sen x
Pero hay una duplicación.
Entonces probamos con
yp = Ax + B + Cx cos x + Ex sen x
Tras sustituir y simplificar,
A = 4, B = 0, C = -5, E = 0
Luego y = c1 cos x + c2 sen x + 4x – 5x cos x
Como y(π) = 0, y’(π) = 2, tenemos
y = 9π cos x + 7 sen x + 4x – 5x cos x
2)(',0)(,104" ==+=+ ππ yysenxxyy
senxcxcyc 21 cos +=
51
Resolver
Solución:
yc = c1e3x + c2xe3x
Tras sustituir y simplificar,
A = 2/3, B = 8/9, C = 2/3, E = -6
Luego
x
exyyy 32
12269'6" −+=+−
21
32
pp
y
x
y
p EeCBxAxy +++=
xxx
exxxxececy 3223
2
3
1 6
3
2
9
8
3
2
−++++=
Este término está
duplicado, aparece ya
en yc.
21
322
pp y
x
y
p eExCBxAxy +++=Debemos probar con:
52
Resolver
Solución:
m3 + m2 = 0, m = 0, 0, -1
yc = c1+ c2x + c3e-x
Probamos como solución particular:
yp = Aex cos x + Bex sen x
Tras sustituir y simplificar,
A = -1/10, B = 1/5
Luego
xeyy x
cos"=+′′′
senxexeecxccyyy xxx
pc
5
1
cos
10
1
321 +−++=+= −
53
Hallar la forma de yp de
Solución:
yc = c1+ c2x + c3x2 + c4e-x
Prueba:
Como aparece repetido en la solución homogénea,
necesitaremos multiplicar A por x3 y (Bx2e-x + Cxe-x +
Ee-x) por x. Prueba ahora:
x
exyy −
−=′′′+ 2)4(
1
21
2
pp y
xxx
y
p EeCxeeBxAy −−−
+++=
21
233
pp y
xxx
y
p ExeeCxeBxAxy −−−
+++=
54
Método del anulador
Sigue los apuntes de Jose Olarrea.
55
Método de variación de parámetros
)()()()( 012 xgyxayxayxa =+′+′′
)()()( xfyxQyxPy =+′+′′
donde P(x), Q(x) y f(x) son continuas en I.
Conocidas y1(x) e y2(x) soluciones l. i. de
la ec. homogénea asociada, probaremos
como solución particular:
)()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=
56
Sustituimos yp’, yp” en la EDO:
)()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=
ppp yxQyxPy )()( +′+′′
][][ 22221111 QyyPyuQyyPyu +′+′′++′+′′=
2211221122221111 22][ uyuyuyuyPyuuyyuuy ′′+′′+′+′+′′+′′+′′+′′+
221122112211 ][][][ uyuyuyuyPuy
dx
d
uy
dx
d
′′+′′+′+′+′+′=
)(][][ 221122112211 xfuyuyuyuyPuyuy
dx
d
=′′+′′+′+′+′+′=
0 0
57
Necesitaremos dos ecuaciones para encontrar valores
de u1 y u1. Exijamos que: y1u1’ + y2u2’ = 0, para
obtener una ecuación adicional y de paso que la EDO
se reduzca a: y1’u1’ + y2’u2’ = f(x).
De modo que nos queda el sistema de ecuaciones:
y1u1’ + y2u2’ = 0
y1’u1’ + y2’u2’ = f(x)
)(][][ 221122112211 xfuyuyuyuyPuyuy
dx
d
=′′+′′+′+′+′+′
58
Expresado en términos de determinantes
y
donde
De donde encontraremos, por integración, las
soluciones.
W
xfy
W
W
u
)(21
1 −==′
W
xfy
W
W
u
)(12
2 ==′
)(
0
,
)(
0
,
1
1
2
2
2
1
21
21
xfy
y
W
yxf
y
W
yy
yy
W
′
=
′
=
′′
=
59
Resolver x
exyyy 2
)1(4'4" +=+−
0
22
),( 4
222
22
22
≠=
+
= x
xxx
xx
xx
e
exee
xee
xeeW
x
xx
x
x
xx
x
ex
exe
e
Wxex
xeex
xe
W 4
22
2
2
4
22
2
1 )1(
)1(2
0
,)1(
2)1(
0
+=
+
=+−=
+
=
1
)1(
,
)1(
4
4
2
2
4
4
1 +=
+
−=′−−=
+
−=′ x
e
ex
uxx
e
xex
u x
x
x
x
W
xfy
W
W
u
)(21
1 −==′
W
xfy
W
W
u
)(12
2 −==′
Solución:
m2 – 4m + 4 = 0, m = 2 (cero doble)
y1 = e2x, y2 = xe2x,
Como f(x) = (x + 1)e2x, entonces:
60
Luego
u1 = (-1/3)x3 – ½ x2, u2 = ½ x2 + x
xxxx
p exexxexxexxx 222322223
2
1
6
1
2
1
2
1
3
1
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=
xxxx
pc exexxececyyy 22232
2
2
1
2
1
6
1
+++=+=
1, 2
2
1 +=′−−=′ xuxxu
Recordemos que: )()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=
y1 = e2x, y2 = xe2x
61
Resolver
Solución:
y” + 9y = (1/4) csc 3x
m2 + 9 = 0, m = 3i, -3i
y1 = cos 3x, y2 = sin 3x, f(x) = (1/4) csc(3x)
Como
xyy 3csc36"4 =+
3
3cos33sin3
3sin3cos
)3sin,3(cos =
−
=
xx
xx
xxW
x
x
xx
x
W
xx
x
W
3sin
3cos
4
1
3csc4/13sin3
03cos
,
4
1
3cos33csc4/1
3sin0
21 =
−
=−==
62
12
11
1 −==′
W
W
u
xsen
x
W
W
u
3
3cos
12
12
2 ==′
,12/11 xu −= |3|ln36/12 xsenu −=
|3|ln)3(
36
1
3cos
12
1
xsenxsenxxyp +−=
|3|ln)3(
36
1
3cos
12
1
33cos 21 xsenxsenxxxsencxcyyy pc +−+=+=
Entonces
63
Resolver
Solución:
m2 – 1 = 0, m = 1, -1
y1 = ex, y2 = e-x, f(x) = 1/x, y W(ex, e-x) = -2
Luego
x
yy
1
" =−
∫
−−
=
−
−=′
x
x
tx
dt
t
e
u
xe
u
011
2
1
,
2
)/1(
∫−=
−
−=′
x
x
tx
dt
t
e
u
xe
u
022
2
1
,
2
)/1(
∫ ∫
−
−
−=
x
x
x
x
t
x
t
x
p dt
t
e
edt
t
e
ey
0 02
1
2
1
∫ ∫
−
−
−+=+=
x
x
x
x
t
x
t
xx
pc dt
t
e
edt
t
e
eecyyy
0 02
1
2
1
1
64
Para las EDs de n-ésimo orden de la forma
tomamos yp = u1y1 + u2y2 + … + unyn, donde yi , i = 1, 2, …, n, son
la familia de soluciones independientes que forman yc. Así:
Que nos lleva a las ecuaciones solución uk
’ = Wk/W con k = 1, 2, …, n.
Donde W es el wronskiano de la y's y Wk es el determinante que se
obtiene de sustituir en W la k-ésima columna por (0, 0,..., f(x)).
Ecuaciones de orden superior
)()()()( 01
)1(
1
)(
xfyxPyxPyxPy n
n
n
=+′+++ −
−
02211 =′++′+′ nnuyuyuy
02211 =′′++′′+′ nnuyuyuy
)(
)1(
2
)1(
21
)1(
1 xfuyuyuy n
n
n
nn
=′++′+′ −−−
Suposiciones
para simplificar
la EDO:
65
Ecuación de Cauchy-Euler
Forma de ecuación de Cauchy-Euler
• Método de solución
Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m, para
resolver la ecuación homogénea asociada: Observa que:
)(011
1
1
1 xgya
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
n
nn
n
n
n =++++ −
−
−
−
k
k
k
k
dx
yd
xa
kmk
k xkmmmmxa −
+−−−= )1()2)(1(
m
k xkmmmma )1()2)(1( +−−−=
( ) 0...)1()2)(1( 01 =++++−−− m
n xamanmmmma
66
Ecuación auxiliar
Para n = 2, y = xm, tenemos
(am(m – 1) + bm + c)xm = 0, o
am2 + (b – a)m + c = 0
Caso 1: Raíces reales y distintas
21
21
mm
xcxcy +=
Resolver
Solución:
Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4
m2 – 3m – 4 = 0, m = -1, 4,
y = c1x-1 + c2x4
0422
2
2
=−− y
dx
dy
x
dx
yd
x
)(2
2
2
xgcy
dx
dy
bx
dx
yd
ax =++
Observa que
tenemos que ax2
es igual a cero en
x = 0. Para
asegurar
existencia y
unicidad,
tomaremos
I = (0, ∞).
67
• Dedujimos
Luego
Caso 2: Raíces reales repetidas
xxcxcy mm
ln11
21 +=
xxy m
ln1
2 =
Resolver
Solución:
Tenemos a = 4, b = 8, c = 1
4m2 + 4m + 1 = 0, m = -½ , -½
084 2
2
2
=++ y
dx
dy
x
dx
yd
x
xxcxcy ln2/1
2
2/1
1
−−
+=
68
• Orden superior: multiplicidad k
• Caso 3: raíces complejas conjugadas
m1 = α + iβ, m2 = α – iβ,
y = C1x(α + iβ) + C2x(α - iβ)
Como
xiβ = (eln x)iβ = eiβ ln x = cos(β ln x) + i sen(β ln x)
x-iβ = cos (β ln x) – i sen (β ln x)
Luego
y = c1xα cos(β ln x) + c2xα sen(β ln x)
= xα [c1 cos(β ln x) + c2 sen(β ln x)]
Caso 3: Raíces complejas conjugadas
12
)(ln,,)(ln,ln, 1111 −kmmmm
xxxxxxx
69
Resolver
Solución:
Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17
4m2 − 4m + 17 = 0, m = ½ + 2i
Aplicando y(1) = -1, y’(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0,
2
1
)1(',1)1(,0174 2
−=−==+′′ yyyyx
)]ln2sin()ln2cos([ 21
2/1
xcxcxy +=
)ln2cos(1/2
xxy −=
70
Resolver
Solución:
Sea y = xm,
Luego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0
m = -2, m = 2i, m = -2i
y = c1x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x)
0875 2
2
2
3
3
3
=+++ y
dx
dy
x
dx
yd
x
dx
yd
x
3
3
3
2
2
2
1
)2)(1(
,)1(,
−
−−
−−=
−==
m
mm
xmmm
dx
yd
xmm
dx
yd
mx
dx
dy
71
Resolver
Solución:
Tenemos (m – 1)(m – 3) = 0, m = 1, 3
yc = c1x + c2x3
Usando variación de parámetros,
yp = u1y1 + u2y2, donde y1 = x, y2 = x3
Escribimos la ED como
Luego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2, f(x) = 2x2ex
x
exyxyyx 42
23'3" =+−
x
exy
x
y
x
y 2
2
2
33
=+′−′′
72
Así
Hallamos
x
x
x
x
ex
ex
x
Wex
xex
x
W
x
x
xx
W
3
22
5
22
3
1
3
2
3
2
21
0
,2
32
0
,2
31
==−==
==
,
2
2 2
3
5
1
x
x
ex
x
ex
u −=−=′ x
x
e
x
ex
u ==′ 3
5
2
2
2
,222
1
xxx
exeexu −+−=
x
eu =2
xx
xxxx
p
xeex
xexexeexyuyuy
22
)22(
2
32
2211
−=
+−+−=+=
xx
pc xeexxcxcyyy 22 23
21 −++=+=
73
Una ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir
como un lineal de coeficientes constantes haciendo el
cambio de variable: x = et. Por ejemplo: Resuelve así:
xyyxyx ln2
=+′−′′
xt
ex t
ln=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
==
dt
dy
dt
yd
xdt
dy
xdt
d
xdt
dy
x
dx
dy
dt
d
xdt
dy
xdt
dy
dx
d
xdt
dy
xdt
dy
xdx
d
dx
yd
dt
dy
xdx
dt
dt
dy
dx
dy
2
2
22
222
2
1111
11111
1
74
xyyxyx ln2
=+′−′′
ty
dt
dy
dt
yd
=+− 22
2
ttececy tt
+++= 221
xxxcxcy ln2ln21 +++=
75
Unos ejemplos de ecuaciones no
lineales
Resolver
Solución:
Esta ecuación no lineal carece de término en y.
Sea u(x) = y’, entonces du/dx = y”,
(Se escribe en esta forma solo por conveniencia para luego
integrar)
Como u-1 = 1/y’,
Entonces,
2
)'(2" yxy =
2
2xu
dx
du
= dxx
u
du
22
= 2
1
21
cxu +=− −
2
1
2
1
cxdx
dy
+
−=
2
1
1
1
2
1
2
tan
1
c
c
x
ccx
dx
y +−=
+
−= −
∫
76
Resolver
Solución:
Esta ecuación no lineal carece de término en x.
Sea u(x) = y’, entonces
y” = du/dx = (du/dy)(dy/dx) = u du/dy
o
ln|u| = ln|y| + c1, u = c2y (donde )
Como u = dy/dx = c2y, dy/y = c2 dx
ln|y| = c2x + c3,
2
)'(" yyy =
2
u
dy
du
uy =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
y
dy
u
du
=
xc
ecy 2
4=
1
2
c
ec ±=
77
• Supongamos que existe solución para:
Si además suponemos que y(x) admite
desarrollo en serie de Taylor centrado en 0:
Como y(0) = -1, y’(0) = 1, de la ED original:
y”(0) = 0 + y(0) – y(0)2 = −2.
Derivando sucesivamente la ED original:
1)0(,1)0(,2
=′−=−+=′′ yyyyxy
++
′′′
+
′′
+
′
+= 4
)4(
32
!4
)0(
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()( x
y
x
y
x
y
x
y
yxy
yyyyyx
dx
d
xy ′−′+=−+=′′′ 21)()( 2
78
... podemos utilizar el
mismo método para
obtener y(3)(0) = 4, y(4)(0)
= −8, etc.
Y encontrar una
aproximación en Taylor
de la solución:
2)4(
)(22)21()( yyyyyyy
dx
d
xy ′−′′−′′=′−′+=
+−+−+−= 432
3
1
3
2
1)( xxxxxy
79
Una última observación: La ED de este
ejemplo:
es equivalente (mediante cambio de
variable) al sistema de ecuaciones
diferenciales:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−=
−+=
=
1)0(,1)0(
2
uy
yyx
dx
du
u
dx
dy
1)0(,1)0(,2
=′−=−+=′′ yyyyxy

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Examenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinarias
Examenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinariasExamenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinarias
Examenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinarias
Rosand Roque Ch.
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Kike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Kike Prieto
 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES YECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
Samir Velasquez Quispe
 
Ecuaciones diferenciales de cauchy euler
Ecuaciones diferenciales de cauchy eulerEcuaciones diferenciales de cauchy euler
Ecuaciones diferenciales de cauchy euler
Joonser
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Kike Prieto
 
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1
Bertha Vega
 

La actualidad más candente (20)

Ecuaciones diferenciales parciales E.D.P.
Ecuaciones diferenciales parciales E.D.P.Ecuaciones diferenciales parciales E.D.P.
Ecuaciones diferenciales parciales E.D.P.
 
Examenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinarias
Examenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinariasExamenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinarias
Examenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinarias
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
 
Apuntes transformaciones lineales - UTFSM
Apuntes transformaciones lineales - UTFSMApuntes transformaciones lineales - UTFSM
Apuntes transformaciones lineales - UTFSM
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
 
Operador anulador
Operador anuladorOperador anulador
Operador anulador
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
 
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)Tabla de integrales (integrales trigonometricas)
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)
 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES YECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
 
Ecuaciones diferenciales de cauchy euler
Ecuaciones diferenciales de cauchy eulerEcuaciones diferenciales de cauchy euler
Ecuaciones diferenciales de cauchy euler
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer OrdenEcuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
 
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1
 
Ejercicios sobre Transformada de Laplace
Ejercicios sobre Transformada de LaplaceEjercicios sobre Transformada de Laplace
Ejercicios sobre Transformada de Laplace
 
Trayectorias ortogonales monografia
Trayectorias ortogonales monografiaTrayectorias ortogonales monografia
Trayectorias ortogonales monografia
 
Regla de la cadena
Regla de la cadenaRegla de la cadena
Regla de la cadena
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden, coeficientes homogéneos
Ecuaciones diferenciales de primer orden, coeficientes homogéneosEcuaciones diferenciales de primer orden, coeficientes homogéneos
Ecuaciones diferenciales de primer orden, coeficientes homogéneos
 
Ecparciales
EcparcialesEcparciales
Ecparciales
 
Que es el wronskiano
Que es el wronskianoQue es el wronskiano
Que es el wronskiano
 
Ecucación de bessel
Ecucación de besselEcucación de bessel
Ecucación de bessel
 

Similar a Ecuaciones diferenciales orden superior

3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
Jesus Burgos Matos
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Kike Prieto
 
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales MA-IV ccesa007
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales  MA-IV  ccesa007Introducción a las Ecuaciones Diferenciales  MA-IV  ccesa007
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales MA-IV ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Kike Prieto
 
Reduccion de orden
Reduccion de ordenReduccion de orden
Reduccion de orden
jackytas7
 
Edo universidad de sucre-2014
Edo universidad de sucre-2014Edo universidad de sucre-2014
Edo universidad de sucre-2014
Yeilys Leyva
 

Similar a Ecuaciones diferenciales orden superior (20)

3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
 
T6
T6T6
T6
 
Ecuaciones Diferenciales.ppt
Ecuaciones Diferenciales.pptEcuaciones Diferenciales.ppt
Ecuaciones Diferenciales.ppt
 
Resumen 1er parcial ed
Resumen 1er parcial edResumen 1er parcial ed
Resumen 1er parcial ed
 
Diapos de mate jessica moran
Diapos de mate jessica moranDiapos de mate jessica moran
Diapos de mate jessica moran
 
Ps1
Ps1Ps1
Ps1
 
Tema 3 (parte ii)
Tema 3 (parte ii)Tema 3 (parte ii)
Tema 3 (parte ii)
 
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales MA-IV ccesa007
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales  MA-IV  ccesa007Introducción a las Ecuaciones Diferenciales  MA-IV  ccesa007
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales MA-IV ccesa007
 
Concepto ecuacion dif...
Concepto  ecuacion dif...Concepto  ecuacion dif...
Concepto ecuacion dif...
 
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
 
Ecuaciones de-1er-orden
Ecuaciones de-1er-ordenEcuaciones de-1er-orden
Ecuaciones de-1er-orden
 
Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden
Ecuaciones Diferenciales de 1er OrdenEcuaciones Diferenciales de 1er Orden
Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
 
Euler
EulerEuler
Euler
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO ccesa007
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO  ccesa007Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO  ccesa007
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO ccesa007
 
Reduccion de orden
Reduccion de ordenReduccion de orden
Reduccion de orden
 
Edo universidad de sucre-2014
Edo universidad de sucre-2014Edo universidad de sucre-2014
Edo universidad de sucre-2014
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 

Último

TIPOS DE BASTIDORES Y CARROCERIA EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZ
TIPOS DE BASTIDORES Y CARROCERIA EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZTIPOS DE BASTIDORES Y CARROCERIA EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZ
TIPOS DE BASTIDORES Y CARROCERIA EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZ
varichard
 
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
FRANCISCOJUSTOSIERRA
 

Último (20)

Sesión de Clase A dde sistemas de riego y otras obras
Sesión de Clase A dde sistemas de riego y otras obrasSesión de Clase A dde sistemas de riego y otras obras
Sesión de Clase A dde sistemas de riego y otras obras
 
TIPOS DE BASTIDORES Y CARROCERIA EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZ
TIPOS DE BASTIDORES Y CARROCERIA EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZTIPOS DE BASTIDORES Y CARROCERIA EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZ
TIPOS DE BASTIDORES Y CARROCERIA EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZ
 
Ciclo de Refrigeracion aplicado a ToniCorp.pptx
Ciclo de Refrigeracion aplicado a ToniCorp.pptxCiclo de Refrigeracion aplicado a ToniCorp.pptx
Ciclo de Refrigeracion aplicado a ToniCorp.pptx
 
Cuestionario 20222222222222222222222224.pdf
Cuestionario 20222222222222222222222224.pdfCuestionario 20222222222222222222222224.pdf
Cuestionario 20222222222222222222222224.pdf
 
herrramientas de resistividad para registro de pozos.pptx
herrramientas de resistividad para registro de pozos.pptxherrramientas de resistividad para registro de pozos.pptx
herrramientas de resistividad para registro de pozos.pptx
 
DIAGRAMAS PID automatizacion y control.ppt
DIAGRAMAS PID automatizacion y control.pptDIAGRAMAS PID automatizacion y control.ppt
DIAGRAMAS PID automatizacion y control.ppt
 
PRACTICAS_DE_AUTOMATIZACION_industrial (1).pdf
PRACTICAS_DE_AUTOMATIZACION_industrial (1).pdfPRACTICAS_DE_AUTOMATIZACION_industrial (1).pdf
PRACTICAS_DE_AUTOMATIZACION_industrial (1).pdf
 
subestaciones electricas , elementos y caracteristicas
subestaciones electricas , elementos y caracteristicassubestaciones electricas , elementos y caracteristicas
subestaciones electricas , elementos y caracteristicas
 
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
TR-514 (3) - BIS copia seguridad DOS COLUMNAS 2024 20.5 PREFERIDO.wbk.wbk SEG...
 
TEST ESPACIAL CONTEO DE CUBOS y TEST DE MOSAICOS
TEST ESPACIAL CONTEO DE CUBOS y TEST DE MOSAICOSTEST ESPACIAL CONTEO DE CUBOS y TEST DE MOSAICOS
TEST ESPACIAL CONTEO DE CUBOS y TEST DE MOSAICOS
 
CONCEPTOS BASICOS DE ROBOTICA, CLASES DE ROBOTS
CONCEPTOS BASICOS DE ROBOTICA, CLASES DE ROBOTSCONCEPTOS BASICOS DE ROBOTICA, CLASES DE ROBOTS
CONCEPTOS BASICOS DE ROBOTICA, CLASES DE ROBOTS
 
Convocatoria de Becas Caja de Ingenieros_UOC 2024-25
Convocatoria de Becas Caja de Ingenieros_UOC 2024-25Convocatoria de Becas Caja de Ingenieros_UOC 2024-25
Convocatoria de Becas Caja de Ingenieros_UOC 2024-25
 
subestaciones electricas, distribucion de energia
subestaciones electricas, distribucion de energiasubestaciones electricas, distribucion de energia
subestaciones electricas, distribucion de energia
 
ESPECIFICACIONES TECNICAS MURO DE CONTENCION.docx
ESPECIFICACIONES TECNICAS MURO DE CONTENCION.docxESPECIFICACIONES TECNICAS MURO DE CONTENCION.docx
ESPECIFICACIONES TECNICAS MURO DE CONTENCION.docx
 
expo unidad5 metodologia de los sistemas blandos .pptx
expo unidad5 metodologia de los sistemas blandos .pptxexpo unidad5 metodologia de los sistemas blandos .pptx
expo unidad5 metodologia de los sistemas blandos .pptx
 
Trabajo de cristalografia. año 2024 mes de mayo
Trabajo de cristalografia. año 2024 mes de mayoTrabajo de cristalografia. año 2024 mes de mayo
Trabajo de cristalografia. año 2024 mes de mayo
 
50870516-hidroponia. descargado en novppt
50870516-hidroponia. descargado en novppt50870516-hidroponia. descargado en novppt
50870516-hidroponia. descargado en novppt
 
REGLA DE PROBABILIDADES Y REGLA DE BAYES.pptx
REGLA DE PROBABILIDADES  Y REGLA DE BAYES.pptxREGLA DE PROBABILIDADES  Y REGLA DE BAYES.pptx
REGLA DE PROBABILIDADES Y REGLA DE BAYES.pptx
 
Diseño digital - M. Morris Mano - 3ed.pdf
Diseño digital - M. Morris Mano - 3ed.pdfDiseño digital - M. Morris Mano - 3ed.pdf
Diseño digital - M. Morris Mano - 3ed.pdf
 
Diseno de Estructuras de Acero - 5ta Ed - McCormac.pdf
Diseno de Estructuras de Acero - 5ta Ed - McCormac.pdfDiseno de Estructuras de Acero - 5ta Ed - McCormac.pdf
Diseno de Estructuras de Acero - 5ta Ed - McCormac.pdf
 

Ecuaciones diferenciales orden superior

  • 1. 1 3. Ecuaciones diferenciales de orden superior (© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)
  • 2. 2 Ecuaciones lineales: teoría básica Un problema de valor inicial de n-ésimo orden consiste en resolver la EDO lineal: sujeta a las n condiciones iniciales: Resolverlo consiste en encontrar una función y(x) en definida en un intervalo I que contiene a x0, donde se cumplen la ecuación y las condiciones iniciales. )()()()()( 011 1 1 xgyxa dx dy xa dx d xa dx yd xa n n nn n n =++++ − − − 10 )1( 1000 )(,,)(,)( − − ==′= n n yxyyxyyxy
  • 3. 3 Existencia de una solución única (Condición suficiente) Sea an(x), an-1(x), …, a0(x), y g(x) continuas en I, con an(x) ≠ 0 para todo x de I. Si x = x0 es cualquier punto de este intervalo, entonces existe una solución y(x) del problema anterior en I y es única. •Ejemplo: posee la solución trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la única solución en cualquier intervalo que contenga a x = 1. 0)1(,0)1(,0)1(,0753 =′′=′==+′+′′+′′′ yyyyyyy
  • 4. 4 • Ejemplo: Comprueba que y = 3e2x + e–2x – 3x es la única solución de La ED es lineal, los coeficientes y g(x) son todos funciones continuas, y a2(x) = 1 es distinto de 0 en cualquier intervalo que contenga x = 0. La solución propuesta cumple la EDO y es única en I. 1)0(',4)0(,124" ===− yyxyy Comprueba que y = cx2 + x + 3 es solución del PVI: en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones. Observa que el coeficiente de la derivada a2(x) = x2 más alta se hace cero en x = 0 y ese punto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las condiciones iniciales. 1)0(,3)0(,6222 =′==+′−′′ yyyyyx
  • 5. 5 Problemas de valores en la frontera • Resolver: sujeta a : se llama problema de valor en la frontera (PVF) y a las restricciones se conocen como condiciones de contorno o condiciones en la frontera. Nota: Las condiciones de contorno pueden ser también sobre las derivadas. )()()()( 012 2 2 xgyxa dx dy xa dx yd xa =++ 10 )(,)( ybyyay ==
  • 6. 6 Vimos que x = c1 cos 4t + c2 sin 4t era solución de (a) Supongamos el PVF Si x(0) = 0, entonces c1 = 0, y x(t) = c2 sen 4t. Si x(π/2) = 0, obtenemos 0 = 0 independientemente de c2. De modo que tenemos infinitas soluciones. (b) Si tenemos que c1 = 0, c2 = 0: x(t) = 0, solución única. 016" =+ xx 0 2 ,0)0(,016 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛==+′′ π xxxx 0 8 ,0)0(,016 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛==+′′ π xxxx (c) Si tenemos que c1 = 0, y 1 = 0 (contradicción). No hay solución. 1 2 ,0)0(,016 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛==+′′ π xxxx
  • 7. 7 La siguiente EDO lineal de orden n: se dice que es no homogénea. si g(x) = 0 la ecuación es homogénea. Veremos que para resolver una ecuación no homogénea tendremos que resolver también la ecuación homogénea asociada. 0)()()()( 011 1 1 =++++ − − − yxa dx dy xa dx yd xa dx yd xa n n nn n n )()()()()( 011 1 1 xgyxa dx dy xa dx yd xa dx yd xa n n nn n n =++++ − − −
  • 8. 8 • Sea Dy = dy/dx. Al símbolo D se le llama operador diferencial. Definimos a un operador diferencial de n-ésimo orden u operador polinominal como • El operador diferencial L es un operador lineal: Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente como L(y) = 0 y L(y) = g(x) Operadores diferenciales )()()()( 01 1 1 xaDxaDxaDxaL n n n n ++++= − − ))(())(()}()({ xgLxfLxgxfL βαβα +=+
  • 9. 9 Principio de superposición (ecuaciones homogéneas) Sean y1, y2, …, yk soluciones de una ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I. Entonces la combinación lineal y = c1y1(x) + c2y2(x) + …+ ckyk(x) donde ci, i = 1, 2, …, k, son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo. Nota: (A) y(x) = cy1(x) también es solución si y1(x) es una solución. (B) Una ED lineal homogénea siempre posee la solución trivial y(x) = 0. Ejemplo: Las funciones y1 = x2, y2 = x2 ln x son ambas soluciones en (0, ∞) de Luego y = x2 + x2 ln x también es una solución en (0, ∞). 0423 =+′−′′′ yyxyx
  • 10. 10 Dependencia e independencia lineal Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), …, fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I, si existen ciertas constantes c1, c2, …, cn no todas nulas, tales que: c1f1(x) + c2f2(x) + … + cn fn(x) = 0 Si el conjunto no es linealmente dependiente, entonces es linealmente independiente. En otras palabras, si el conjunto es linealmente independiente, cuando: c1f1(x) + c2f2(x) + … + cn fn(x) = 0 entonces necesariamente c1 = c2 = … = cn = 0.
  • 11. 11 ¿Son estas funciones linealmente independientes? c1f1(x) + c2f2(x) = 0
  • 12. 12 Ejemplo: Las funciones f1 = cos2 x, f2 = sin2 x, f3 = sec2 x, f4 = tan2 x son linealmente dependientes en el intervalo (-π/2, π/2) porque c1 cos2 x +c2 sin2 x +c3 sec2 x +c4 tan2 x = 0 con c1 = c2 = 1, c3 = -1, c4 = 1. Ejemplo: Las funciones f1 = x½ + 5, f2 = x½ + 5x, f3 = x – 1, f4 = x2 son linealmente dependientes en el intervalo (0, ∞), porque f2 = 1⋅ f1 + 5⋅ f3 + 0⋅ f4
  • 13. 13 )1()1()1( 21 21 1 21 ''' ),...,( −−− = n n nn n n n fff fff fff ffW Wronskiano Supongamos que cada una de las funciones f1(x), f2(x), …, fn(x) posee al menos n – 1 derivadas. El determinante se llama el Wronskiano de las funciones.
  • 14. 14 Sean y1(x), y2(x), …, yn(x) soluciones de una ED homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I. Este conjunto de soluciones es linealmente independiente si y sólo si W(y1, y2, …, yn) ≠ 0 para todo x en el intervalo. TEOREMA Criterio para soluciones linealmente independientes Cualquier conjunto y1(x), y2(x), …, yn(x) de n soluciones linealmente independientes de una ED homogénea de n-ésimo orden se llama conjunto fundamental de soluciones. DEFINICIÓN Conjunto fundamental de soluciones
  • 15. 15 CH3_15x Existe un conjunto fundamental de soluciones para una ED lineal homogénea de orden n en un intervalo I. TEOREMA Existencia de un conjunto fundamental Sea y1(x), y2(x), …, yn(x) un conjunto fundamental de soluciones de nuestra ED lineal homogénea en un intervalo I. Entonces la solución general es y = c1y1(x) + c2y2(x) + … + cnyn(x) donde ci son constantes arbitrarias. TEOREMA Solución general (ecuaciones homogéneas)
  • 16. 16 • Las funciones y1 = e3x, y2 = e-3x son soluciones de y” – 9y = 0 en (-∞, ∞) Observa que para todo x. Luego son independientes. Así que y = c1y1 + c2y2 es la solución general. 06 33 ),( 33 33 33 ≠−= − = − − − xx xx xx ee ee eeW Por ejemplo, la función y = 4 sinh(3x) - 5e3x es una solución. Observemos que = 4 sinh 3x – 5e-3x x xx xxx e ee eeey 3 33 333 5 2 4522 − − −− −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ==−=
  • 17. 17 • Las funciones y1 = ex, y2 = e2x , y3 = e3x son soluciones de y’’’ – 6y” + 11y’ – 6y = 0 en (-∞, ∞). Como para todo valor real de x. y = c1ex + c2 e2x + c3e3x es la solución general en (-∞, ∞). 02 94 32),,( 6 32 32 32 32 ≠== x xxx xxx xxx xxx e eee eee eee eeeW
  • 18. 18 y = c1y1 + c2y2 +… + ckyk + yp = yc + yp = función complementaria + una solución particular Solución General (Ecuaciones no homogéneas) Sea yp cualquier solución particular de una EDO no homogénea en un intervalo I. Y sea y1(x), y2(x), …, yk(x) un conjunto fundamental de soluciones de su EDO homogénea asociada, entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es y= c1y1 + c2y2 +… + ckyk + yp donde las ci , i= 1,2,….,n son constantes arbitrarias TEOREMA
  • 19. 19 • La función yp = -(11/12) – ½ x es una solución particular de La solución general es xyyyy 36116 =−′+′′−′′′ xecececyyy xxx pc 2 1 12 113 3 2 21 −−++=+=
  • 20. 20 Dadas k EDOs con i = 1, 2, …, k. Si ypi denota una solución particular de la ED i-ésima correspondiente a gi(x), tenemos que es una solución particular de TEOREMA )()()()()( 01 )1( 1 )( xgyxayxayxayxa i n n n n =+′+++ − − )()()( 21 xyxyxyy kpppp +++= )()()( )()()()( 21 01 )1( 1 )( xgxgxg yxayxayxayxa k n n n n +++= +′+++ − − Principio de superposición (ecuaciones no homogéneas)
  • 21. 21 • Observemos que yp1 = -4x2 es una solución particular de yp2 = e2x es una solución particular de yp3 = xex es una solución particular de Entonces es una solución de 824164'3" 2 −+−=+− xxyyy x eyyy 2 24'3" =+− xx exeyyy −=+− 24'3" 321 ppp yyyy ++= )()( 2 )( 2 321 228241643 xg xx xg x xg exeexxyyy −++−+−=+′−′′
  • 22. 22 Reducción de orden Sabemos que la solución general de es y = c1y1 + c2y1. Supongamos que y1(x) denota una solución conocida (no trivial). Puesto que la solución y2 es linealmente independiente, supongamos que y2(x) = u(x) y1(x). Nuestro objetivo será encontrar una tal u(x). El método se conoce como reducción de orden. 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa
  • 23. 23 Dada y1 = ex solución de y” – y = 0, hallar la segunda solución y2 por el método de reducción de orden. Solución Si y(x) = u(x)ex, entonces que sustituyendo en la EDO: Como ex ≠ 0, nuestra EDO se convierte en: Ahora "reduciremos" el orden de la ED gracias al cambio: w = u’ que integrando por separación de variables y deshaciendo el cambio, nos proporciona: ueueueyueuey xxxxx ′′+′+=′′′+=′ 2, 0)'2"(" =+=− uueyy x uecw x ′== −2 1 2 2 12/1 cecu x +−= − 0'2" =+ uu 02' =+ ww
  • 24. 24 Hemos hallado la segunda solución y2 por el método de reducción de orden: Recordemos que teníamos y1 = ex como primera solución de y” – y = 0. Si tomamos c2 = 0, c1 = -2 para nuestra segunda solución, tenemos y2 = e-x. Observa que W(ex, e-x) ≠ 0 para todo x, de modo que las soluciones son independientes. xxx ece c exuy 2 1 2 )( +−== −
  • 25. 25 Caso general • Escribimos la EDO en la forma estándar Sea y1(x) una solución conocida de la EDO e y1(x) ≠ 0 para todo x en el intervalo. • Si definimos y(x) = u(x)y1(x), tenemos 0)()( =+′+′′ yxQyxPy uyuyyuyuyyuy ′′+′′+′′=′′′+′=′ 11111 2, 0)2(][ 111 cero 111 =′+′+′′++′+′′= +′+′′ uPyyuyQyyPyu QyyPy
  • 26. 26 empleando el cambio w = u’. 0)2( 111 =′+′+′′ uPyyuy 0)2( 111 =+′+′ wPyywy Pdxdx y y w dw −= ′ + 1 1 2 ∫ +−= cPdxwy ||ln 2 1 ∫− = Pdx ecwy 1 2 1 Luego Tomando c1 = 1, c2 = 0, obtenemos 22 1 1 cdx y e cu Pdx += ∫ ∫− ∫ ∫− = dx xy e xyy dxxP )( )( 2 1 )( 12 0)2( 111 =+′+ wPyy dx dw y Dividiendo entre y1w y multiplicando por dx: cPdxdx y y w dw +−= ′ + ∫∫∫ 1 1 2
  • 27. 27 La función y1= x2 es una solución de Hallar la solución general en (0, ∞). Solución: La forma estándar es Dando los pasos anteriores, demuestra que: La solución general es: 04'3"2 =+− yxyyx 0 43 2 =+′−′′ x y x y xxdx x e xy xdx ln2 4 /3 2 2 == ∫ ∫ xxcxcy ln2 2 2 1 +=
  • 28. 28 • La ecuación diferencial ay´ + by = 0 se resuelve ya sea mediante separación de variables o mediante la ayuda de un factor integrante. • Observa que si despejamos y´ de la ecuación diferencial ay´ + by = 0 se obtiene y´ = ky, donde k es una constante. Esto nos revela la "naturaleza" de la solución: la única función elemental no trivial cuya derivada es una múltiplo de si misma es la función exponencial, y(x) = emx. Lo que resta será determinar el valor de m...
  • 29. 29 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes donde ai son constantes, an ≠ 0. Ecuación o polinomio auxiliar : Para n = 2, Si probamos y(x) = emx, obtenemos la ecuación auxiliar. 0012 )1( 1 )( =+′+′′+++ − − yayayayaya n n n n 0=+′+′′ cyybya 0)( 2 =++ cbmamemx 02 =++ cbmam
  • 30. 30 Las dos raíces del polinomio auxiliar son: (1) b2 – 4ac > 0: reales y distintas, m1 ≠ m2 . (2) b2 – 4ac = 0: reales e iguales, m1 = m2 = -b/(2a). (3) b2 – 4ac < 0: complejas conjugadas, aacbbm 2/)4( 2 1 −+−= aacbbm 2/)4( 2 2 −−−= 02 =++ cbmam βαβα imim −=+= 21 ,
  • 31. 31 • Caso 1: Raíces reales y distintas La solución general es • Caso 2: Raíces reales repetidas La solución general es xm ey 1 1 = ∫∫ === xmxm xm xm xm xedxedx e e ey 11 1 1 1 2 2 2 xmxm xececy 11 21 += xm ececy xm 21 21 += ¿Por qué? Para obtener la segunda solución utilizamos el método de reducción de orden, recordando que m1 = m2 = -b/(2a).
  • 32. 32 • Caso 3: Raíces complejas conjugadas Escribimos , una solución general es Usando la fórmula de Euler: βαβα imim −=+= 21 , xixi eCeCy )( 2 )( 1 βαβα −+ += θθθ sincos iei += xixe xi βββ sincos += xixe xi βββ sincos −=− xee xixi βββ cos2=+ − xiee xixi βββ sin2=− −
  • 33. 33 Como es solución general, tomando C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = -1 , tenemos dos soluciones: Así, eαx cos βx y eαx sen βx son un conjunto fundamental de soluciones y la solución general es xixi eCeCy )( 2 )( 1 βαβα −+ += xeeeey xxixix βαββα cos2)(1 =+= − xieeeey xxixix βαββα sin2)(2 =−= − ( ))sin()cos( )sin()cos( 21 21 xcxcey xecxecy x xx ββ ββ α αα += +=
  • 34. 34 • Resolver las EDs siguientes: (a) (b) (c) 03'5"2 =−− yyy 3,1/2,)3)(12(352 21 2 =−=−+=−− mmmmmm xx ececy 3 2 2/ 1 += − 025'10" =+− yyy 5,)5(2510 21 22 ==−=+− mmmmm xx xececy 5 2 5 1 += 07'4" =++ yyy imimmm 32,32,074 21 2 −−=+−==++ )33cos(,3,2 21 2 xsencxcey x +==−= − βα
  • 35. 35 Resolver Solución: 2)0(',1)0(,017'4"4 =−==++ yyyyy ,01744 2 =++ mm im 21/21 ±−= )2sin2cos( 21 2/ xcxcey x += − ,1)0( −=y ,11 −=c ,2)0('e =y 3/42 =c
  • 36. 36 Para la primera ecuación : Para la segunda ecuación : Como Luego ,02 =+′′ yky 0,02 >=−′′ kyky kxckxcy sincos 21 += kxkx ececy − += 21 )sinh()cosh( 21 kxckxcy += )cosh()(1/21 kxeey kxkx =+= − )sinh()(1/22 kxeey kxkx =−= − Resolver las ecuaciones:
  • 37. 37 Ecuaciones de orden superior Dada la EDO: La ecuación asociada se llama su ecuación auxiliar . 0012 )1( 1 )( =+′+′′+++ − − yayayayaya n n n n 001 2 2 1 1 =+++++ − − amamamama n n n n
  • 38. 38 Resolver Solución: 043 =−′′+′′′ yyy 2223 )2)(1()44)(1(43 +−=++−=−+ mmmmmmm 232 −== mm xxx xecececy 2 3 2 21 −− ++= Resolver Solución: 02 2 2 4 4 =++ y dx yd dx yd 0)1(12 2224 =+=++ mmm immimm −==== 4231 , ixixixix xeCxeCeCeCy −− +++= 4321 xxcxxcxcxc sincossincos 4321 +++=
  • 39. 39 • Si m1 = α + iβ es una raíz compleja de multiplicidad k, entonces m2 = α − iβ es también una raíz compleja de multiplicidad k. Las 2k soluciones linealmente independientes son : Raíces complejas repetidas xexxexxxexe xkxxx ββββ αααα cos,,cos,cos,cos 12 − xsenexxsenexxsenxexsene xkxxx ββββ αααα 12 ,,,, −
  • 40. 40 Coeficientes indeterminados Si queremos resolver Tenemos que hallar y = yc + yp. Veamos cómo hacerlo, en este caso general, mediante el método conocido como de coeficientes indeterminados. )(01 )1( 1 )( xgyayayaya n n n n =+′+++ − −
  • 41. 41 Simplemente haremos una conjetura sobre la forma de la posible solución particular a partir de la g(x) que deberá ser un polinomio, seno o coseno, exponencial o combinación lineal de todas ellas... Gracias a que las derivadas de las combinaciones lineales de estas funciones vuelven a ser ellas mismas, parece razonable que busquemos soluciones particulares de la misma forma... Vamos a ilustrar la idea con algunos ejemplos Coeficientes indeterminados
  • 42. 42 Resolver Solución: Ya sabemos cómo obtener una solución yc de la ecuación homogénea asociada. Ahora, queremos hallar yp. Como el lado derecho de la ED es un polinomio, supondremos entonces, tras sustituir: 2A + 8Ax + 4B – 2Ax2 – 2Bx – 2C = 2x2 – 3x + 6 6322'4" 2 +−=−+ xxyyy ,2 CBxAxyp ++= ,2' BAxyp += Ayp 2"= 6242,328,22 =−+−=−=− CBABAA 9,5/2,1 −=−=−= CBA 9 2 52 −−−= xxyp
  • 43. 43 Hallar una solución particular de Solución: Probemos yp = A cos(3x) + B sen(3x) Tras sustituir, Luego )3(2'" xsenyyy =+− )3sin(2)3sin()83()3cos()38( xxBAxBA =−+−− 16/73,6/73 −== BA )3( 73 16 )3cos( 73 6 xsenxyp −=
  • 44. 44 Resolver Solución: Probemos Tras sustituir, Luego x xexyyy 2 6543'2" +−=−− xx c ececy 3 21 += − xx p EeCxeBAxy 22 +++= x xx xex eECCxeBAAx 2 22 654 )32(3323 +−= −+−−−− 4/3,2,23/9,4/3 −=−==−= ECBA xx p exexy 22 3 4 2 9 23 3 4 −−+−= xxx exxececy 23 21 3 4 2 9 23 3 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+−+= − Solución homogénea Pensando en el principio de superposición:
  • 45. 45 Determinar una yp de Solución: Probemos: yp = Aex Tras sustituir: 0 = 8ex (conjetura incorrecta) Probemos como alternativa: yp = Axex. Tras sustituir: -3Aex = 8ex Entonces: A = -8/3, yp = (−8/3)xe2x x eyyy 84'5" =+− El problema está en que la función complementaria es: Y la suposición ya está presente en yc. xx c ececy 4 21 +=
  • 46. 46 • Si ninguna función en la supuesta yp es parte de yc En la siguiente tabla se muestran soluciones particulares de prueba. )(xg Forma de py 1. 1(una constante) A 2. 75 +x BAx + 3. 23 2 −x CBxAx ++2 4. 13 +− xx ECxBxAx +++ 23 5. xsen 4 xsenBxA 44cos + 6. x4cos xsenBxA 44cos + 7. x e5 x Ae5 8. x ex 5 )29( − x eBAx 5 )( + 9. x ex 52 x eCBxAx 52 )( ++ 10. xsene x 43 xsenBexAe xx 44cos 33 + 11. xsenx 45 2 xsenGFxExxCBxAx 4)(4cos)( 22 +++++ 12. xxe x 4cos3 xseneECxxeBAx xx 4)(4cos)( 33 +++
  • 47. 47 Hallar la forma de yp de (a) Solución: Tenemos que y probamos con No hay duplicación entre los términos yp e yc (b) y” + 4y = x cos x Solución: Probamos con Tampoco hay duplicidad entre los términos yp y yc . xx eexyyy −− −=+− 7525'8" 3 x exxg − −= )75()( 3 x p eECxBxAxy − +++= )( 23 xECxxBAxxp sin)(cos)( +++=
  • 48. 48 Hallar la forma de yp de Solución: Para 3x2: Para -5 sen 2x: Para 7xe6x: Ningún término de duplica un término de yc x xexsenxyyy 62 7253149 +−=+′−′′ CBxAxyp ++= 2 1 xFsenxEyp 22cos2 += x p eHGxy 6 )(3 += 321 pppp yyyy ++=
  • 49. 49 Si alguna yp contiene términos que duplican los términos de yc, entonces esa yp se debe multiplicar por xn, donde n es el entero positivo más pequeño que elimina esa duplicación. Así que la regla formal en este caso es que la solución particular es una combinación lineal de las funciones linealmente independientes que se generan mediante diferenciaciones repetidas de g(x). ¿Y cuál es la regla si la solución particular así propuesta es también una solución de la ecuación homogénea asociada?
  • 50. 50 Resolver Solución: Primero probamos: yp = Ax + B + C cos x + E sen x Pero hay una duplicación. Entonces probamos con yp = Ax + B + Cx cos x + Ex sen x Tras sustituir y simplificar, A = 4, B = 0, C = -5, E = 0 Luego y = c1 cos x + c2 sen x + 4x – 5x cos x Como y(π) = 0, y’(π) = 2, tenemos y = 9π cos x + 7 sen x + 4x – 5x cos x 2)(',0)(,104" ==+=+ ππ yysenxxyy senxcxcyc 21 cos +=
  • 51. 51 Resolver Solución: yc = c1e3x + c2xe3x Tras sustituir y simplificar, A = 2/3, B = 8/9, C = 2/3, E = -6 Luego x exyyy 32 12269'6" −+=+− 21 32 pp y x y p EeCBxAxy +++= xxx exxxxececy 3223 2 3 1 6 3 2 9 8 3 2 −++++= Este término está duplicado, aparece ya en yc. 21 322 pp y x y p eExCBxAxy +++=Debemos probar con:
  • 52. 52 Resolver Solución: m3 + m2 = 0, m = 0, 0, -1 yc = c1+ c2x + c3e-x Probamos como solución particular: yp = Aex cos x + Bex sen x Tras sustituir y simplificar, A = -1/10, B = 1/5 Luego xeyy x cos"=+′′′ senxexeecxccyyy xxx pc 5 1 cos 10 1 321 +−++=+= −
  • 53. 53 Hallar la forma de yp de Solución: yc = c1+ c2x + c3x2 + c4e-x Prueba: Como aparece repetido en la solución homogénea, necesitaremos multiplicar A por x3 y (Bx2e-x + Cxe-x + Ee-x) por x. Prueba ahora: x exyy − −=′′′+ 2)4( 1 21 2 pp y xxx y p EeCxeeBxAy −−− +++= 21 233 pp y xxx y p ExeeCxeBxAxy −−− +++=
  • 54. 54 Método del anulador Sigue los apuntes de Jose Olarrea.
  • 55. 55 Método de variación de parámetros )()()()( 012 xgyxayxayxa =+′+′′ )()()( xfyxQyxPy =+′+′′ donde P(x), Q(x) y f(x) son continuas en I. Conocidas y1(x) e y2(x) soluciones l. i. de la ec. homogénea asociada, probaremos como solución particular: )()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=
  • 56. 56 Sustituimos yp’, yp” en la EDO: )()()()( 2211 xyxuxyxuyp += ppp yxQyxPy )()( +′+′′ ][][ 22221111 QyyPyuQyyPyu +′+′′++′+′′= 2211221122221111 22][ uyuyuyuyPyuuyyuuy ′′+′′+′+′+′′+′′+′′+′′+ 221122112211 ][][][ uyuyuyuyPuy dx d uy dx d ′′+′′+′+′+′+′= )(][][ 221122112211 xfuyuyuyuyPuyuy dx d =′′+′′+′+′+′+′= 0 0
  • 57. 57 Necesitaremos dos ecuaciones para encontrar valores de u1 y u1. Exijamos que: y1u1’ + y2u2’ = 0, para obtener una ecuación adicional y de paso que la EDO se reduzca a: y1’u1’ + y2’u2’ = f(x). De modo que nos queda el sistema de ecuaciones: y1u1’ + y2u2’ = 0 y1’u1’ + y2’u2’ = f(x) )(][][ 221122112211 xfuyuyuyuyPuyuy dx d =′′+′′+′+′+′+′
  • 58. 58 Expresado en términos de determinantes y donde De donde encontraremos, por integración, las soluciones. W xfy W W u )(21 1 −==′ W xfy W W u )(12 2 ==′ )( 0 , )( 0 , 1 1 2 2 2 1 21 21 xfy y W yxf y W yy yy W ′ = ′ = ′′ =
  • 59. 59 Resolver x exyyy 2 )1(4'4" +=+− 0 22 ),( 4 222 22 22 ≠= + = x xxx xx xx e exee xee xeeW x xx x x xx x ex exe e Wxex xeex xe W 4 22 2 2 4 22 2 1 )1( )1(2 0 ,)1( 2)1( 0 += + =+−= + = 1 )1( , )1( 4 4 2 2 4 4 1 += + −=′−−= + −=′ x e ex uxx e xex u x x x x W xfy W W u )(21 1 −==′ W xfy W W u )(12 2 −==′ Solución: m2 – 4m + 4 = 0, m = 2 (cero doble) y1 = e2x, y2 = xe2x, Como f(x) = (x + 1)e2x, entonces:
  • 60. 60 Luego u1 = (-1/3)x3 – ½ x2, u2 = ½ x2 + x xxxx p exexxexxexxx 222322223 2 1 6 1 2 1 2 1 3 1 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= xxxx pc exexxececyyy 22232 2 2 1 2 1 6 1 +++=+= 1, 2 2 1 +=′−−=′ xuxxu Recordemos que: )()()()( 2211 xyxuxyxuyp += y1 = e2x, y2 = xe2x
  • 61. 61 Resolver Solución: y” + 9y = (1/4) csc 3x m2 + 9 = 0, m = 3i, -3i y1 = cos 3x, y2 = sin 3x, f(x) = (1/4) csc(3x) Como xyy 3csc36"4 =+ 3 3cos33sin3 3sin3cos )3sin,3(cos = − = xx xx xxW x x xx x W xx x W 3sin 3cos 4 1 3csc4/13sin3 03cos , 4 1 3cos33csc4/1 3sin0 21 = − =−==
  • 62. 62 12 11 1 −==′ W W u xsen x W W u 3 3cos 12 12 2 ==′ ,12/11 xu −= |3|ln36/12 xsenu −= |3|ln)3( 36 1 3cos 12 1 xsenxsenxxyp +−= |3|ln)3( 36 1 3cos 12 1 33cos 21 xsenxsenxxxsencxcyyy pc +−+=+= Entonces
  • 63. 63 Resolver Solución: m2 – 1 = 0, m = 1, -1 y1 = ex, y2 = e-x, f(x) = 1/x, y W(ex, e-x) = -2 Luego x yy 1 " =− ∫ −− = − −=′ x x tx dt t e u xe u 011 2 1 , 2 )/1( ∫−= − −=′ x x tx dt t e u xe u 022 2 1 , 2 )/1( ∫ ∫ − − −= x x x x t x t x p dt t e edt t e ey 0 02 1 2 1 ∫ ∫ − − −+=+= x x x x t x t xx pc dt t e edt t e eecyyy 0 02 1 2 1 1
  • 64. 64 Para las EDs de n-ésimo orden de la forma tomamos yp = u1y1 + u2y2 + … + unyn, donde yi , i = 1, 2, …, n, son la familia de soluciones independientes que forman yc. Así: Que nos lleva a las ecuaciones solución uk ’ = Wk/W con k = 1, 2, …, n. Donde W es el wronskiano de la y's y Wk es el determinante que se obtiene de sustituir en W la k-ésima columna por (0, 0,..., f(x)). Ecuaciones de orden superior )()()()( 01 )1( 1 )( xfyxPyxPyxPy n n n =+′+++ − − 02211 =′++′+′ nnuyuyuy 02211 =′′++′′+′ nnuyuyuy )( )1( 2 )1( 21 )1( 1 xfuyuyuy n n n nn =′++′+′ −−− Suposiciones para simplificar la EDO:
  • 65. 65 Ecuación de Cauchy-Euler Forma de ecuación de Cauchy-Euler • Método de solución Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m, para resolver la ecuación homogénea asociada: Observa que: )(011 1 1 1 xgya dx dy xa dx yd xa dx yd xa n n n nn n n n =++++ − − − − k k k k dx yd xa kmk k xkmmmmxa − +−−−= )1()2)(1( m k xkmmmma )1()2)(1( +−−−= ( ) 0...)1()2)(1( 01 =++++−−− m n xamanmmmma
  • 66. 66 Ecuación auxiliar Para n = 2, y = xm, tenemos (am(m – 1) + bm + c)xm = 0, o am2 + (b – a)m + c = 0 Caso 1: Raíces reales y distintas 21 21 mm xcxcy += Resolver Solución: Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4 m2 – 3m – 4 = 0, m = -1, 4, y = c1x-1 + c2x4 0422 2 2 =−− y dx dy x dx yd x )(2 2 2 xgcy dx dy bx dx yd ax =++ Observa que tenemos que ax2 es igual a cero en x = 0. Para asegurar existencia y unicidad, tomaremos I = (0, ∞).
  • 67. 67 • Dedujimos Luego Caso 2: Raíces reales repetidas xxcxcy mm ln11 21 += xxy m ln1 2 = Resolver Solución: Tenemos a = 4, b = 8, c = 1 4m2 + 4m + 1 = 0, m = -½ , -½ 084 2 2 2 =++ y dx dy x dx yd x xxcxcy ln2/1 2 2/1 1 −− +=
  • 68. 68 • Orden superior: multiplicidad k • Caso 3: raíces complejas conjugadas m1 = α + iβ, m2 = α – iβ, y = C1x(α + iβ) + C2x(α - iβ) Como xiβ = (eln x)iβ = eiβ ln x = cos(β ln x) + i sen(β ln x) x-iβ = cos (β ln x) – i sen (β ln x) Luego y = c1xα cos(β ln x) + c2xα sen(β ln x) = xα [c1 cos(β ln x) + c2 sen(β ln x)] Caso 3: Raíces complejas conjugadas 12 )(ln,,)(ln,ln, 1111 −kmmmm xxxxxxx
  • 69. 69 Resolver Solución: Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17 4m2 − 4m + 17 = 0, m = ½ + 2i Aplicando y(1) = -1, y’(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0, 2 1 )1(',1)1(,0174 2 −=−==+′′ yyyyx )]ln2sin()ln2cos([ 21 2/1 xcxcxy += )ln2cos(1/2 xxy −=
  • 70. 70 Resolver Solución: Sea y = xm, Luego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0 m = -2, m = 2i, m = -2i y = c1x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x) 0875 2 2 2 3 3 3 =+++ y dx dy x dx yd x dx yd x 3 3 3 2 2 2 1 )2)(1( ,)1(, − −− −−= −== m mm xmmm dx yd xmm dx yd mx dx dy
  • 71. 71 Resolver Solución: Tenemos (m – 1)(m – 3) = 0, m = 1, 3 yc = c1x + c2x3 Usando variación de parámetros, yp = u1y1 + u2y2, donde y1 = x, y2 = x3 Escribimos la ED como Luego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2, f(x) = 2x2ex x exyxyyx 42 23'3" =+− x exy x y x y 2 2 2 33 =+′−′′
  • 72. 72 Así Hallamos x x x x ex ex x Wex xex x W x x xx W 3 22 5 22 3 1 3 2 3 2 21 0 ,2 32 0 ,2 31 ==−== == , 2 2 2 3 5 1 x x ex x ex u −=−=′ x x e x ex u ==′ 3 5 2 2 2 ,222 1 xxx exeexu −+−= x eu =2 xx xxxx p xeex xexexeexyuyuy 22 )22( 2 32 2211 −= +−+−=+= xx pc xeexxcxcyyy 22 23 21 −++=+=
  • 73. 73 Una ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir como un lineal de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable: x = et. Por ejemplo: Resuelve así: xyyxyx ln2 =+′−′′ xt ex t ln= = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = == dt dy dt yd xdt dy xdt d xdt dy x dx dy dt d xdt dy xdt dy dx d xdt dy xdt dy xdx d dx yd dt dy xdx dt dt dy dx dy 2 2 22 222 2 1111 11111 1
  • 75. 75 Unos ejemplos de ecuaciones no lineales Resolver Solución: Esta ecuación no lineal carece de término en y. Sea u(x) = y’, entonces du/dx = y”, (Se escribe en esta forma solo por conveniencia para luego integrar) Como u-1 = 1/y’, Entonces, 2 )'(2" yxy = 2 2xu dx du = dxx u du 22 = 2 1 21 cxu +=− − 2 1 2 1 cxdx dy + −= 2 1 1 1 2 1 2 tan 1 c c x ccx dx y +−= + −= − ∫
  • 76. 76 Resolver Solución: Esta ecuación no lineal carece de término en x. Sea u(x) = y’, entonces y” = du/dx = (du/dy)(dy/dx) = u du/dy o ln|u| = ln|y| + c1, u = c2y (donde ) Como u = dy/dx = c2y, dy/y = c2 dx ln|y| = c2x + c3, 2 )'(" yyy = 2 u dy du uy =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ y dy u du = xc ecy 2 4= 1 2 c ec ±=
  • 77. 77 • Supongamos que existe solución para: Si además suponemos que y(x) admite desarrollo en serie de Taylor centrado en 0: Como y(0) = -1, y’(0) = 1, de la ED original: y”(0) = 0 + y(0) – y(0)2 = −2. Derivando sucesivamente la ED original: 1)0(,1)0(,2 =′−=−+=′′ yyyyxy ++ ′′′ + ′′ + ′ += 4 )4( 32 !4 )0( !3 )0( !2 )0( !1 )0( )0()( x y x y x y x y yxy yyyyyx dx d xy ′−′+=−+=′′′ 21)()( 2
  • 78. 78 ... podemos utilizar el mismo método para obtener y(3)(0) = 4, y(4)(0) = −8, etc. Y encontrar una aproximación en Taylor de la solución: 2)4( )(22)21()( yyyyyyy dx d xy ′−′′−′′=′−′+= +−+−+−= 432 3 1 3 2 1)( xxxxxy
  • 79. 79 Una última observación: La ED de este ejemplo: es equivalente (mediante cambio de variable) al sistema de ecuaciones diferenciales: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−= −+= = 1)0(,1)0( 2 uy yyx dx du u dx dy 1)0(,1)0(,2 =′−=−+=′′ yyyyxy