Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΒΑΘΜΙΔΑΣ. 
Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ. 
James Clerk Maxwell
Ξεκινάμε με τις γνωστές μας εξισώσεις του Maxwell: 
0 
.E 
 
 
  
(1.a) 
.B  0 (1.b) 
B 
E 
t 
 
    
 
(1.c) ...
Επίσης από την εξίσωση 
(1.b)(νόμος του Gauss για το 
μαγνητισμό, ο οποίος μας λέει ότι δεν 
υπάρχουν «μαγνητικά μονόπολα»...
των δυναμικών V και A και στη συνέχεια των πεδίων, μέσω των 
εξισώσεων (2.3) και (3.2). 
Στη συνέχεια ας εισάγουμε τη σχέσ...
A 
E V 
t 
 
   
 
(5) 
(Η παραπάνω σχέση (5) αποτελεί τη γενίκευση της σχέσης (2.3) της 
ηλεκτροστατικής. Στη σχέση...
0 0 0 
E 
B J 
t 
   
 
    
 
ή 
0 0 0 ( ) ( ) 
A 
A J V 
t t 
   
  
        
  
ή 
2 
0 0 0 0 ...
το γεγονός αυτό, ώστε (επιλέγοντας την κατάλληλη βαθμίδα ανάλογα 
με την περίπτωση) να «απλοποιήσουμε» τις εξισώσεις (6) κ...
a   (12) 
(Με το  να είναι τυχούσα βαθμωτή συνάρτηση, μιας και ως γνωστό 
ισχύει πάντα:   0 ). 
Επίσης θέλουμε να...
t 
 
 
. Έτσι λοιπόν, θέτοντας b 
t 
 
  
 
, το δυναμικό:V V b , μας 
δίνει το ίδιο ηλεκτρικό πεδίο E με το δυ...
1. ΒΑΘΜΙΔΑ COULOMB 
Στη λεγόμενη βαθμίδα Coulomb (χρησιμοποιείται συνήθως 
στη μαγνητοστατική), θέτουμε: 
.A  0 (15) 
Με...
βαθμίδα Coulomb είναι μια καλή επιλογή για την περίπτωση της 
μαγνητοστατικής. 
Στο παράρτημα θα δούμε ένα «πρόβλημα» που ...
2. ΒΑΘΜΙΔΑ LORENZ 
Στη συγκεκριμένη βαθμίδα (βαθμίδα Lorenz ή Lorentz, 
περισσότερα στο παράρτημα), επιλέγουμε: 
0 0 . 
V ...
Συνεχίζοντας λοιπόν να δουλεύουμε στη βαθμίδα Lorenz, στην 
οποία: 
0 0 . 0 
V 
A 
t 
  
 
   
 
η εξίσωση (9) μπορ...
Η γραφή στη μορφή (24.1) και (24.2) των εξισώσεων για τα 
δυναμικά, εκτός της «απλότητάς» της, είναι επί πλέον ιδιαίτερα 
...
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 
1. Λαπλασιανή διανύσματος: 2 A 
Η Λαπλασιανή μιας βαθμωτής συνάρτησης  (r,t) δίνεται από 
τη σχέση: 
2 2 2 
2...
2  A (.A) ( A) (28) 
Έχει ενδιαφέρον να προσπαθήσει κανείς να δείξει ότι πράγματι 
στις Καρτεσιανές συντεταγμένες...
Παρατηρώντας την εξίσωση (31), βλέπουμε ότι είναι ίδια με τη 
γνωστή μας εξίσωση Poisson της ηλεκτροστατικής: 
2 
0 
V 
 ...
που προφανώς δεν είναι η περίπτωσή μας αφού υποθέσαμε ότι το 
ηλεκτρόνιο κινήθηκε) το ηλεκτρικό πεδίο E . Ο υπολογισμός το...
Έτσι λοιπόν ο Griffiths (Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999) σε υποση...
Από την άλλη πάλι ο Bo Thide (Electromagnetic Field Theory, Second Edition, Bo Thide) στη σελίδα 37 αναφέρεται στη βαθμίδα...
5. Μια βαθμίδα που επίσης αναγράφεται σε «εισαγωγικά» 
εγχειρίδια ηλεκτρομαγνητισμού, είναι και η λεγόμενη «temporal 
gaug...
A 
E V 
t 
 
   
 
, οπότε στη συγκεκριμένη βαθμίδα (V  0) θα 
έχουμε: 
A 
E 
t 
 
  
 
(Η σχέση (33) είναι η μ...
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 
1). Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999. 
2). Classical ...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

μετασχηματισμοι βαθμιδας

596 visualizaciones

Publicado el

Μια εισαγωγή στους μετασχηματισμούς βαθμίδας στον ηλεκτρομαγνητισμό.

Publicado en: Ciencias
  • Sé el primero en comentar

μετασχηματισμοι βαθμιδας

  1. 1. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΒΑΘΜΙΔΑΣ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ. James Clerk Maxwell
  2. 2. Ξεκινάμε με τις γνωστές μας εξισώσεις του Maxwell: 0 .E     (1.a) .B  0 (1.b) B E t       (1.c) 0 0 0 E B J t          (1.d) Στην περίπτωση της ηλεκτροστατικής, η εξίσωση (1.c) απλουστεύεται: E  0 (2.1) Με δεδομένο το γεγονός ότι: V(r )  0 (2.2) (Ο στροβιλισμός του gradient οποιασδήποτε βαθμωτής συνάρτησης είναι ίσος με το μηδέν), μπορούμε να βρούμε μια βαθμωτή συνάρτηση (το γνωστό μας δυναμικό), της οποίας το αντίθετο του gradient μας δίνει το ηλεκτρικό πεδίο. Δηλαδή: E  V(r ) (2.3) Αν δεν περιορισθούμε στην ηλεκτροστατική, δηλαδή στη γενική περίπτωση, το V είναι συνάρτηση της θέσης και του χρόνου, δηλαδή: V V(r,t) .
  3. 3. Επίσης από την εξίσωση (1.b)(νόμος του Gauss για το μαγνητισμό, ο οποίος μας λέει ότι δεν υπάρχουν «μαγνητικά μονόπολα» ή ισοδύναμα ότι οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές είναι πάντα κλειστές) και με δεδομένο ότι για κάθε διανυσματική συνάρτηση ισχύει: Johann Carl Friedrich Gauss .( A)  0 (3.1) μπορούμε να γράψουμε: B   A (3.2) (όπου A, το γνωστό μας ανυσματικό δυναμικό, το οποίο στη γενική περίπτωση είναι διανυσματική συνάρτηση της θέσης και του χρόνου, δηλαδή A  A(r,t) ). Ίσως να αναρωτηθεί κάποιος: ποια είναι η χρησιμότητα των δύο αυτών δυναμικών (του βαθμωτού V και του ανυματικού A); Οι σχέσεις που συνδέουν τα V και A με τις «πηγές» (πυκνότητα φορτίου και πυκνότητα ρεύματος) είναι (γενικά) απλούστερες από τις αντίστοιχες που συνδέουν τα πεδία E και B με τις πηγές. Επίσης τα πεδία E και B έχουν συνολικά 6 συνιστώσες ενώ τα δυναμικά V και A μόνον 4 συνιστώσες. Έτσι λοιπόν η λύση του προβλήματός μας (που είναι η εύρεση των πεδίων E και B με δεδομένες τις «πηγές» και τις συνοριακές συνθήκες), διευκολύνεται με την εύρεση (αρχικά)
  4. 4. των δυναμικών V και A και στη συνέχεια των πεδίων, μέσω των εξισώσεων (2.3) και (3.2). Στη συνέχεια ας εισάγουμε τη σχέση: B   A, στην εξίσωση (1.c) (νόμος της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής του Faraday). Θα έχουμε: B E t       ή E ( A) t         ή Michael Faraday ( ) A E t        (κάνοντας χρήση του γεγονότος ότι οι τελεστές  (χωρικός) και t   (χρονικός), μετατίθενται) ή ( ) 0 A E t         ή ( ) 0 A E t       (4) Από τη σχέση (4), μπορούμε (όπως περιγράψαμε και προηγουμένως) να γράψουμε: A E V t      ή
  5. 5. A E V t      (5) (Η παραπάνω σχέση (5) αποτελεί τη γενίκευση της σχέσης (2.3) της ηλεκτροστατικής. Στη σχέση (5) το δυναμικό V είναι εν γένει συνάρτηση του r και του t). Ακολούθως εισάγουμε τη σχέση (5) στην εξίσωση (1.a) (νόμος του Gauss για τον ηλεκτρισμό) και έχουμε: 0 .E     ή 0 .( ) A V t         ή 2 0 V ( .A) t         (οι τελεστές  και t   μετατίθενται) ή 2 0 V ( .A) t          (6) André-Marie Ampère Στη συνέχεια, βάζοντας τις σχέσεις: B   A και στην τέταρτη εξίσωση του Maxwell (σχέση (1.d), νόμος των Ampere- Maxwell), βρίσκουμε διαδοχικά:
  6. 6. 0 0 0 E B J t          ή 0 0 0 ( ) ( ) A A J V t t                ή 2 0 0 0 0 0 2 ( ) ( ) V A A J t t                  (7) Όμως, όπως είναι γνωστό από τη διανυσματική ανάλυση: ( A) (.A) 2A (8) Από τις (7) και (8) έχουμε: 2 2 0 0 0 0 0 2 ( . ) ( ) V A A A J t t                  ή 2 2 0 0 2 0 0 0 ( ) ( . ) A V A A J t t                  (9) Οι σχέσεις λοιπόν: 2 0 V ( .A) t          (6) 2 2 0 0 2 0 0 0 ( ) ( . ) A V A A J t t                  (9) μας δίνουν την εξάρτηση των δυναμικών από τις «πηγές» και βέβαια (εκτός του ότι είναι και πεπλεγμένες») δείχνουν αρκετά δύσκολες για να λυθούν. Θα δούμε λοιπόν στη συνέχεια ότι οι εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από κατάλληλους μετασχηματισμούς, τους λεγόμενους μετασχηματι- σμούς βαθμίδας (gauge transformations) και θα χρησιμοποιήσουμε
  7. 7. το γεγονός αυτό, ώστε (επιλέγοντας την κατάλληλη βαθμίδα ανάλογα με την περίπτωση) να «απλοποιήσουμε» τις εξισώσεις (6) και (9). Στο σημείο αυτό να πούμε ότι τα πεδία E και B είναι που μας ενδιαφέρουν, ενώ τα δυναμικά V και Aτα χρησιμοποιούμε για να διευκολυνθούμε στην εύρεση των πεδίων. Και θα δούμε παρακάτω ότι τα δυναμικά V και A δεν είναι «μονοσήμαντα» ορισμένα, με την έννοια ότι (κατάλληλα) διαφορετικά δυναμικά, οδηγούν τελικά στα ίδια πεδία. Ας θεωρήσουμε λοιπόν τα δυναμικά: A  A a (10.1) V V b (10.2) Το ερώτημά μας είναι: ποια σχέση πρέπει να ικανοποιούν τα a και b , ώστε τελικά τα πεδία που παράγονται από τα A και V να είναι τα ίδια με τα πεδία που παράγουν τα δυναμικά A και V (δηλαδή να είναι: E  E και B  B). Ξεκινάμε λοιπόν. Θέλουμε να είναι: B  B. Αυτό σημαίνει ότι:  A  A ή (A a)   A ή  Aa  A ή a  0 (11) Έτσι λοιπόν αρκεί να είναι:
  8. 8. a   (12) (Με το  να είναι τυχούσα βαθμωτή συνάρτηση, μιας και ως γνωστό ισχύει πάντα:   0 ). Επίσης θέλουμε να είναι: E  E . Αυτό σημαίνει ότι: A A V V t t            ή A a A V b V t t t               ή 0 a b t      ή b ( ) 0 t        ή (b ) 0 t      (13) Στην παραπάνω σχέση (13), ο όρος: b t    έχοντας μηδενικό gradient, είναι ανεξάρτητος της θέσης, μπορεί ωστόσο εν γένει να εξαρτάται από το χρόνο, δηλαδή να είναι: b k(t) t     , οπότε έχουμε: b k(t) t      . Μπορούμε όμως να «απορροφήσουμε» το k(t) ορίζοντας ένα νέο  , που προκύπτει με την προσθήκη του όρου: 0 ( ) t  k t dt στο «παλιό» μας  . Αυτή η αλλαγή δεν πρόκειται να επηρεάσει το gradient  . Απλά θα προσθέσει τον όρο k(t) στο
  9. 9. t   . Έτσι λοιπόν, θέτοντας b t     , το δυναμικό:V V b , μας δίνει το ίδιο ηλεκτρικό πεδίο E με το δυναμικό V . Έτσι λοιπόν η αντικατάσταση των δυναμικών A και V , με τα δυναμικά: A  A (14.1) V V t      (14.2) αφήνει «ανεπηρέαστα» τα πεδία E και B . Αν λοιπόν θεωρήσουμε μια βαθμωτή συνάρτηση  και προσθέσουμε το gradient της στο A (σχέση 14.1), αφαιρώντας ταυτόχρονα τη μερική παράγωγό της ως προς το χρόνο από το V (σχέση 14.2) θα δούμε τα πεδία E και B να παραμένουν αμετάβλητα. Τέτοιου είδους μετασχηματισμοί, όπως οι σχέσεις (14.1) και (14.2) ονομάζονται μετασχηματισμοί βαθμίδας. (Λέμε επίσης ότι ο ηλεκτρομαγνητισμός είναι θεωρία που παραμένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς βαθμίδας). Μας παρέχουν τη δυνατότητα, επιλέγοντας κάθε φορά τον κατάλληλο μετασχηματισμό, ή όπως αλλιώς λέμε δουλεύοντας στην κατάλληλη βαθμίδα, να απλοποιούμε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλύσουμε. Υπάρχουν δε πολλοί μετασχηματισμοί βαθμίδας που χρησιμοποιούνται στον ηλεκτρομαγνητισμό. Ανάμεσά τους, δύο είναι οι πιο «διάσημοι»: Η βαθμίδα Coulomb και η βαθμίδα Lorenz. Στα επόμενα θα δούμε λίγα για τις δύο αυτές βαθμίδες.
  10. 10. 1. ΒΑΘΜΙΔΑ COULOMB Στη λεγόμενη βαθμίδα Coulomb (χρησιμοποιείται συνήθως στη μαγνητοστατική), θέτουμε: .A  0 (15) Με τη συγκεκριμένη επιλογή, η σχέση (6) απλοποιείται και γράφεται: 2 0 V      (16) Στην σχέση (16) λοιπόν για το βαθμωτό δυναμικό V , αναγνωρίζουμε τη γνωστή μας εξίσωση Poisson. Αντίστοιχα, η σχέση (9), στη μαγνητοστατική γράφεται: 2 0  A(.A)   J , σχέση η οποία στη βαθμίδα Coulomb γίνεται: 2 0  A   J (17) Καταλήγουμε δηλαδή και πάλι στην εξίσωση Poisson, αυτή τη φορά για το ανυσματικό δυναμικό (Στην πραγματικότητα, όπως θα δούμε παρακάτω στο παράρτημα, πρόκειται για τρεις εξισώσεις Poisson, μία για κάθε συνιστώσα). Φυσικά, αν δεν περιορισθούμε στη μαγνητοστατική, η εξίσωση (9), στη βαθμίδα Coulomb, γίνεται: 2 2 0 0 2 0 0 0 ( ) A V A J t t                (18) Μπορούμε τότε μέσω της (16) να βρούμε το V και να το εισάγουμε στην (18), όμως η εξίσωση εξακολουθεί να δείχνει «άκομψη» και να είναι δύσκολο να λυθεί. Συμπερασματικά λοιπόν η
  11. 11. βαθμίδα Coulomb είναι μια καλή επιλογή για την περίπτωση της μαγνητοστατικής. Στο παράρτημα θα δούμε ένα «πρόβλημα» που παρουσιάζει η συγκεκριμένη βαθμίδα και θα απαντήσουμε στο ερώτημα: Έχουμε το δικαίωμα να θεωρήσουμε εκ των προτέρων ότι το A έχει μηδενική απόκλιση; (ή ισοδύναμα μπορούμε να αντικαταστήσουμε ένα ανυσματικό δυναμικό που παρουσιάζει απόκλιση με κάποιο άλλο μηδενικής απόκλισης, χωρίς τελικά να αλλάξουμε τα πεδία;) Στο σημείο αυτό απλά να αναφέρουμε (σε ελεύθερη απόδοση) τι γράφει (μεταξύ των άλλων) για το ερώτημα αυτό ο Griffiths: Η σχέση , μας δίνει το μαγνητικό πεδίο μέσω του στροβιλισμού του ανυσματικού δυναμικού, δεν μας λέει όμως τίποτα για την απόκλιση του εν λόγω δυναμικού. Έχουμε λοιπόν το δικαίωμα (μιλήσαμε προηγούμενα για αυτή την «ελευθερία» μας) να κάνουμε την απλούστερη δυνατή επιλογή για την απόκλιση του που είναι το να τη θεωρήσουμε μηδενική. Charles Augustin de Coulomb B   A A
  12. 12. 2. ΒΑΘΜΙΔΑ LORENZ Στη συγκεκριμένη βαθμίδα (βαθμίδα Lorenz ή Lorentz, περισσότερα στο παράρτημα), επιλέγουμε: 0 0 . V A t        (19) Με τη συγκεκριμένη λοιπόν επιλογή, η εξίσωση (6) γράφεται: 2 2 0 0 2 0 V V t           (20) Έχουμε λοιπόν τη διαφορική που μας δίνει το βαθμωτό δυναμικό. Αν στο δεύτερο μέρος της (20), αντί του όρου: 0    , είχαμε το μηδέν, η εξίσωση θα γραφόταν: 2 2 0 0 2 0 V V t        Θα είχαμε δηλαδή τη γνωστή μας κυματική εξίσωση, που μάλιστα θέτοντας: 0 0 1 c    (c η γνωστή μας ταχύτητα του φωτός), θα έπαιρνε τη μορφή: 2 2 2 2 1 0 V V c t      Έτσι λοιπόν η εξίσωση (20) είναι μια «μη ομογενής» κυματική εξίσωση, αφού στο δεξί μέλος της αντί του μηδενός έχει τον όρο 0   
  13. 13. Συνεχίζοντας λοιπόν να δουλεύουμε στη βαθμίδα Lorenz, στην οποία: 0 0 . 0 V A t        η εξίσωση (9) μπορεί να γραφεί: 2 2 0 0 2 0 A A J t          (21) (Στην ουσία έχουμε 3 εξισώσεις, μια για κάθε συνιστώσα). Έτσι λοιπόν στη βαθμίδα Lorenz και τα δύο δυναμικά δίνονται από μια «μη ομογενή» κυματική εξίσωση, στο δεξί μέλος της οποίας βρίσκονται οι «πηγές» : 2 2 0 0 2 0 V V t           (22.1) 2 2 0 0 2 0 A A J t          (22.2) Στις εξισώσεις (22.1) και (22.2) φαίνεται αμέσως η «κοινή αντιμετώπιση» που έχουν τα δύο δυναμικά, όταν δουλεύουμε στη βαθμίδα Lorenz. Μπορούμε μάλιστα να απλοποιήσουμε ακόμα περισσότερο τη γραφή των δύο παραπάνω σχέσεων αν θέσουμε: 2 2 2 0 0 2 t        (23) οπότε οι εξισώσεις μας απλοποιούνται στη μορφή: 2 0 V     (24.1) 2 0 A   j (24.2)
  14. 14. Η γραφή στη μορφή (24.1) και (24.2) των εξισώσεων για τα δυναμικά, εκτός της «απλότητάς» της, είναι επί πλέον ιδιαίτερα χρήσιμη και χρηστική όταν δουλεύουμε στη σχετικότητα, λόγω της εμφανούς «συναλλοιώτητάς» τους (αναλλοίωτες κάτω από τους μετασχηματισμούς Lorentz). Ο τελεστής που είδαμε στη σχέση (23), ονομάζεται Νταλαμπερσιανή (D’ Alembertian) και αποτελεί τη γενίκευση στις 4 διαστάσεις της γνωστής μας τρισδιάστατης Λαπλασιανής. (Ο τελεστής αυτός επίσης αναφέρεται και ως χωρίς δηλαδή το τετράγωνο). Pierre-Simon Laplace Jean le Rond d'Alembert 2
  15. 15. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Λαπλασιανή διανύσματος: 2 A Η Λαπλασιανή μιας βαθμωτής συνάρτησης  (r,t) δίνεται από τη σχέση: 2 2 2 2 2 2 2 x y z               (25) Η δράση όμως του τελεστή 2  πάνω σε ένα διάνυσμα, απαιτεί μεγάλη προσοχή. Στις Καρτεσιανές (και μόνο) συντεταγμένες, ισχύει: 2 2 2 2 ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ x y z  A   A x   A y   A z (26) Έτσι λοιπόν η εξίσωση (17) αναλύεται στις 3 επί μέρους συνιστώσες: 2 x 0 x  A   J (27.1) 2 y 0 y  A   J (27.2) 2 z 0 z  A   J (27.3) Το ίδιο ισχύει για την εξίσωση (21). Η παραπάνω «ανάλυση» ισχύει μόνο για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες. Στις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες τα μοναδιαία διανύσματα είναι συναρτήσεις της θέσης, οπότε ο τελεστής θα «δράσει» και πάνω σ’ αυτά. Έτσι λοιπόν δεν είναι σωστό πχ. να γράψουμε: 2 r 0 r  A   J Στην περίπτωση λοιπόν των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων, προκειμένου να υπολογίσουμε τη Λαπλασιανή ενός διανύσματος, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
  16. 16. 2  A (.A) ( A) (28) Έχει ενδιαφέρον να προσπαθήσει κανείς να δείξει ότι πράγματι στις Καρτεσιανές συντεταγμένες, η σχέση (28) μας δίνει την (26). Η απόδειξη γίνεται σχετικά εύκολα, κάνοντας πράξεις στο δεύτερο μέλος της (28). Περισσότερα για τη Λαπλασιανή ενός διανυσματικού πεδίου (και σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες): ΕΔΩ και επίσης για τον υπολογισμό της: WolframAlpha Vector Laplacian 2. Είπαμε ότι στη βαθμίδα Coulomb, επιλέγουμε να είναι (σχέση 15): .A  0 Θα δείξουμε στη συνέχεια ότι έχουμε αυτό το «δικαίωμα». Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα (αρχικό) ανυσματικό δυναμικό , του οποίου η απόκλιση δεν είναι μηδενική. Είδαμε (σχέσεις (11) και (12)) ότι μπορούμε να προσθέσουμε στο δυναμικό αυτό το gradient μιας (βαθμωτής) συνάρτησης λ, (μετασχηματισμός βαθμίδας). Το νέο ανυσματικό δυναμικό (από το οποίο θα «παράγεται» το ίδιο μαγνητικό πεδίο) είναι: 0 A  A  (29) Για την απόκλιση λοιπόν του νέου μας δυναμικού, θα έχουμε: 2 0 .A  .A   (30) Έτσι λοιπόν μπορούμε να μηδενίσουμε την απόκλιση του A, αν μπορέσουμε να βρούμε μια συνάρτηση λ, για την οποία να ισχύει: 2 0    .A (31) 0 A
  17. 17. Παρατηρώντας την εξίσωση (31), βλέπουμε ότι είναι ίδια με τη γνωστή μας εξίσωση Poisson της ηλεκτροστατικής: 2 0 V      (32) το στη θέση της «πηγής» 0  (με το λ στη θέση του V και  ) Έτσι λοιπόν το αρχικό πρόβλημά μας, δηλαδή του μηδενισμού της απόκλισης του ανυσματικού δυναμικού , ανάγεται τελικά στη λύση της εξίσωσης Poisson. (Για περισσότερα στη σελίδα 235 του βιβλίου: Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999). 3. Υπάρχει ένα σημείο που θέλει προσοχή, σχετικά με τον προσδιορισμό του βαθμωτού δυναμικού V, στην βαθμίδα Coulomb. Με βάση τη σχέση: 2 0 V      το V υπολογίζεται από την κατανομή φορτίου, την ίδια ακριβώς χρονική στιγμή. Δηλαδή αν για παράδειγμα κινηθεί ένα φορτίο στο εργαστήριο (πχ ένα ηλεκτρόνιο), το βαθμωτό δυναμικό σε μια μεγάλη απόσταση (ας πούμε για παράδειγμα στο Φεγγάρι) «καταγράφει» ακαριαία αυτή την αλλαγή. Και εδώ ακριβώς είναι το πρόβλημα, αφού σύμφωνα με την ειδική θεωρία της σχετικότητας, κανένα «σήμα» δεν μπορεί να ταξιδέψει με ταχύτητα μεγαλύτερη της ταχύτητας του φωτός (πόσο μάλλον να φθάσει ακαριαία)! Αυτό λοιπόν που συμβαίνει είναι ότι το βαθμωτό δυναμικό από μόνο του δεν περιγράφει (παρά μόνο στην περίπτωση της ηλεκτροστατικής, 0 .A 0 A
  18. 18. που προφανώς δεν είναι η περίπτωσή μας αφού υποθέσαμε ότι το ηλεκτρόνιο κινήθηκε) το ηλεκτρικό πεδίο E . Ο υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου πρέπει να συμπεριλαμβάνει και το ανυσματικό δυναμικό A, μέσω της σχέσεως: A E V t      Και είναι κατά κάποιο τρόπο «ενσωματωμένο» στο ανυσματικό δυναμικό το γεγονός ότι ενώ η κίνηση του φορτίου «ακαριαία» αντανακλά στο V, ο συνδυασμός: A V t     που μας δίνει το ηλεκτρικό πεδίο, εμπεριέχει την απαιτούμενη χρονική καθυστέρηση που απαιτείται για τη διάδοση του «σήματος» μέχρι τον παρατηρητή που μετράει το Βλέπε πχ. Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999 σελίδα 421. Μάλιστα ο Griffiths σε υποσημείωσή του σχετικά με το εν λόγω θέμα παραπέμπει στο paper των O. L. Brill and B. Goodman, American Journal of Physics 35, 832 (1967). Ο ενδιαφερόμενος λοιπόν αναγνώστης παραπέμπεται στο: Causality in the Coulomb Gauge 4. Υπάρχει μια διχογνωμία για το κατά πόσο η βαθμίδα στη σχέση (19) πρέπει να ονομάζεται «βαθμίδα Lorentz» προς τιμήν του (γνωστού μας από τους διάσημους μετασχηματισμούς του) H. A. Lorentz, ή «βαθμίδα Lorenz» προς τιμήν του L. V. Lorenz. E
  19. 19. Έτσι λοιπόν ο Griffiths (Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999) σε υποσημείωση στη σελίδα 421, αναφέρεται στο συγκεκριμένο θέμα και υιοθετεί την ονομασία «Lorentz gauge», που όπως γράφει είναι αυτή που υπάρχει στα (περισσότερα) καθιερωμένα βιβλία ηλεκτρομαγνητισμού. Οι Pollack και Stump (Electromagnetism, G. L. Pollack and D. R. Stump, Addison-Wesley, 2001 πράγματι αναφέρουν τη βαθμίδα με την ονομασία «Lorentz gauge». Σε κάποια υποσημείωσή τους όμως (page 409) αναφέρουν ότι η πρώτη αναφορά και χρήση της συγκεκριμένης βαθμίδας ίσως έγινε από τον L. V. Lorenz και όχι από τον H. A. Lorentz. H. A. Lorentz
  20. 20. Από την άλλη πάλι ο Bo Thide (Electromagnetic Field Theory, Second Edition, Bo Thide) στη σελίδα 37 αναφέρεται στη βαθμίδα με τη (διπλή) ονομασία «Lorenz-Lorentz gauge» επισημαίνοντας ότι κακώς έχει επικρατήσει στη βιβλιογραφία ο όρος «Lorentz gauge», αφού όπως αναφέρει, ο Δανός φυσικός και μαθηματικός L. V. Lorenz ήταν ο πρώτος που την εισήγαγε το 1867. Τέλος η Wikipedia στο αντίστοιχο λήμμα για τον L. V. Lorenz, αναφέρεται στη βαθμίδα με την ονομασία «βαθμίδα Lorenz». L. V. Lorenz
  21. 21. 5. Μια βαθμίδα που επίσης αναγράφεται σε «εισαγωγικά» εγχειρίδια ηλεκτρομαγνητισμού, είναι και η λεγόμενη «temporal gauge». Ονομάζεται επίσης και βαθμίδα Weyl ή βαθμίδα Hamilton. Στη βαθμίδα αυτή θέτουμε το βαθμωτό δυναμικό ίσο με μηδέν. Έτσι λοιπόν οι σχέσεις: 2 0 V ( .A) t          (6) 2 2 0 0 2 0 0 0 ( ) ( . ) A V A A J t t                  (9) με τη συνθήκη V  0 απλουστεύονται και παίρνουν τη μορφή: 0 ( .A) t        (33) και: 2 2 0 0 2 0 ( . ) A A A J t             ή 2 2 2 2 0 1 ( . ) A A A J c t          ή 2 2 2 0 1 ( ) A A J c t          (34) Παρατηρούμε λοιπόν ότι στη συγκεκριμένη βαθμίδα και το ηλεκτρικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο προσδιορίζονται από το ανυσματικό δυναμικό (σχέσεις 33 και 34). Πράγματι σύμφωνα με τη σχέση (5):
  22. 22. A E V t      , οπότε στη συγκεκριμένη βαθμίδα (V  0) θα έχουμε: A E t     (Η σχέση (33) είναι η μορφή που παίρνει ο νόμος του Gauss στη συγκεκριμένη βαθμίδα. Πράγματι αν A E t     , τότε παίρνοντας την απόκλιση και στα δύο μέλη, έχουμε: . . ( . ) A E A t t           οπότε ο νόμος του Gauss: 0 .E     γράφεται: 0 ( .A) t        , έχουμε δηλαδή τη σχέση (33)). Μια ακόμα βαθμίδα σε χρήση είναι η λεγόμενη «αξονική βαθμίδα» (axial gauge), στην οποία επιλέγουμε να είναι: 3 A  0 (Η τρίτη συνιστώσα του ανυσματικού δυναμικού να είναι μηδέν). Αξίζει να σημειωθεί ότι η διαδικασία επιλογής της κατάλληλης βαθμίδας, αναφέρεται στη διεθνή βιβλιογραφία ως «gauge fixing».
  23. 23. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1). Introduction to Electrodynamics, Third Edition, David J. Griffiths, Prentice Hall, 1999. 2). Classical Electrodynamics, Walter Greiner, Springer, 1998. 3). Electromagnetism, G. L. Pollack and D. R. Stump, Addison- Wesley, 2001. 4) Gauge Theories in Particles Physics, Third Edition, volume 1: From Relativistic Quantum Mechanics to QED I. J. A. Aitchison and A. J. G. Hey. 5). Electromagnetic Field Theory, Second Edition, Bo Thide. 6). Causality in the Coulomb Gauge 7). Div, Grad, Curl and all that, Fourth Edition, H. M. Schey, W. W. Norton & Company 2004. ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

×