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Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística
Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística
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Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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Análisis de varianza.
Es una técnica estadística para comparar si son...
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ésima muestra j = 1, 2,…, ni; i = 1, 2,…, k) se registran en un arreg...
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

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0
El modelo de clasificación simple o de un factor comp...
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SCC : Suma de cuadrado de las columnas o entre tratamientos.
SCE : Su...
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(a)
N1 N2 N3 N4
55 63 48 59
53 67 50 68
50 55 59 57
60 62 50 66
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TABLA ANOVA
Fuente de
Variación
Suma de
Cuadrados
Grados de
Libertad
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 Solución con spps, primero ingresamos los datos, creamos tres
varia...
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 Creamos una tercera variable llamada duración, la cual la tenemos
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 Seleccionamos Ponderar casos mediante frecuencias y Aceptar,
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Tabla de contingencia Auto * Neumático
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 Seleccionamos las variables correspondientes a analizar y clic en
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Gráficamente observamos que la duración de los cinco tipos de
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2. La prueba de homogeneidad de varianzas, donde el resultado de
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4. La tabla de Análisis de Varianza
ANOVA
Frecuencias
Suma de
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2.- El gerente de compras de la empresa “Moda” desea comparar la vel...
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Pruebas de normalidad
Máquina Kolmogorov-Smirnov
a
Shapiro-Wilk
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En variable ingresamos el tiempo y en el eje de categoría Máquina, e...
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Gráficamente observamos que la duración de los cinco tipos de
neumát...
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Análisis de varianza con spss

  1. 1. AUTORES Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística DOCENTES ASCRITOS AL DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA DE LA UNPRG – LAMBAYEQUE 2010 ACARGO DE LA ASIGNATURA DE: ESTADÍSTICA
  2. 2. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 2 Análisis de varianza. Es una técnica estadística para comparar si son iguales las medias de más de dos poblaciones mediante el análisis y la comparación de diversos tipos de varianzas muéstrales insesgados. El nombre de análisis de varianza (ANOVA) que se da a esta prueba de varias medias, proviene del hecho que este método se basa en la comparación de varianzas estimadas de las diversas fuentes. Cada método de análisis de varianza esta asociada a un modelo matemático especifico. Si el modelo es de una variable, se denomina de clasificación simple o de un solo factor, si son de dos variables, el modelo se denomina de clasificación simple doble o de dos factores. 1.- Análisis de varianza de un Factor: Diseño completamente Aleatorizado. Sea X una característica que se mide en K poblaciones ( o tratamientos) diferentes con medias respectivas k ,...,, 21 y varianzas respectivas 22 2 2 1 ,...,, k . Las suposiciones del ANOVA son: 1.- Las K poblaciones son independientes (o las K muestras independientes). 2.- Cada población tiene distribución normal, ),( 2 iN  3.- Las K varianzas son iguales a la varianza común 2  Las K poblaciones juntas constituyen una población mayor cuya media µ se define por: K k i i  1   Para cada ki ,...,2,1 sea inii xxx ,...,, 21 , una muestra aleatoria simple de tamaño ni escogida de la i-esima población. Estas K muestran constituyen los subgrupos que se suponen pues son independientes. En el modelo de clasificación de un solo factor completamente aleatorizado los valores ijx de las K muestras (j-ésima observación de la i-
  3. 3. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 3 ésima muestra j = 1, 2,…, ni; i = 1, 2,…, k) se registran en un arreglo tabular como el de la siguiente tabla: Datos de K muestras aleatorias independientes. TRATAMIENTOS 1 2 …. I …. k x11 x12 …. xi1 …. xk1 x21 x22 …. xi2 …. xk2 . . …. . …. . . . ….. . ….. . . . ….. . …… . X1n1 x2n2 …. Xini …. xknk TOTAL T1. T2. Ti. … TK. T.. ni n1 n2 ni … nk n MEDIAS .1x .2x .ix … .kx ..x En donde: ..T : es la suma de los datos de la muestra i .iT : es el total de datos de las k muestras. nnnn k  ...21 , es el total de observado de las k muestras. .ix , es la media muestral i (estimación insesgada da la media i ) ..x , media total muestral (estimación insesgada de la media  ) 2.- EL MODELO DEL ANAVA: Cada observación ijx (i=1,2,…,k; j=1,2,…,ni) de la muestra se expresa en la forma: ijijx   ij : mide la desviación del dato observado ijx con respecto a la media i esta desviación se denomina también error o residuo. Dado a que la variable aleatoria ijx son independientes y tienen una distribución normal ),( 2 iN las ij son también variables aleatorias independientes y tienen una distribución normal ),0( 2 N . Cada media i se desvía de la media total  con cantidad   ii , que se denomina efecto del i-ésimo tratamiento, observe que:
  4. 4. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 4   k i i 1 0 El modelo de clasificación simple o de un factor completamente aleatorizado es: ijiijiijx   Donde: i=1,2,…,k; j=1,2,…,ni ,   nni , Las variables aleatorias ijx son independientes y ),( 2 N Las variables aleatorias ij son independientes y ),0( 2 N  Es la media total y   ii , es el efecto del tratamiento. 3.- LA HIPOTESIS ANOVA: La hipótesis nula consiste en afirmar que las medias de las k poblaciones o tratamientos son iguales: 0...: 210  kH  La hipótesis alternativa es: Caso1: :1H No Todas las medias son iguales. Caso2: :1H Al menos una de las i no son iguales a cero Regla de decisión: Rechazar 0H si Fcal. > C. En el modo p Si p = P[F>Fcal.], se rechaza la hipótesis nula, si p TABLA ANOVA DE UN FACTOR COMPLETAMENTE ALEATORIZADO Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medios Razón F calculada * Tratamientos (columnas) * Error SCC SCE k-1 n-k 1  K SCC CMC kn SCE CME   CME CMC Fcal  TOTAL SCT n-1  Región Crítica
  5. 5. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 5 SCC : Suma de cuadrado de las columnas o entre tratamientos. SCE : Suma de cuadrado del error o dentro de tratamientos. SCT : Suma del cuadrado del total. CMC : cuadrado medios para la columna. CME : cuadrados medios para el error. Fcal : El valor de F calculado.        k i n j k i n j ijij i i CxxxSCT 1 1 1 1 22 .. ; Donde n T C 2 ..            k i i i k i n j k i iii C n T xxnxxSCC i 1 2 . 1 1 1 2 . 2 ... .. SCCSCTSCE  Ejemplo1.- Una compañía desea comparar cuatro tipos de neumáticos. Se asigno aleatoriamente los neumáticos a seis automóviles semejantes. La duración de los neumáticos en miles de kilómetros se da en la tabla siguiente: N1 N2 N3 N4 55 63 48 59 53 67 50 68 50 55 59 57 60 62 50 66 55 70 47 71 65 75 61 73 Al nivel de significancia del 5% (a) ¿Se puede concluir que existe alguna diferencia en los rendimientos medios de los tipos de neumáticos? (b) si se rechaza la hipótesis nula, utilice la prueba t para probar si la duración media de los neumáticos tipo 1 es distinta a la duración media de los neumáticos de tipo 4? SOLUCION  Primera solución por el método tradicional sin utilizar spss
  6. 6. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 6 (a) N1 N2 N3 N4 55 63 48 59 53 67 50 68 50 55 59 57 60 62 50 66 55 70 47 71 65 75 61 73 T.. 338 392 315 394 T.. = 1439 ni 6 6 6 6 n = 24 .ix 56.33 65.33 52.5 65.67 ..x = 59.96 P.1) 43210 :  H :1H No todas las medias son iguales. P.2) 05.0 P.3) Estadígrafo de Prueba:  knkF CME CMC Fcal  ,1 g.l. k = 4 n = 24 P.4) Región crítica: R.R : [3.10,+∞> P.5) Calculo del estadígrafo de prueba. 04167.86280 24 143922 ..  n T C 46.78104167.86280 6 394315392338 2222 1 2 .          k i i i C n T SCC    4 1 6 1 2 96.155004167.8628087831 i j ij CxSCT 5.76946.78196.1550  SCCSCTSCE F0.95,3,20 = 3.10
  7. 7. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 7 TABLA ANOVA Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medios Razón F calculada * Tipos de Neumáticos * Error 781.46 769.5 3 20 260.4867 38.475 6.77 TOTAL 1550.96 23 P.6) Decisión: como el valor del F calculado es mayor que el F tabular (6.77>3.10) se Rechaza la hipótesis nula con un nivel de significancia del 5%, es decir no todos los rendimientos medios de los neumáticos son iguales. (b) P.1) 410 :  H 411 :  H P.2) 05.0 P.3) Estadígrafo de Prueba: lgt nn CME xx t .)10( 11 . 41 4.1           P.4) Región de Rechazo: P.5) Calculo del estadígrafo de prueba: 61.2 6 1 6 1 *475.38 67.6533.56          t P.6) Decisión: con un nivel de significancia del 5% se rechaza H0, es decir el rendimiento del tipo de neumático 1 es diferente al rendimiento del tipo de neumático 4. -2.228 2.228 t0.975,10 R:R <-∞,-2.228] U [2.228, +∞>
  8. 8. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 8  Solución con spps, primero ingresamos los datos, creamos tres variables, como se muestra:  Como son cuatro tipos de Neumáticos, procedemos a etiquetar la variable como se muestra:  Como se prueban los neumáticos en seis diferentes tipos de Autos, etiquetamos la variable Autos.
  9. 9. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 9  Creamos una tercera variable llamada duración, la cual la tenemos que ponderar, seleccionamos el menú datos y ponderar casos:
  10. 10. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 10  Seleccionamos Ponderar casos mediante frecuencias y Aceptar, luego nos vamos al menú analizar, Estadísticas descriptivas y tablas de contingencia y seleccionamos las variables como se muestra:  Clic en aceptar y la vista de resultados nos muestra la siguiente tabla:
  11. 11. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 11 Tabla de contingencia Auto * Neumático Auto Neumático Total Neumática 1 Neumático 2 Neumático 3 Neumático 4 Auto 1 55 63 48 59 225 Auto 2 53 67 50 68 238 Auto 3 50 55 59 57 221 Auto 4 60 62 50 66 238 Auto 5 55 70 47 71 243 Auto 6 65 75 61 73 274 Total 338 392 315 394 1439 Como se puede apreciar esta tabla es igual a la tabla de la data original  Para poner a su estado original la base de datos, nos vamos a datos, ponderar casos y hacemos clic en restablecer, y clic en Aceptar :  Luego seleccionamos la opción analizar, comparación de medias y seleccionamos Medias:
  12. 12. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 12  Seleccionamos las variables correspondientes a analizar y clic en aceptar y la ventana de vista de resultados nos proporciona la siguiente información: Informe Frecuencias Neumático Media N Desv. típ. Neumático 1 56,33 6 5,354 Neumático 2 65,33 6 6,947 Neumático 3 52,50 6 5,958 Neumático 4 65,67 6 6,439 Total 59,96 24 8,212  Antes de realizar el ANAVA hay que verificar los requisitos, primero hacemos la prueba de normalidad, seleccionamos analizar, Estadísticos Descriptivos y explorar,
  13. 13. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 13  Clic en gráficos y aparece la siguiente ventana, donde seleccionamos gráficos con prueba de Normalidad y continuar:  Luego clic en Aceptar, y la vista de Resultados nos proporciona la siguiente información: Pruebas de normalidad Neumático Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig. duración Neumático 1 ,265 6 ,200* ,940 6 ,662 Neumático 2 ,149 6 ,200* ,990 6 ,990 Neumático 3 ,329 6 ,041 ,823 6 ,094 Neumático 4 ,187 6 ,200* ,923 6 ,526 a. Corrección de la significación de Lilliefors *. Este es un límite inferior de la significación verdadera. Escogemos la Prueba de shapiro-wilk, dado a que las muestras son pequeñas (n<50) observamos que todos los valores de significancia obtenidos por la prueba de normalidad son mayores al nivel de significancia de prueba 0.05, por lo tanto existe normalidad en las muestras de la duración de los diversos tipos de neumáticos.
  14. 14. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 14  Segundo requisito homogeneidad de varianzas, primero lo hacemos gráficamente, seleccionamos el menú de gráficos, cuadro de dialogo antiguo, seleccionamos BARRAS ERROR, aparece la siguiente ventana:  Seleccionamos Simple y clic en definir En variable ingresamos la duración y en el eje de categoría Neumáticos, en las barras representan seleccionamos Error típico de la media multiplicada por 2 y aceptar
  15. 15. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 15 Gráficamente observamos que la duración de los cinco tipos de neumáticos es homogénea, el punto es el valor de la media y se extiende a 2 veces el valor de la desviación estándar hacia la izquierda y hacia la derecha.  Estadísticamente probamos la homogeneidad de las varianzas, menú analizar, comparación de medias y ANOVA de un factor
  16. 16. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 16  Clic en opciones, seleccionamos Estadísticos Descriptivos, Prueba de homogeneidad de las varianzas y gráficos de medias:  Clic en continuar y Aceptar , la vista de Resultados nos proporciona las siguiente información: 1. Una tabla de las estadísticas Descriptivas de los diferentes tipos de neumáticos. Descriptivos duración N Media Desviaci ón típica Error típico Intervalo de confianza para la media al 95% Mínimo Máximo Límite inferior Límite superior Neumático 1 6 56,33 5,354 2,186 50,71 61,95 50 65 Neumático 2 6 65,33 6,947 2,836 58,04 72,62 55 75 Neumático 3 6 52,50 5,958 2,432 46,25 58,75 47 61 Neumático 4 6 65,67 6,439 2,629 58,91 72,42 57 73 Total 24 59,96 8,212 1,676 56,49 63,43 47 75
  17. 17. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 17 2. La prueba de homogeneidad de varianzas, donde el resultado de significancia del estadístico de Levene es mayor que el nivel de significancia de la prueba (0.908>0.05) por lo tanto se acepta la hipótesis nula, es decir existe homogeneidad en las varianzas de la duración de los 5 tipos de neumáticos. Prueba de homogeneidad de varianzas duración Estadístico de Levene gl1 gl2 Sig. ,181 3 20 ,908 3. El gráfico de medias, donde se observa que el neumático 3, es el que tiene el menor rendimiento promedio de duración y el tipo de neumático 4 es el que tiene el mayor rendimiento promedio de duración.
  18. 18. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 18 4. La tabla de Análisis de Varianza ANOVA Frecuencias Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Sig. Inter-grupos 781,458 3 260,486 6,770 ,002 Intra-grupos 769,500 20 38,475 Total 1550,958 23 Como el valor del p<  (0.002<0.05) se rechaza H0 es decir no todas las medias son iguales.  Para saber cuales de las medias no son iguales seleccionamos el menú analizar, comparación de medias y ANOVA de un factor  Seleccionamos la opción POST HOC, dado a que ya se probo que las varianzas son iguales seleccionamos la prueba de SHEFFE y clic en continuar y aceptar
  19. 19. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 19  La vista de resultados nos proporciona los siguientes resultados: (I) Neumático Sig. (J) Neumático Neumático 1 Neumático 2 Neumático 3 Neumático 4 Neumático 1 ,132 ,767 ,112 Neumático 2 ,132 ,017 1,000 Neumático 3 ,767 ,017 ,014 Neumático 4 ,112 1,000 ,014 Observamos que la diferencia significativa esta entre el tipo de neumático 2 con el tipo de neumático 3 y el tipo de neumático 3 con el tipo de neumático 4.
  20. 20. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 20 2.- El gerente de compras de la empresa “Moda” desea comparar la velocidad de cuatro máquinas de marcas diferentes con el fin de adquirir la más veloz para su uso en una confección específica. Para esto observo los tiempos que cada máquina utiliza para producir 6 unidades de la confección en forma aleatoria. Los tiempos que cada máquina utiliza para producir 6 unidades de la confección en forma aleatoria. Los tiempos registrados en segundos se presentan en la tabla: Máquina 1 2 3 4 55 60 64 42 46 58 62 45 45 68 51 52 73 58 57 44 50 63 65 42 63 52 68 56 Totales Ti. 332 359 367 281 T..=1339 ni=r 6 6 6 6 n=24 Media .ix 55.33 59.83 61.17 46.83 ..x =55.79 Solución: 43210 :  H :1H No todas las medias son iguales.  Utilizando SPSS para darle solución, creamos nuestra base de datos, luego en la barra de menú seleccionamos Analizar, comparación de Medias y la opción medias introducimos las variables correspondientes:
  21. 21. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 21  La ventana de Resultados nos proporciona la siguiente información: Informe Tiempo Máquina Media N Desv. típ. Máquina 1 55,33 6 10,893 Máquina 2 59,83 6 5,382 Máquina 3 61,17 6 6,178 Máquina 4 46,83 6 5,811 Total 55,79 24 8,973  Antes de realizar el ANAVA hay que verificar los requisitos, primero hacemos la prueba de normalidad, seleccionamos analizar, Estadísticos Descriptivos y explorar  Luego seleccionamos la opción gráficos y pedimos que realice la prueba de Normalidad y la vista de resultados nos proporciona la siguiente información:
  22. 22. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 22 Pruebas de normalidad Máquina Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig. Tiempo Máquina 1 ,188 6 ,200 * ,908 6 ,426 Máquina 2 ,200 6 ,200 * ,972 6 ,908 Máquina 3 ,220 6 ,200 * ,934 6 ,614 Máquina 4 ,290 6 ,124 ,838 6 ,126 a. Corrección de la significación de Lilliefors *. Este es un límite inferior de la significación verdadera. Escogemos la Prueba de shapiro-wilk, dado a que las muestras son pequeñas (n<50) observamos que todos los valores de significancia obtenidos por la prueba de normalidad son mayores al nivel de significancia de prueba 0.05, por lo tanto existe normalidad en los tiempos de confección empleado por los diferentes tipos de máquinas.  Verificamos el Segundo requisito homogeneidad de varianzas, primero lo hacemos gráficamente, seleccionamos el menú de gráficos, cuadro de dialogo antiguo, seleccionamos BARRAS ERROR, aparece la siguiente ventana:  Seleccionamos Simple y clic en definir
  23. 23. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 23 En variable ingresamos el tiempo y en el eje de categoría Máquina, en las barras representan seleccionamos Error típico de la media multiplicada por 2 y aceptar
  24. 24. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 24 Gráficamente observamos que la duración de los cinco tipos de neumáticos es homogénea, el punto es el valor de la media y se extiende a 2 veces el valor de la desviación estándar hacia la izquierda y hacia la derecha, observamos también que el tiempo empleado en la confección por la máquina uno presenta mayor dispersión.  Estadísticamente probamos la homogeneidad de las varianzas, menú analizar, comparación de medias y ANOVA de un factor  Clic en opciones, seleccionamos Estadísticos Descriptivos, Prueba de homogeneidad de las varianzas y gráficos de medias:
  25. 25. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 25  Clic en continuar y Aceptar , la vista de Resultados nos proporciona las siguiente información: 1. La prueba de homogeneidad de varianzas, donde el resultado de significancia del estadístico de Levene es mayor que el nivel de significancia de la prueba (0.216>0.05) por lo tanto se acepta la hipótesis nula, es decir existe homogeneidad en las varianzas de los tiempos empleados en la confección por los cuatro tipos de máquina. Prueba de homogeneidad de varianzas Tiempo Estadístico de Levene gl1 gl2 Sig. 1,622 3 20 ,216 2. Comprobado los requisitos realizamos la interpretación del Análisis de Varianza ANOVA Tiempo Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Sig. Inter-grupos 754,125 3 251,375 4,579 ,013 Intra-grupos 1097,833 20 54,892 Total 1851,958 23 Como el valor del p<  (0.013<0.05) se rechaza H0 es decir no todas las medias son iguales. 3. En el gráfico de medias, se observa que la máquina 3, es el que tiene el mayor rendimiento promedio en el tiempo empleado en la confección de prendas de vestir y el tipo de máquina 4 es el que tiene menor rendimiento promedio en el tiempo empleado en la confección de prendas de vestir.
  26. 26. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 26  Como se rechazo la hipótesis nula, Para saber cuales de las medias no son iguales seleccionamos el menú analizar, comparación de medias y ANOVA de un factor  Seleccionamos la opción POST HOC, dado a que ya se probo que las varianzas son iguales seleccionamos la prueba de SHEFFE y clic en continuar y aceptar
  27. 27. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 27  La vista de resultados nos proporciona los siguientes resultados: (I) Máquina Sig. (J) Máquina Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Máquina 4 Máquina 1 ,776 ,610 ,297 Máquina 2 ,776 ,992 ,051 Máquina 3 ,610 ,992 ,028 Máquina 4 ,297 ,051 ,028 Observamos que la diferencia significativa esta entre el tipo de Máquina 3 con el tipo de máquina 4.

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