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Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística
Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística
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Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de g...
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2.- Al hacer enter, se muestra la siguiente pantalla que es donde se ...
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5.- Para encontrar un reporte de la solución por el método simplex, c...
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2.- (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La ...
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2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL ...
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3.- (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 h...
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2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL ...
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4.- (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar ...
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2.- Reporte de la solución por el método simplex utilizando el Métod...
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 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programac...
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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para obtener una utilidad Máxima de $2...
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 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programac...
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8. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máq...
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 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 4x1 + 3x2
Sujeto a:
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10.- Las restricciones pesqueras impuestas por el ministerio obligan...
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11.- Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar y...
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  1. 1. AUTORES Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística DOCENTES ASCRITOS AL DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA DE LA UNPRG – LAMBAYEQUE 2010 ACARGO DE LA ASIGNATURA DE: INVESTIGACION DE OPERACIONES I
  2. 2. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 2 1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades? MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD REGULAR 50% 50% $ 5 SÚPER 75% 25% $ 6 Solución: MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD REGULAR 50%*3000 =1500 50%*2000 =1000 $ 5 SÚPER 75%* 3000 =2250 25%*2000 =500 $ 6 GALONES DISPONIBLES 3000 2000  Variable s de Decisión: x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones x2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones  Función Objetivo: Maximizar sus utilidades  Restricciones: R1. 1500x1 + 1000x2 < 3000 R.2. 2250x1 + 500x2 < 2000  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 5x1 + 6x2 Sujetos a: 1500x1 + 1000x2 < 3000 2250x1 + 500x2 < 2000 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 Utilizando el Sofwared Vbtora98 , para darle su solución en forma grafica: 1.- Declaramos, el titulo del problema, el número de variables, el número de restricciones, como se muestra en la siguiente pantalla.
  3. 3. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 3 2.- Al hacer enter, se muestra la siguiente pantalla que es donde se inscribe el Modelo de Programación Lineal. 3.- Hacemos clic en Solve Menu, aparece la siguiente pantalla: Si usted desea guardar su archivo la clic en la opción si, en caso contrario clic en la acción no. 4.- Clic en solución grafica y aparece la siguiente pantalla:
  4. 4. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 4 5.- Para encontrar un reporte de la solución por el método simplex, clic en solución del problema, clic en método algebraico se puede seleccionar que le de la tabla final o iteración por iteración, como se muestra: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: La compañía para obtener una utilidad máxima de 18 dólares, debe producir 3 galones wisqui Super y ningún galón del wisqui Regular
  5. 5. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 5 2.- (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que la más cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15 por cada kilo de la mezcla más cara? MEZCLA CACAHUATE NUEZ GANANCIA POR SEMANA BARATA 80% 20% $10 POR KILO CARA 50% 50% $ 15 POR KILO Solución: MEZCLA CACAHUATE NUEZ GANANCIA POR SEMANA BARATA 80%*1800 14400 20%*1200 240 $10 POR KILO CARA 50%*1800 900 50%*1200 600 $ 15 POR KILO DISPONIBILIDAD EN Kg. 1800 1200  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos x2 = Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos  Función Objetivo: Maximizar sus utilidades  Restricciones: R1. 1440x1 + 240x2 < 1800 R.2. 900x1 + 600x2 < 1200  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 10x1 + 15x2 Sujetos a: 1440x1 + 240x2 < 1800 900x1 + 600x2 < 1200 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Grafica:
  6. 6. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 6 2.- Reporte de la solución por el método simplex: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para obtener una utilidad máxima de 30 dólares semanales, se debe hacer una mezcla de 2 kilogramos de la marca cara y no se debe realizar mezcla con la marca Barata.
  7. 7. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 7 3.- (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 hectáreas en los cuales puede sembrar Maíz y Arroz . Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por hectárea: CULTIVOS COSTO DE PLANTAR DEMANDA HORAS- HOMBRE UTILIDAD MAIZ $20 5 $ 100 ARROZ $40 20 $ 300 Formule el modelo de Programación lineal que permita maximizar sus utilidades del granjero. Solución: CULTIVOS HECTAREAS COSTO DE PLANTAR DEMANDA HORAS-HOMBRE UTILIDAD MAIZ 1 $20 5 $ 100 ARROZ 1 $40 20 $ 300 RECURSO DISPONIBLE 100 $3000 1350  Variable s de Decisión: x1 = Producción de Maíz por hectárea. x2 = Producción de Arroz por hectárea.  Función Objetivo: Maximizar sus utilidades  Restricciones: R1. x1 + x2 < 100 R.2. 5x1 + 20x2 < 1350 R.3. 20x1 + 40x2 < 3000  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 100x1 + 300x2 Sujeto a: x1 + x2 < 100 5x1 + 20x2 < 1350 20x1 + 40x2 < 3000 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Gráfica:
  8. 8. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 8 2.- Reporte de la solución por el método simplex: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para obtener una utilidad máxima de 21000 dólares, se debe cultivar 30 hectáreas de Maíz y 60 hectáreas de Arroz.
  9. 9. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 9 4.- (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la combinación más barata de dos productos, A y B, que contienen:  al menos 0.5 miligramos de tiamina  al menos 600 calorías PRODUCTO TIAMINA CALORIAS A 0.2 mg 100 B 0.08 mg 150 Solución: PRODUCTO TIAMINA CALORIAS A 0.2 mg 100 B 0.08 mg 150 REQUERIMINETOS MINIMOS 0.5 600  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad mas Barata del producto A x2 = Cantidad mas Barata del Producto B  Función Objetivo: Minimizar Recursos  Restricciones: R1. 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5 R.2. 100x1 + 150x2 > 600  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Min Z = x1 + x2 Sujeto a: 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5 100x1 + 150x2 > 600 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Gráfica, como el tora no admite los valore de la primera restricción entonces a la primera restricción lo multiplicamos por 100.
  10. 10. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 10 2.- Reporte de la solución por el método simplex utilizando el Método M: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para Minimizar los costos a $4.41 se deben Adquirir 1.23 mg. Del producto A, y 3.18 mg. Del producto B. 5.- En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal produce una utilidad de $4.50 y las halógenas $ 6.00. La producción está limitada por el hecho de que no se pueden fabricar al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima ganancia? Solución: BOMBILLAS Producción 1 Producción 2 Producción diaria Utilidad $ Normal 1 0 1 5 Halógenas 0 1 1 6 Producción Máxima diaria 400 300 500  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad de bombillas Normales a producir diariamente. x2 = Cantidad de bombillas Halógenas a producir diariamente.  Función Objetivo: Maximizar utilidades.  Restricciones: R1. x1 < 400 R.2. x2 < 300 R.3. x1 + x2 < 500
  11. 11. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 11  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z =5x1 + 6x2 Sujeto a: x1 < 400 x2 < 300 x1 + x2 < 500 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Gráfica: 2.- Reporte de la solución por el método simplex:
  12. 12. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 12 INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para obtener una utilidad Máxima de $2800 dólares diarios se producir 200 bombillas normales y 300 bombillas de halógeno. 6. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un departamento, de química industrial, almacena, al menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de vasos almacenados no debe exceder de 1200. Determine las cantidades posibles de estos dos tipos de vasos que pueden almacenarse y muéstrelo con una gráfica. Solución:  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad de vasos de primer tamaño que deben almacenarse. x2 = Cantidad de vasos de segundo tamaño que deben almacenarse.  Función Objetivo: Maximizar el número de vasos almacenados  Restricciones: R1. x1 > 300 R.2. x2 > 400 R.3. x1 + x2 < 1200  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = x1 + x2 Sujeto a: x1 > 300 x2 > 400 x1 + x2 < 1200 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Gráfica:
  13. 13. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 13 2.- Reporte de la solución por el método simples, como el modelo es mixto para la solución utilizamos el método M (Método de penalñización): INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para Maximizar la capacidad de almacenamiento se deben almacenar 800 vasos del primer tamaño y 400 vasos del segundo tamaño, 7.- Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 8 días – operario, para fabricar la de un coche se necesitan 2 días – operario. En la nave B se invierten 3 días – operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por las limitaciones de mano de obra y maquinaria la nave A dispone de 300 días – operario, y la nave B de 270 días – operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 4 mil dólares y por cada automóvil 2 mil dólares ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las utilidades las ganancias? Solución: NAVE AUTOMOVILES CAMIONES Dias-operario A 2 7 300 B 3 3 270 UTILIDAD 2 4  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad de carrocerías para automóviles a fabricar. x2 = Cantidad de carrocerías para camiones a fabricar.  Función Objetivo: Maximizar utilidades  Restricciones: R1. x1 + x2 < 8 R.2. 2x1 + 7x2 < 300 R.3. 3x1 + 3x2 < 270
  14. 14. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 14  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 2x1 + 4x2 Sujetos a: x1 + x2 < 7 2x1 + 7x2 < 300 3x1 + 3x2 < 270 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Gráfica: 2.- Reporte de la solución por el método simplex: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para obtener una utilidad Máxima de 32 mil dólares se deben producir 8 carrocerías de camiones.
  15. 15. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 15 8. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia 1 10 6 8 $2 2 5 20 15 $3 Determine cuantas unidades de cada productos se deben producir por día, que permita maximizar las Ganancias. Solución:  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad de Unidades del Producto 1, a producir por día. x2 = Cantidad de Unidades del Producto 2, a producir por día.  Función Objetivo: Maximizar las Ganancias.  Restricciones: R1. 10x1 + 5x2 < 10(60) R.2. 6x1 + 20x2 < 10(60) R.3. 8x1 + 15x2 < 10(60)  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 2x1 + 3x2 Sujetos a: 10x1 + 5x2 < 600 6x1 + 20x2 < 600 8x1 + 15x2 < 600 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Gráfica:
  16. 16. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 16 2.- Reporte de la solución por el método simplex: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para tener una ganancia máxima de $141,8182 dólares diarios se deben producir por día 55 unidades del producto 1 y 11 unidades del producto 2, por día. 9.- En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1800 millones de pesos, siendo el costo de cada tipo de casa de 30 y 20 millones, respectivamente. El condominio exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 4 millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿ cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio?. Solución: TIPO DE CASAS COSTO MILLONES DE $ CASAS BENEFICIO MILLONES DE $ A 30 1 4 B 20 1 3 RECURSO DISPONIBLE $1800 80  Variable s de Decisión: x1 = Cantidad de casas tipo A a construir. x2 = Cantidad de casas tipo B a construir  Función Objetivo: Maximizar los Beneficios.  Restricciones: R1. 30x1 + 20x2 < 1800 R.2. x1 + x2 < 80  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
  17. 17. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 17  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 4x1 + 3x2 Sujeto a: 30x1 + 20x2 < 1800 x1 + x2 < 80 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución por el método gráfico: 2.- Reporte de la solución por el método simplex: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para tener una ganancia máxima de 260 millones de dólares se deben construir 20 casas tipo A y 60 casas tipo B.
  18. 18. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 18 10.- Las restricciones pesqueras impuestas por el ministerio obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de jurel, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de $1000 por kg y el precio del jurel es de $1500 por kg, ¿ Qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?. Solución: TIPO DE PESCADO PEZCA EN TONELADAS PEZCA PRECIO $ MERLUZA 1 0 1 1000 JUREL 0 1 1 1500 RECURSO MAXIMO 2000 2000 3000  Variable s de Decisión: x1 = Tonelada de Merluza a pescar. x2 = Tonelada de Jurel a pescar.  Función Objetivo: Maximizar los Beneficios.  Restricciones: R1. x1 < 2000 R.2. x2 < 2000 R.3 x1 + x2 < 3000  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = 1000x1 + 1500x2 Sujeto a: x1 < 2000 x2 < 2000 x1 + x2 < 3000 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Gráfica:
  19. 19. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 19 2.- Reporte de la solución por el método simplex: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para tener una ganancia máxima de 4000 dólares se debe pescar 1000 toneladas de Merluza y 2000 toneladas de Jurel.
  20. 20. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 20 11.- Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada.-Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto es de US$ 40 por hectárea. El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica: Mes Consumo m3 / Hcta Trigo Consumo m3 / Hcta Cebada Disponibilidad m3 Octubre 900 650 57900 Noviembre 1200 850 115200 Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso. Los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada. Utilizando el método gráfico, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio. SOLUCION  Variable s de Decisión: x1 = cantidad de hectáreas destinadas al sembrado de Trigo. x2 = cantidad de hectáreas destinadas al sembrado de Cebada.  Función Objetivo: Maximizar los Beneficios.  Restricciones: R1. x1 + x2 < 70 R.2. 30x1 + 40x2 < 2500 R.3 900x1 + 650x2 < 57900 R.4. 1200 x1 + 850x2 < 115200  Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0  Modelo de Programación Lineal: Max Z = [30(45) - 30] x1 + [25(6) - 40] x2 Max Z = 105 x1 + 110 x2 Sujeto a: x1 + x2 < 70 30x1 + 40x2 < 2500 900x1 + 650x2 < 57900 1200 x1 + 850x2 < 115200 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 1.- Solución Gráfica:
  21. 21. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco 21 2.- Reporte de la solución por el método simplex: INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO: Para tener un beneficio máximo de 7550 dólares se debe destinar a la siembra 30 hectáreas de Trigo y 40 hectáreas de cebada. .

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