1.
Análisis Numérico
José Fuentes
Ciudad Universitaria, 7 de febrero de 2023

2.
Outline
Contenidos
Importancia de los métodos numéricos
Teorı́a del Error
Conceptos básicos limite y convergencia.

3.
Objetivo general
Reconocer el error numérico como un elemento inevitable en el uso de calculadoras y
computadoras.
Teorı́a del Error 24/75

4.
Objetivos Especı́ficos
• Conocer los distintos sistemas de numeración los cuales sirven para contar, medir
y ordenar.
• Representar números reales en notación de punto flotante.
• Determinar la fuente de error en la aritmética de computadoras.
• Analizar el error de redondeo en la representación de cantidades dadas y su
propagación.
Teorı́a del Error 25/75

5.
Ejemplos particulares.
Example (Encontrar el área)
Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de y = sen(x), y = e( x)
con x 2 [0, ⇡]
Solution
Es necesario determinar los puntos de intersección de las gráficas de y = sen(x),
y = e( x), para lo cual debemos resolver la ecuación
2sen(x) = exp( x)
pero no disponemos de un método algebráico para hacerlo.
Teorı́a del Error 26/75

6.
Teorı́a del Error 27/75

7.
Ejemplos particulares.
Example (Cálculo de raı́ces)
Encontrar las raı́ces de la ecuación polinómica
x5
+ 11x4
21x3
10x2
21x 5 = 0
Solution
se trata de hallar los ceros de un polinomio de grado 5, y como sabemos, solo se
conocen métodos algebraicos generales para encontrar raı́ces de ecuaciones
polinómicas de grado menor o igual que 4.
Teorı́a del Error 28/75

8.
Teorı́a del Error 29/75

9.
Ejemplos particulares.
Example (Sistemas lineales y no lineales)
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: El sistema lineal AX = b con
A =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 1
0 0 0 1 2
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
y b =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
3
2
2
2
1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Teorı́a del Error 30/75

10.
Ejemplos particulares.
Example (Sistemas lineales y no lineales)
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
x2 + xy3 = 9
3x2y y3 = 4
Teorı́a del Error 31/75

11.
Solution
tenemos 2 sistemas de ecuaciones: El de la parte a) es lineal y conocemos métodos de
solución (por ejemplo, el método de eliminación gaussiana), sin embargo para sistemas
de tamaño mayor, no solo es conveniente sino necesario implementar tales métodos a
través de la computadora (método numérico). En la parte b) tenemos un sistema no
lineal (Véase Figura 1.3) y no conocemos métodos algebraicos generales para resolverlo.
Teorı́a del Error 32/75

12.
Teorı́a del Error 33/75

13.
Ejemplos particulares.
Example (Interpolación)
Dada la siguiente tabla correspondiente a y = f (x),
xk -2 -1 0 1 2 3
f (xk) -5 1 1 1 7 25
encontrar el polinomio de menor grado que pase a través de los puntos dados.
Solution
se puede resolver analı́ticamente (por interpolación), sin embargo para determinar los
coeficientes de dichos polinomios existen técnicas que permiten encontrarlos
rápidamente y que pueden implementarse en la computadora (Véase Figura 1.4)
Teorı́a del Error 34/75

14.
Teorı́a del Error 35/75

15.
Ejemplos particulares.
Example (Evaluar Integrales)
1.
Z 1
0
sen(x)
x
dx
2.
Z 1
0
exp(x2
)dx
3.
Z ⇡/2
0
r
1
sen2(x)
4
dx
4.
Z 3
2
1
ln(x)
dx
Solution
Son ejercicios los cuales el integrando tiene anditderivada no elemental.
Teorı́a del Error 36/75

16.
Ejemplos particulares.
Example (Solución de ED con valores iniciales )
Resolver el problema de valor inicial
d2✓
dt2
+
d✓
dt
+ 16sen(✓)
✓(0) =
⇡
4
, ✓0
(0) = 0
Solution
la ecuación diferencial ordinaria
2
Teorı́a del Error 37/75

17.
Conclusiones acerca de la importancia del Análisis Numérico
Los problemas anteriores sirven como motivación para el estudio de cinco grandes
temas en un primer curso de métodos numéricos:
• solución numérica de una ecuación no lineal en una variable,
• solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales y no-lineales,
• interpolación polinomial,
• diferenciación e integración numérica y
• solución numérica de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales
ordinarias.
Teorı́a del Error 38/75

18.
Gracias