1.
Análisis Numérico
José Fuentes
Ciudad Universitaria, 7 de febrero de 2023

2.
Historia
• Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible
formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando
operaciones aritméticas.
• Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una
caracterı́stica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos
cálculos aritméticos.
• No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el
papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingenierı́a haya
aumentado de forma considerable en los últimos años.
Teorı́a del Error 39/75

3.
Métodos no Computacionales
• Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad
creciente de las computadoras (en especial de las personales) y su asociación con
los métodos numéricos han influido de manera muy significativa en el proceso de
la solución actual de los problemas en ingenierı́a.
• Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos
para la solución de problemas.
Teorı́a del Error 40/75

4.
Métodos no Computacionales
• Las soluciones de algunos problemas fueron obtenidas usando métodos exactos o
analı́ticos.
• Las soluciones gráficas fueron usadas para caracterizar el comportamiento de los
sistemas.
• Para implementar los métodos numéricos manualmente se utilizaban calculadoras
y reglas de cálculo.
Teorı́a del Error 41/75

5.
Métodos no Computacionales
• Las soluciones de algunos problemas fueron obtenidas usando métodos exactos o
analı́ticos.
• Dichas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente
del comportamiento de algunos sistemas.
• No obstante, las soluciones analı́ticas sólo pueden encontrarse para una clase
limitada de problemas.
• Éstos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y
también aquellos que tienen una geometrı́a simple y de baja dimensión.
Teorı́a del Error 42/75

6.
Métodos no Computacionales
• En consecuencia, las soluciones analı́ticas tienen un valor práctico limitado porque
la mayorı́a de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos
complejos.
• Las soluciones gráficas fueron usadas para caracterizar el comportamiento de los
sistemas.
• Usualmente gráficas o monogramas, las cuales tomaban la forma de gráficas o
monogramas; aunque las técnicas gráficas se utilizan a menudo para resolver
problemas complejos, los resultados no son muy precisos.
• Además, las soluciones gráficas (sin la ayuda de una computadora) son en
extremo tediosas y difı́ciles de implementar.
Teorı́a del Error 43/75

7.
Métodos no Computacionales
• Finalmente, las técnicas gráficas están limitadas a los problemas que puedan
describirse usando tres dimensiones o menos.
• Para implementar los métodos numéricos manualmente se utilizaban calculadoras
y reglas de cálculo.
• Aunque en teorı́a dichas aproximaciones deberı́an ser perfectamente adecuadas
para resolver problemas complicados, en la práctica se presentan varias
dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.
• Además, los resultados no son consistentes, ya que surgen equivocaciones cuando
se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.
Teorı́a del Error 44/75

8.
Outline
Contenidos
Importancia de los métodos numéricos
Teorı́a del Error
Conceptos básicos limite y convergencia.

9.
Lı́mite de una función.
Definition (Lı́mite)
Sea una función f definida en un conjunto ⌦ tiene lı́mite L en x0
lı́m
x!x0
f (x) = L
Dado cualquier número real ✏ > 0, existe un número real > 0 tal que
|f (x) L| < ✏, siempre que x 2 ⌦ y 0 < |x x0| <
Conceptos básicos limite y convergencia. 50/75

10.
Lı́mite de una función.
Example (Lı́mite)
Si g(x) = cos(x) y nos damos un ✏ = 10 5, como deberı́a ser el tamaño del
Solution
------------------------------------------------------------
El tama~
no del épsilon es = 1e-05
|g(x)-L| = 4.999999583255033e-07
|x-xo| = 0.001
4.999999583255033e-07 < 1e-05 ?
True ------------------------------------------------------------
Conceptos básicos limite y convergencia. 51/75

11.
Lı́mite de una función.
Example (Lı́mite)
Si f (x) = sin(x) y nos damos un ✏ = 10 5, como deberı́a ser el tamaño del
Solution
------------------------------------------------------------
El tama~
no del épsilon es = 1e-05
|f(x)-L| = 0.0009999998333333417
0.0009999998333333417 < 1e-05 ?
False
------------------------------------------------------------
Conceptos básicos limite y convergencia. 52/75

12.
Lı́mite de una función.
Example (Lı́mite)
Si h(x) = x2
y nos damos un ✏ = 10 7
, como deberı́a ser el tamaño del
Solution
------------------------------------------------------------
El tama~
no del épsilon es = 1e-07
|h(x)-L| = 1e-06
1e-06 < 1e-07 ?
False
------------------------------------------------------------
Conceptos básicos limite y convergencia. 53/75

13.
Continuidad
Sea una función f definida en un conjunto ⌦ de números reales y x0 2 ⌦. Entonces f
es continua en x0 si
lı́m
x!x0
f (x) = f (x0)
Al conjunto de todos las funciones continuas en el conjunto ⌦ se denota por C(⌦)
(C([a, b]) o C(a, b] si ⌦ es un intervalo).
Conceptos básicos limite y convergencia. 54/75

14.
Ejemplo de continuidad
Example (Función Continua )
Dada la función f (x) = |x| la cual es continua en todo su dominio, pero las siguientes
función no lo es
g(x) =
8
<
:
1, si x < 0
1, si x 0
(1)
y
h(x) =
1
x
Conceptos básicos limite y convergencia. 55/75

15.
Ejemplo de continuidad y discontinuidad de algunas funciones
Conceptos básicos limite y convergencia. 56/75

16.
Gracias