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Cinemática Rotacional
En los temas anteriores hemos estudiado básicamente el movimiento de traslación de un
cuerpo, en cual todas sus partículas siguen la misma trayectoria. En la cinemática
rotacional se estudia el movimiento de rotación de un objeto (sin considerar sus causas),
donde cada una de sus partículas sigue en una trayectoria en forma de circunferencia
alrededor de un eje de rotación. Para el movimiento de rotación no se puede utilizar el
modelo de partícula, ya que cada parte del cuerpo se mueve de manera distinta; sin
embargo en la rotación se considera al objeto como un cuerpo rígido, es decir, como un
cuerpo donde las diversas distancias entre sus partículas se mantienen fijas y su forma
no cambia durante el movimiento. Para describir el movimiento de rotación se usan
magnitudes angulares como posición angular, velocidad angular y la aceleración
angular.
1) Cuerpo rígido
Un cuerpo rígido se considera como un caso especial de un sistema de partículas, donde
las distancias relativas entre todas sus partículas permanecen constantes. Esto implica
que los cuerpos rígidos siempre mantienen su forma y su tamaño durante el
movimiento. En la realidad todos los cuerpos se deforman durante el movimiento pero
en buena aproximación se comportan como cuerpos rígidos. Ejemplo: el movimiento de
un caucho de automóvil.
2) Traslación y rotación
En un cuerpo rígido podemos distinguir dos tipos de movimiento: Traslación y Rotación
 Traslación: Es el movimiento en el cual todas las partículas describen la misma
trayectoria (curvilínea o recta). En la traslación todas las partículas tienen la misma
velocidad y aceleración en cada instante.
 Rotación: Es el movimiento en el cual todas sus partículas siguen como trayectoria
una circunferencia cuyo centro es una línea llamada eje de rotación. En la rotación
cada particula varía su velocidad y aceleración de acuerdo al radio de su
circunferencia.
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3) Magnitudes de la cinemática rotacional
La rotación de un cuerpo se puede describir a través de magnitudes físicas tales como:
posición angular, velocidad angular y aceleración angular
 Posición angular
La posición angular para una particula P en un cuerpo rígido a una distancia radial r
del eje de rotación, esta dado escalarmente por el ángulo  con el eje horizontal en un
sistema de coordenadas cartesianas xy
El ángulo  puede ser determinado como el cociente entre la longitud de arco de
circunferencia s y la distancia radial r , esto es:
r
s

 (1)
La unidad de medida del ángulo  en el SI viene dada en radianes. Su equivalencia en
grados es:
57,3º
rad
1  ; 360º
rad
2 

 Velocidad angular
Si la posición angular varía en 
 durante un tiempo t
 se define la velocidad angular
media  en forma escalar como:
t


 
Luego la velocidad angular instantánea  viene dada como el límite de la velocidad
angular media cuando t
 tiende a cero. Escalarmente esto es:
dt
d
t
o
t


 







 


lim (2)
La unidad de la velocidad angular en SI es: rad/s
y
P
Eje de rotación
s
θ x
r
Profesor Donato Loparco Galasso Página 3
 Aceleración angular
Si la velocidad angular varía en 
 durante un tiempo t
 se define la aceleración
angular media  en forma escalar como:
t


 
Luego la aceleración angular instantánea  viene dada como el límite de la velocidad
angular media cuando t
 tiende a cero. Escalarmente esto es:
t
d
d
dt
d
t
o
t 2
2
lim



 








 


(3)
La unidad de la aceleración angular en el SI es: rad/s2
4) Ecuaciones del movimiento de rotación con aceleración angular constante
Las ecuaciones del movimiento de rotación con aceleración angular constante son
análogas a las ecuaciones del movimiento de traslación con aceleración lineal constante.
Escalarmente dichas ecuaciones del movimiento de rotación son:
2
o
2
1
t
t
o 


 


t
o 

 
 (4)
)
(
2
2
2
o
o 



 


5) Forma vectorial del movimiento rotacional
 Vector desplazamiento angular
Si el desplazamientos angular 
 de un cuerpo es muy pequeño este puede ser
considerado como un vector desplazamiento angular 

d .
 Vector velocidad angular
El vector velocidad angular 

se define como el cociente entre el vector 

d y el
intervalo de tiempo infinitesimal dt , esto es:
dt
d



 (5)
 Los vectores 

y 

d tienen como dirección
la recta del eje de rotación. Sus sentidos se
determinan por la regla de la mano derecha:
Se curvan los dedos en el sentido de
la rotación y el pulgar señala donde apuntan
 

tiene la misma dirección y sentido que 

d
Profesor Donato Loparco Galasso Página 4
 Vector aceleración angular
El vector aceleración angular 

se define como el cociente entre el vector 

d y el
intervalo de tiempo infinitesimal dt , esto es:
dt
d



 (6)
Si el eje de rotación esta fijo entonces 

tiene la misma dirección del eje de rotación
 Si 

está creciendo, 

apunta en el mismo sentido de 

 Si 

está decreciendo, 

apunta en sentido contrario de 

6) Relaciones entre la cinemática lineal y angular
A continuación planteamos las relaciones matemáticas entre la cinemática lineal y
angular:
 Velocidad lineal y velocidad angular
Consideremos una particula P ubicada con el vector posición r

, que es trazado desde
un origen arbitrario O en el eje de rotación. Podemos expresar su velocidad lineal v

como el producto vectorial de 

con r

, esto es:
r
v




  (7)
El módulo de este producto vectorial es:
R
Sen
r
r
v
v 


 







R
v 
 (8)
 Donde R es el radio del círculo en el cual gira
la particula P
 El vector v

es perpendicular tanto al vector 

como al vector r

Profesor Donato Loparco Galasso Página 5
 Aceleración tangencial y aceleración angular
La aceleración tangencial t
a

de una particula P ubicada con el vector posición r

,
que es trazado desde un origen arbitrario O en el eje de rotación, se puede expresar
como el producto vectorial de 

con r

, esto es:
r
at




  (9)
Si ponemos el origen en el plano de rotación de la `particula P, entonces R
r  y los
vectores 

y r

son perpendiculares entre sí. Por tanto el módulo de la aceleración
tangencial es:
º
90 R
Sen
r
r
a
a t
t 

 







R
at 
 (10)
 Aceleración radial y la velocidad angular
La aceleración radial r
a

de una particula P que gira alrededor de un eje de rotación
que pasa por el origen arbitrario O, se puede expresar como el producto vectorial de
los vectores 

y v

, esto es:
v
ar




  (11)
Como 

y v

son perpendiculares entre si y como R
v 
 , se tiene que el módulo
de de la aceleración radial es:
R
Sen
v
v
a
a r
r
2
º
90 

 







R
ar
2

 ,
R
v
ar
2
 (12)
Profesor Donato Loparco Galasso Página 6
La componente tangencial de la aceleración t
a

surge de la variación del módulo de la
velocidad tangencial v

y la componente radial de la aceleración r
a

está relacionada
con la variación de la dirección de la velocidad lineal v

. Sumando ambas componentes
de obtiene la aceleración a

de una particula P de un cuerpo rígido con movimiento de
rotación, esto es:
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t a
a
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



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Cinematica de rotacion

  • 1. Profesor Donato Loparco Galasso Página 1 Cinemática Rotacional En los temas anteriores hemos estudiado básicamente el movimiento de traslación de un cuerpo, en cual todas sus partículas siguen la misma trayectoria. En la cinemática rotacional se estudia el movimiento de rotación de un objeto (sin considerar sus causas), donde cada una de sus partículas sigue en una trayectoria en forma de circunferencia alrededor de un eje de rotación. Para el movimiento de rotación no se puede utilizar el modelo de partícula, ya que cada parte del cuerpo se mueve de manera distinta; sin embargo en la rotación se considera al objeto como un cuerpo rígido, es decir, como un cuerpo donde las diversas distancias entre sus partículas se mantienen fijas y su forma no cambia durante el movimiento. Para describir el movimiento de rotación se usan magnitudes angulares como posición angular, velocidad angular y la aceleración angular. 1) Cuerpo rígido Un cuerpo rígido se considera como un caso especial de un sistema de partículas, donde las distancias relativas entre todas sus partículas permanecen constantes. Esto implica que los cuerpos rígidos siempre mantienen su forma y su tamaño durante el movimiento. En la realidad todos los cuerpos se deforman durante el movimiento pero en buena aproximación se comportan como cuerpos rígidos. Ejemplo: el movimiento de un caucho de automóvil. 2) Traslación y rotación En un cuerpo rígido podemos distinguir dos tipos de movimiento: Traslación y Rotación  Traslación: Es el movimiento en el cual todas las partículas describen la misma trayectoria (curvilínea o recta). En la traslación todas las partículas tienen la misma velocidad y aceleración en cada instante.  Rotación: Es el movimiento en el cual todas sus partículas siguen como trayectoria una circunferencia cuyo centro es una línea llamada eje de rotación. En la rotación cada particula varía su velocidad y aceleración de acuerdo al radio de su circunferencia.
  • 2. Profesor Donato Loparco Galasso Página 2 3) Magnitudes de la cinemática rotacional La rotación de un cuerpo se puede describir a través de magnitudes físicas tales como: posición angular, velocidad angular y aceleración angular  Posición angular La posición angular para una particula P en un cuerpo rígido a una distancia radial r del eje de rotación, esta dado escalarmente por el ángulo  con el eje horizontal en un sistema de coordenadas cartesianas xy El ángulo  puede ser determinado como el cociente entre la longitud de arco de circunferencia s y la distancia radial r , esto es: r s   (1) La unidad de medida del ángulo  en el SI viene dada en radianes. Su equivalencia en grados es: 57,3º rad 1  ; 360º rad 2    Velocidad angular Si la posición angular varía en   durante un tiempo t  se define la velocidad angular media  en forma escalar como: t     Luego la velocidad angular instantánea  viene dada como el límite de la velocidad angular media cuando t  tiende a cero. Escalarmente esto es: dt d t o t                lim (2) La unidad de la velocidad angular en SI es: rad/s y P Eje de rotación s θ x r
  • 3. Profesor Donato Loparco Galasso Página 3  Aceleración angular Si la velocidad angular varía en   durante un tiempo t  se define la aceleración angular media  en forma escalar como: t     Luego la aceleración angular instantánea  viene dada como el límite de la velocidad angular media cuando t  tiende a cero. Escalarmente esto es: t d d dt d t o t 2 2 lim                  (3) La unidad de la aceleración angular en el SI es: rad/s2 4) Ecuaciones del movimiento de rotación con aceleración angular constante Las ecuaciones del movimiento de rotación con aceleración angular constante son análogas a las ecuaciones del movimiento de traslación con aceleración lineal constante. Escalarmente dichas ecuaciones del movimiento de rotación son: 2 o 2 1 t t o        t o      (4) ) ( 2 2 2 o o         5) Forma vectorial del movimiento rotacional  Vector desplazamiento angular Si el desplazamientos angular   de un cuerpo es muy pequeño este puede ser considerado como un vector desplazamiento angular   d .  Vector velocidad angular El vector velocidad angular   se define como el cociente entre el vector   d y el intervalo de tiempo infinitesimal dt , esto es: dt d     (5)  Los vectores   y   d tienen como dirección la recta del eje de rotación. Sus sentidos se determinan por la regla de la mano derecha: Se curvan los dedos en el sentido de la rotación y el pulgar señala donde apuntan    tiene la misma dirección y sentido que   d
  • 4. Profesor Donato Loparco Galasso Página 4  Vector aceleración angular El vector aceleración angular   se define como el cociente entre el vector   d y el intervalo de tiempo infinitesimal dt , esto es: dt d     (6) Si el eje de rotación esta fijo entonces   tiene la misma dirección del eje de rotación  Si   está creciendo,   apunta en el mismo sentido de    Si   está decreciendo,   apunta en sentido contrario de   6) Relaciones entre la cinemática lineal y angular A continuación planteamos las relaciones matemáticas entre la cinemática lineal y angular:  Velocidad lineal y velocidad angular Consideremos una particula P ubicada con el vector posición r  , que es trazado desde un origen arbitrario O en el eje de rotación. Podemos expresar su velocidad lineal v  como el producto vectorial de   con r  , esto es: r v       (7) El módulo de este producto vectorial es: R Sen r r v v             R v   (8)  Donde R es el radio del círculo en el cual gira la particula P  El vector v  es perpendicular tanto al vector   como al vector r 
  • 5. Profesor Donato Loparco Galasso Página 5  Aceleración tangencial y aceleración angular La aceleración tangencial t a  de una particula P ubicada con el vector posición r  , que es trazado desde un origen arbitrario O en el eje de rotación, se puede expresar como el producto vectorial de   con r  , esto es: r at       (9) Si ponemos el origen en el plano de rotación de la `particula P, entonces R r  y los vectores   y r  son perpendiculares entre sí. Por tanto el módulo de la aceleración tangencial es: º 90 R Sen r r a a t t            R at   (10)  Aceleración radial y la velocidad angular La aceleración radial r a  de una particula P que gira alrededor de un eje de rotación que pasa por el origen arbitrario O, se puede expresar como el producto vectorial de los vectores   y v  , esto es: v ar       (11) Como   y v  son perpendiculares entre si y como R v   , se tiene que el módulo de de la aceleración radial es: R Sen v v a a r r 2 º 90            R ar 2   , R v ar 2  (12)
  • 6. Profesor Donato Loparco Galasso Página 6 La componente tangencial de la aceleración t a  surge de la variación del módulo de la velocidad tangencial v  y la componente radial de la aceleración r a  está relacionada con la variación de la dirección de la velocidad lineal v  . Sumando ambas componentes de obtiene la aceleración a  de una particula P de un cuerpo rígido con movimiento de rotación, esto es: r t a a a      (13)