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Jose Armando Rubio Reyes

               2° “B”

Procesos Industriales Área Manufactura

     Ejemplos Prueba de Hipótesis

     Profesor: Edgar Mata Ortiz
Ejemplo 1
Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la
población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En
un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la
creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes
puntuaciones:

11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8,
23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15.


A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es
efectivo?

SOLUCIÓN

1º Ho   = 11,5

2º H1   > 11,5


3º El estadístico de contraste en este caso es: t=




4º La media muestral = 11+9+12+17+8+11+9+4+5+9+14+9+17+24+19+10+17+17+8
+23+8+ 6+14+16+6+7+15+20+14+15= 374/30= 12.47

La desviación típica de la muestra es = 5.22, sustituyendo
en el estadístico estos valores se obtiene:


t=                    = t=           = t=            = t= 1.00

5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la t de Student, con 29
grados de libertad, el valor que deja por debajo de sí una probabilidad de 0.95, que
resulta ser 1.699

6º El valor del estadístico es menor que el valor crítico, por consiguiente se acepta la
hipótesis nula.

7º La interpretación sería que no hay evidencia de que el programa sea efectivo.




                                              José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
Ejemplo 2
Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es 4,35 libras.
Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le
agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los
siguientes pesos ( en libras).




   4,41     4,37     4,33      4,35     4,30     4,39      4,36     4,38     4,40      4,39

En el nivel 0,01, el aditivoa ha aumentado el peso medio de los pollos? Estime el valor de p.




                                                 José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
Ejemplo 3

En una muestra de 1000 nacimientos el número de varones ha sido 542
¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 10%, que en general
nacen más niños que niñas?

SOLUCIÓN:

1º La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo que es lo
mismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2.

Por consiguiente: Ho P = 0,5

2º H1 P > 0,5


3º El estadístico de contraste es:



4º Como la proporción muestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtiene el valor
del estadístico:


             =           =           = 2.66

5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valor de la
variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282.

6º El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 por consiguiente, se
rechaza la hipótesis nula.

7º Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas.




                                             José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
Ejemplo 4
Una empresa que se dedica a hacer en cuestas se queja de que un agente realiza en promedio 53
encuestas por semana. Se ha introducido una forma más moderna de realizar las encuetas y la
empresa quiere evaluar su efectividad. Los números de encuestas realizadas en una semana por
una muestra aleatoria de agentes son:

  53     57    50      55    58     54     60      52     59     62     60     60          51   59   56

En el nivel de significancia 0,05, puede concluirse que la cantidad media de entrevistas
realizadas por los agentes es superior a 53 por semana? Evalúe el valor p.




                                                José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
Ejemplo 5
En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación de
Pearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y el
tiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad,
obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza
del 95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrario
debemos rechazarla.

SOLUCIÓN:
1º Ho = 0

2º H1     0


3º El estadístico de contraste es: t=




4º Sustituyendo tenemos:


t=                = t=                   = t=          = t= 1.98
5º El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student, con 60
grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), el valor que
deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto la región de aceptación
será el intervalo (-2 ,, 2).

6º El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, por consiguiente se
acepta la hipótesis nula.

7º No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que el tiempo
                          empleado no influye en la calificación.




                                             José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
Ejemplo 6
Lisa Monnin es directora de presupuesto en la empresa New Process Company, desea comparar
  los gastos diarios de transporte del equipo de ventas y del personal de cobranza. Recopiló la
                      siguiente información muestral ( importe en dólares).


 Ventas ($)       131     135     146     165      136     142

 Cobranza ($)      130     102      129     143     149     120      139


Al nivel de significancia de 0,10, puede concluirse que los gastos medios diarios del equipo de
ventas son mayores? cuál es el valor p?




                                                  José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
Ejemplo 7
De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral es de 102 y la
desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de 50 observaciones. La media
mustral es ahora 99 y la desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis
usando como nivel de significancia 0,04.

Ho: u1 = u2
Ho: u1 ≠ u2

a) Es esta una prueba de una o de dos colas?

  Esta es una prueba de hipótesis de dos colas

b ) Establezca la regla de decisión

  Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa

c) Calcule el valor del estadístico de prueba



Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1




d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula?

  Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis
alternativa

  Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05




e) Cuál es el valor p?

  Z = 2,59 Area 0,4952

       0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096




                                                   José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
Ejemplo 8
Las puntuaciones en un test de razonamiento abstracto siguen una distribución
Normal de media 35 y varianza 60. Para evaluar un programa de mejora de las
capacidades intelectuales, a 101 individuos que están realizando este
programa se les pasa el test, obteniéndose una media de 50 puntos y una
varianza de 80 ¿Puede asegurarse, a un nivel de confianza del 90%, que el
programa incrementa las diferencias individuales en esta variable?

SOLUCIÓN:

1º H0 s2 60

2º H1 s2 60


3º El estadístico de contraste es:



4º Sustituyendo en el estadístico obtenemos:

          =           = 134.7
5º Como el contraste es unilateral buscamos en las tablas de la Ji-cuadrado, con 100
grados de libertad, el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de
0,9, este valor es 118,5.

6º El valor del estadístico es mayor que el valor crítico, por consiguiente se rechaza la
hipótesis nula.



7º En efecto, la varianza es significativamente mayor lo que indica que ha aumentado la
dispersión de la puntuaciones lo que indica que se han incrementado las diferencias
entre los individuos.




                                             José Armando Rubio Reyes 2° ”B”

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  • 1. Jose Armando Rubio Reyes 2° “B” Procesos Industriales Área Manufactura Ejemplos Prueba de Hipótesis Profesor: Edgar Mata Ortiz
  • 2. Ejemplo 1 Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones: 11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8, 23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15. A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo? SOLUCIÓN 1º Ho = 11,5 2º H1 > 11,5 3º El estadístico de contraste en este caso es: t= 4º La media muestral = 11+9+12+17+8+11+9+4+5+9+14+9+17+24+19+10+17+17+8 +23+8+ 6+14+16+6+7+15+20+14+15= 374/30= 12.47 La desviación típica de la muestra es = 5.22, sustituyendo en el estadístico estos valores se obtiene: t= = t= = t= = t= 1.00 5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la t de Student, con 29 grados de libertad, el valor que deja por debajo de sí una probabilidad de 0.95, que resulta ser 1.699 6º El valor del estadístico es menor que el valor crítico, por consiguiente se acepta la hipótesis nula. 7º La interpretación sería que no hay evidencia de que el programa sea efectivo. José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
  • 3. Ejemplo 2 Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es 4,35 libras. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos ( en libras). 4,41 4,37 4,33 4,35 4,30 4,39 4,36 4,38 4,40 4,39 En el nivel 0,01, el aditivoa ha aumentado el peso medio de los pollos? Estime el valor de p. José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
  • 4. Ejemplo 3 En una muestra de 1000 nacimientos el número de varones ha sido 542 ¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 10%, que en general nacen más niños que niñas? SOLUCIÓN: 1º La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo que es lo mismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2. Por consiguiente: Ho P = 0,5 2º H1 P > 0,5 3º El estadístico de contraste es: 4º Como la proporción muestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtiene el valor del estadístico: = = = 2.66 5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282. 6º El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula. 7º Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas. José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
  • 5. Ejemplo 4 Una empresa que se dedica a hacer en cuestas se queja de que un agente realiza en promedio 53 encuestas por semana. Se ha introducido una forma más moderna de realizar las encuetas y la empresa quiere evaluar su efectividad. Los números de encuestas realizadas en una semana por una muestra aleatoria de agentes son: 53 57 50 55 58 54 60 52 59 62 60 60 51 59 56 En el nivel de significancia 0,05, puede concluirse que la cantidad media de entrevistas realizadas por los agentes es superior a 53 por semana? Evalúe el valor p. José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
  • 6. Ejemplo 5 En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación de Pearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y el tiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad, obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza del 95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrario debemos rechazarla. SOLUCIÓN: 1º Ho = 0 2º H1 0 3º El estadístico de contraste es: t= 4º Sustituyendo tenemos: t= = t= = t= = t= 1.98 5º El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student, con 60 grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto la región de aceptación será el intervalo (-2 ,, 2). 6º El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, por consiguiente se acepta la hipótesis nula. 7º No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que el tiempo empleado no influye en la calificación. José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
  • 7. Ejemplo 6 Lisa Monnin es directora de presupuesto en la empresa New Process Company, desea comparar los gastos diarios de transporte del equipo de ventas y del personal de cobranza. Recopiló la siguiente información muestral ( importe en dólares). Ventas ($) 131 135 146 165 136 142 Cobranza ($) 130 102 129 143 149 120 139 Al nivel de significancia de 0,10, puede concluirse que los gastos medios diarios del equipo de ventas son mayores? cuál es el valor p? José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
  • 8. Ejemplo 7 De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de 50 observaciones. La media mustral es ahora 99 y la desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia 0,04. Ho: u1 = u2 Ho: u1 ≠ u2 a) Es esta una prueba de una o de dos colas? Esta es una prueba de hipótesis de dos colas b ) Establezca la regla de decisión Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa c) Calcule el valor del estadístico de prueba Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1 d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05 e) Cuál es el valor p? Z = 2,59 Area 0,4952 0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096 José Armando Rubio Reyes 2° ”B”
  • 9. Ejemplo 8 Las puntuaciones en un test de razonamiento abstracto siguen una distribución Normal de media 35 y varianza 60. Para evaluar un programa de mejora de las capacidades intelectuales, a 101 individuos que están realizando este programa se les pasa el test, obteniéndose una media de 50 puntos y una varianza de 80 ¿Puede asegurarse, a un nivel de confianza del 90%, que el programa incrementa las diferencias individuales en esta variable? SOLUCIÓN: 1º H0 s2 60 2º H1 s2 60 3º El estadístico de contraste es: 4º Sustituyendo en el estadístico obtenemos: = = 134.7 5º Como el contraste es unilateral buscamos en las tablas de la Ji-cuadrado, con 100 grados de libertad, el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 118,5. 6º El valor del estadístico es mayor que el valor crítico, por consiguiente se rechaza la hipótesis nula. 7º En efecto, la varianza es significativamente mayor lo que indica que ha aumentado la dispersión de la puntuaciones lo que indica que se han incrementado las diferencias entre los individuos. José Armando Rubio Reyes 2° ”B”