Dsp4

Tecnol´gico de Costa Rica
o

Escuela de Ingenier´ Electr´nica
ıa o

Notas de Clase

Procesamiento Digital de Se˜ ales
n

EL-5805

Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya
e

Versi´n de 28 de julio de 2011
o

Prefacio

Estas notas de clase pretenden ofrecer al estudiante una gu´ para el curso “EL-5805 Pro-
ıa
cesamiento Digital de Seãles”. No deben considerarse bajo ninguna circunstancia como
n
fuente de informaciń unica. En cada cap´
o ´ ıtulo se hace referencia a fuentes bibliogr´ficas
a
adicionales que el estudiante debe revisar por su cuenta, con ejercicios adicionales y mayor
detalle en su presentaciń.
o
El concepto del curso se ha orientado en las sugerencias de los autores John G. Proakis y
Dimitris G. Manolakis [15] para un programa semestral de curso de pregrado, con algunas
adiciones y principalmente res´menes de la materia considerados necesarios. M´s detalles
u a
de los temas tratados aqu´ se podrń entonces encontrar del cap´
ı a ıtulo 1 al cap´
ıtulo 8 del
mencionado libro de texto.
Las presentes notas de clase se han adaptado espec´ ıficamente al curso “Procesamiento
Digital de Seãles” de la Escuela de Ingenier´ Electrńica del Tecnol´gico de Costa Rica,
n ıa o o
pero se ponen a disposiciń libre para que sean de provecho a quien las necesite.
o

Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya
e
Cartago, 28 de julio de 2011

Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuciń- o
NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unported. Para ver una copia de esta Licencia, visite
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o env´ una carta a Creati-
ıe
ve Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.

c 2005-2011 Pablo Alvarado Escuela de Electrńica
o Tecnol´gico de Costa Rica
o

´
Indice general

´
Indice de tablas v

´
Indice de ejemplos vii

Lista de s´
ımbolos y abreviaciones ix

1 Introducciń
o 1
1.1 Seãles . . . . . . . . . . . . . . .
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Elementos de un sistema PDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Ventajas del procesamiento digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
´
1.5.1 Areas de aplicaciń . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.3 Implementaciń . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.4 Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Se˜ ales y Sistemas de Variable Discreta
n 13
2.1 Seãles de variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n . . . . . 13
2.1.1 Manipulaciones elementales de seãles de variable discreta
n . . . . . 14
2.1.2 Clasificaciń de seãles de variable discreta . . . . . . . . .
o n . . . . . 16
2.2 Seãles sinusoidales y el concepto de frecuencia . . . . . . . . . .
n . . . . . 21
2.2.1 Seãl sinusoidal continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n . . . . . 22
2.2.2 Seãl sinusoidal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n . . . . . 22
2.2.3 Exponenciales complejos relacionados armńicamente . . .
o . . . . . 26
2.3 Sistemas en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Descripciń entrada-salida de sistemas . . . . . . . . . . .
o . . . . . 27
2.3.2 Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 Clasificaciń de los sistemas discretos . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 31
2.3.4 Interconexiń de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 35
2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo .
a . . . . . 35
2.4.1 Tćnicas de an´lisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e a . . . . . 35
2.4.2 Descomposiciń de una seãl en impulsos . . . . . . . . . .
o n . . . . . 36

i

ii ´
Indice general

2.4.3 Convoluciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 37
2.4.4 Propiedades de la convoluciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 42
2.4.5 Sistemas LTI causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.6 Estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo . . . . . . 43
2.4.7 Sistemas de respuesta finita e infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias . . . . . . . 46
2.5.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.2 Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias con coe-
ficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.3 Soluciń de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes .
o . 51
2.5.4 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . . 56
2.6 Correlaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 58
2.6.1 Autocorrelaciń y correlaciń cruzada . . . . . . . . . . . . . . . .
o o . 58
2.6.2 Propiedades de la correlaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 59
2.6.3 Correlaciń de secuencias peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o . 60
2.6.4 Secuencias de correlaciń de entrada-salida . . . . . . . . . . . . .
o . 61
2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z
a 67
3.1 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 La transformada z directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1 Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.2 Localizaciń de los polos y el comportamiento en el dominio
o de n
para seãles causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n . . . . 75
3.2.3 La funciń de transferencia de un sistema LTI . . . . . . . .
o . . . . 77
3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . 79
3.3.1 Respuesta de sistemas con funciń de transferencia racional .
o . . . . 79
3.3.2 Condiciones iniciales no nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.3 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente . . . . . . .
e . . . . 82
3.3.4 Causalidad y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.5 Cancelaciń polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 83
3.3.6 Polos de orden m´ltiple y estabilidad . . . . . . . . . . . . .
u . . . . 83
3.3.7 Estabilidad de sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 An´lisis frecuencial
a 91
4.1 Espectro de seãles continuas . . . . . . . . . .
n . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.1 Espectro de seãles continuas peri´dicas
n o . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.2 Espectro de seãles continuas aperi´dicas
n o . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Espectro de seãles en tiempo discreto . . . . .
n . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1 Espectro de seãles discretas peri´dicas .
n o . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.2 Espectro de seãles discretas aperi´dicas
n o . . . . . . . . . . . . . . . 99

c 2005-2011 — P. Alvarado

´
Indice general iii

4.2.3 Relaciń entre las transformadas de Fourier y z . . . . . . . . . . . 100
o
4.2.4 El teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de seãles discretas . . . . . . . 109
n
4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.1 La funciń de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
o
4.4.2 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente a entradas sinusoidales113
e
4.4.3 Respuesta en r´gimen permanente a seãles de entrada peri´dicas . 114
e n o
4.4.4 Respuesta a seãles de entrada aperi´dicas . . . . . . . . . . . . . . 115
n o
4.4.5 Relaciones entre la funciń de transferencia y la respuesta en fre-
o
cuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.6 C´lculo de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
a
4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5.1 Filtros ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.2 Filtros paso alto, paso bajo y paso banda . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5.3 Resonadores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.4 Filtros ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5.5 Filtros peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5.6 Filtros paso todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.7 Osciladores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6 Sistemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6.1 Invertibilidad de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.6.2 Sistemas de fase m´ ınima, fase m´xima y fase mixta . . . . . . . . . 132
a
4.6.3 Identificaciń de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
o
4.7 Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7.2 La transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.7.3 Relaciń de la DFT con otras transformadas . . . . . . . . . . . . . 141
o
4.7.4 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7.5 Filtrado lineal basado en la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.7.6 Filtrado de secuencias de larga duraciń . . . . . . . . . . . . . . . 149
o
4.7.7 An´lisis espectral de seãles usando la DFT . . . . . . . . . . . . . 150
a n

5 Conversiń anal´gica/digital y digital/anal´gica
o o o 153
5.1 Muestreo de seãles anal´gicas . . . . . . . . . . .
n o . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1.1 Muestreo de seãles pasa-bajos . . . . . .
n . . . . . . . . . . . . . . 156
5.1.2 Muestreo de seãles pasa-banda . . . . . .
n . . . . . . . . . . . . . . 156
5.2 Cuantificaciń de seãles de amplitud continua . .
o n . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3 Codificaciń de los valores cuantificados . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3.1 N´meros codificados con coma fija . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3.2 N´meros codificados con coma flotante . .
u . . . . . . . . . . . . . . 164
5.4 Circuitos de conversiń anal´gica digital . . . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4.1 Circuito de muestreo y retenciń . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4.2 Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168


iv ´
Indice general

5.4.3 Aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.4.4 Convertidor paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.4.5 Convertidor en subrangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.4.6 Convertidor delta-sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.5 Conversiń Digital/Anal´gica . . . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.5.1 Fuentes de tensiń conmutadas
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.5.2 Resistencias conmutadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.5.3 Condensadores conmutados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.5.4 Redes resistivas R − 2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.5.5 Conversiń DAC delta-sigma . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6 Implementaciń de sistemas discretos
o 183
6.1 N´mero de Condiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u o . . . . . . . . . . . 183
6.2 Estructuras directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.2.1 Estructuras directas para filtros FIR sim´tricos
e . . . . . . . . . . . 188
6.3 Grafos de flujo de seãl y estructuras transpuestas . . .
n . . . . . . . . . . . 188
6.4 Muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.5 Sistemas en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.6 Sistemas paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7 Introducciń al dise˜ o de filtros digitales
o n 197
7.1 Causalidad y sus implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.2 Filtros de respuesta de impulso finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2.1 Diseõ de filtros FIR por el m´todo de ventanas . . . . . . . . . . . 203
n e
7.2.2 Diseõ de filtros optimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
n ´
7.3 Diseõ de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´gicos211
n o
7.3.1 Diseõ por aproximaciń de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 212
n o
7.3.2 Diseõ por invarianza impulsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
n
7.3.3 La transformada z adaptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.3.4 Diseõ por transformaciń bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
n o
7.3.5 Filtros Anal´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
o
7.4 Transformaciń de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
o

Bibliograf´
ıa 219

A Octave y Matlab 221

B Respuestas a Problemas 225

´
Indice alfab´tico
e 231


´
Indice de tablas

1.1 Caracter´
ısticas de las seãles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n 2

2.1 Propiedades de seãles de variable discreta. . . . . . . .
n . . . . . . . . . . . 16
2.2 Propiedades de sistemas discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Ejemplo de convoluciń de dos secuencias finitas. . . .
o . . . . . . . . . . . 38
2.4 Forma general de la soluciń particular para diversos
o tipos de seãl de
n
entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1 Propiedades de la transformada z bilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Transformada z de algunas funciones comunes . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Funciones de transferencia de segundo orden y equivalentes temporales . . 86

4.1 Propiedades de la Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2 Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.1 Estńdar de coma flotante IEEE 754-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
a
5.2 Algunos n´meros especiales en precisiń simple . . . . . . . . . . . . . . . 166
u o
5.3 Algunos n´meros especiales en precisiń doble . . . . . . . . . . . . . . . . 167
u o
−1 −2
6.1 M´dulos de segundo orden con funciń de transferencia H(z) = b0 +b11zz−1 +a2 z−2
o o 1+a
+b2 z

para sistemas en tiempo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.1 Simetr´ en filtros FIR de fase lineal . . . . . . . . . .
ıas . . . . . . . . . . . 203
7.2 Funciones utilizadas como ventanas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3 Descomposiciń de filtros FIR en P (ω) y Q(ω). . . . .
o . . . . . . . . . . . 210
7.4 Caracter´
ısticas de Filtros Paso Bajo Anal´gicos . . . .
o . . . . . . . . . . . 215
7.5 Transformaciones de frecuencia para filtros anal´gicos.
o . . . . . . . . . . . 216
7.6 Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. . . . . . . . . . . . . . 217

v

vi ´
Indice de tablas


´
Indice de ejemplos

2.1 Escalń unitario como suma de impulsos desplazados . .
o . . . . . . . . . . . 14
2.2 Operaciones b´sicas con seãles . . . . . . . . . . . . . .
a n . . . . . . . . . . . 15
2.3 Seãles de energ´ y potencia . . . . . . . . . . . . . . . .
n ıa . . . . . . . . . . . 18
2.4 Simetr´ de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . 20
2.5 Descripciń entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 27
2.6 Salida de sistema acumulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10 Descomposiciń en impulsos . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 36
2.11 Convoluciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 37
2.12 Longitud de la convoluciń de dos seãles finitas . . . . .
o n . . . . . . . . . . . 38
2.13 Reacciń de sistemas con respuesta exponencial . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 40
2.14 Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.15 Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.16 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.17 Linealidad de sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.18 Soluciń homogńea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e . . . . . . . . . . . 52
2.19 Respuesta de entrada nula para sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . 52
2.20 Respuesta de entrada nula con ra´ de multiplicidad 2 . .
ız . . . . . . . . . . . 53
2.21 Soluciń particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 54
2.22 Soluciń total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 55
2.23 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1 Serie de Fourier de pulso rectangular continuo peri´dico .
o . . . . . . . . . . . 92
4.2 Serie de Fourier de pulso rectangular continuo aperi´dicoo . . . . . . . . . . . 96

vii

viii ´
Indice de ejemplos


Lista de s´
ımbolos y abreviaciones

Notaciń general
o
A Matriz.
 
a11 a12 · · · a1m
 a21 a22 · · · a2m 
 
A= . . .. . 
 . . .
. . . 
.
an1 an2 · · · anm
+ ∗
IN , IN Conjunto de los n´meros naturales sin cero IN+ = IN{0}.
u
IN, IN0 Conjunto de los n´meros naturales IN = {0, 1, 2, . . .}.
u
Z Conjunto de los n´meros enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
u
Q Conjunto de los n´meros racionales Q = {q | q = n ; n, d ∈ Z}.
u d
IR Conjunto de los n´meros reales.
u
C Conjunto de los n´meros complejos.
u
∆ Cuanto. Distancia entre dos niveles de cuantificaciń.o
eq (t) o eq (n) Error de cuantificaciń.
o
F Frecuencia en ciclos por unidad de tiempo para seãles de variable continua.
n
f Frecuencia en ciclos por muestra para seãles de variable discreta.
n
Fs Frecuencia de muestreo de una seãl anal´gica. Fs = 1/T
n o
h(n) Respuesta al impulso
H(ω) Respuesta en frecuencia
∠H(ω) Respuesta en fase
| H(ω) | Respuesta en magnitud
H(z) Funciń de transferencia
o
Im(z) o zIm Parte imaginaria del n´mero complejo z
u
√

j

¡
j = −1
Mapeo de un dominio temporal al dominio frecuencial o z
Mapeo de un dominio frecuencial al dominio temporal o z
Re(z) o zRe Parte real del n´mero complejo z
u
T [·] Transformaciń realizada por un sistema
o
T Intervalo de muestreo. T = 1/Fs
Tp Periodo fundamental Tp = 1/F para seãles de variable continua.
n
x(n) Seãl de variable discreta.
n

ix

x Lista de s´
ımbolos y abreviaciones

x Vector.  
x1
 x2 
T  
x = [x1 x2 . . . xn ] =  . 
..
xn
y Escalar.
z∗ Complejo conjugado de z
Ω Frecuencia angular en radianes por unidad de tiempo para seãles de variable
n
continua.
ω Frecuencia angular en radianes por muestra para seãles de variable discreta.
n

Abreviaciones
BIBO Entrada acotada – Salida acotada (bounded input – bounded output)
DSP Digital Signal Processing (o Processor ).
FIR Respuesta finita al impulso (Finite Impulse Response)
IIR Respuesta infinita al impulso (Infinite Impulse Response)
LTI Sistema lineal e invariante en el tiempo (Linear and Time Invariant)
PDS Procesamiento Digital de Seãles.
n
SQNR Relaciń seãl a ruido de cuantificaciń (signal to quantization noise ratio).
o n o


Cap´
ıtulo 1

Introducciń
o

El Procesamiento Digital de Seãles (PDS) es un area de la ciencia y la ingenier´ que
n ´ ıa
se ha desarrollado r´pidamente desde la segunda mitad del siglo XX. Tanto los aportes
a
te´ricos como de aplicaciń continán extendińdose desde y hacia varias areas del saber.
o o u e ´
Los avances en el procesamiento y compresiń de audio y video, as´ como las nuevas
o ı
tecnolog´ en comunicaciones digitales (telefon´ celular, modems ADSL, etc.) son quiz´
ıas ıa a
los ejemplos de aplicaciń m´s representativos del PDS.
o a

1.1 Se˜ ales
n

Para definir las tareas del PDS se requiere primero precisar el concepto de seãl , con-
n
siderada aqu´ como aquella observaciń de una magnitud f´
ı o ısica en funciń de variables
o
independientes de tiempo y espacio, realizada de tal modo que la seãl contenga informa-
n
ciń de los procesos observados.
o
En general, toda seãl contiene informaciń que se desea extraer o modificar de acuerdo
n o
a los requisitos de cada aplicaciń particular. Sism´grafos, por ejemplo, registran seãles
o o n
s´
ısmicas que contienen informaciń sobre intensidad y caracter´
o ısticas espectrales de los
sismos, con ayuda de las cuales pueden determinarse entre otras cosas la ubicaciń de o
epicentros y la naturaleza de los s´ ısmos. Las seãles electrocardiogr´ficas permiten al
n a
m´dico determinar el estado del corazń de sus pacientes.
e o
La tabla 1.1 resume las caracter´ısticas utilizadas para clasificar las seãles. Las seãles son
n n
representadas por funciones matem´ticas de una o m´s variables. Una seãl de voz, por
a a n
ejemplo, puede representarse como una funciń de una variable temporal f (t), im´genes
o a
se pueden considerar como funciones de dos variables espaciales f (x, y), y v´ ıdeo como una
seãl espacio-temporal f (x, y, t).
n
Las funciones pueden ser adem´s escalares o vectoriales. Si la voz se captura con un
a
micr´fono monofńico, la seãl elćtrica de salida tendr´ por ejemplo un solo valor de
o o n e a
tensiń elćtrica en cada instante de tiempo. Por otro lado, un electroencefalograma
o e

1

2 1.1 Seãles
n

provee un conjunto o vector de seãles elćtricas provenientes de los diferentes electrodos
n e
para cada instante t:
T
f (t) = f1 (t) f2 (t) . . . fn (t)
Otro ejemplo de seãles vectoriales utilizadas frecuentemente en ingenier´ son las im´genes
n ıa a
en color, en las que cada elemento de la imagen o pixel se representa como un vector en
un espacio de color, donde las componentes del vector pueden, por ejemplo, representar
los valores de los colores primarios rojo, verde y azul. A cada una de las componentes de
las seãles vectoriales se les denomina usualmente canales y por lo tanto a la seãl se le
n n
denota como multicanal .
Las variables de las que depende la seãl pueden ser discretas o continuas. La salida de
n
un foto-transistor puede, por ejemplo, ser obtenida en todo instante de tiempo t (variable
continua), mientras que el n´mero de llamadas realizado por hora es una seãl que el ICE
u n
puede generar para instantes discretos de tiempo nT distanciados por un intervalo de T =
1 h (variable discreta). Los puntos donde la variable independiente de una seãl discreta
n
est´ definida no deben ser necesariamente equidistantes; sin embargo, usualmente este tipo
a
de distribuciń homogńea de las muestras se utiliza por su conveniencia computacional
o e
y manejabilidad matem´tica.
a
Los valores que puede tomar una seãl pueden ser tambiń discretos o continuos. As´ el
n e ı,
voltaje del fototransistor puede tomar cualquier valor real en un intervalo, mientras que
el n´mero de llamadas es siempre un valor entero. Tambiń los valores de una funciń
u e o
discreta pueden ser equidistantes o seguir otros patrones m´s complejos (como el lo-
a
gar´ıtmico). El t´rmino digital se utiliza para seãles de variables independientes discretas
e n
y de valores discretos, mientras que anal´gica es una seãl con variables independientes
o n
continuas y valores continuos. El an´lisis matem´tico involucrado en el tratamiento de
a a
seãles digitales pueden simplificarse si se realiza a trav´s de funciones de valor continuo
n e
y variable discreta, llamadas usualmente seãles en tiempo discreto, por representar la
n
variable independiente generalmente instantes de tiempo definidos. Este ser´ el enfoque
a
utilizado en este documento.
Un ultimo criterio de carćter matem´tico para clasificar las seãles es su naturaleza
´ a a n
estad´
ıstica: las seãles pueden ser deterministas si puede especificarse con precisiń la
n o
forma de la funciń. Por ejemplo, para seãles determin´
o n ısticas definidas en el tiempo,
sus valores en el pasado, presente y futuro son siempre conocidos (por ejemplo, una

Tabla 1.1: Caracter´
ısticas de las seãles
n

Caracter´
ıstica Valores
N´mero de variables
u una variable multiples variables
Dimensionalidad escalar vectorial (multicanal)
Variables independientes discretas continuas
Valores de la seãl
n discretos continuos
Naturaleza estad´ ıstica deterministas aleatorias


1 Introducciń
o 3

seãl senoidal). Por otro lado, las seãles aleatorias o estoc´sticas solo permiten una
n n a
descripcion aproximada de la forma de su funciń, por tener asociado un comportamiento
o
impredecible (por ejemplo, un generador de ruido, una seãl s´
n ısmica, una seãl ac´stica
n u
de voz).
Asociado a la naturaleza estad´ ıstica de la seãl se distingue adem´s entre seãles es-
n a n
tacionarias y no estacionarias. Las seãles estacionarias son aquelas cuyos par´metros
n a
estad´ısticos no var´ en el tiempo, lo que de ninguna manera implica que el valor de
ıan
la seãl se constante. Por otro lado, la seãles no estacionarias tienen par´metros es-
n n a
tad´ısticos que var´ en el tiempo.
ıan
En el presente texto se estudiarń seãles de una variable, de valor escalar, digitales y
a n
de naturaleza determinista. En cursos de procesamiento de im´genes se extienden los
a
conceptos a seãles vectoriales (usualmente tres dimensiones) de dos variables discretas
n
espaciales (x, y). El an´lisis de seãles estoc´sticas es tema usual para cursos de posgrado;
a n a
sin embargo, es en este curso introductorio donde se presentan todas las bases necesarias
para comprender los conceptos avanzados.
En principio las seãles pueden corresponder a cualquier tipo de magnitud f´
n ısica observa-
da; sin embargo, por medios electrńicos solo seãles elćtricas pueden ser procesadas, por
o n e
lo que usualmente se requieren transductores o sensores que realicen la correspondiente
conversiń.
o

1.2 Sistemas

El t´rmino sistema denota a una colecciń o conjunto de elementos interrelacionados que
e o
conforman un todo unificado. Su ra´ etimol´gica es el t´rmino latino syst¯ma, que a su
ız o e e
vez proviene del griego σ υ στ ηµα relacionado con los conceptos combinar e instalar.
´
Un sistema puede formar parte de otro sistema de mayor nivel, en cuyo caso al primero
se le denomina subsistema del segundo. Los diferentes subsistemas intercambian por lo
general informaciń, materia o energ´ para lograr algń objetivo. Los t´rminos seãles
o ıa u e n
de entrada o de salida se utilizan entonces para abstraer ese flujo de informaciń, materia
o
o energ´ en el concepto matem´tico de funciones.
ıa a
El sistema entonces puede interpretarse como un conjunto de subsistemas que logran
transformar una seãl en otra. Estos dispositivos pueden ser entes f´
n ısicos, como un circuito
electrńico, o virtuales, como algoritmos implementados en software.
o
En la literatura actual se tiende a diferenciar entre dos tipos de tareas de los sistemas:
procesamiento y an´lisis. Se dice que un sistema procesa una seãl si la seãl de salida
a n n
tiene las mismas caracter´ ısticas semńticas de la entrada: por ejemplo, si la entrada
a
representa una seãl de voz, la salida de un sistema procesador ser´ tambiń voz aunque
n a e
quiz´ modificada para cumplir ciertos requisitos de la aplicaciń. Se dice que un sistema
a o
realiza an´lisis de la seãl, si la salida tiene otra naturaleza semńtica a la entrada.
a n a


4 1.3 Elementos de un sistema PDS

Por ejemplo, un m´dulo de un reconocedor de habla puede extraer de una seãl de voz
o n
informaciń sobre la presencia de la vocal ‘a’ en ella. Usualmente el an´lisis de una seãl
o a n
se realiza a trav´s de diversos pasos de procesamiento de la seãl, junto con tareas de
e n
reconocimiento o codificaciń de patrones.
o
En resumen, el procesamiento digital de seãles1 , abreviado PDS o DSP por sus siglas en
n
ingl´s (Digital Signal Processing) se refiere al proceso de modificaciń de una seãl digital
e o n
en un sistema, realizado para destacar o suprimir diferentes caracter´
ısticas de la seãl que
n
tienen algń significado especial para una aplicaciń en particular.
u o

1.3 Elementos de un sistema PDS
La mayor´ de las seãles en ciencia e ingenier´ tienen una naturaleza anal´gica, es decir,
ıa n ıa o
tanto las variables independientes de las funciones que las representan como sus valores
son continuos. Matem´ticamente estas seãles se representan como funciones f (t)
a n

f : IR → IR

es decir, relaciones matem´ticas que mapean valores reales en valores reales. Este tipo
a
de seãles pueden ser tratadas directamente utilizando sistemas anal´gicos, como por
n o
ejemplo filtros pasivos o analizadores de frecuencia (figura 1.1).

Seãl de
n Procesador Seãl de
n
Entrada Anal´gico
o Salida
Anal´gica
o de Seãl
n Anal´gica
o

Figura 1.1: Procesamiento anal´gico de una seãl [15].
o n

El procesamiento digital (figura 1.2) requiere transformar las seãles de entrada a un
n
formato digital, es decir, a funciones f (n)

f : Z → Z.

Esto ocurre en una etapa llamada conversiń anal´gica-digital (A/D).
o o
La seãl digitalizada es tratada luego en el procesador digital de seãles, que puede ser
n n
desde un computador de prop´sito general, pasando por sistemas empotrados basados en
o
microcontroladores, hasta circuitos digitales espec´
ıficamente diseãdos para realizar las
n
tareas de procesamiento deseadas; sin embargo, las configuraciones programables tanto
en software como en hardware reconfigurable son las que han brindado al procesamiento
1
En la literatura en castellano se encuentran los t´rminos tratamiento o procesamiento de seãles
e n
como sinńimos. La preferencia de autores y traductores espaõles por el primero radica en la acepciń
o n o
principal de proceso en la variante dialectal ib´rica como “causa civil o criminal”, que no se aplica tanto
e
en Latino Am´rica.
e


1 Introducciń
o 5

Seãl de
n Procesador Seãl de
n
Convertidor Convertidor
Entrada Digital de Salida
A/D D/A
Anal´gica
o Seãl
n Anal´gica
o

Figura 1.2: Procesamiento digital de una seãl anal´gica [15].
n o

digital una flexibilidad inalcanzable con sistemas anal´gicos equivalentes. El vertiginoso
o
avance en la electrńica digital ha permitido el uso cada vez m´s generalizado de las
o a
tćnicas digitales de procesamiento. En la actualidad hasta los m´s pequeõs tel´fonos
e a n e
celulares utilizan algoritmos de alta complejidad que hace tan solo 15 aõs hubieran
n
requerido computadores de gran tamaõ y costo.
n
El ultimo paso del procesamiento digital consiste en convertir la salida del bloque procesa-
´
dor a una seãl anal´gica, lo que ocurre en el llamado convertidor digital-anal´gico (D/A).
n o o
En aplicaciones de an´lisis de seãl, la ultima etapa puede no ser necesaria, cuando la
a n ´
informaciń a extraer se obtiene directamente de las representaciones digitales.
o

1.4 Ventajas del procesamiento digital

Para poder representar una seãl anal´gica por medio de una seãl digital sin que sufra
n o n
p´rdidas de informaciń considerables, la seãl anal´gica debe ser digitalizada con una
e o n o
tasa de muestreo suficientemente alta (esto se analizar´ con suficiente detalle en cap´
a ıtulos
posteriores). La tecnolog´ digital impone l´
ıa ımites de velocidad de procesamiento, que,
aunque cada vez menos restrictivos, determinan los anchos de banda de seãles que pue-
n
den ser tratadas digitalmente. Es por esto que los sistemas anal´gicos siguen siendo
o
irreemplazables en aplicaciones con seãles de anchos de banda en el orden de los gi-
n
gaherz. Otro ambito de dominio anal´gico son sistemas de bajo consumo de potencia (en
´ o
el orden de los microwatts). Tanto los m´dulos de conversiń ADC como DAC, as´ como
o o ı
los microcontroladores o microprocesadores digitales tendrń siempre un mayor consumo
a
de potencia en la implementaciń de filtros digitales que filtros hom´logos anal´gicos, o
o o o
de capacitores conmutados, implementados en tecnolog´ integradas.
ıas
En casos donde las seãles pueden ser digitalizadas sin perder informaciń de forma
n o
considerable y se cuenta con suficiente tiempo y potencia para realizar las conversiones
y los c´lculos necesarios, es preferible utilizar un sistema digital sobre su equivalente
a
anal´gico. Esto por varias razones:
o
Los sistemas digitales son usualmente m´s baratos y confiables para el procesamiento de
a
seãles. Como ya se mencion´, pueden utilizarse sistemas programables, por lo que a
n o
trav´s de cambios en el software pueden modificarse o adaptarse sus caracter´
e ısticas, pro-
veyendo as´ un alto grado de flexibilidad en el diseõ. Adem´s, las precisiones alcanzables
ı n a
con sistemas digitales son usualmente mucho mayores que los circuitos anal´gicos, en los
o
que el error acumulado en forma de ruido aumenta con cada etapa de procesamiento.


6 1.4 Ventajas del procesamiento digital

Un sistema digital funciona en toda su vida util exactamente de la misma manera, y
´
la fabricaciń de dispositivos asegurar´ en todos ellos un comportamiento idńtico. Esto
o a e
contrasta con los diseõs anal´gicos, donde las caracter´
n o ısticas de los componentes, pasivos
y activos, var´ con el tiempo y donde la tolerancia de cada componente alterar´ en
ıan a
alguna medida el funcionamiento del sistema total. Adem´s del envejecimiento de los
a
circuitos, el funcionamiento de los sistemas anal´gicos tiende a ser m´s sensible a cambios
o a
en la temperatura y a fuentes externas de interferencia que los sistemas digitales. En este
sentido se dice que los sistemas digitales son m´s robustos que los sistemas anal´gicos.
a o
Otra ventaja de los sistemas de procesamiento digital tiene que ver con las posibilidades
de almacenamiento. Los niveles de ruido introducidos en sistemas de almacenamiento
anal´gicos (como cintas magn´ticas) son extremadamente altos comparados con el alma-
o e
cenamiento prćticamente sin p´rdidas (excepto las introducidas por la propia digitaliza-
a e
ciń) de seãles digitales. Por este motivo, con seãles digitales es m´s factible realizar
o n n a
los llamados procesamientos “fuera de l´ ınea” (off-line), donde el tratamiento de la seãl
n
se realiza en otro tiempo al de la captura de la seãl. Esto es muy util por ejemplo en as-
n ´
tronom´ donde las altas cantidades de informaciń capturadas por los radio-telescopios
ıa, o
pueden ser entonces analizadas mucho despu´s de la adquisiciń de datos, sin riesgos de
e o
producir conclusiones incorrectas producto de imprecisiones del almacenaje. Otro ejemplo
es el an´lisis de im´genes m´dicas, donde altos vol´menes de informaciń son analizados
a a e u o
en procesos autom´ticos o semi-autom´ticos a posteriori en la detecciń de enfermedades
a a o
y el planeamiento de operaciones quir´rgicas.
u
Pero quiz´ una de las ventajas fundamentales del procesamiento digital es la complejidad
a
alcanzable por medio de algoritmos de software, para los cuales pueden incluso no existir
equivalentes anal´gicos. Debido a las consiguientes simplificaciones en los procesos de
o
diseõ de sistemas digitales y considerando la predictibilidad en el incremento de las
n
capacidades de procesamiento y memoria (por ejemplo, por medio de la Ley de Moore), se
acostumbra desarrollar los modernos y complejos algoritmos para el tratamiento digital
de seãles utilizando equipos de alto costo y tal vez de dimensiones volum´tricas que
n e
exceden las limitaciones espaciales, puesto que se asume que en los pr´ximos aõs se podr´
o n a
integrar y mejorar el hardware utilizado hasta satisfacer las expectativas de aparatos
dom´sticos. Como ejemplo, los nuevos estńdares de codificaciń de video del grupo
e a o
MPEG necesitan varios microprocesadores de ultima generaciń para funcionar, y ań
´ o u
as´ no alcanzan las velocidades necesarias para desplegar los videos con la naturalidad
ı
deseada. Se parte del hecho que en un corto plazo los prototipos actuales podrń sera
integrados y comercializados hasta en sistemas port´tiles.
a


1 Introducciń
o 7

1.5 Aplicaciones

1.5.1 ´
Areas de aplicaciń
o

Las aplicaciones del procesamiento digital de seãl son hoy en d´ incontables. Las m´s
n ıa a
conocidas, pero no las unicas, se resumen a continuaciń:
´ o
• Aplicaciones automotrices
Control del motor, sistemas antibloqueo (ABS), sistemas de navegaciń, analisis de
o
vibraciń, etc.
o
• Electrńica de consumo
o
Radio y televisiń digital, sistemas de video (DVD, Blue-Ray, etc.), juguetes educa-
o
tivos, instrumentos musicales, sistemas de impresiń y despliegue, como monitores
o
de plasma, LED, LCD, etc.
• Industria
Control num´rico, monitorizaciń de l´
e o ıneas de potencia, rob´tica, sistemas de segu-
o
ridad.
• Instrumentacińo
Generaciń de funciones, emparejamiento de patrones, procesamiento s´
o ısmico, an´lisis
a
espectral, an´lisis de transcientes.
a
• Medicina
Equipo de diagn´stico, monitorizaciń de pacientes, pr´tesis auditivas, visuales y
o o o
mecńicas, equipos de ultrasonido, tomograf´ MRI, etc.
a ıa,
• Telecomunicaciones
Modems, ecualizadores de seãl, codificadores y decodificadores, telefon´ celular,
n ıa
multiplexaciń, cancelaciń de eco, repetidores de seãl, compensaciń de canal,
o o n o
modulaciones de espectro ensanchado, video-conferencia, cifrado de datos
• Voz/Habla
Verificaciń de locutor, mejoramiento de seãl, reconocimiento de habla, s´
o n ıntesis de
habla
El tratamiento de seãles ac´sticas es utilizado entre otros en el almacenamiento y trans-
n u
misiń eficientes de sonido digital (MP3, OggVorbis, etc.), el procesamiento profesional
o
de sonido en industria musical y cinematogr´fica, el manejo de seãles de ultrasonido
a n
para elaboraciń de im´genes m´dicas, o el procesamiento de voz humana, necesario para
o a e
codificar, encriptar, reconocer o sintetizar el habla.
El procesamiento de im´genes bidimensionales permite analizar las seãles obtenidas por
a n
medio de c´maras industriales, hoy en d´ frecuentemente encontradas en las l´
a ıa ıneas de pro-
ducciń; adem´s, el procesamiento de im´genes tomadas por sat´lite permiten identificar
o a a e
entre otras cosas el tipo de uso del suelo, facilitan la construcciń de mapas actualizados,
o
etc. Esta area es central en la codificaciń y compresiń de seãles de video, tal y como
´ o o n
los establecen los estńdares MPEG (Motion Picture Expert Group).
a


8 1.5 Aplicaciones

El procesamiento de im´genes tridimensionales se utiliza por ejemplo en el an´lisis y
a a
generaciń de im´genes de resonancia magn´tica (MRI), utilizadas en medicina como
o a e
instrumento de observaciń de tejidos internos de un paciente, sin tener la necesidad de
o
utilizar procedimientos quir´rgicos.
u
Las tćnicas modernas de an´lisis permiten obtener mejores resoluciones y aumentar la
e a
confiabilidad de la informaciń producida por sonares y radares. Por otro lado, el estu-
o
dio digital de seãles s´
n ısmicas y volcńicas permite incorporar tćnicas de simulaciń y
a e o
reconocimiento de patrones que mejoran la predicciń de zonas y periodos de riesgo.
o
En los procesos de automatizaciń industrial el procesamiento digital es en la actualidad
o
omnipresente, pues a pesar de que la mayor´ de los sensores producen salidas anal´gicas,
ıa o
estas son transformadas casi inmediatamente a seãles digitales para permitir una trans-
n
misiń m´s confiable y sin mayores p´rdidas a las unidades de procesamiento, para facilitar
o a e
la aplicaciń de algoritmos de extracciń de la informaciń de inter´s, y para hacer posible
o o o e
la utilizaciń de tćnicas confiables de almacenamiento de la informaciń, que puede ser
o e o
la base luego para el mejoramiento de los procesos productivos, en el c´lculo de costos,
a
etc.
En la preparaciń de seãles para su transmisiń y en su decodificaciń y mejoramiento del
o n o o
lado de los receptores, el procesamiento digital juega un papel cada vez m´s importante.
a
Un ejemplo lo representan los m´dems utilizados actualmente para permitir enlaces de
o
alta velocidad a trav´s de las l´
e ıneas telefńicas de cobre, denominado ADSL (Asymmetric
o
Digital Subscriber Line), donde el procesamiento digital es utilizado para codificar y
decodificar las tramas y las seãles de acuerdo a los estńdares de modulaciń digitales.
n a o

1.5.2 Algoritmos

Conceptos algor´ıtmicos cl´sicos del procesamiento digital, encontrados en las areas de apli-
a ´
caciń anteriores son: compresiń, cifrado, reconocimiento, identificaciń, sintetizaciń,
o o o o
eliminaciń de ruido, estimaciń espectral y filtrado, solo por mencionar algunos.
o o
La compresiń consiste en la reducciń de capacidad necesaria para almacenar o transmitir
o o
una seãl. En telefon´ celular seãl de la voz es comprimida para poder transmitirla en
n ıa n
anchos de banda relativamente pequeõs, comparados con los utilizados en telefon´ fija.
n ıa
Los estńdares MPEG contienen sofisticados algoritmos de compresiń de im´genes que
a o a
permiten reducir en factores de 8 a 12 veces las seãles de video.
n
El cifrado es necesario cuando la confidencialidad de la informaciń en las seãles debe
o n
ser asegurada. Algoritmos complejos codifican la informaciń de forma tal que solo el
o
destinatario pueda decodificarla.
Tareas de reconocimiento intentan inferir de patrones en la seãl, informaciń contenida
n o
de forma impl´ıcita. Por ejemplo, de una seãl de voz puede reconocerse tanto el mensaje
n
hablado, como el hablante (reconocimiento de habla y de voz, respectivamente). En
im´genes m´dicas pueden utilizarse algoritmos para reconocer tejidos malignos y benignos,
a e


1 Introducciń
o 9

o en im´genes industriales pueden ser reconocidos caracteres, formas de productos, el
a
ensamblaje correcto de partes, etc.
La identificaciń est´ relacionada con el reconocimiento. Aqu´ no se intenta descubrir una
o a ı
identificaciń para el contenido de una seãl, sino verificar que una identidad previamente
o n
dada es compatible con la seãl. M´todos de identificaciń se utilizan, junto con la
n e o
encriptaciń, en aplicaciones de alta seguridad.
o
La sintetizaciń permite producir seãles artificiales similares a aquellas generadas a
o n
trav´s de fen´menos f´
e o ısicos. Es utilizada por ejemplo en la elaboraciń de efectos ac´sticos
o u
e imitaciń de instrumentos musicales en sintetizadores de sonido. Otro ejemplo es la
o
sintetizaciń de voz humana, utilizada en interfaces avanzadas hombre-m´quina.
o a
Las seãles transmitidas por canales anal´gicos usualmente son perturbadas con ruido, es
n o
decir, con alteraciones indeseables que no contienen ninguna informaciń relevante para
o
la aplicaciń. Por medio del procesamiento digital es posible aplicar diversos algoritmos
o
que permiten reducir el efecto de dichas distorsiones.
El filtrado es un concepto b´sico del procesamiento digital que forma parte de prćticamente
a a
cualquier otro algoritmo. El sistema que realiza esta tarea se denomina filtro, y permite
el paso de solo ciertas “componentes” de su seãl de entrada, y bloqueando el paso de
n
otras. Algunos detalles serń presentados en los cap´
a ıtulos 4.5 y 7.
La estimaciń espectral es utilizada en varias areas de las comunicaciones para encontrar
o ´
los rangos de frecuencias en que se concentra la energ´ de una seãl (como en el caso del
ıa n
arriba mencionado ADSL).

1.5.3 Implementaciń
o

El diseõ de algoritmos para resolver las tareas mencionadas anteriormente se fundamenta
n
en teor´ matem´ticas que aseguran su funcionamiento bajo limitaciones pre-establecidas.
ıas a
Para cada algoritmo se puede elegir aquella estrategia de implementaciń que mejor sa-
o
tisfaga los requisitos de una aplicaciń particular. Esto puede involucrar
o
• plataformas de prop´sito general, como un computador personal;
o
• plataformas empotradas, incluyendo tel´fonos celulares, PDA, controles en m´quinas,
e a
etc. Segń sea la demanda computacional requerida, ´stas plataformas se pueden
u e
basar en
– microprocesadores de prop´sito general, o
o
– microcontroladores especializados en el tratamiento de seãles digitales (PDS,
n
Procesadores Digitales de Seãles)
n
• hardware reconfigurable, que se emplea en aplicaciones de alto desempeõ, para el
n
cual los PDS no tienen suficientes prestaciones,
• circuitos integrados de aplicaciń espec´
o ıfica (ASIC), utilizados si se espera una pro-
ducciń en masa (como decodificadores del formato de audio Mp3)
o
• implementaciń de circuitos de procesamiento en tiempo discreto.
o


10 1.5 Aplicaciones

En la ultima estrategia la seãl nunca es convertida a un formato digital, pero se incluye
´ n
aqu´ por basarse su diseõ en las teor´ de an´lisis de seãles en tiempo discreto, a tratar
ı n ıas a n
en este documento.
El desarrollo de tecnolog´ de implementaciń de algoritmos ha tendido en los ultimos
ıas o ´
aõs a simplificar los procesos, de modo que utilizando lenguajes de alto nivel (como
n
por ejemplo el lenguaje C, o MatLab) sea posible obtener con los compiladores adecua-
dos el c´digo optimizado para el procesador particular utilizado o incluso la descripciń
o o
en VHDL o Verilog del circuito que realiza la tarea descrita en C. Esto reduce costos
al acelerar los procesos de implementaciń y evita el entrenamiento de los ingenieros en
o
tecnolog´ cuya vigencia se restringe a unos pocos aõs. Sin embargo, en casos con restric-
ıas n
ciones cr´
ıticas es inevitable recurrir ya sea a la optimizaciń de algoritmos en ensamblador
o
del PDS empleado o la optimizaciń manual de los circuitos.
o

1.5.4 Casos

Los codificadores de voz (o codecs) utilizados en telefon´ celular son un ejemplo de
ıa
algoritmos complejos imposibles de realizar con circuitos anal´gicos, al menos en el tamaõ
o n
de un tel´fono celular actual. En GSM, por ejemplo, la seãl anal´gica adquirida por el
e n o
micr´fono es muestreada a 8 kHz, con 13 bits por muestra, lo que equivale a 104 000 bit/s.
o
Segń la calidad deseada o disponible, la salida de los codecs reducen el ancho de banda
u
a un rango entre 4,75 kbit/s y 13 kbit/s, es decir, permiten factores de compresiń de 21
o
a 8 veces.
Otro caso impresionante es el de los diversos algoritmos para compresiń de video. Consi-
o
derando que una imagen de televisiń tiene 320×200 pixels aproximadamente y cada pixel
o
necesita 24 bits para ser representado digitalmente con suficiente precisiń, entonces una
o
sola imagen necesita, sin compresiń alguna, 187,5 kB para ser almacenada. Un segundo
o
de video, asumiendo una frecuencia de 30 im´genes por segundo, necesitar´ 5,6 MB. Una
a ıa
pel´
ıcula que tarde 90 minutos requerir´ entonces m´s de 30 GB, lo que ser´ imposible
ıa a ıa
de almacenar en las tecnolog´ actuales de DVD. Solo con los sofisticados algoritmos de
ıas
codificaciń de video y sonido pueden almacenarse no solo la seãl de video, sino varias
o n
versiones ac´sticas en diferentes idiomas, y materiales adicionales con video y audio, en
u
poco m´s de 4 GB de espacio, con factores de compresiń m´s de 10 veces. La implemen-
a o a
taciń de los codificadores y decodificadores se realiza en circuitos integrados de aplicaciń
o o
espec´ıfica tanto en las c´maras comerciales, como en las unidades de DVD y Blue-ray.
a
Incluso los sistemas de transmisiń de radio y televisiń modernos estń cambiando de
o o a
ser completamente anal´gicos a conceptos digitales. Los nuevos formatos de televisiń
o o
de alta definiciń (HDTV) son completamente digitales, que no ser´ prćticos sin la
o ıan a
presencia de los algoritmos para el procesamiento y compresiń adecuadas de las seãles
o n
en cuestiń.
o
Los discos Blue-Ray se utilizan para almacenar v´ıdeo apto para HDTV. Soportan el
formato 1080p24, lo que implica una resoluciń de 1920×1080 p´
o ıxeles con exploraciń
o


1 Introducciń
o 11

progresiva2 , as´ como una tasa de 24 cuadros por segundo. Una imagen tiene as´ casi 2,1
ı ı
millones de p´ ıxeles que requieren un espacio de 5,93 MB de almacenamiento sin compre-
siń. Esto implica que para la tasa de 24 im´genes por segundo se requiere almacenar
o a
142,4 MB por cada segundo de v´ ıdeo sin comprimir. La tasa de transmisiń de datos
o
estandarizada para este formato de HDTV es de 4,5MB/s, que es un factor aproximada-
mente 32 veces menor al de la seãl cruda (sin compresiń). Las tćnicas de compresiń
n o e o
del v´
ıdeo utilizan algoritmos de PDS m´s avanzados que sus equivalentes en un DVD,
a
para lograr alcanzar dicha tasa y as´ poder almacenar todos los datos (v´
ı ıdeo, texto, audio)
en un disco con 25 GB de capacidad.
Medicina es quiz´ una de las ´reas que m´s ventajas ha tomado del procesamiento digital
a a a
de seãles. Las nuevas tecnolog´ de visualizaciń de ultrasonido permiten por ejemplo la
n ıas o
reconstrucciń de una imagen tridimensional del feto en el vientre de la madre, ayudando
o
as´ al ginec´logo a tomar las precauciones del caso cuando algo no est´ en orden. El
ı o e
manejo digital de tomograf´ computarizadas y de im´genes de resonancia magn´tica
ıas a e
permite la visualizaciń de tejidos internos en formatos legibles para los m´dicos. Los
o e
equipos m´s modernos permiten incluso hacer uso de la llamada realidad aumentada,
a
donde im´genes reconstruidas a partir de las mediciones se superponen a las reales para
a
guiar a los cirujanos en operaciones delicadas.
La creaciń de pr´tesis cada vez m´s complejas es tambiń posible gracias a las tćnicas
o o a e e
de procesamiento digital. El implante de cćlea, por ejemplo, permite a personas sordas
o
volver a escuchar utilizando el an´lisis digital de las seãles ac´sticas obtenidas con un
a n u
micr´fono. Similar a este ultimo se trabaja en la actualidad en los implantes de retina,
o ´
donde complejos algoritmos de PDS intentan transformar la seãl capturada por una
n
c´mara en impulsos elćtricos que pueden ser acoplados al nervio optico en el ojo de
a e ´
personas ciegas.

2
la exploraciń progresiva implica que la imagen se genera progresivamente l´
o ınea por l´
ınea en un solo
cuadro, y es lo opuesto a la exploraciń entrelazada, donde la imagen se genera a trav´s de dos cuadros,
o e
uno que contiene las l´
ıneas pares y otro con las impares.


12 1.6 Problemas

1.6 Problemas

Problema 1.1. Busque un ejemplo de seãl para cada una de las 32 posibles
n
combinaciones de las caracter´
ısticas de las seãles indicadas en la Tabla 1.1.
n

Problema 1.2. Una seãl puede clasificarse segń cinco criterios:
n u
N´mero de variables
u (Una variable o Multiples variables)
Dimensiń del valor
o (Escalar o Vectorial )
Variables independientes (Discretas o Continuas )
Valores de la seãl
n (Discretas o Continuas )
Naturaleza estad´ ıstica (Determinista o Aleatoria )

Utilice las letras may´sculas indicadas en negrita para identificar las caracter´
u ısticas de
las seãles a continuaciń. Si alguna caracter´
n o ıstica no se aplica o puede interpretarse con
ıquelo con ∗.
cualquier valor de la propiedad, ind´

Seãl
n Caracter´
ıstica

N´m. Variables (U/M/∗)

ıstica (D/A/∗)
Dimensiń (E/V/∗)

Variables (D/C/∗)

Valores (D/C/∗)
o

Estad´
u

Imagen tomada por una c´mara digital a color
a

Registro mensual de la posiciń de
o
una bandada de aves migratorias
Seãles de salida de un micr´fono est´reo
n o e

Seãl digital
n

Seãl anal´gica
n o


Cap´
ıtulo 2

Se˜ ales y Sistemas de
n
Variable Discreta

2.1 Se˜ ales de variable discreta
n
Sea x(n) una seãl de variable discreta, es decir, una funciń definida para n entero. La
n o
figura 2.1 muestra una t´ıpica representaciń gr´fica de una seãl de este tipo. A n se le
o a n
denomina n´mero de muestra y a x(n) la n-´sima muestra de la seãl.
u e n
x(n)

n
−1 0 1 2 3 4 5 6

Figura 2.1: Representaciń gr´fica de una funciń real de variable discreta x(n).
o a o

N´tese que x(n) no est´ definida para n no entero. Un error comń es considerar que la
o a u
seãl es cero “entre” las muestras, cuando en realidad all´ simplemente la funciń no est´
n ı o a
definida. La suposiciń de que la seãl es cero entre muestras es v´lido solo para una
o n a
seãl de variable real x(t), que es otro concepto diferente.
n
Adem´s de la representaciń gr´fica se utilizan aqu´ otras tres notaciones:
a o a ı
1. Funcional:

1
 para n = 1

x(n) = 5−n para 2 ≤ n ≤ 4


0 el resto
Esta representaciń es la forma m´s compacta de representar seãles cuyo compor-
o a n
tamiento puede ser expresado directamente por expresiones algebraicas cerradas.

13

14 2.1 Seãles de variable discreta
n

2. Tabular
n . . . -1 0 1 2 3 4 5 . . .
x(n) . . . 0 0 1 3 2 1 0 . . .
En programas computacionales como MatLab[12] u Octave[5] las seãles se repre-
n
sentan con esta notaciń, donde las dos filas de la tabla se interpretan como dos
o
arreglos de datos independientes.
3. Como secuencia.
Una secuencia de duraciń infinita con el origen en n = 0 (indicado con “↑”) se
o
representa como
x(n) = {. . . , 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .}
↑

Si la secuencia es 0 para n < 0 se suele representar como

x(n) = {0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .}
↑

y si es finita
x(n) = {0, 1, 3, 2, 1}
↑

Si la secuencia inicia en cero, entonces usualmente se omite la flecha:

x(n) = {0, 1, 3, 2, 1}

Por su brevedad y simpleza notacional, ´sta ser´ la representaciń de seãles de
e a o n
preferencia en el presente texto.

2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ ales de variable discreta
n

Se describen a continuaciń algunas transformaciones elementales para seãles de variable
o n
independiente discreta (o tiempo discreto). Estas transformaciones son la base de opera-
ciones m´s complejas en el procesamiento digital de seãles y se utilizarń a menudo en
a n a
´ste y los siguientes cap´
e ıtulos.

Desplazamiento

La seãl x(n) se desplaza k muestras sustituyendo la variable n por n − k. Si k > 0 la
n
seãl se retarda k muestras y si k < 0 la seãl se adelanta k muestras.
n n
En la manipulaciń fuera de l´
o ınea (off-line) ambos tipos de desplazamiento son posibles;
sin embargo, en sistemas de tiempo real o en l´
ınea (on-line), solo el retraso de la funciń
o
es realizable.

Ejemplo 2.1 Utilizando desplazamientos exprese el escalń unitario u(n) en t´rminos
o e
de una suma de impulsos δ(n) desplazados.
Soluciń:
o


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