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Ejercicio resuelto de equilibrio de nash en puras y mixtas.

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Ejercicio resuelto de equilibrio de nash en puras y mixtas.

  1. 1. microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es EJERCICIO DE TEORÍA DE JUEGOS: CÁLCULO DEL EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS PURAS Y EN ESTRATEGIAS MIXTAS Enunciado: Calcule los Equilibrios de Nash, tanto en estrategias puras como en estrategias mixtas, de los siguientes juegos: (a) Jugador nº 2 Jugador nº1 X Y A 0,2 2,0 B 5,4 0,1 (b) Jugador nº 2 Jugador nº1 X Y A 0, 0 1, 1 B 2, 2 0, 0 SOLUCIÓN (a) En estrategias puras es sencillo; subrayamos los mejores pagos que cada jugador pueda obtener en función de la estrategia que el otro pueda seguir; las celdas en las que ambos pagos estén subrayados constituirán un Equilibrio de Nash: Jugador nº 2 Jugador nº1 X Y A 0, 2 2, 0 B 5, 4 0, 1 En este caso, por tanto, el único equilibrio de Nash en estrategias puras es: (B, X). En estrategias mixtas hay que hallar la función de pagos de cada jugador, y desarrollar el ejercicio de la manera siguiente: 1 1 0 2 (1 ) 5 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 5 5 ; 2 7 5 PJ pq p q p q p q p pq q pq PJ p pq q               
  2. 2. microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es p q 1 1 2/7 Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 1, tenemos: 1 (2 7 ) [5 ]PJ p q q   Lo representado entre corchetes va a obtenerlo el jugador nº 1 independientemente de cuál sea su elección pues no depende de p. El otro sumando es el que, por tanto, nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro. Fácilmente se puede apreciar que si 2 7,q  el valor del paréntesis es cero, por lo que el jugador nº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no influirá en el pago que va a recibir. En otras palabras, si el jugador nº 2 opta por la estrategia X con probabilidad 2/7 y por la estrategia Y con probabilidad 5/7, el jugador nº 1 obtendrá el mismo pago utilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier combinación lineal de ambas. Por otro lado, si q tiene un valor inferior a 2/7, el valor del paréntesis será positivo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor más alto posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad, p debe valer 1. Finalmente, si q tiene un valor superior a 2/7, el valor del paréntesis será negativo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor más bajo posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad, p debe valer 0. Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1 que nos indica cuál es el p óptimo (p*), en función del valor de q.
  3. 3. microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será: 2 2 2 0 (1 ) 4 (1 ) 1(1 ) (1 ) 2 4 4 1 3 1 PJ pq p q p q p q pq q pq p q pq PJ pq q p                      Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 2, tenemos: 2 (3 ) [1 ]PJ q p p    Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre corchetes va a obtenerlo el jugador nº 2 independientemente de cuál sea su elección pues no depende de q. El otro sumando es el que, por tanto, nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro jugador. Fácilmente se puede apreciar que, sea cual sea el valor de p, el valor del paréntesis es po-sitivo dado que p es una probabilidad y por tanto su valor está comprendido entre cero y uno, por lo que el jugador nº 2, si pretende maximizar su pago, habrá de dar a q el va- lor más alto posible, es decir, tratándose como en este caso de una probabilidad, q debe valer 1. Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2 que nos indica cuál es el q óptimo (q*), en función del valor de p. Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada individuo, que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno de ellos ante lo que haga el otro, obtendremos, allí donde coincidan, los Equilibrios de Nash. 1 p q 1
  4. 4. microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es En este caso, el único Equilibrio de Nash en estrategias mixtas (E.N.E.M.) es aquel en el que el jugador nº 1 utiliza la estrategia B con probabilidad 1 y el jugador nº 2 emplea la estrategia X con probabilidad 1; es el Equilibrio de Nash que ya habíamos calculado en estrategias puras, y no hay ninguno más. (b) Resolviendo del mismo modo que el ejercicio anterior, los Equilibrios de Nash en estrategias puras son (B, X) y (A, Y): Jugador nº 2 Jugador nº1 X Y A 0, 0 1, 1 B 2, 2 0, 0 Puede ocurrir, no obstante, que exista algún otro Equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Lo calculamos, hallando en primer lugar la función de pagos de los individuos, sus correspondientes funciones de reacción, y finalmente la intersección entre ellas. 1 1 0 1 (1 ) 2 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 ; 3 2 PJ pq p q p q p q p pq q pq PJ p pq q                Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 1, tenemos: 1 (1 3 ) [2 ]PJ p q q   p q 1 1 2/7
  5. 5. microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es Como se puede apreciar, si 1 3,q  el valor del paréntesis es cero, por lo que el jugador nº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no influirá en el pago que va a recibir. Dicho de otro modo, si el jugador nº 2 opta por la estrategia X con probabilidad 1/3 y por la estrategia Y con probabilidad 2/3, el jugador nº 1 obtendrá el mismo pago utilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier combinación lineal de ambas. Por otro lado, si q tiene un valor inferior a 1/3, el valor del paréntesis será positivo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor más alto posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad, p debe valer 1. Finalmente, si q tiene un valor superior a 1/3, el valor del paréntesis será negativo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor más bajo posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad, p deberá valer 0. Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1 que nos indica cuál es el p óptimo (p*), en función del valor de q. Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será: 2 2 0 1 (1 ) 2 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 ; 3 2 PJ pq p q p q p q p pq q pq PJ p pq q                Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 2, tenemos: 2 (2 3 ) [ ]PJ q p p   Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre corchetes va a obtenerlo el jugador nº 2 independientemente de cuál sea su elección pues no depende de q. El otro sumando es el que, por tanto, nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro jugador. p q 1 1 1/3
  6. 6. microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es Fácilmente se puede apreciar que si p es 2/3, el valor del paréntesis será cero, por lo que el jugador nº 2 estará indiferente por el valor de q, dado que siempre obtendrá el mismo pago sea cual sea éste. Si p es menor de 2/3 el valor del paréntesis será positivo, por lo que lo óptimo para el jugador nº 2 será otorgar a q el valor 1 (es decir, utilizar la estrategia X), mientras que si p es mayor de 2/3, dado que el valor del paréntesis será negativo, debería utilizar la estrategia Y (o lo que es lo mismo, dar a q el valor cero). Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2 que nos indica cuál es el q óptimo (q*), en función del valor de p. Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada uno de los dos individuos, que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno de ellos ante cualquier estrategia que pueda seguir el otro, obtendremos, allí donde coincidan, los Equilibrios de Nash. En este caso, aparecen tres Equilibrios de Nash en estrategias mixtas (E.N.E.M.), que son los dos que ya conocíamos en estrategias puras y uno adicional. Éste es aquel en el que el jugador nº 1 utiliza la estrategia A con probabilidad 2/3 y la 1 p q 12/3 1 p q 12/3 1/3
  7. 7. microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es estrategia B, por tanto, con probabilidad 1/3, y el jugador nº 2 emplea la estrategia X con probabilidad 1/3 y la estrategia Y con probabilidad 2/3: E.N.E.M. (2 3 1 3 , 1 3 2 3 ).A B X Y   El E.N. que figura en la parte superior izquierda del gráfico es en el que p vale cero y el valor de q es 1; es decir, (B, X). El de la parte inferior derecha se produce para unos valores de p y de q, respectivamente, de uno y cero, por lo que se trata del E.N. ( , ).A Y Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos correspondientes donde se explica la teoría en mi página: http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/juegos.html

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