1. RESISTENCIA DE MATERIALES
Tema: Fuerza Cortante y Momento
Flexionante en Vigas

2. Objetivo:
Calcular la Fuerza Cortante y Momento
Flexionante en Vigas
Contenidos de Aprendizaje:
Fuerza Cortante y Momento Flexionante en
Vigas

3. Introducción:
El problema fundamental de la resistencia de materiales es la determinación de las relaciones entre los
esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un elemento o a una
estructura. En el estudio realizado de las fuerzas axiales, y de la torsión, no se ha tenido dificultad
alguna en la aplicación de las relaciones entre esfuerzos y deformaciones, ya que en la mayoría de casos
las fuerzas y sus efectos, los esfuerzos internos, o bien eran constante en el conjunto de la estructura o
su distribución entre las partes componentes se conocía perfectamente.
Sin embargo el estudio de la flexión es más complejo debido a que los efectos de las fuerzas aplicadas
son variables de una a otra sección de la viga. Estos efectos son de dos tipos claramente diferenciados,
la fuerza cortante y el momento flexionante, al que a menudo se llama simplemente momento. Se verá
como estos dos efectos producen producen dos tipos distintos de esfuerzos en las secciones
transversales de las vigas: (1) un esfuerzo normal directamente proporcional al momento flexionante y,
(2) un esfuerzo cortante que depende de la fuerza cortante. En este capítulo, y como paso previo a la
determinación de los esfuerzos, se estudia la distribución y el cálculo de la fuerza cortante y del
momento flexionante en vigas sometidas a distintas combinaciones de cargas en diferentes condiciones
de sujeción o apoyo y, concretamente, la determinación de sus valores máximos.

4. En la figura 4-1 se estudia varios tipos de vigas con distintas condiciones de sujeción. Una viga simplemente
apoyada en sus extremos, o una viga simple, tiene una articulación en un extremo y un apoyo móvil sobre
rodillos en el otro. Una viga en voladizo, o ménsula, se sujeta en un solo extremo, en un empotramiento que
impide el giro en dicho extremo. Una viga apoyada con voladizos está apoyada mediante una articulación y un
apoyo de rodillos, pero uno o los dos extremos sobresalen de los soportes. Todas estas vigas son estáticamente
determinadas, ya que sus reacciones pueden determinarse directamente mediante la aplicación de las
ecuaciones de equilibrio estático.

8. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE

16. Procedimiento de Análisis
Los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga pueden construirse mediante el siguiente procedimiento
 Reacciones en los apoyos
Determine todas las fuerzas reactivas y los momentos que actúan sobre la viga, después descomponga todas las fuerzas en
componentes que actúen de forma perpendicular y paralela al eje de la viga.
 Funciones de fuerza cortante y de momento
 Especifique por separado las coordenadas x que tienen un origen en el extremo izquierdo de la viga y se extienden a las
regiones de ésta ubicadas entre fuerzas y momentos concentrados, o bien donde no haya discontinuidad de la carga
distribuida.
 Secciones la viga a cada distancia x y dibuje el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los segmentos, asegúrese de V
y M se muestren actuando en su sentido positivo, de acuerdo a la convención de signos dada en la figura 4-4.
 La fuerza cortante se obtiene si se suman las fuerzas perpendiculares al eje de la viga.
 Para eliminar V, el momento se obtiene de manera directa al sumar los momentos alrededor del extremo seccionado del
segmento.
 Diagrama de Fuerza cortante y de momento
 Grafique el diagrama de fuerza cortante (V y x) y el diagrama de momento (M y x). Si los valores numéricos de las
funciones que describen a V y M son positivos, éstos se representarán por encima del eje x, mientras que los valores
negativos de graficarán por debajo de dicho eje.
 En general, es conveniente mostrar los diagramas de fuerza cortante y de momento por debajo del diagrama de cuerpo
libre de la viga.

17. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

18. Calcular las reacciones de la siguiente figura
Resolución:
Ejemplo 01
Consideremos el tramo OCD
𝐷𝑥
𝐷𝑦
Por condición de equilibrio:
𝑀𝑜 = 0 → −6𝑇 1.5𝑚 − 𝐷𝑥 4m + 𝐷𝑦 3𝑚 = 0
3m 3m
6𝑇
𝐷𝑦 3𝑚 =6𝑇 1.5𝑚 + 𝐷𝑥 4m … . (1)
𝐹𝑥 = 0 → 𝐹𝑥 = 𝐷𝑥 … (2)
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑦 = 0 → 𝐹𝑦 + 𝐷𝑦 = 6𝑇 … (3)

19. Consideremos el tramo OBA
𝐴𝑥
𝐴𝑦
Por condición de equilibrio:
𝑀𝑜 = 0 → 6𝑇 1.5𝑚 + 6𝑇
8
3
𝑚 − 𝐴𝑦 3m + 𝐴𝑥 4𝑚 = 0
3m 3m
6𝑇
𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝑥 + 6𝑇 = 𝐹𝑥 … (5)
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐹𝑦 = 6𝑇 … (6)
4
3
𝑚
6𝑇
𝐴𝑦 3m − 𝐴𝑥 4𝑚 = 25𝑇. 𝑚 … (4)
En todo el sistema:
𝑀𝐷 = 0 → 12𝑇 3𝑚 − 6𝑇
4
3
𝑚 − 𝐴𝑦 6m = 0
12𝑇
6𝑇
𝐴𝑦
𝐴𝑦 = 4.67𝑇
En (6): 𝐴𝑦 + 𝐹𝑦 = 6𝑇 → 4.67𝑇 + 𝐹𝑦 = 6𝑇
𝐹𝑦 = 1.33𝑇

20. En (4):
𝐴𝑦 3m − 𝐴𝑥 4𝑚 = 25𝑇. 𝑚 … (4)
𝐴𝑥 = −2.74𝑇
𝐹𝑦 + 𝐷𝑦 = 6𝑇 … (3)
En (3):
1.33 + 𝐷𝑦 = 6𝑇
𝐷𝑦 = 4.67𝑇
𝐷𝑦 3𝑚 =6𝑇 1.5𝑚 + 𝐷𝑥 4m … . (1)
En (1):
(4.67𝑇) 3𝑚 =6𝑇 1.5𝑚 + 𝐷𝑥 4m
𝐷𝑥 = 1.25𝑇

21. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada.
Ejemplo 02
Resolución: Elaboramos DCL
𝐵𝑦
𝐴𝑦
1200𝑙𝑏
𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 1800 𝑙𝑏
𝑀𝐴 = 0 → −1200𝑙𝑏 3𝑓𝑡 − 600𝑙𝑏(9𝑓𝑡) + 𝐵𝑦(12𝑓𝑡) = 0
𝐵𝑦 = 750𝑙𝑏 → 𝐴𝑦 = 1050𝑙𝑏

22. Tramo AC: 0 ≤ 𝑥 ≤ 6
𝑥
𝑉
1050𝑙𝑏
200𝑥
𝑀
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉 + 200𝑥 = 1050𝑙𝑏
𝑉 = 1050𝑙𝑏 − 200𝑥
𝑥 = 0 → 𝑉 = 1050𝑙𝑏
𝑥 = 6 → 𝑉 = −150𝑙𝑏
𝑉 = 0 → 200𝑥 = 1050 → 𝑥 = 5.25𝑓𝑡
𝑀 = 0 → 𝑀 + 200𝑥
𝑥
2
− 1050𝑥 = 0
𝑀 = 1050𝑥 − 100𝑥2
𝑥 = 0 → 𝑀 = 0𝑙𝑏. 𝑓𝑡
𝑥 = 6 → 𝑀 = 2700𝑙𝑏. 𝑓𝑡
𝑥 = 5.25 → 𝑀 = 2756.25𝑙𝑏. 𝑓𝑡
Tramo CD: 6 ≤ 𝑥 ≤ 9
𝑥
𝑉
1050𝑙𝑏
1200𝑙𝑏
𝑀
3
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉 + 1200 = 1050𝑙𝑏
𝑉 = −150𝑙𝑏
𝑥 = 6 → 𝑉 = −150𝑙𝑏
𝑥 = 9 → 𝑉 = −150𝑙𝑏
𝑀 = 0 → 𝑀 + 1200 𝑥 − 3 − 1050𝑥 = 0
𝑀 = −150𝑥 + 3600
𝑥 = 6 → 𝑀 = 2700𝑙𝑏. 𝑓𝑡
𝑥 = 9 → 𝑀 = 2250𝑙𝑏. 𝑓𝑡
𝑥 = 9 → 𝑉 = −150𝑙𝑏 − 600𝑙𝑏 = −750𝑙𝑏

23. Tramo DB: 9 ≤ 𝑥 ≤ 12
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉 + 1200𝑙𝑏 + 600𝑙𝑏 = 1050𝑙𝑏
𝑉 = −750𝑙𝑏
𝑥 = 9 → 𝑉 = −750𝑙𝑏
𝑥 = 12 → 𝑉 = −750𝑙𝑏
𝑀 = 0 → 𝑀 + 600 𝑥 − 9 + 1200 𝑥 − 3 − 1050𝑥 = 0
𝑀 = −750𝑥 + 9000
𝑥 = 9 → 𝑀 = 2250𝑙𝑏. 𝑓𝑡
𝑥 = 12 → 𝑀 = 0𝑙𝑏. 𝑓𝑡
𝑥
𝑉
1050𝑙𝑏
1200𝑙𝑏
𝑀
3
9
𝑥 = 12 → 𝑉 = −750𝑙𝑏 + 750𝑙𝑏 = 0
1050𝑙𝑏
-150𝑙𝑏
-750𝑙𝑏

24. 1050𝑙𝑏
-150𝑙𝑏
-750𝑙𝑏
2700𝑙𝑏
𝑥 = 5.25
2756.25𝑙𝑏
𝑥 = 5.25
2250𝑙𝑏

25. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con voladizo
Ejemplo 03
Resolución:
Elaboramos DCL
80𝑘𝑁
𝐴𝑦
𝐵𝑦
𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 100 𝑘𝑁
𝑀𝐴 = 0 → −80𝑘𝑁 2𝑚 + 𝐵𝑦 4𝑚 − 20𝑘𝑁(6𝑚) = 0
𝐵𝑦 = 70𝑘𝑁 → 𝐴𝑦 = 30𝑘𝑁

26. Tramo AB: 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉 + 20𝑥 = 30𝑘𝑁
𝑉 = 30𝑘𝑁 − 20𝑥
𝑥 = 0 → 𝑉 = 30𝑘𝑁
𝑥 = 4 → 𝑉 = −50𝑘𝑁
𝑉 = 0 → 20𝑥 = 30 → 𝑥 = 1.5𝑚
𝑀 = 0 → 𝑀 + 20𝑥
𝑥
2
− 30𝑥 = 0
𝑀 = 30𝑥 − 10𝑥2
𝑥 = 0 → 𝑀 = 0𝑘𝑁. 𝑚
𝑥 = 4 → 𝑀 = −40𝑘𝑁. 𝑚
𝑥 = 1.5 → 𝑀 = 22.5𝑘𝑁. 𝑚
𝑥
𝑉
30𝑘𝑁
𝑀
20𝑥
𝑥 = 4 → 𝑉 = −50𝑘𝑁 + 70𝑘𝑁 = 20𝑘𝑁
Tramo BC: 4 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉 + 80𝑘𝑁 = 30𝑘𝑁 + 70𝑘𝑁
𝑉 = 20𝑘𝑁
𝑥 = 4 → 𝑉 = 20𝑘𝑁
𝑥 = 6 → 𝑉 = 20𝑘𝑁
𝑀 = 0 → 𝑀 − 70(𝑥 − 4) + 80 𝑥 − 2 − 30(𝑥) = 0
𝑀 = 20𝑥 − 120
𝑥 = 4 → 𝑀 = −40𝑘𝑁. 𝑚
𝑥 = 6 → 𝑀 = 0𝑘𝑁. 𝑚
𝑥 = 6 → 𝑉 = 20𝑘𝑁 − 20𝑘𝑁 = 0𝑘𝑁
𝑥
𝑉
30𝑘𝑁
𝑀
80𝑘𝑁
70𝑘𝑁

27. DFC
DMF
30𝑘𝑁
−50𝑘𝑁
1.5𝑚
20𝑘𝑁
0𝑘𝑁
22.5𝑘𝑁
−40𝑘𝑁

28. Para la viga dada, dibuja el DFC y DMF
Ejemplo 04
Resolución:
Elaboramos DCL
𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 72 𝑘𝑖𝑝
𝑀𝐴 = 0 → −36𝑘𝑖𝑝 9𝑓𝑡 − 36 12𝑓𝑡 + 𝐵𝑦(18𝑓𝑡) = 0
𝐵𝑦 = 42𝑘𝑖𝑝 → 𝐴𝑦 = 30𝑘𝑖𝑝
𝐴𝑦
𝐵𝑦
36𝑘𝑖𝑝 36𝑘𝑖𝑝
2𝑘𝑖𝑝/𝑝𝑖𝑒
4𝑘𝑖𝑝/𝑝𝑖𝑒

29. Tramo AB: 0 ≤ 𝑥 ≤ 18
𝑉
30𝑘𝑖𝑝
𝑀
2𝑥
𝑥
18𝑓𝑡
𝑥
4𝑘𝑖𝑝
𝑤
𝑤 =
4𝑥
18
4
18
=
𝑤
𝑥
→ 𝑤 =
4𝑥
18
𝑥2
9
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉 +
𝑥2
9
+ 2𝑥 = 30𝑘𝑖𝑝
𝑥 = 0 → 𝑉 = 30𝑘𝑖𝑝
𝑥 = 18 → 𝑉 = −42𝑘𝑖𝑝
𝑉 = 0 → 30𝑘𝑖𝑝 − 2𝑥 −
𝑥2
9
= 0 → 𝑥 = 9.73𝑚
𝑀 = 0 → 𝑀 +
𝑥2
9
𝑥
3
+ 2𝑥
𝑥
2
− 30𝑥 = 0
𝑀 = 30𝑥 −
𝑥3
27
− 𝑥2
𝑥 = 0 → 𝑀 = 0𝑘𝑖𝑝. 𝑓𝑡
𝑥 = 18 → 𝑀 = 0𝑘𝑖𝑝. 𝑓𝑡
𝑥 = 9.73 → 𝑀 = 163.10𝑘𝑖𝑝. 𝑓𝑡
𝑥 = 18 → 𝑉 = −42𝑘𝑖𝑝 + 42𝑘𝑖𝑝 = 0

30. DFC
DMF
30𝑘𝑖𝑝
0𝑘𝑁
−42𝑘𝑖𝑝
9.73𝑓𝑡
9.73𝑓𝑡
163𝑘𝑖𝑝. 𝑓𝑡

31. Ejemplo 05
Resolución:
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con voladizo

33. Para la viga mostrada, dibuja el DFC y DMF
Ejemplo 06
Resolución:

35. Método Gráfico para la construcción de diagramas de
fuerza cortante y de momento
En los casos donde se somete una viga a varias cargas diferentes, la determinación
de V y M como funciones de x para después graficar esas ecuaciones puede resultar
un proceso bastante tedioso. En esta sección se analiza un método más sencillo para
la construcción de los diagramas de fuerza cortante y de momento; este método se
basa en dos relaciones diferenciales, una que existe entre la carga distribuida y la
fuerza cortante, y otra entre la fuerza cortante y el momento.
Regiones de carga distribuida.
Con el fin de generalizar, considere la viga de la figura 6-Ba, que está sometida a una
carga arbitraria. En la figura 6-8b se muestra un diagrama de cuerpo libre para un
pequeño segmento ∆x de la viga. Como este segmento se ha elegido en una posición
x donde no hay fuerza concentrada o momento, los resultados que se obtengan
no se aplicarán en estos puntos de carga concentrada.

36. Observe que todas las cargas mostradas sobre el segmento actúan
en sus direcciones positivas de acuerdo con la convención de signos
establecida, figura 6-3. Asimismo, tanto la fuerza cortante como el
momento resultante internos, que actúan en la cara derecha del
segmento, deben cambiarse por una cantidad pequeña para
mantener al segmento en equilibrio. La carga distribuida se sustituye
por una fuerza resultante w(x) ∆x que actúa a una distancia fraccional
k(∆x) desde el lado derecho, donde 0< k < 1 [por ejemplo, si w(x) es
uniforme, k =
1
2
].

37. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio para el segmento, se tiene:
Al dividir entre ∆x y tomar el limite cuando ∆𝑥 → 0, las dos ecuaciones anteriores se convierten en:
Estas dos ecuaciones proporcionan un medio conveniente para obtener rápidamente los diagramas de fuerza
cortante y de momento para una viga. La ecuación 6-1 establece que en un punto la pendiente del diagrama de
fuerza cortante es igual a la intensidad de la carga distribuida. Por ejemplo, considere la viga de la figura 6-9a.
La carga distribuida es negativa y aumenta desde cero hasta 𝑤𝐵• Por lo tanto, el diagrama de fuerza cortante será
una curva con pendiente negativa, la cual aumenta desde cero hasta −𝑤𝐵• En la figura 6-9b se muestran las
pendientes específicas 𝑤𝐴 = 0, −𝑤𝐶, −𝑤𝐷 y −𝑤𝐵.

38. De manera similar, la ecuación 6-2 establece que en un punto la pendiente
del diagrama de momento es igual a la fuerza cortante. Observe que el
diagrama de fuerza cortante en la figura 6-9b comienza en +𝑉𝐴, decrece
hasta cero y luego pasa a ser negativo y disminuye hasta −𝑉𝐵. El diagrama
de momento tendrá entonces una pendiente inicial de +𝑉𝐴 que decrece hasta
cero, después la pendiente se vuelve negativa y disminuye hasta −𝑉𝐵. En la
figura 6-9c se muestran las pendientes específicas 𝑉𝐴, 𝑉𝐶, 𝑉𝐷, 0 𝑦 −𝑉𝐵
Las ecuaciones 6-1 y 6-2 también pueden
rescribírse en la forma dV=w(x)dx y dM =V dx. Si
se tiene en cuenta que w(x)dx y V dx
representan áreas diferenciales bajo la carga
distribuida y el diagrama de fuerza cortante,
respectivamente, es posible integrar estas áreas
entre dos puntos cualesquiera C y D de la viga,
figura 6-9d, y escribir

39. La ecuación 6-3 establece que el cambio en la fuerza cortante entre C y D es igual al área
bajo la curva de la carga distribuida entre esos dos puntos, figura 6-9d. En este caso, el
cambio es negativo ya que la carga distribuida actúa hacia abajo. Del mismo modo, a partir
de la ecuación 6-4, el cambio en el momento entre C y D, figura 6-9f, es igual al área bajo el
diagrama de fuerza cortante en la región entre C y D. Aquí, el cambio es positivo .
Como las ecuaciones anteriores no se aplican en los puntos donde actúa una fuerza o un
momento concentrado, a continuación se considerará cada uno de estos casos.
Regiones de fuerza y momento concentrados.
En la figura 6-10b se muestra un diagrama de cuerpo libre de un pequeño segmento
de la viga mostrada en la figura 6-10a; el segmento se tomó por debajo de la fuerza.
Aquí se puede ver que el equilibrio de fuerzas requiere
Así, cuando F actúa hacia arriba sobre la viga, ∆𝑉 es positivo por lo que la fuerza cortante
"saltará" hacia arriba. Del mismo modo, si F actúa hacia abajo, el salto (∆𝑉) será hacia abajo.
Cuando el segmento de viga incluye al momento M" figura 6-10b, entonces el equilibrio de
momentos requiere que el cambio en el momento sea

40. En este caso, si 𝑀0 se aplica en sentido horario, ∆M es positivo por lo que el diagrama de momento
"saltará" hacia arriba. Del mismo modo, cuando 𝑀0 actúa en sentido antihorano, el salto (∆M) será
hacia abajo.
Procedimiento de análisis
El siguiente procedimiento proporciona un método para construir los diagramas de fuerza cortante y de
momento para una viga, con base en las relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento.
Reacciones en los apoyos.
• Determine las reacciones de apoyo y descomponga las fuerzas que actúan sobre la viga en sus
componentes perpendiculares y paralelas al eje de la viga.
Diagrama de fuerza cortante.
• Establezca los ejes V y x, y grafique los valores conocidos de la fuerza cortante en los dos extremos de la
viga.
• Observe cómo varían los valores de la carga distribuida a lo largo de la viga, y note que cada uno de estos
valores indica la pendiente que tendrá el diagrama de fuerza cortante (dV/dx = w). Aquí w es positiva cuando
actúa hacia arriba.
• Si debe determinarse un valor numérico para la fuerza cortante en un punto dado, tal valor puede
encontrarse mediante el método de las secciones y la ecuación de equilibrio de fuerzas, o bien por medio de
∆V = f w(x) dx, que establece que el cambio en la fuerza cortante entre dos puntos cualesquiera es igual al
área bajo el diagrama de carga entre esos dos puntos.

41. Diagrama de momento.
• Establezca los ejes M y x, y grafique los valores conocidos del momento en los extremos de
la viga.
• Observe cómo varían los valores del diagrama de fuerza cortante a lo largo de la viga, y tenga
en cuenta que cada uno de estos valores indica la pendiente que tendrá el diagrama de momento
(dM/dx= V).
• En el punto donde la fuerza cortante es cero, dM/dx = 0; por lo tanto, en este punto ocurre un
momento máximo o mínimo.
• Si debe determinarse un valor numérico para el momento en un punto dado, tal valor puede
encontrarse mediante el método de las secciones y la ecuación de equilibrio de momentos, o
bien por medio de ∆M = 𝑉 𝑥 𝑑𝑥, que establece que el cambio en el momento entre dos
puntos cualesquiera es igual al área bajo
el diagrama de fuerza cortante entre esos dos puntos.
• Como w(x) debe integrarse a fin de obtener ∆𝑉, y V(x) se integra para obtener M(x), entonces
si w(x) es una curva de grado n, V(x) será una curva de grado n+1 y M(x) será una curva de
grado n + 2. Por ejemplo, si w(x) es uniforme, V(x) será lineal y M(x) será una parábola.

42. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de
momento para la viga en voladizo mostrada
en la figura 6-15a.
Ejemplo 07
Resolución:

44. Ejemplo 08
Resolución:
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y
de momento para la viga en voladizo
mostrada en la figura 6-15a.

46. Ejemplo 09
El eje mostrado en la figura 6-17a se sostiene
mediante un cojinete de empuje en A y una
chumacera en B. Dibuje los diagramas de
fuerza cortante y de momento.