1.
RESUMEN—Primero iniciemos explicando que, en la
matemática es definido como un tipo de multilineal
alternada de un cuerpo, lo que nos muestra en este
significado es que una agrupación de diferentes
propiedades matemáticas, pero principalmente usado
en las ecuaciones lineales. Las determinantes son un
tema después de las matrices y tomando otra definición
es que:” El determinante es una función que le asigna a
una matriz de orden n, un único número real llamado el
determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden
n, el determinante de la matriz A lo denotado por
det(A)”.
Y finalizando se habla sobre las determinantes y su
aplicación o uso en las diversas carreras universitarias,
en los diferentes campos como son física, economía, e
ingeniería, y llegando a los usos más actuales, que son
el dar gráficos por el ordenador, la teoría de la
información [W1], y la criptografía.
PALABRAS CLAVE— Aplicación, ecuaciones lineales
y función.
Abstract— First let us start by explaining that, in
mathematics is defined as a kind of many-stranded story
alternating of a body, which shows us in this meaning is
that a grouping of different mathematical properties, but
primarily used in the linear equations. The determinants
are a topic after arrays and taking another definition is
that:" The determinant is a function that maps to an
array of order n, a single real number called the
determinant of the matrix. If A is a matrix of order n, the
determinant of the matrix to the implicated by det(A) ".
And ending is speaking on the determinants and their
application or use in the various careers in the various
fields such as physics, economics, and engineering, and
reaching the uses more current, which are the give
graphics by the computer, the information theory [W1],
and cryptography.
Keywords— Application, linear equations and function
I. INTRODUCCIÓN
Lo que es visto durante este artículo es/son las
definiciones, en lo que es compuesta, sus partes a ver y
sus aplicaciones en la misma, las determinantes, en sus
temas, o puntos a partir son;
En base a el objetivo general, objetivos específicos,
mapa conceptual que es hecho con los siguientes
temas; DEFINICIONES= sarrus (3x3), cofactores,
propiedades de los determinantes, determinantes e
inversas, adjunta de una matriz, gauss jordan, regla de
cramer y sus APLICACIONES= teoría de grafos,
aplicaciones en circuitos, modelos económicos,
cadenas de markov y modelos de crecimiento de
poblacion
II OBJETIVO GENERAL
Conocer las aplicaciones de los determinantes en las
diferentes áreas del conocimiento, para ayudar a
solucionar problemas.
III OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Aprender el uso de las matrices
Conocer sus propiedades
Aprender a construirlas adecuadamente
Aplicar su solución a problemas cotidianos
3. DETERMINATES
3.1 DEFINICIONES=
3.1.1 SARRUS (3X3):
Aquí es explicado, la regla de Sarrus y es un método
fácil para memorizar y calcular un determinante 3×3.
Recibe su nombre del matemático francés Pierre
Frédéric Sarrus.
Considérese la matriz de 3×3:
¿QUE, COMO, Y SU APLICACIÓN CON LAS
DETERMINANTES?
Perez Higuera Nicolás Steven
Proyecto de Grado, Colegio Luis Carlos Galán Sarmiento Universidad
Bogotá, Colombia
Nikoph2015@outlook.com
nsphperez1999@hotmail.com
nikitosph2013@gmail.com

2.
Su determinante se puede calcular de la siguiente
manera:
En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la
matriz a la derecha de la misma de manera que queden
cinco columnas en fila. Después sumar los productos de
las diagonales descendentes (en línea continua) y
sustraer los productos de las diagonales ascendentes
(en trazos). Esto resulta en:
Un proceso similar basado en diagonales también
funciona con matrices de 2×2:
Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la
fórmula de Leibniz.
3.1.2 Cofactores:
Sea A una matriz de orden , definimos el
menor asociado al elemento de A como el
determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la
fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor
asociado al elemento de A esta dado por
.
3.2 Propiedades de los determinantes:
• El determinante de una matriz es un invariante
algebraico, lo cual implica que dada una
aplicación lineal todas las matrices que la
represente tendrán el mismo determinante. Eso
permite definir el valor del determinante no sólo
para matrices sino también para aplicaciones
lineales.
• El determinante de una matriz y el de
su traspuesta coinciden:
• Una aplicación lineal entre espacios
vectoriales es invertible si y sólo si su
determinante no es nulo. Por lo tanto, una
matriz con coeficientes en un cuerpo es
invertible si y sólo si su determinante es no
nulo.
• Determinante del producto[editar]
• Una propiedad fundamental del determinante es
su comportamiento multiplicativo frente al
producto de matrices:
Esta propiedad es más trascendente de lo que
parece y es muy útil en el cálculo de
determinantes. En efecto, supongamos que
queremos calcular el determinante de la
matriz y que es cualquier matriz con
determinante uno (el elemento neutro respecto
al producto del cuerpo). En este caso, se
verifica que:
Una aplicación lineal entre dos espacios
vectoriales de dimensión finita se puede
representar mediante una matriz. La matriz
asociada a la composición de aplicaciones
lineales entre espacios de dimensión finita se
puede calcular mediante el producto de
matrices. Dadas dos aplicaciones lineales y
, se cumple lo siguiente:
• Matrices en bloques[editar]
Sean matrice
s respe
ctivamente. Entonces
Esto se puede ver de la fórmula de Leibniz.
Empleando la siguiente identidad

3.
vemos que para una matriz general, A y D
deben ser cuadradas y A regular.
Análogamente, se puede obtener una identidad
similar con factorizado.8
Si son matrices diagonales,
9
• Derivada de la función determinante[editar]
La función determinante puede definirse sobre
el espacio vectorial formado por matrices
cuadradas de orden n. Dicho espacio vectorial
puede convertirse fácilmente en un espacio
vectorial normado mediante la norma matricial,
gracias a lo cual dicho espacio se convierte en
un espacio métrico y topológico, donde se
pueden definir límites e incluso derivadas. El
determinante puede definirse como un
morfismo del álgebra de las matrices al
conjunto de los elementos del cuerpo sobre el
que se definen las matrices:
El diferencial de la función derivada (o
jacobiana) viene en términos de la matriz de
adjuntos:
Dónde:
Es la matriz de adjuntos.
, es la traza de la matriz.
3.3 Determinantes e Inversas
Teorema:
Si A es una matriz invertible, entonces el
detA ≠ 0 y
Definición: Sea A una matriz n x n y B una matriz de los
cofactores de A. Entonces el adjunto de A,
representado por adjA es la traspuesta de la matriz B.
Teorema:
Sea A una matriz n x n. Entonces A es
invertible si y sólo si el detA ≠ 0. Si el detA ≠
0, entonces
Ejemplo:
3.3.1 Adjunta de una matriz:
La matriz adjunta es aquella en
la que cada elemento se sustituye
por su adjunto.
Se llama adjunto del elemento
ai j al menor complementario
anteponiendo:
El signo es + si i+j es par.

4.
El signo es - si i+j es impar.
I. Ejemplo
3.3.2 Gauss Jordan
Se conoce cómo método de Gauss a un método para
facilitar el cálculo de determinantes usando las
propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar
un determinante equivalente (con el mismo valor) al
que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma
el problema se reduce a calcular un determinante de
una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando
las propiedades de los determinantes.
Para conseguir triangularizar el determinante se pueden
aplicar las siguientes operaciones:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada
por un número no nulo.
3.4 Regla de Cramer:
La regla de Cramer es un teorema del álgebra
lineal que da la solución de un sistema lineal de
ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este
nombre en honor aGabriel Cramer (1704 - 1752), quien
publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes
courbes algébriques de 1750, aunque Colin
Maclaurin también publicó el método en su Treatise of
Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método
desde 1729).1
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da
una expresión explícita para la solución del sistema. Sin
embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más
de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del
mismo resulta excesivamente costosa:
computacionalmente, es ineficiente para grandes
matrices y por ello no es usado en aplicaciones
prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin
embargo, como no es necesario pivotar matrices, es
más eficiente que la eliminación gaussiana para
matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas
operaciones SIMD.
Si es un sistema de ecuaciones. es la
matriz de coeficientes del
sistema, es el vector columna de
las incógnitas y es el vector columna de los términos
independientes. Entonces la solución al sistema se
presenta así:
donde es la matriz resultante de reemplazar la j-
ésima columna de por el vector columna . Hágase
notar que para que el sistema sea compatible
determinado, el determinante de la matriz ha de ser
no nulo.
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de
ecuaciones:
Se representa matricialmente :
Entonces, e pueden ser encontradas con la regla
de Cramer, con una división de determinantes, de la
siguiente manera:
• Ejemplo[editar]
Ejemplo de la resolución de un sistema e de 2x2:
Dado
que matricialmente es:

5.
x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer
• Sistema de 3x3[editar]
La regla para un sistema de 3x3, con una división
de determinantes:
Que representadas en forma de matriz es:
, , pueden ser encontradas como sigue:
• Ejemplo[editar]
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
expresado en
forma matricial:
Los valores de serían:
• Demostración[editar]
Sean:
Usando las propiedades de la multiplicación de
matrices:
entonces:
Por lo tanto:
Aparte, recordando la definición de determinante, la
suma definida acumula la multiplicación del elemento
adjunto o cofactor de la posición , con el elemento i-
ésimo del vector (que es precisamente el elemento
i-èsimo de la columna , en la matriz ).
4 APLICACIONES
4.1 TEORIA DE GRAFOS:
La teoría de grafos (también llamada teoría de las
gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y
las ciencias de la computación, que estudia las
propiedades de los grafos (también llamadas gráficas,
que no se debe confundir con las gráficas que tienen
una acepción muy amplia) estructuras que constan de
dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el
conjunto de aristas, líneas o lados (edges en inglés) que
pueden ser orientados o no. Por lo tanto también esta
conocido como análisis de redes.1
La teoría de grafos es una rama de las matemáticas
discretas y de las matemáticas aplicadas, y es un
tratado que usa diferentes conceptos de diversas áreas
como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de
polígonos, aritmética y topología.
Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el
campo de la informática, las ciencias de la computación
y telecomunicaciones.

6.
4.2 APLICACIONES EN CIRCUITOS:
El análisis nodal formula una solución de circuito
usando un conjunto de ecuaciones linealmente
independientes según la ley de Kirchhoff de corrientes,
escritas en términos de voltajes de nodo. Usando los
valores de estos voltajes de nodo y los valores de las
fuentes independientes, se puede determinar el valor de
cualquier variable restante del circuito. Se asume que el
circuito es propio. Un circuito propio no tiene fuentes de
voltaje o inductancias en serie y no tiene fuentes de
corriente o conjuntos de condensadores en paralelo. El
problema con una fuente de voltaje o inductancias en
serie es que la corriente en el lazo no tiene un único
valor. Las fuentes de corriente o conjunto de
condensadores en paralelo crean circuitos separados
que no tienen un único voltaje entre un nodo en un
punto y otro nodo en otro punto.
4.3 MODELOS ECONÓMICOS
La matriz de Leone grandes rasgos, la economía en su
conjunto se divide en el sector productor y en el sector
consumidor; el sector productor, a su vez se divide en
un gran número de industrias en el cual se supone que
cada industria produce un producto homogéneo. ´ El
punto de partida para la elaboración de un análisis de
insumo-producto es la formulación de una tabla que
contiene partidas que demuestran, ya sea
cuantitativamente o en ´ términos de valor, de qué
manera se distribuye la producción total de una
industria a todas ´ las demás industrias en forma de
producción intermedia (es decir, como materia prima) y
´ a los usuarios finales no productores. Veamos un
ejemplo: Compras Demanda Intermedia Demanda o
Producción´ Ventas Agricultura Industria Servicio uso
Final Bruta Agricultura 600 400 1400 600 3000 Industria
1500 800 700 1000 4000 Servicios 900 2800 700 700
2600 www.matebrunca.com 1 Matriz de Letonia Prof.
Waldo Marquez González ´ Esta es una tabla de
transacciones intersectoriales, que muestran cómo se
interrelacionan todas las industrias, en el sentido de que
cada una adquiere productos fabricados por las demás
a fin de llevar a cabo su propio proceso. ´ Los sectores
de esta tabla son precisamente Agricultura, Industria y
Servicios. Estos nombres reflejan un concepto amplio,
en el sentido de que dentro del sector servicios se
agrupan todas las empresas que prestan algún tipo de
servicio, tales como: bancos, ´ transporte de carga,
transporte de pasajeros, comercios, servicios
profesionales diversos, servicios públicos diversos, etc.
Dentro del sector industrial se agrupan todas las
empresas que producen bienes, tales como: industria
textil, farmacéutica, petroquímica, de energéticos, de
alimentos, de bebidas, de plástico, de papel y
derivados, etc.. En el sector ´ agricultura se agrupan
todas las empresas agrícolas y ganaderas de diversos
tipos, tales como: producción de hortalizas, de cereales,
de forrajes, de ganado lechero, de ganado ´ lanar,
avícola, porcino, etc., o según otra clasificación m ´ as
conveniente. ´ En la primera columna de esta tabla la
cifra 600 representa las compras que las empresas del
sector agricultura han efectuado a otras empresas del
mismo sector, tales como semillas mejoradas, abonos,
ganado para engorde, forrajes, etc. La cifra 1500
representa las compras que las empresas del sector
agricultura han efectuado al sector industrial, tales
como: tuberías, herramientas, fertilizantes químicos,
insecticidas, tractores, etc. La cifra 900 representa las
compras que las empresas del sector agricultura han
efectuado al sector servicios, tales como: servicios de
transporte de carga, servicio de sanidad e inmunización,
servicios de asesoría legal, servicios de almacenajes en
silos y bodegas, servicios de comercialización, etc. ´
Análogamente, las cifras de la segunda columna ´
representan las compras que las empresas del sector
industrial han efectuado al sector agricultura (400), a
otras empresas del mismo sector industrial (800),y al
sector de servicios (2800). La tercera columna se
interpreta de la misma manera. Se dice que estas tres
columnas representan la demanda intermedia o la
utilización intermedia, ya que estas cifras corresponden
a los insumos que los sectores adquieren para fabricar
otros productos, es decir que corresponden a bienes
que no llegan al consumidor final, sino que se utilizan
dentro del proceso de producción. ´ La cuarta columna
de esta tabla representa las compras que los
consumidores finales efectúan a los sectores de
producción, esto es, los bienes que son adquiridos por
las fa- ´ milis, por las instituciones estatales y federales
y por otros países para ser utilizados en consumo
(compra de alimentos, de ropa, de servicios recreativos,
de viajes) o en inversión www.matebrunca.com 2 Matriz
de Letonia Prof. Waldo Marquez González ´ (compra de
maquinaria, vehículos, edificios y en general, en bienes
de activo fijo). Esta columna recibe la denominación de
demanda final o de utilización final, ya que corresponde
a bienes que no se utilizan como insumos intermedios
para producir otros bienes, sino que satisfacen una
necesidad de algún consumidor final. ´ Conviene
subrayar que la columnas nos indican siempre las
cantidades compradas por un determinado sector para
lograr un nivel de producción especıfico; es decir que
indican el origen o las fuentes de donde ese sector
absorbe las materias primas, los productos
semielaborados y los servicios en la cantidad necesaria
para cumplir con su proceso de producción. Otra forma
de verlo, es que las columnas indican el volumen de las
adquisiciones de bienes y servicios de diversos
orígenes, que cooperan en el proceso de producción de
un determinado sector. ´ En cambio, las filas de la
matriz nos indican siempre las cantidades vendidas por
un sector dado a todos los otros sectores compradores,
esto es el destino de la producción. ´ Mientras que las
filas indican como se distribuye el volumen de

7.
producción de un ´ determinado sector, las columnas
indican de donde provienen los insumos de bienes y
servicios necesarios para obtener un determinado
volumen de producción en un sector específico. De ahí
que a esta matriz se le conoce como matriz de insumo-
producto o como modelo input-output. En la última
columna tenemos el valor bruto de la producción de
cada sector, o abreviadamente la producción bruta de
cada uno de los sectores. Esas cifras se calculan
sumando ´ las ventas que cada sector ha efectuado a
cada uno de los sectores de la economía nacional, esto
es sumando horizontalmente cada fila de la tabla. De
ahí que la producción bruta de ´ cada sector sea igual a
la suma de las ventas a demanda intermedia y las
ventas a demanda final. Esta tabla de transacciones
intersectoriales se ha construido bajo el supuesto de
que los resultados del proceso productivo se expresan
en unidades físicas. Bajo este supuesto siempre es
posible sumar horizontalmente las filas de la tabla, ya
que las cifras de una misma fila, representan las ventas
de un mismo sector, destinados a satisfacer
necesidades finales y por lo tanto se expresan en la
misma unidad de medida. En cambio no tiene sentido
sumar verticalmente (por columna) ya que cada cifra
representa una compra efectuada a otro sector de
producción y por lo tanto esta expresada en ´ diversas
unidades de medidas (toneladas, metros cúbicos,
toneles, bolsas, cajas, cuñetes, ˜ etc.). Esto implicaría el
absurdo de sumar elementos tan disímiles como x
toneladas de www.matebrunca.com 3 Matriz de Letonia
Prof. Waldo Marquez González ´ cereales + y metros de
tubos de acero + z horas de trabajo de mano de obra...,
etc. Por ello es que la dimensión en que se expresa los
insumos no debe ser fısica sino monetaria. Las cifras de
una tabla de transacciones interindustriales, deben estar
expresadas en valores monetarios (dólares, pesos, etc.)
para que tengan sentido sumarlas tanto ´
horizontalmente (ventas) como verticalmente
(compras). Esto significa que además de conocer las
cantidades físicas intercambiadas entre los sectores,
necesitamos disponer de los precios unitarios
correspondientes a cada uno de esos bienes, a fin de
expresar cada transacción en su valor monetario
multiplicando el ´ precio por la cantidad respectiva.
4.4. CADENAS DE MARKOV
Un proceso o sucesión de eventos que se desarrolla en
el tiempo en el cual el resultado en cualquier etapa
contiene algún elemento que depende del azar se
denomina proceso aleatorio o proceso estocástico. Por
ejemplo, la sucesión podría ser las condiciones del
tiempo en Paraná en una serie de días consecutivos: el
tiempo cambia día a día de una manera que en
apariencia es algo aleatoria. O bien, la sucesión podría
consistir en los precios de las acciones que cotizan en
la bolsa en donde otra vez interviene cierto grado de
aleatoriedad. Un ejemplo simple de un proceso
estocástico es una sucesión de ensayos de Bernoulli,
por ejemplo, una sucesión de lanzamientos de una
moneda. En este caso, el resultado en cualquier etapa
es independiente de todos los resultados previos (esta
condición de independencia es parte de la definición de
los ensayos de Bernoulli). Sin embargo, en la mayoría
de los procesos estocásticos, cada resultado depende
de lo que sucedió en etapas anteriores del proceso. Por
ejemplo, el tiempo en un día determinado no es
aleatorio por completo sino que es afectado en cierto
grado por el tiempo de días previos. El precio de una
acción al cierre de cualquier día depende en cierta
medida del comportamiento de la bolsa en días previos.
El caso más simple de un proceso estocástico en que
los resultados dependen de otros, ocurre cuando el
resultado en cada etapa sólo depende del resultado de
la etapa anterior y no de cualquiera de los resultados
previos. Tal proceso se denomina proceso de Markov o
cadena de Markov (una cadena de eventos, cada
evento ligado al precedente) Estas cadenas reciben su
nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch
Markov (1856-1922). Como mencionamos antes, estas
cadenas tiene memoria, recuerdan el último evento y
eso condiciona las posibilidades de los eventos futuros.
Esto justamente las distingue de una serie de eventos
independientes como el hecho de tirar una moneda.
Este tipo de proceso presenta una forma de
dependencia simple, pero muy útil en muchos modelos,
entre las variables aleatorias que forman un proceso
estocástico. Se utilizan, por ejemplo, para analizar
patrones de compra de deudores morosos, para planear
necesidades de personal, para analizar el reemplazo de
un equipo, entre otros. Definición Una cadena de
Markov es una sucesión de ensayos similares u
observaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo
número finito de resultados posibles y en donde la
probabilidad de cada resultado para un ensayo dado
depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente
precedente y no de cualquier resultado previo.
4.5. MODELOS DE CRECIMIENTO DE
POBLACIÓN
Modelo de Leslie. Cuando la variación de una población
se realiza en función del tiempo, obtenemos un proceso
(continuo o discreto) que recibe el nombre de dinámica
de la población. El objetivo de la dinámica de
poblaciones es estudiar los cambios numéricos que
sufren las poblaciones, determinar sus causas, predecir
su comportamiento y analizar sus consecuencias
ecológicas. Estudiamos en esta sección un importante
modelo de dinámica de poblaciones denominado
‘modelo de Leslie’ en honor del autor del método, el
fisiólogo Patrick Holt Leslie (1900 - 1974). Los modelos
que estudian el crecimiento de poblaciones
independientemente de la densidad de dichas
poblaciones, corresponden a los casos más simples.
Existen dos procesos que afectan al cambio del tamaño

8.
de la población: los nacimientos y las migraciones, que
aumentan su tamaño, y las defunciones y las
emigraciones que la disminuyen. En los modelos más
simplistas podemos suponer que estamos estudiando
una población en la que no intervienen ninguno de esos
procesos. Las hipótesis más simplistas que podemos
plantear serian del tipo: • Todos los individuos son
iguales (especialmente lo que hace referencia a la
natalidad y a la supervivencia). • Los recursos
disponibles son ilimitados. Es evidente que estas
hipótesis serán válidas solamente un número limitado
de casos. Parece claro que la tasa de mortalidad ser ‘a
mayor entre los individuos de mayor edad que entre los
más jóvenes. Asimismo la tasa de fecundidad depende
también de la edad (por ejemplo las hembras
demasiado jóvenes no podrán tener hijos en los
primeros estadios de su vida). Con carácter general,
podemos suponer que la población consiste
enteramente de hembras. En realidad, para la mayoría
de las especies la cantidad de machos es prácticamente
la misma que la de hembras. Por otra parte, en lo que
respecta a las cuestiones reproductivas, el papel
determinante es jugado por las hembras y no por los
machos. Vamos a plantear en esta sección modelos
para el estudio de una población en los que se tienen en
cuenta característica particulares de cada uno de los
individuos. Según estas características los agruparemos
en clases que sean homogéneas a efectos
reproductivos y de supervivencia. Como ya hemos
comentado, normalmente el número de descendientes
producidos depende de la edad de los adultos. Por
ejemplo, en una población humana la mujer adulta con
un promedio de edad de 50 años tendrá menos hijos
que la mujer con un promedio de 21 años. A fin de
superar esta dificultad es necesario introducir un
modelo que permita el agrupamiento por edades con
diferentes tasas de fertilidad. Este es el modelo que
más comúnmente utilizan los demógrafos para el
crecimiento de una población (humana o animal). Como
en muchas de las poblaciones estudiadas es muy difícil
determinar la paternidad, ya hemos mencionado
también antes que entonces, por regla general, solo se
analiza la evolución de la población de hembras.
Cuando la población que tenemos que estudiar es tal
que el número de hembras y machos es 332 CAP
´ITULO 13. MODELOS DISCRETOS MATRICIALES
muy diferente, entonces esta hipótesis supone una gran
restricción sobre el modelo, pero por lo general, esta
circunstancia no suele darse en la mayoría de los casos.
Por tanto, el modelo de Leslie describe el crecimiento
de la parte femenina de una población clasificando a las
hembras por edades en intervalos de igual número de
años. Supongamos que la edad máxima alcanzada por
una hembra de una población sea L años y que esta
población la dividimos en n clases de edades. Cada
clase, es evidente que tendrá L/n años de duración. Por
lo tanto, podemos construir la siguiente tabla 1 · · · [0, L
n ) 2 · · · [ L n , 2L n ) . . . . . . n − 1 · · · [ (n−2)L n ,
(n−1)L n ) n · · · [ (n−1)L n , L] Supongamos que en el
momento inicial (t = 0) conocemos el número de
hembras que hay en cada uno de los intervalos.
Llamaremos xi(0) al número de hembras existentes en
el intervalo i-´esimo en el momento inicial. Podemos
construir el vector x(0) = (x1(0), x2(0), · · · , xn(0)) ,
conocido con el nombre de vector de la distribución
inicial de las edades. Al pasar el tiempo, por causas
biológicas (nacimientos, envejecimiento, muertes), el
número de hembras que hay en cada una de las clases
se va modificando. Lo que pretendemos es ver como
evoluciona el vector x(0) de distribución inicial con el
tiempo. La manera más fácil de proceder, para estudiar
el proceso de envejecimiento es hacer observaciones
de la población en tiempos discretos t0, t1, · · · , tk, · · · .
El modelo de Leslie requiere que la duración entre dos
tiempos consecutivos de observación sea igual a la
duración de los intervalos de edad; esto es: t0 = 0; t1 =
L n , t2 = 2L n ; · · · ; tk = kL n ; · · · Bajo esta hipótesis
todas las hembras de la clase (i+ 1) en el tiempo tk+1
estaban en la clase (i) en el tiempo tk (suponiendo que
no existen muertes ni nacimientos). Los procesos de
nacimiento y muerte entre dos tiempos consecutivos de
observación se pueden describir mediante los
siguientes parámetros demográficos: • Al promedio del
número de hijas que tiene una hembra durante el
tiempo que permanece en la clase de orden i, lo
llamaremos ai con i = 1, 2, · · · , n • La fracción de las
hembras que están en la clase i y se espera que
sobrevivan y pasen a la clase de orden i + 1 la
llamaremos bi con i = 1, 2, · · · , n − 1. Es evidente,
según las definiciones dadas que 1. ai ≥ 0, i = 1, 2, · · · ,
n . 2. 0 < bi ≤ 1 con i = 1, 2, · · · , n − 1. El caso bi = 0,
no puede ocurrir ya que esto supondría que ninguna
hembra viviría más allá de la clase i. También
supondremos que hay al menos un ai > 0 lo que
garantiza que habrá nacimientos. A la clase donde ai >
0 la llamaremos clase fértil. Sea x(k) = (x1(k), x2(k), · · ·
, xn(k)) el vector de distribución de las edades en el
tiempo tk.
CONCLUSION
En este trabajo se puede encontrar como se construyen
las matrices, su forma de solución y la forma de como
los determinantes se aplican en diferentes áreas, para
ayudar en la solución matemática a problemas
BIOGRAFIA
Nicolas Perez Higuera, nació el 1 de septiembre de
1.999, sus padres son Nicolas Perez ingeniero de
profesión y su madre Patricia Higuera Tiene Dos
hermanas, la mayor Johana Caterine y la menor Sara
Valentina. Natal de Bogotá estudio sus primeros años
en el Liceo John Brand, sus estudios básicos los ha
llevado en el colegio Luis Carlos Galan Sarmiento.

9.
Ha tomado cursos de Ingles en el instituto English
Word, curso de Teatro en Batuta.
.
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Determinantes.pdf
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem
%C3%A1tica)#Propiedades
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Determinantes
%20e%20Inversas.htm
http://www.dmae.upct.es/~jose/ayedo/algebra.pdf
file:///C:/Users/marina%20y%20saul/Downloads/51-
54_(III-2009)-1682.pdf
http://repositorio.utp.edu.co/dspace/bitstream/11059/176
8/1/62131912H493.pdf
http://www.ehu.eus/Jarriola/Docencia/EcoEsp/matriz-de-
leontief.pdf
http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/fm_ambientales/p
racti/leslie.pdf

10.
Ha tomado cursos de Ingles en el instituto English
Word, curso de Teatro en Batuta.
.
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Determinantes.pdf
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem
%C3%A1tica)#Propiedades
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Determinantes
%20e%20Inversas.htm
http://www.dmae.upct.es/~jose/ayedo/algebra.pdf
file:///C:/Users/marina%20y%20saul/Downloads/51-
54_(III-2009)-1682.pdf
http://repositorio.utp.edu.co/dspace/bitstream/11059/176
8/1/62131912H493.pdf
http://www.ehu.eus/Jarriola/Docencia/EcoEsp/matriz-de-
leontief.pdf
http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/fm_ambientales/p
racti/leslie.pdf