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PASO 4 EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

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UNAD.
PASO 4
Olveimar Gómez Pinto cód.
Cód.1050918913
Blanca Yeneth Pabón cód.
Cód.27847939
Libardo Julián Salinas cód.
Cód.76323079
Manuela Margarita Ortiz Rangel
Cód.1127044977
Juan Camilo Moreno
Cód.1008781891
 El corazón de los procesos de aritmetización y rigorización de las
matemáticas durante el siglo XIX se encontraba en la búsqueda por
eliminar la referencia geométrica e intuitiva que había
predominado, y subrayar el papel de la aritmética y la lógica en la
construcción y validación de las matemáticas.
 Era importante ofrecer fundamentos lógicos y nociones más
precisas en el edificio de las matemáticas, a potenciar sus
fundamentos, sin embargo, a veces se aprecia un distanciamiento
de estos mecanismos de fundamentación de aquellos conceptos e
ideas que dieron origen al cálculo.
Descripción del contexto
Se crearon teorías fundamentales, algunas de las cuales aún son estudiadas en nuestros días.
La presencia de matemáticos de la talla de Gauss, Abel, Galois, Cauchy, Riemann, Weierstrass,
Cantor, entre otros.
Fue decisivo para revisar, formalizar y crear nuevas ideas matemáticas, con métodos y
concepciones cada vez más universales.
En el análisis, la idea de función es precisada, clarificándose las funciones continuas, derivables
e integrables. Para ello fue necesaria la construcción de los números reales bajo modelos que
implican la idea de límite.
A comienzos del siglo XIX estos supuestos comienzan a ser cuestionados. Entre los primeros
que abrieron el camino para la reformulación de la idea del “paso al límite” fueron:
Durante los primeros años del siglo XX, coexisten
diferentes visiones de la matemática que implican
distintos métodos lógicos. Se trata de
fundamentar a la matemática como unidad. La
fundamentación como una visión totalizante que
intenta racionalizar y justificar una praxis de hacer
global.
El estudio de los fundamentos de la matemática es,
desde hace un siglo, competencia de la Lógica
Matemática. Se trata de un fenómeno bien
característico del siglo XX: la propia matemática trata de
dar cuenta de sus bases, convirtiéndose en una ciencia
“reflexiva” que da lugar a la llamada metamatemática.
Por usar la habitual metáfora de la ciencia en tanto
edificio, es como si la arquitectura tratara de extender
su campo de estudio para dar cuenta también de las
bases geológicas en que tienen que asentarse, por
necesidad, sus construcciones.
No hay duda de que la Lógica Matemática es una de las
ramas matemáticas más propias del siglo XX, y más
innovadoras (el otro gran ejemplo es la Topología). La
lógica tiene una larga historia, que hunde sus raíces en la
Antigüedad y la Edad Media, pero aquí nos referimos a la
profunda renovación y transformación que produjo la
interacción entre lógica y matemáticas en los años 1850-
1940. El ascenso de la Lógica Matemática vino impulsado
por cambios profundos en la concepción de las
matemáticas, y a la vez su desarrollo en el siglo XX ha
seguido generando cambios profundos.

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  • 1. Grupo 551103_2 UNAD. PASO 4 Olveimar Gómez Pinto cód. Cód.1050918913 Blanca Yeneth Pabón cód. Cód.27847939 Libardo Julián Salinas cód. Cód.76323079 Manuela Margarita Ortiz Rangel Cód.1127044977 Juan Camilo Moreno Cód.1008781891
  • 2.  El corazón de los procesos de aritmetización y rigorización de las matemáticas durante el siglo XIX se encontraba en la búsqueda por eliminar la referencia geométrica e intuitiva que había predominado, y subrayar el papel de la aritmética y la lógica en la construcción y validación de las matemáticas.  Era importante ofrecer fundamentos lógicos y nociones más precisas en el edificio de las matemáticas, a potenciar sus fundamentos, sin embargo, a veces se aprecia un distanciamiento de estos mecanismos de fundamentación de aquellos conceptos e ideas que dieron origen al cálculo. Descripción del contexto
  • 3. Se crearon teorías fundamentales, algunas de las cuales aún son estudiadas en nuestros días. La presencia de matemáticos de la talla de Gauss, Abel, Galois, Cauchy, Riemann, Weierstrass, Cantor, entre otros. Fue decisivo para revisar, formalizar y crear nuevas ideas matemáticas, con métodos y concepciones cada vez más universales. En el análisis, la idea de función es precisada, clarificándose las funciones continuas, derivables e integrables. Para ello fue necesaria la construcción de los números reales bajo modelos que implican la idea de límite. A comienzos del siglo XIX estos supuestos comienzan a ser cuestionados. Entre los primeros que abrieron el camino para la reformulación de la idea del “paso al límite” fueron:
  • 4. Durante los primeros años del siglo XX, coexisten diferentes visiones de la matemática que implican distintos métodos lógicos. Se trata de fundamentar a la matemática como unidad. La fundamentación como una visión totalizante que intenta racionalizar y justificar una praxis de hacer global.
  • 5. El estudio de los fundamentos de la matemática es, desde hace un siglo, competencia de la Lógica Matemática. Se trata de un fenómeno bien característico del siglo XX: la propia matemática trata de dar cuenta de sus bases, convirtiéndose en una ciencia “reflexiva” que da lugar a la llamada metamatemática. Por usar la habitual metáfora de la ciencia en tanto edificio, es como si la arquitectura tratara de extender su campo de estudio para dar cuenta también de las bases geológicas en que tienen que asentarse, por necesidad, sus construcciones.
  • 6. No hay duda de que la Lógica Matemática es una de las ramas matemáticas más propias del siglo XX, y más innovadoras (el otro gran ejemplo es la Topología). La lógica tiene una larga historia, que hunde sus raíces en la Antigüedad y la Edad Media, pero aquí nos referimos a la profunda renovación y transformación que produjo la interacción entre lógica y matemáticas en los años 1850- 1940. El ascenso de la Lógica Matemática vino impulsado por cambios profundos en la concepción de las matemáticas, y a la vez su desarrollo en el siglo XX ha seguido generando cambios profundos.
  • 7. La particularidad que presentan las matemáticas es precisamente la búsqueda de la exactitud, lo comprobable y en esa medida cada evolución matemática dentro de la historia ha tenido a los grandes pensadores como protagonistas incansables de búsqueda de soluciones ante dificultades esenciales, que brindaron la posibilidad del surgimiento de teorías cada vez mas revolucionarias, cada vez mas concretas unas surgieron en a medida que aparecían las ambigüedades otras tardaron mucho años y hasta siglo en ser refutadas y comprobadas en base a nuevos conocimientos matemáticos.
  • 9. Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números Matemático, físico y astrónomo alemán Niels Henrik Abel (1802-1829) Escritos de ecuaciones funcionales e integrales dando la primera solución de una ecuación integra. Abel fue el instrumento que le dio estabilidad al análisis matemático sobre bases rigurosas fue un Matemático Noruego Évariste Galois ( 1811 - 1832) •Creó la teoría de los grupos Solución de problemas mediante el grupo de permutaciones Bases de la modulación CDMA utilizada en comunicaciones y en sistemas de navegación por satélite como GPS Matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857). -Juega un rol central la aritmética del concepto de límite liberado de toda geometría y de toda intuición temporal elige caracterizar la continuidad de funciones en términos de una noción rigurosa de infinitesimal. - Sus trabajos representan una etapa crucial en la renuncia por parte de los matemáticos, a los infinitesimales y a las ideas intuitivas de continuidad y de movimiento. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) Padre del análisis moderno. •Definición de la continuidad de una función. •Desarrolló programa de Introducción a la teoría de las funciones analíticas, elípticas, Abelianas y Cálculo de variaciones. Demostró el teorema del valor medio y Bolzano Weierstrass para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados Matemático francés Matemático alemán
  • 10. Richard Dedekind (1831-1916) -fue una figura clave en el surgimiento de la matemática conjuntista y estructural del siglo XX. -Considera que cuando los números racionales se asocian a los puntos de una recta, “existen infinitos puntos (sobre la recta) a los que no corresponden ningún número racional Propone en 1858, la definición de número real mediante cortaduras, por estar insatisfecho con la teoría de límites que se apoya en evidencias geométricas. Gottlob Frege (1848-1925) se le considera hoy el padre de la lógica moderna. Fue el primero que abordó de manera orgánica el problema de los fundamentos de las matemáticas, al establecer una estrecha relación entre la definición filosófica de la esencia del conocimiento matemático y la rigurosa descripción de los procesos demostrativos; también fue el pionero del análisis lógico del lenguaje. En todo momento un objetivo inspiró su actividad: probar que la aritmética es una rama de la lógica y que no necesita extraer una fundamentación Bertrand Russell (1872-1970). -Crea el movimiento logicista para superar la crisis producida por las paradojas. Sumerge a la matemática en el universo de la lógica. Georg Cantor (1845-1918). •Creó la teoría de conjuntos, base de matemáticas modernas. •Formalizó la noción de infinito. •Intentó demostrar la hipótesis de continuo. Desarrolló una teoría de los números irracionales El más visionario “aritmetizador”. El logicismo Matemático alemán Matemático alemán de origen ruso Filósofo y matemático británicoMatemático, filósofo y lógico alemán
  • 11. David Hilbert (1862-1943) -Es uno de los más importantes Matemáticos de su generación. -En los inicios del siglo XX. Formaliza la teoría axiomática. -Fue una mente universal, y por tanto la crisis de los fundamentos atrajo su atención -. Formuló un grandioso programa, que en parte fue análogo a lo hecho por Euclides en la antigüedad. Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) -Es una figura central en la historia de la matemática contemporánea y la filosofía. -Defiende que la matemática es una libre creación mental, desarrollada a partir de una intuición primordial (la del tiempo) e independiente de la experiencia. Los objetos matemáticos no pueden existir si no pueden ser construidos, un cierto idealismo respecto a las entidades matemáticas. .Kurt Gödel 1906-1978 -Con el teorema de Incompletitud, pone en crisis los fundamentos, dando pie a la búsqueda definitiva de la fundamentación matemática •Empleó la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de las matemáticas. -Creó dos teoremas de la incompletitud con una técnica de numeración que codifica expresiones formales como números naturales Émile Borel (1871 - 1956) -Creó la primera teoría efectiva de la medida de un conjunto de puntos, en la que se basa la moderna teoría de funciones de variable real, y desarrolló en 1899 una teoría sistemática para una serie divergente. -fue uno de los pioneros de Teoría de la medida y sus aplicaciones a la Teoría de la probabilidad El formalismo El intuicionismo Matemático neerlandés Lógico y matemático estadounidense de origen austriaco. Matemático alemán Matemático y político francés
  • 12. Bibliografí a Ferreirós Domínguez, J. M. (2007). Kurt Gödel: revolución en los fundamentos de las matemáticas. Arbor. Ciencia, Pensamiento y Cultura, 183 (725), 409-418. Ruiza, M., Fernández, T. y Tamaro, E. (2004). Biografia de Évariste Galois. En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Barcelona (España). Recuperado de https://www.biografiasyvidas.com/biografia/g/galois.htm Ruiz,A. (s. f.). Capitulo XXII; EL Rigor en las Matemáticas.http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/ Cap22/Parte04_22.htm Ruiza, M., Fernández, T. y Tamaro, E. (2004). Biografia de Émile Borel. En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Barcelona (España). Recuperado de https://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/borel_emile.htm . Ruiza, M., Fernández, T. y Tamaro, E. (2004). Biografia de Leopold Kronecker. En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Barcelona (España). Recuperado de https://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kronecker.htm . Ruiza, M., Fernández, T. y Tamaro, E. (2004). Biografia de Bertrand Russell. En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Barcelona (España). Recuperado de https://www.biografiasyvidas.com/biografia/r/russell_bertrand.htm . Ruiza, M., Fernández, T. y Tamaro, E. (2004). Biografia de Gottlob Frege. En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Barcelona (España). Recuperado de https://www.biografiasyvidas.com/biografia/f/frege.htm . Ruiza, M., Fernández, T. y Tamaro, E. (2004). Biografia de David Hilbert. En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Barcelona (España). Recuperado de https://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/hilbert.htm . Ruiza, M., Fernández, T. y Tamaro, E. (2004). Biografia de Bertrand Russell. En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Barcelona (España). Recuperado de https://www.biografiasyvidas.com/biografia/r/russell_bertrand.htm.
  • 13. Navarro, l. (2014). Epistemología y metodología. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Recuperado de https://ebookcentral-proquest- com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3227854&ppg=1 Gómez, R. & Recalde, L. (2013). Epistemología de las matemáticas. Modulo. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. . Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/10981 López, M. (2009). Filosofía básica y lenguaje en matemática. Córdoba, AR: El Cid Editor | apuntes, 6-10. Recuperado de https://ebookcentral-proquest- com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3183573&ppg=1# Tomasini, B.(2006). Filosofía y matemáticas: ensayos en torno a Wittgenstein. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. 137-153 Recuperado de https://ebookcentral-proquest- com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3192139&ppg=137 Soto, S. (2009). Epistemología de la educación matemática. Córdoba, AR: El Cid Editor | apuntes. . Recuperado de https://ebookcentral-proquest- com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3182515&ppg=1 Cherubini, E. (2015). LA NOCIÓN DEL CONTINUO MATEMÁTICO DE HERMANN WEYL CONCILIANDO FORMALISMO E INTUICIONISMO. Revista Síntesis, 14-16. Recuperado a partir de https://revistas.unc.edu.ar/index.php/sintesis/article/view/12220 Ortiz Fernández, A. (1988). Crisis en los fundamentos de la matemática. Pro Mathematica, 2(3), 31-47. Recuperado a partir de http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/promathematica/article/view/6053 Soto, S. (2009). Epistemología de la educación matemática. Córdoba, AR: El Cid Editor | apuntes. . Recuperado de https://ebookcentral-proquest- com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3182515&ppg=1 Gómez, R. & Recalde, L. (2013). Epistemología de las matemáticas. Modulo. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. . Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/10981 Bibliografí a