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Algebra vectorial 5

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FISICA

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Algebra vectorial 5

  1. 1. Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del Mar.
  2. 2. Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión. Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector. Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. Álgebra vectorial1.1. Fundamentos de Física. FCM. A 'A a  dirección sentido módulo
  3. 3. Álgebra vectorial1.1. A 'A a  dirección sentido módulo Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado caracterizado por: • Un origen o punto de aplicación. Punto A. • Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, recta que contiene al segmento AA’. • Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha. a  óa aa  ó Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  4. 4. Álgebra vectorial1.1. Suma de vectores. a  b  c  d  cbad  ++= a  b  c  Regla del polígono Regla del paralelogramo bac  += a  b  a  b  c  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  5. 5. Álgebra vectorial1.1. Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos. a  a  − Diferencia de vectores. ( )bacbac  −+=⇒−= b  a  a  b  − c  b  Producto de un vector por un escalar. a  a  λ 0 1 > > λ λ a  λ 0 1 < < λ λ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  6. 6. Álgebra vectorial1.1. Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000:nuloelementovii) :vectoresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi) :escalaresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi) :productoelparaasociativav) es,esto,0/,:sumalaparasimétricoelementoiv) 0:sumalaparaneutroelementoiii) :sumalaparaaconmutativii) :sumalaparaasociativai)         == +=+ +=+ = −==+=+∃∀ =+ +=+ ++=++ a baba aaa aa ababbaba aa abba cbacba λ λλλ γλγλ λγγλ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  7. 7. Álgebra vectorial1.1. a a ua    = Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección de será:a  Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un vector unitario en dicho sentido. Proyección de un vector sobre un eje. eu  a  α ( )aPe  ( ) αα coscos aaaPe ==  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  8. 8. Álgebra vectorial1.1. Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen del triedro. X Y Z pulgar índice corazón Levógiro (mano izquierda) Y X Z pulgar corazón índice Dextrógiro (mano derecha) i  j  k  dextrógiro Triedro cartesiano kji  ,,vectores unitarios: Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  9. 9. Coordenadas cartesianas Y X Z y x z ( )zyxP ,, ( )zrP ,,ϕ Y X Z ϕ r z Coordenadas cilíndricas ( )ϕθρ ,,P Y X Z ϕ θ ρ Coordenadas esféricas Álgebra vectorial1.1. Sistemas de coordenadas. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  10. 10. Álgebra vectorial1.1. Componentes cartesianas. xa  Y X Z a  ya  za  a  Y X Z xα k  j  yα zα i  zyx aaaa  ++= kaa jaa iaa zz yy xx    = = = ( ) ( ) ( ) zZz yYy xXx aaPa aaPa aaPa α α α cos cos cos == == ==    Componentes cartesianas Cosenos directores aa aa aa zz yy xx /cos /cos /cos = = = α α α Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  11. 11. Álgebra vectorial1.1. Componentes cartesianas. zzyyxx aaaaaa ααα coscoscos === kaajaaiaa zzyyxx  === =++= zyx aaaa  =++ kajaia zyx  ( )kjia zyx  ααα coscoscos ++ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. kji a a u zyxa      ααα coscoscos ++== ),,( zyxzyx aaaaaaa =++= 
  12. 12. Álgebra vectorial1.1. Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas. kajaiaa zyx  ++= kbjbibb zyx  ++= ( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxx  +++++=+ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( )kbajbaibababa zzyyxx  −+−+−=−+=− )(
  13. 13. Producto escalar de dos vectores. Álgebra vectorial1.1. αcosb a  α b  αcosabba =⋅  Propiedades. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kaajaaiaauaaP aaaa ikkjjikkjjii bababa baba bcacbac abba zyxee        ⋅=⋅=⋅=⋅= ⋅== =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⊥⇔=⋅≠ ⋅=⋅ ⋅+⋅=+⋅ ⋅=⋅ ,,ia,consecuencEn.vii) vi) 0,1v) 0y0,siiv) :escalaresarespectoasociativaiii) :vadistributiii) :aconmutativi) λγγλ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  14. 14. Producto escalar de dos vectores. a  α αcosb b  αcosabba =⋅  Producto escalar en términos de las componentes cartesianas. zzyyxx babababa ++=⋅  Ángulo que forman dos vectores. ab bababa ab ba zzyyxx ++ = ⋅ =  αcos Álgebra vectorial1.1. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  15. 15. Álgebra vectorial1.1. Y X Z a  b  α bac  ×= • Vector perpendicular al plano determinado por . • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar • Módulo dado por ba  y ba  sobre αsenabbac =×=  Propiedades. ( ) ( ) ( ) ( ) bababa bcacbac bababa cbacba abba      ||0y0,Siv) :sumalaarespectovodistributiiv) :escalarunporproductoelparaasociativoiii) :asociativo-noii) :ativoanticonmuti) ⇔=×≠ ×+×=+× ×=×=× ××≠×× ×−=× λλλ c  Producto vectorial de dos vectores. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  16. 16. Producto vectorial de dos vectores. Álgebra vectorial1.1. Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas. ( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba bbb aaa kji ba zyyxzxxzyzzy zyx zyx    −+−+−==× Y X Z a  b  α bac  ×= • Vector perpendicular al plano determinado por . • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar • Módulo dado por ba  y ba  sobre αsenabbac =×=  c  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  17. 17. Producto mixto de tres vectores. Álgebra vectorial1.1. Y X Z a  b  α c  β ba  × ( ) βα cosabcsenbac =×⋅  Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores Propiedades. ( ) ( ) ( )acbbaccba  ×⋅=×⋅=×⋅:cíclicai) Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas. ( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxyzxxzxyzzy zyx zyx zyx cbabacbabacbaba bbb aaa ccc bac −+−+−==×⋅  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  18. 18. Momento de un vector con respecto a un punto. r  a  αd OM  O P ( ) araMO  ×= adarMO == αsen El momento de un vector con respecto a un punto no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. Álgebra vectorial1.1. j a lími a lím yx  λλ λλ ∆ ∆ + ∆ ∆ →∆→∆ 00
  19. 19. Cálculo vectorial1.2. Función vectorial con respecto a un escalar. ( )1λa  ( )2λa  Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( ) ( )kajaiaaa zyx  λλλλ ++== ( ) ( )12 λλ aaa  −=∆ a  ∆ ( ) ( )λλλ λλλ λλ λλλ aaa  −∆+=∆⇒      ∆+= = −=∆ 2 1 12
  20. 20. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. ( )λa  ( )λλ ∆+a  a  ∆ λ∆ ∆a  λd ad  λd ad  λd ad  λd ad  ( ) ( ) ( ) λ λλλ λλ λ λλ ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ aa lím a lím d ad  00 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( )λλλ aaa  −∆+=∆ ( ) ( ) λ λλλ λ ∆ −∆+ = ∆ ∆ aaa 
  21. 21. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j d da i d da j a lími a lím j aa lími aa lím aa lím a lím d ad yxyx yyxx    λ λ λ λ λλ λ λλλ λ λλλ λ λλλ λλ λ λλ λλ λλ += ∆ ∆ + ∆ ∆ = =      ∆ −∆+ +      ∆ −∆+ = ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ →∆→∆ →∆→∆ 00 00 00 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  22. 22. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo. dt ad  dt ad  dt ad  ( ) ( ) ( ) ( ) k dt tda j dt tda i dt tda t a lím dt tad zyx t  ++= ∆ ∆ = →∆ 0 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) k dt tda j dt tda i dt tda t a lím dt tad zyx t  ++= ∆ ∆ = →∆ 0
  23. 23. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Propiedades. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λλ λ λ λλ λ λ λ λλ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λλλ λ λλ d bd ab d ad ba d d d bd ab d ad ba d d d df a d ad faf d d d λbd d λad λbλa dλ d         ×+×=× += += +=+ :esvectorialfuncionesdosdevectorialproductodelDerivadaiv) :esvectorialfuncionesdosdeescalarproductodelDerivadaiii) :escalarunporctorialfunción veunadeproductodelDerivadaii) :vectoresdesumaladeDerivadai) Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  24. 24. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Algunas consecuencias. ( ) ( ) ( )λλλ auaa   = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Siiii) ||Siii) general,Eni) a a aaa a a u d ad d ud a d ad ctea u d ad u d da d ad cteu d ud au d da d ad                ⊥⇔=⇒= ⇔=⇒= += → λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  25. 25. Cálculo vectorial1.2. Integral de una función vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =− += ⇒= ∫ ∫ 2 1 12 /,Dadas λ λ λλλλ λλλ λ λ λ λλ dbaa cdba b d ad ba    Propiedades. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ −= = ×=× === +=∈ == +=+== → 1 2 2 1 2 1 2 1 v) :ySiiv) :,Siiii) :Siii) :ySii) 21 λ λ λ λ λ ξ ξ λ λ λ λλ λξυλυξ λυλυ λυλυλξξυ λλλλλξ λλ λλλλλ dada dd dada dadacte dadada dakdakctek dbdadbabbaa        Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  26. 26. Cálculo vectorial1.2. Integral en función de las componentes cartesianas. ( ) ( ) ( ) ( )kajaiaa zyx  λλλλ ++= ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )kdajdaidada zyx  ∫∫∫∫ ++= λλλλλλλλ Integral de una función vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =− += ⇒= ∫ ∫ 2 1 12 /,Dadas λ λ λλλλ λλλ λ λ λ λλ dbaa cdba b d ad ba    Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
  27. 27. Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del Mar.

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