CONJUNTOS
Kevin Miguel Silvestre Noyola

¿Que es un conjunto?
Conjunto es un término que no se define,
sino que adoptamos la noción intuitiva que
la misma palabra nos sugiere: colección de
objetos que pueden ser de carácter
concreto o abstracto. Estos objetos que
forman el conjunto los
llamamos elementos. Se dice que un
elemento pertenece a un conjunto si forma
parte de él, caso contrario se dice que el
elemento no pertenece al conjunto.

CONCEPTO DE CONJUNTO
Un conjunto puede describirse
enumerando todos sus elementos. Por
ejemplo,
S = {1, 3, 5, 7, 9}.
«S es el conjunto cuyos elementos son 1,
3, 5, 7 y 9». Los cinco elementos del
conjunto están separados por comas y se
listan entre llaves.

TIPOS DE CONJUNTO
1. Conjuntos iguales
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
Por ejemplo:
– Si A = {Vocales del alfabeto} y B = {a, e, i, o, u} se dice que A = B.
– Por otro lado, los conjuntos {1, 3, 5} y {1, 2, 3} no son iguales, porque tienen diferentes elementos. Esto se escribe
como {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
– El orden en que los elementos están escritos dentro los corchetes no importa en absoluto. Por ejemplo, {1, 3, 5, 7,
9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
– Si un elemento aparece en la lista más de una vez, solo se contabiliza una vez. Por ejemplo, {a, a, b} = {a, b}.
El conjunto {a, a, b} tiene solo los dos elementos a y b. La segunda mención de a es una repetición innecesaria y
puede ser ignorada. Normalmente, se considera mala notación cuando se enumera a un elemento más de una vez.
2. Conjuntos finitos e infinitos
Los conjuntos finitos son aquellos en donde todos los elementos del conjunto pueden ser contabilizados o
enumerados. Aquí hay dos ejemplos:
– {Números enteros entre 2.000 y 2.005} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004}
– {Números enteros entre 2.000 y 3.000} = {2.001, 2.002, 2.003, …, 2.999}
Los tres puntos ‘…’ en el segundo ejemplo representan los otros 995 números en el conjunto. Se pudo haber listado a
todos los elementos, pero para ahorrar espacio se utilizaron puntos en su lugar.
Esta notación solo puede utilizarse si está completamente claro lo que significa, como en esta situación.
Un conjunto también puede ser infinito –lo único que importa es que esté bien definido–. Aquí hay dos ejemplos de
conjuntos infinitos:
– {Números pares y enteros mayores o iguales a dos} = {2, 4, 6, 8, 10, …}
– {Números enteros mayores que 2.000} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004, …}
Ambos conjuntos son infinitos, ya que no importa cuántos elementos se intente enumerar, siempre hay más
elementos en el conjunto que no podrán ser listados, no importa cuánto tiempo se pruebe.
Esta vez los puntos ‘…’ tienen un significado ligeramente diferente, porque representan infinitamente muchos
elementos no enumerados.

3. Conjuntos subconjuntos
Un subconjunto es una parte de un conjunto.
– Ejemplo: Los búhos son un tipo particular de aves, así que cada búho es también un ave. En el lenguaje de los
conjuntos, se expresa diciendo que el conjunto de búhos es un subconjunto del conjunto de las aves.
Un conjunto S es llamado un subconjunto de otro conjunto T, si cada elemento de S es un elemento de T. Esto se
escribe como:
– S ⊂ T (Se lee “S es un subconjunto de T”)
El símbolo ⊂ significa ‘es un subconjunto de’. Así {búhos} ⊂ {pájaros} porque cada búho es un pájaro.
– Si A = {2, 4, 6} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces A ⊂ B,
Porque cada elemento de A es un elemento de B.
El símbolo ⊄ quiere decir ‘no es un subconjunto’.
Esto significa que al menos un elemento de S no es un elemento de T. Por ejemplo:
– {Aves} ⊄ {criaturas voladoras}
Porque un avestruz es un ave, pero no vuela.
– Si A = {0, 1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 4, 5, 6}, entonces A ⊄ B
Porque 0 ∈ A, pero 0 ∉ B, se lee “0 pertenece al conjunto A”, pero “0 no pertenece al conjunto B”.
4. Conjunto vacío
El símbolo Ø representa el conjunto vacío, que es el conjunto que no tiene elementos en absoluto. Nada en el
universo entero es un elemento de Ø:
– | Ø | = 0 y X ∉ Ø, no importa lo que X puede ser.
Solo hay un conjunto vacío, porque dos conjuntos vacíos tienen exactamente los mismos elementos, por lo que deben
ser iguales entre sí.

5. Conjuntos disjuntos o disyuntivos
Dos conjuntos se llaman disjuntos si no tienen elementos
en común. Por ejemplo:
– Los conjuntos S = {2, 4, 6, 8} y T = {1, 3, 5, 7} son
disjuntos.
6. Conjuntos equivalentes
Se dice que A y B son equivalentes si tienen la misma
cantidad de elementos que los constituyen, es decir, el
número cardinal del conjunto A es igual al número cardinal
del conjunto B, n (A) = n (B). El símbolo para denotar un
conjunto equivalente es ‘↔’.
– Por ejemplo:
A = {1, 2, 3}, por lo tanto, n (A) = 3
B = {p, q, r}, por lo tanto, n (B) = 3
Por lo tanto, A ↔ B
7. Conjuntos unitarios
Es un conjunto que tiene exactamente un elemento en él.
En otras palabras, solo hay un elemento que conforma el
conjunto.
Por ejemplo:
– S = {a}
– Sea B = {es un número primo par}
Por lo tanto, B es un conjunto unitario porque solo hay un
número primo que es par, es decir, 2.
8. Conjunto universal o referencial
Un conjunto universal es la colección de todos los objetos en un contexto particular o teoría. Todos los demás
conjuntos en ese marco constituyen subconjuntos del conjunto universal, que se denomina con la letra mayúscula y
cursiva U.
La definición precisa de U depende del contexto o teoría bajo consideración. Por ejemplo:
– Se puede definir U como el conjunto de todas las cosas vivientes en el planeta Tierra. En ese caso, el conjunto de
todos los felinos es un subconjunto de U, el conjunto de todos los peces es otro subconjunto de U.
– Si se define U como el conjunto de todos los animales en el planeta Tierra, entonces el conjunto de todos los felinos
es un subconjunto de U, el conjunto de todos los peces es otro subconjunto de U, pero el conjunto de todos los
árboles no es un subconjunto de U.

9. Conjuntos superpuestos o solapados
Dos conjuntos que tienen al menos un elemento común
se llaman conjuntos superpuestos.
– Ejemplo: Sean X = {1, 2, 3} e Y = {3, 4, 5}
Los dos conjuntos X e Y tienen un elemento en común, el
número 3. Por lo tanto, se llaman conjuntos superpuestos.
10. Conjuntos congruentes
Son aquellos conjuntos en los que cada elemento de A
tiene la misma relación de distancia con sus elementos
imagen de B. Ejemplo:
– B {2, 3, 4, 5, 6} y A {1, 2, 3, 4, 5}
La distancia entre: 2 y 1, 3 y 2, 4 y 3, 5 y 4, 6 y 5 es una
(1) unidad, por lo que A y B son conjuntos congruentes.
11. Conjuntos no congruentes
Son aquellos en los que no se puede establecer la misma
relación de distancia entre cada elemento de A con su
imagen en B. Ejemplo:
– B {2, 8, 20, 100, 500} y A {1, 2, 3, 4, 5}
La distancia entre: 2 y 1, 8 y 2, 20 y 3, 100 y 4, 500 y 5 es
diferente, por lo que A y B son conjuntos no congruentes.
12. Conjuntos homogéneos
Todos los elementos que componen el conjunto
pertenecen a la misma categoría, género o clase. Son del
mismo tipo. Ejemplo:
– B {2, 8, 20, 100, 500}
Todos los elementos de B son número, por lo que el
conjunto se considera homogéneo.
13. Conjuntos heterogéneos
Los elementos que forman parte del conjunto pertenecen a
diferentes categorías. Ejemplo:
– A {z, auto, π, edificios, manzana}
No existe una categoría a la que pertenezcan todos los
elementos del conjunto, por lo tanto, es un conjunto
heterogéneo.

¿Qué es un diagrama de Venn?
Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras
para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de
elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma
gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los
diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o
"diagramas lógicos", se usan ampliamente en las áreas de
matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y
negocios.

OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
Además de relacionar los conjuntos a través de
la contenencia y la igualdad, podemos crear unos
nuevos a través de las operaciones entre
conjuntos. Aquí aprenderás de que se trata.

Unión de conjuntos
Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en la
siguiente figura:
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a M o a N. A este nuevo
conjunto le llamamos unión de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: . En la imagen de abajo puedes
observar el resultado de unir los conjuntos M y N.
Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos M y N, debes preguntarte cuáles están
en el conjunto “o” en el conjunto . El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos
los elementos del conjunto universal , que cumplan la condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso: :

Intersección de conjuntos
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos anteriormente. Podemos determinar un
nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos M y N tienen en común. A este
nuevo conjunto le llamamos intersección de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: . M n N
Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos y te puedes preguntar qué
elementos están en “y” en Todos los elementos del conjunto que cumplan esta condición deberán estar
en el conjunto . En la figura de la arriba puedes ver la intersección de nuestros conjuntos y : .

Diferencia de conjuntos
Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.
En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas
la operación menos , debes seleccionar los elementos de que no están en . Representamos la diferencia M
menos N así: . Observa que en este caso .

Diferencia simétrica de conjuntos
Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla.
En esta ocasión se deben escoger los elementos de que no están en , y los elementos de que no
están en . Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre y en la figura de abajo. Representamos la
diferencia simétrica a través del símbolo . En el caso de nuestros conjuntos y tenemos: .

Complemento de un conjunto
La ultima operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos. Decimos que el complemento de es el
conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal , que no pertenecen al conjunto . Es
usar los símbolos , o para representar el complemento del conjunto . Nosotros usaremos el símbolo . En nuestro
caso tenemos y .

Pregunte a 30 personas cual es su
deporte favorito

De esas 30 personas 18 personas
contestaron que el futbol es su deporte
favorito, 7 personas dijeron que el voleibol
lo es, 5 personas respondieron que el
basquetbol es su deporte favorito

DEPORTES
fa fr % F
FUTBOL 18 0.6 60 18
VOLEIBOL 7 0.233 23.3 25
BASQUETBOL 5 0.166 16.6 30
TOTALES 30 0.999 99.9
𝑓𝑟 =
𝐹
𝑛 𝐹𝑟 × 100
TABLA DEFRECUENCIAS

Grafica de barras
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
futbol basquetbol voleibol

DEPORTE FA GRADOS %
Futbol 18 216° 59.9%
Voleibol 7 84° 23.3%
Basquetbol 5 60° 16.6%
total 30 360° 99.8% 360°/30= 12
= 12° = 3.333%
100%/30= 3.333%
60%
23%
17%
DEPORTES
futbol
voleibol
basquetbol
GRAFICA CIRCULAR

¿Qué son las medidas de tendencia central?
Son medidas estadísticas que permiten conocer sobre el centro de la distribución o
población estadística, es decir, que son valores que se ubican en el centro de un
conjunto de datos ordenados según su magnitud. Las medidas de tendencia central
que se suelen utilizar más son la media, mediana y moda.
Cabe mencionar ,que cuando se hacen referencias únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la
distribución (sea que esta esté centrada o no), se habla de medidas de posición, lo que hace posible que se incluyan
los cuantiles entre dichas medidas. Se debe tener en consideración que existen diferentes tipos de variables, como
son las cualitativas y las cuantitativas, lo que significa que las medidas de posición o de tendencia se utilizarán de
acuerdo al tipo de variable observada.
Ahora, entre las medidas de tendencia central y dispersión más conocidas encontramos:
•Media aritmética.
•Media geométrica.
•Media armónica.
•Media ponderada.
•Moda (en el campo de la estadística).
•Mediana (del mismo modo, en el área de estadística).

¿Qué es la media aritmética?
La media aritmética es el valor que se obtiene al sumar todos los datos que
tenemos y dividir el resultado entre el número total de esos datos.
Se calcula con las siguientes fórmulas:

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuen
absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre.
¿Qué es la mediana?

Cuando tratamos datos agrupados antes de definir la moda, debemos obtener el intervalo modal, que es el de mayor frecuencia
absoluta. Para obtener la moda estadística en datos agrupados haremos uso de la fórmula:
¿Qué es la moda?

¿Qué es la varianza?
La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos con
respecto a su media. Formalmente, se calcula como la suma de los cuadrados de los residuos
dividida por las observaciones totales.

¿Qué es la varianza?
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Es una de las medidas de dispersión, una
medida que es indicativa de como los valores individuales pueden diferir de la media.
Fórmulas para calcular la desviación estándar
Esta calculadora utiliza las fórmulas siguientes para calcular la desviación estándar:
La fórmula para la desviación estándar muestral es:

ESO FUE TODO DE MI PARTE, DEBO
DECIR QUE APRENDI Y RECORDE
MUCHO AL HACER ESTA
PRESENTACION… MUCHAS GRACIAS
POR LA OPRTUNIDAD DE HACER
ESTA ACTIVIDAD
EXTRAORDINARIA…BONITO