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   ¿Qué es un sistema de control ?
    › En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos
      que necesitan cumplirse.
   En el ámbito doméstico
    › Controlar la temperatura y humedad de casas y
      edificios
   En transportación
    › Controlar que un auto o avión se muevan de un
      lugar a otro en forma segura y exacta
   En la industria
    › Controlar un sinnúmero de variables en los
      procesos de manufactura
   En años recientes, los sistemas de control
    han asumido un papel cada vez más
    importante en el desarrollo y avance de la
    civilización moderna y la tecnología.
   Los sistemas de control se encuentran en
    gran cantidad en todos los sectores de la
    industria:
    › tales como control de calidad de los productos
      manufacturados, líneas de ensamble
      automático, control de máquinas-herramienta,
      tecnología espacial y sistemas de armas, control
      por computadora, sistemas de transporte,
      sistemas de potencia, robótica y muchos otros
   Satélites
 El campo de aplicación de los sistemas
  de control es muy amplia.
 Y una herramienta que se utiliza en el
  diseño de control clásico es
  precisamente:


    La transformada de Laplace
 En el estudio de los procesos es
  necesario considerar modelos
  dinámicos, es decir, modelos de
  comportamiento variable respecto al
  tiempo.
 Esto trae como consecuencia el uso de
  ecuaciones diferenciales respecto al
  tiempo para representar
  matemáticamente el comportamiento
  de un proceso.
   El comportamiento dinámico de los
    procesos en la naturaleza puede
    representarse de manera aproximada
    por el siguiente modelo general de
    comportamiento dinámico lineal:


   La transformada de Laplace es una
    herramienta matemática muy útil para
    el análisis de sistemas dinámicos lineales.
   De hecho, la transformada de Laplace
    permite       resolver    ecuaciones
    diferenciales  lineales mediante    la
    transformación       en   ecuaciones
    algebraicas con lo cual se facilita su
    estudio.

   Una vez que se ha estudiado el
    comportamiento de los sistemas
    dinámicos, se puede proceder a diseñar
    y analizar los sistemas de control de
    manera simple.
   MODELACIÓN MATEMÁTICA
    Suspensión de un automóvil
                    Fuerza de
                     entrada
             f(t)
                                    ∑ F = ma
                       z(t)         f (t ) − kz (t ) − b
                                                           dz (t )
                                                            dt
                                                                   =m
                                                                      d 2 z (t )
                                                                        dt 2

         m
                Desplazamiento,
               salida del sistema
               b
     k
Suspensión de un automóvil
                     dz (t )    d 2 z (t )
f (t ) − kz (t ) − b         =m
                      dt          dt 2
Aplicando la transformada de Laplace a cada término
(considerando condiciones iniciales igual a cero)
F ( s ) − kZ ( s ) − bsZ ( s ) = ms 2 Z ( s )
                [
F ( s ) = Z ( s ) ms 2 + bs + k   ]
Z ( s)             1
        =                                         Función de
F ( s ) ms 2 + bs + k                           transferencia
   MODELACIÓN MATEMÁTICA
    Circuito eléctrico




                        di (t )             1
         ei (t ) = L
                         dt
                                + Ri (t ) + ∫
                                            C
                                              i (t )dt

         1
         C  ∫   i (t )dt = eo (t )
Circuito eléctrico
              di (t )              1                      1
 ei (t ) = L
               dt
                      + Ri (t ) + ∫C
                                       i (t )dt
                                                         C     ∫i (t )dt = eo (t )

 Aplicando la transformada de Laplace
                                     1                    1
 E i ( s ) = LsI ( s ) + RI ( s ) +     I (s)                 I ( s ) = Eo ( s )
                                    Cs                   Cs
 Combinando las ecuaciones (despejando para I(s))
                                                1
 E i ( s ) = Ls[ CsEo ( s )] + R[ CsEo ( s )] +    [ CsEo ( s)]
                                                Cs
                  [
 E i ( s ) = Eo ( s ) LCs 2 + RCs + 1  ]
 Eo ( s )        1                                            Función de
          =
 Ei ( s ) LCs 2 + RCs + 1                                   transferencia
   Representa el comportamiento dinámico del
    proceso
   Nos indica como cambia la salida de un
    proceso ante=un cambio en la entrada
             Y (s) Cambio en la salida del proceso
                  X ( s ) Cambio en la entrada del proceso
                  Y ( s ) Respuesta del proceso
                         =
                  X (s)     Función forzante


   Diagrama de bloques
       Entrada del                                Salida del proceso
        proceso                  Proceso
                                                     (respuesta al
    (función forzante o
                                                       estímulo)
        estímulo)
Diagrama de bloques
        Suspensión de un automóvil

                        Entrada                                                    1                                 Salida
                       (Bache)
                                                                              ms 2 + bs + k                  (Desplazamiento
                                                                                                                del coche)
                                                                                                      -3
10                                                                                                 x 10
                                                                                              3

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                                                                                              1

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-2                                                                                            -1


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-8                                                                                            -3


-10
   0   1000   2000   3000   4000   5000   6000   7000   8000   9000   10000
                                                                                              -4
                                                                                                0          0.5   1     1.5    2   2.5      3
                                                                                                                                           4
                                                                                                                                        x 10
Diagrama de bloques
          Circuito eléctrico

                    Ei(s)                                  1                                Eo(s)
         (Voltaje de entrada)
                                                     LCs 2 + RCs + 1             (Voltaje de salida)

20
                                                                       10


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                                                                       8


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                                                                       7


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                                                                       5


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2
                                                                       1


0
     0    0.5   1   1.5   2   2.5   3   3.5      4                     0
                                                                            0   0.5   1   1.5   2   2.5   3   3.5     4
                                                 4
                                              x 10                                                                    4
                                                                                                                    x10
   TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
    (Es uno de los más utilizados para transformar
    las ecuaciones diferenciales)
   TEOREMA DE VALOR FINAL
    (Nos indica el valor en el cual se
    estabilizará la respuesta)



   TEOREMA DE VALOR INICIAL
    (Nos indica las condiciones iniciales)
Transformada Inversa De Laplace

                K1                 K2                           20             5007.25
Ts ( s ) =            Tv ( s ) +          W ( s)   Tv ( s ) =        W (s) =
             τ 1s + 1            τ 2s + 1                        s                s
                K1  20       K 2  5007.25 
Ts ( s ) =             +                  =
             τ 1s + 1  s  τ 2 s + 1  s    
              0.381883  20  − 7.573947 x10 −4  5007.25         7.63766           3.792464
Ts ( s ) =                +                               =                 −
           1.712995s + 1  s       1.712995s + 1        s   (1.712995s + 1) s (1.712995s + 1) s
Expansión en fracciones parciales
                4.458658          2.213928             a1       a         b1         b
Ts ( s ) =                  −                 =               + 2−                 − 2
           ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s
Transformada Inversa De Laplace
                      4.458658                           4.458658
a1 = ( s + 0.583772) 
                      ( s + 0.583772) s 
                                                       =            = −7.6376
                                         s =−0.583772   − 0.583772
            4.458658                   4.458658
a2 = ( s )                     
            ( s + 0.583772 ) s       =          = 7.6376
                                s =0   0.583772
                      2.213928                            2.213928
b1 = ( s + 0.583772) 
                      ( s + 0.583772) s 
                                                       =−            = 3.792453
                                         s =−0.583772    − 0.583772
            2.213928                   2.213928
b2 = ( s ) 
            ( s + 0.583772) s 
                                     =−             = −3.792453
                               s =0    0.583772
                   7.637670       7.637670        3.792453      3.792453
Ts ( s ) = −                   +            +                 −
               ( s + 0.583772)         s      ( s + 0.583772)       s
Ts (t ) = −7.637670e −0.583772t + 7.637670 + 3.792453e −0.583772t − 3.792453 + Tss   (Tss = temperatura inicial de salida)
                   (               )             (              )
Ts (t ) = 7.637670 1 − e −0.583772t − 3.792453 1 − e −0.583772t + Tss
Temperatura del agua de salida – Lazo abierto
    (sin control)
                 Tv(s)                    K1                    Ts(s)
     (Aumento de la
  temperatura de vapor a
                                       τ 1s + 1           (Aumento en la
                                                          temperatura de
       la entrada )                                       agua a la salida)


  Temperatura del agua de salida – Lazo
    cerrado (con control)
 Valor   +                                          0.3819               Variable
                         Controlador              1.713s + 1            controlad
desead       -                         Acción
   o                                     de                                 a
                                       control
   ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID
                               1                de(t ) 
            m(t ) = Kc e(t ) +
                               τi ∫
                                   e(t )dt + τ d
                                                  dt 
                                                        

            Aplicando la transformada de Laplace
                              1                        
            M(s) = Kc E(s) +     E ( s ) + τ d sE ( s )
                             τis                       
            M (s)              1                         
                  = Kc E(s) +     E ( s ) + τ d sE ( s )
            E (s)             τis                        
            M (s)          1          
                  = Kc 1 +    + τ d s
            E (s)        τis          
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el
  valor medido
El sistema de control automático
 Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con
   control)
      +
 Valor                   Kc1 + τ1s + τ d s                0.3819                             Variable
                                           
desead       -                  i          Acción       1.713s + 1                          controlad
   o                                            de                                                a
                                              control

  6                                                6



  5                                                5
                                                              X0
                                                               : .683
                                                              Y: 4.91
  4                                                4



  3                                                3



  2                                                2



  1                                                1



  0                                                0
  -1     0       1   2      3      4      5         0   0.5     1       1.5   2   2.5   3   3.5   4   4.5   5

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Aplicaciones La Transformada De Laplace

  • 1.
  • 2. ¿Qué es un sistema de control ? › En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse.  En el ámbito doméstico › Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios  En transportación › Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta  En la industria › Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura
  • 3. En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.  Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: › tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros
  • 4. Satélites
  • 5.  El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.  Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente: La transformada de Laplace
  • 6.  En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.  Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.
  • 7. El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:  La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
  • 8. De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.  Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
  • 9. MODELACIÓN MATEMÁTICA Suspensión de un automóvil Fuerza de entrada f(t) ∑ F = ma z(t) f (t ) − kz (t ) − b dz (t ) dt =m d 2 z (t ) dt 2 m Desplazamiento, salida del sistema b k
  • 10. Suspensión de un automóvil dz (t ) d 2 z (t ) f (t ) − kz (t ) − b =m dt dt 2 Aplicando la transformada de Laplace a cada término (considerando condiciones iniciales igual a cero) F ( s ) − kZ ( s ) − bsZ ( s ) = ms 2 Z ( s ) [ F ( s ) = Z ( s ) ms 2 + bs + k ] Z ( s) 1 = Función de F ( s ) ms 2 + bs + k transferencia
  • 11. MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico di (t ) 1 ei (t ) = L dt + Ri (t ) + ∫ C i (t )dt 1 C ∫ i (t )dt = eo (t )
  • 12. Circuito eléctrico di (t ) 1 1 ei (t ) = L dt + Ri (t ) + ∫C i (t )dt C ∫i (t )dt = eo (t ) Aplicando la transformada de Laplace 1 1 E i ( s ) = LsI ( s ) + RI ( s ) + I (s) I ( s ) = Eo ( s ) Cs Cs Combinando las ecuaciones (despejando para I(s)) 1 E i ( s ) = Ls[ CsEo ( s )] + R[ CsEo ( s )] + [ CsEo ( s)] Cs [ E i ( s ) = Eo ( s ) LCs 2 + RCs + 1 ] Eo ( s ) 1 Función de = Ei ( s ) LCs 2 + RCs + 1 transferencia
  • 13. Representa el comportamiento dinámico del proceso  Nos indica como cambia la salida de un proceso ante=un cambio en la entrada Y (s) Cambio en la salida del proceso X ( s ) Cambio en la entrada del proceso Y ( s ) Respuesta del proceso = X (s) Función forzante  Diagrama de bloques Entrada del Salida del proceso proceso Proceso (respuesta al (función forzante o estímulo) estímulo)
  • 14. Diagrama de bloques  Suspensión de un automóvil Entrada 1 Salida (Bache) ms 2 + bs + k (Desplazamiento del coche) -3 10 x 10 3 8 2 6 4 1 2 0 0 -2 -1 -4 -2 -6 -8 -3 -10 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 -4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 x 10
  • 15. Diagrama de bloques  Circuito eléctrico Ei(s) 1 Eo(s) (Voltaje de entrada) LCs 2 + RCs + 1 (Voltaje de salida) 20 10 18 9 16 8 14 7 12 6 10 5 8 4 6 3 4 2 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4 x 10 4 x10
  • 16. TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL (Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)
  • 17. TEOREMA DE VALOR FINAL (Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)  TEOREMA DE VALOR INICIAL (Nos indica las condiciones iniciales)
  • 18. Transformada Inversa De Laplace K1 K2 20 5007.25 Ts ( s ) = Tv ( s ) + W ( s) Tv ( s ) = W (s) = τ 1s + 1 τ 2s + 1 s s K1  20  K 2  5007.25  Ts ( s ) =  +  = τ 1s + 1  s  τ 2 s + 1  s  0.381883  20  − 7.573947 x10 −4  5007.25  7.63766 3.792464 Ts ( s ) =  +  = − 1.712995s + 1  s  1.712995s + 1  s  (1.712995s + 1) s (1.712995s + 1) s Expansión en fracciones parciales 4.458658 2.213928 a1 a b1 b Ts ( s ) = − = + 2− − 2 ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s
  • 19. Transformada Inversa De Laplace  4.458658  4.458658 a1 = ( s + 0.583772)   ( s + 0.583772) s   = = −7.6376   s =−0.583772 − 0.583772  4.458658  4.458658 a2 = ( s )    ( s + 0.583772 ) s  = = 7.6376   s =0 0.583772  2.213928  2.213928 b1 = ( s + 0.583772)   ( s + 0.583772) s   =− = 3.792453   s =−0.583772 − 0.583772  2.213928  2.213928 b2 = ( s )   ( s + 0.583772) s   =− = −3.792453   s =0 0.583772 7.637670 7.637670 3.792453 3.792453 Ts ( s ) = − + + − ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s Ts (t ) = −7.637670e −0.583772t + 7.637670 + 3.792453e −0.583772t − 3.792453 + Tss (Tss = temperatura inicial de salida) ( ) ( ) Ts (t ) = 7.637670 1 − e −0.583772t − 3.792453 1 − e −0.583772t + Tss
  • 20. Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin control) Tv(s) K1 Ts(s) (Aumento de la temperatura de vapor a τ 1s + 1 (Aumento en la temperatura de la entrada ) agua a la salida) Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control) Valor + 0.3819 Variable Controlador 1.713s + 1 controlad desead - Acción o de a control
  • 21. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID  1 de(t )  m(t ) = Kc e(t ) +  τi ∫ e(t )dt + τ d dt   Aplicando la transformada de Laplace  1  M(s) = Kc E(s) + E ( s ) + τ d sE ( s )  τis  M (s)  1  = Kc E(s) + E ( s ) + τ d sE ( s ) E (s)  τis  M (s)  1  = Kc 1 + + τ d s E (s)  τis  Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido
  • 22. El sistema de control automático Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control) + Valor Kc1 + τ1s + τ d s  0.3819 Variable   desead -  i Acción 1.713s + 1 controlad o de a control 6 6 5 5 X0 : .683 Y: 4.91 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5