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UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas
CAP´ITULO 1
INTRODUCCION
Definici´on 1.1 . Si una ecuaci´on contiene las derivadas o las diferenciales
de una o m´as variables dependientes con respecto a una o m´as variables
independientes, se dice que es una ecuaci´on diferencial (E.D.).
Si la ecuaci´on contiene derivadas ordinarias de una o m´as variables dependi-
entes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaci´on se
dice que es una ecuaci´on diferencial ordinaria (E.D.O.).
Ejemplo 1. 3dy
dx
+ 4y = 5
Ejemplo 2. (x2
− y)dx + 5 sen y dy = 0
Ejemplo 3. udu
dx
+ v dv
dx
= x
Si la ecuaci´on contiene derivadas parciales de una o m´as variables depen-
dientes con respecto a una o m´as variables independientes, se dice que es una
ecuaci´on en derivadas parciales.
Ejemplo 4. ∂u
∂y
= −∂v
∂x
Ejemplo 5. ∂2u
∂x∂y
= y − x
Definici´on 1.2 (Orden). La derivada o la diferencial de m´as alto orden
1
UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas
CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
determina el orden de la E.D.
Ejemplo 6. d3y
dx3 + x2 d2y
dx2 + xdy
dx
= ln x, es de orden 3.
Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dy
dx
= y
x
, la cual es de orden 1.
Definici´on 1.3 (E.D.O. lineal) Una E.D. es lineal si tiene la forma:
an(x)dny
dxn + an−1(x)dn−1y
dxn−1 + . . . + a1(x)dy
dx
+ a0(x)y = g(x)
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente
uno y cada coeficiente a0(x), a1(x), . . . , an(x), g(x), depende solo de x. Si no
se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal.
Ejemplo 8. x2 d3y
dx3 + cos xd2y
dx2 + sen xdy
dx
+ x2
y = ex
es lineal de orden 3.
Ejemplo 9. sen x d3y
dx3 + xy2
= 0 no es lineal.
Ejemplo 10. y2 d2y
dx2 + ydy
dx
+ xy = x no es lineal.
Definici´on 1.4 . Se dice que una funci´on f con dominio en un intervalo I
es soluci´on a una E.D. en el intervalo I, si la funci´on satisface la E.D. en el
intervalo I.
Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´on de y (x + y) = y
En efecto, derivando impl´ıcitamente: 1 = dy
dx
ln(cy) + y 1
cy
cdy
dx
1 = dy
dx
(ln(cy) + 1), luego dy
dx
= 1
ln(cy)+1
Sustituyendo en la ecuaci´on diferencial:
y ln(cy) + y
ln (cy) + 1
=
y(ln (cy) + 1)
ln (cy) + 1
= y,
2
UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas
luego y = y
por tanto x = y ln (cy) es soluci´on.
Una E.D. acompa˜nada de unas condiciones iniciales se le llama un pro-
blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un pro-
blema de valor inicial tiene soluci´on y tambi´en deseamos saber si esta soluci´on
es ´unica, aunque no podamos conseguir explcitamente la soluci´on. El si-
guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este
teorema lo enunciamos y demostramos con m´as profundidad en el Ap´endice
al final del texto.
Teorema 1.1 (Picard)
Sea R una regi´on rectangular en el plano XY definida por
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0, y0) en su interior.
Si f(x, y) y ∂f
∂y
son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen-
tro en x0 y una ´unica funci´on y(x) definida en I que satisface el problema
de valor inicial y = f(x, y), y(x0) = y0 .
Ejemplo 12. Para la E.D. y = x2
+ y2
, se tiene que f(x, y) = x2
+ y2
y
∂f
∂y
= 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier punto
(x0, y0) del plano XY pasa una y solo una soluci´on de la E.D. anterior. Es
importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´on expl-
cita; slo con m´etodos num´ericos se puede hallar la soluci´on.
Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluci´on de y + 25y = 0.
Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x2 x
0
et2
dt + c1e−x2
es soluci´on de
y + 2xy = 1.
Ejercicio 3. Demostrar que y = x
x
0
sen t
t
dt es soluci´on de
xy = y + x sen x.
Ejercicio 4. Demostrar que y = e− x
2 es soluci´on de 2y + y = 0, tambi´en
y = 0 es soluci´on.
Nota: si todas las soluciones de la E.D. F(x, y, y , . . . , y(n)
) = 0 en un in-
tervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1, . . . , Cn) mediante valores apropia-
dos de Ci, entonces a G se le llama la soluci´on general; una soluci´on que no
contenga los par´ametros Ci se le llama la soluci´on particular; una soluci´on
3
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CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
que no pueda obtenerse a partir de la soluci´on general se le llama soluci´on
singular.
Veremos m´as adelante que la soluci´on general a una E.D. lineal de orden n
tiene n par´ametros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener
explcitamente una soluci´on general.
Ejemplo 13. y = Cx4
es soluci´on general de xy − 4y = 0.
Con C = 1 entonces la soluci´on particular es y = x4
.
Tambi´en
f(x) =
x4
x ≥ 0
−x4
x < 0
es una soluci´on singular, porque no se puede obtener a partir de la soluci´on
general.
Ejercicio 5. Si y − xy
1
2 = 0, demostrar
a). y = (x2
4
+ C)2
es soluci´on general.
b). Si C = 0 mostrar que y = x4
16
es soluci´on particular.
c). Explicar porqu y = 0 es soluci´on singular.
Ejercicio 6. Si y = y2
− 1, demostrar
a). y = 1+Ce2x
1−Ce2x es soluci´on general.
b). Explicar porqu y = −1 es soluci´on singular.
Ejercicio 7. Si xy + 1 = ey
, comprobar que e−y
− Cx = 1 es soluci´on
general.
Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2
+ 2y) dy = 0, comprobar que x2
y + y2
= C1
es soluci´on general.
Ejercicio 9. Si (x2
+ y2
) dx + (x2
− xy) dy = 0, comprobar que
C1(x + y)2
= xe
y
x , es soluci´on general.
Ejercicio 10. Si xy + 1 = ey
, comprobar que e−y
− Cx = 1 es soluci´on
general.
4
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1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
Dada la E.D. y = f(x, y) y sabiendo que la primera derivada representa
una direcci´on en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto
(x, y) una direcci´on. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de
direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f(x, y). Este campo de di-
recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como
por ejemplo si son asint´oticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc..
Con el paquete Maple haremos un ejemplo.
Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = −2x2
+ y2
y
cuatro curvas soluci´on de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1),
(0, −1) respectivamente.
> with(DEtools):
DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black,
{[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);
y(x)
2
1
0
-1
-2
x
210-1-2
Figura 1.1
5
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CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
1.2. ECUACI´ON DE CONTINUIDAD
Para finalizar este Cap´ıtulo, es importante hacer un corto comentario so-
bre la ecuaci´on de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´omenos
en diferentes ´areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como
resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´on de continuidad
nos dice que la tasa de acumulaci´on de una variable x en un recipiente (el
cual puede ser un tanque, un ´organo humano, una persona, una ciudad, un
banco, una universidad, un sistema ecol´ogico, etc.) es igual a su tasa de en-
trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida
pueden ser constantes o variables.
Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t)
entonces la tasa de acumulaci´on es
dx
dt
= E(t) − S(t).
Ejemplo 15. La concentraci´on de glucosa en la sangre aumenta por ingesta
de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una raz´on constante
R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina
a una tasa proporcional a la concentraci´on presente de glucosa. Si C(t) re-
presenta la concentraci´on de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y
S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´on de continuidad, la Ecuaci´on Diferen-
cial que rige este fen´omeno es
dC(t)
dt
= E(t) − S(t) = R − kC(t).
6

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Introduccion Ecuaciones Diferenciales

  • 1. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas CAP´ITULO 1 INTRODUCCION Definici´on 1.1 . Si una ecuaci´on contiene las derivadas o las diferenciales de una o m´as variables dependientes con respecto a una o m´as variables independientes, se dice que es una ecuaci´on diferencial (E.D.). Si la ecuaci´on contiene derivadas ordinarias de una o m´as variables dependi- entes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaci´on se dice que es una ecuaci´on diferencial ordinaria (E.D.O.). Ejemplo 1. 3dy dx + 4y = 5 Ejemplo 2. (x2 − y)dx + 5 sen y dy = 0 Ejemplo 3. udu dx + v dv dx = x Si la ecuaci´on contiene derivadas parciales de una o m´as variables depen- dientes con respecto a una o m´as variables independientes, se dice que es una ecuaci´on en derivadas parciales. Ejemplo 4. ∂u ∂y = −∂v ∂x Ejemplo 5. ∂2u ∂x∂y = y − x Definici´on 1.2 (Orden). La derivada o la diferencial de m´as alto orden 1
  • 2. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. determina el orden de la E.D. Ejemplo 6. d3y dx3 + x2 d2y dx2 + xdy dx = ln x, es de orden 3. Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dy dx = y x , la cual es de orden 1. Definici´on 1.3 (E.D.O. lineal) Una E.D. es lineal si tiene la forma: an(x)dny dxn + an−1(x)dn−1y dxn−1 + . . . + a1(x)dy dx + a0(x)y = g(x) Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente uno y cada coeficiente a0(x), a1(x), . . . , an(x), g(x), depende solo de x. Si no se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal. Ejemplo 8. x2 d3y dx3 + cos xd2y dx2 + sen xdy dx + x2 y = ex es lineal de orden 3. Ejemplo 9. sen x d3y dx3 + xy2 = 0 no es lineal. Ejemplo 10. y2 d2y dx2 + ydy dx + xy = x no es lineal. Definici´on 1.4 . Se dice que una funci´on f con dominio en un intervalo I es soluci´on a una E.D. en el intervalo I, si la funci´on satisface la E.D. en el intervalo I. Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´on de y (x + y) = y En efecto, derivando impl´ıcitamente: 1 = dy dx ln(cy) + y 1 cy cdy dx 1 = dy dx (ln(cy) + 1), luego dy dx = 1 ln(cy)+1 Sustituyendo en la ecuaci´on diferencial: y ln(cy) + y ln (cy) + 1 = y(ln (cy) + 1) ln (cy) + 1 = y, 2
  • 3. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas luego y = y por tanto x = y ln (cy) es soluci´on. Una E.D. acompa˜nada de unas condiciones iniciales se le llama un pro- blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un pro- blema de valor inicial tiene soluci´on y tambi´en deseamos saber si esta soluci´on es ´unica, aunque no podamos conseguir explcitamente la soluci´on. El si- guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este teorema lo enunciamos y demostramos con m´as profundidad en el Ap´endice al final del texto. Teorema 1.1 (Picard) Sea R una regi´on rectangular en el plano XY definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0, y0) en su interior. Si f(x, y) y ∂f ∂y son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen- tro en x0 y una ´unica funci´on y(x) definida en I que satisface el problema de valor inicial y = f(x, y), y(x0) = y0 . Ejemplo 12. Para la E.D. y = x2 + y2 , se tiene que f(x, y) = x2 + y2 y ∂f ∂y = 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier punto (x0, y0) del plano XY pasa una y solo una soluci´on de la E.D. anterior. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´on expl- cita; slo con m´etodos num´ericos se puede hallar la soluci´on. Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluci´on de y + 25y = 0. Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x2 x 0 et2 dt + c1e−x2 es soluci´on de y + 2xy = 1. Ejercicio 3. Demostrar que y = x x 0 sen t t dt es soluci´on de xy = y + x sen x. Ejercicio 4. Demostrar que y = e− x 2 es soluci´on de 2y + y = 0, tambi´en y = 0 es soluci´on. Nota: si todas las soluciones de la E.D. F(x, y, y , . . . , y(n) ) = 0 en un in- tervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1, . . . , Cn) mediante valores apropia- dos de Ci, entonces a G se le llama la soluci´on general; una soluci´on que no contenga los par´ametros Ci se le llama la soluci´on particular; una soluci´on 3
  • 4. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. que no pueda obtenerse a partir de la soluci´on general se le llama soluci´on singular. Veremos m´as adelante que la soluci´on general a una E.D. lineal de orden n tiene n par´ametros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener explcitamente una soluci´on general. Ejemplo 13. y = Cx4 es soluci´on general de xy − 4y = 0. Con C = 1 entonces la soluci´on particular es y = x4 . Tambi´en f(x) = x4 x ≥ 0 −x4 x < 0 es una soluci´on singular, porque no se puede obtener a partir de la soluci´on general. Ejercicio 5. Si y − xy 1 2 = 0, demostrar a). y = (x2 4 + C)2 es soluci´on general. b). Si C = 0 mostrar que y = x4 16 es soluci´on particular. c). Explicar porqu y = 0 es soluci´on singular. Ejercicio 6. Si y = y2 − 1, demostrar a). y = 1+Ce2x 1−Ce2x es soluci´on general. b). Explicar porqu y = −1 es soluci´on singular. Ejercicio 7. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´on general. Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0, comprobar que x2 y + y2 = C1 es soluci´on general. Ejercicio 9. Si (x2 + y2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0, comprobar que C1(x + y)2 = xe y x , es soluci´on general. Ejercicio 10. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´on general. 4
  • 5. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES Dada la E.D. y = f(x, y) y sabiendo que la primera derivada representa una direcci´on en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto (x, y) una direcci´on. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f(x, y). Este campo de di- recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como por ejemplo si son asint´oticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc.. Con el paquete Maple haremos un ejemplo. Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = −2x2 + y2 y cuatro curvas soluci´on de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1), (0, −1) respectivamente. > with(DEtools): DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black, {[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black); y(x) 2 1 0 -1 -2 x 210-1-2 Figura 1.1 5
  • 6. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. 1.2. ECUACI´ON DE CONTINUIDAD Para finalizar este Cap´ıtulo, es importante hacer un corto comentario so- bre la ecuaci´on de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´omenos en diferentes ´areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´on de continuidad nos dice que la tasa de acumulaci´on de una variable x en un recipiente (el cual puede ser un tanque, un ´organo humano, una persona, una ciudad, un banco, una universidad, un sistema ecol´ogico, etc.) es igual a su tasa de en- trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida pueden ser constantes o variables. Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t) entonces la tasa de acumulaci´on es dx dt = E(t) − S(t). Ejemplo 15. La concentraci´on de glucosa en la sangre aumenta por ingesta de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una raz´on constante R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina a una tasa proporcional a la concentraci´on presente de glucosa. Si C(t) re- presenta la concentraci´on de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´on de continuidad, la Ecuaci´on Diferen- cial que rige este fen´omeno es dC(t) dt = E(t) − S(t) = R − kC(t). 6