SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 22
Descargar para leer sin conexión
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Objetivo:
Se pretende que el estudiante calcule integrales
definidas aplicando teoremas y propiedades
3.1 DEFINICIÓN
3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN
3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA
INTEGRAL
3
43
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
3.1 DEFINICIÓN
Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación
del área bajo una curva )(xfy = .
El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a
esta problemática.
Dividiendo la región en " " rectángulos. Observe la figura:n
Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente
igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor
que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha
denotado como x . El área del primer rectángulo sería 111 )( xxfA ∆= , el
área del segundo rectángulo sería 222 )( xxfA ∆= ; y así , el área del
n-ésimo rectángulo sería nnn xxfA ∆= )( .
n
x
44
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Observe que si tomamos 11 xx = , 22 xx = , 33 xx = , …, ii xx = , se
tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma 01 xx = , 12 xx = ,
23 xx = , …, 1−= ii xx se tendrían rectángulos inscritos.
La suma de las áreas de los rectángulos sería:n
( ) ( ) ( ) ( ) nn xxfxxfxxfxxf ∆++∆+∆+∆ K332211
Que de manera abreviada tenemos:
( )∑=
∆
n
i
ii xxf
1
Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería
considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de
rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región
estaría dada por:
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∆= ∑=
∞→
n
i
ii
n
xxflímA
1
De aquí surge la definición de Integral Definida.
Sea f una función que está definida en el intervalo [ ].ba,
Al ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ∆∑=
∞→
n
i
ii
n
xxf
1
lím se le denomina la integral definida (o
integral de Riemann) de f de " " a "b" y se denota de laa
siguiente manera: .∫
b
a
dxxf )(
Además, si existe este límite decimos que f es integrable
en [ ].ba,
Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando
una función es integrable.
45
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
Si f es acotada en [ ]ba, y si f es continua a excepción de
un número finito de puntos, entonces f es integrable [ ]ba, .
En particular si f es continua en todo [ ]ba, entonces es
integrable en [ ]ba,
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva
2
)( xxf = en [ ]3,1
SOLUCIÓN:
Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene:
])()()()([lím)(lím 33221
1
1 nn
n
i
n
ii
n
xxfxxfxxfxxfxxfA ∆++∆+∆+∆=∆= ∑=
∞→∞→
K
PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS.
Escogemos 11 xx = , 22 xx = , 33 xx = , …, ii xx =
Representando la región, tenemos:
0x 1x 2x nx
{
x∆
{
x∆
{
x∆
2
xy =
Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos
nnn
ab
x
213
=
−
=
−
=∆
y
46
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
10 == ax
n
xxx
2
101 +=∆+=
nn
xxxxx
4
1
2
212012 +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∆+=∆+= ,
nn
xxxxx
6
1
2
313023 +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∆+=∆+=
M
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∆+=∆+=
n
ixixixxi
2
110
Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
3
26
3
4
3
88
6
3
2
2
3
4
23
2
3
264
23
2
3
)12)(1(2
)1(2
2
6
)12)(1(4
2
)1(42
44
1
2
44
1
2
22
1
)(
2
2
2
1
2
2
11
1
2
2
1
2
1
321
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ++
++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ++
+++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ++
+
+
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∆=
∆+∆+∆+∆=
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
===
∞→
=
∞→
=
∞→
=
∞→
∞→
∑∑∑
∑
∑
∑
A
nn
lím
n
n
n
n
lím
n
nn
n
n
lím
n
nn
nn
n
lím
nnn
n
nn
n
n
n
lím
i
n
i
nn
lím
n
i
n
i
n
lím
nn
ilím
xxflím
xxfxxfxxfxxflímA
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
n
L
SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS.
Escogemos 01 xx = , 12 xx = , 23 xx = , …, 1−= ii xx
Representando la región, tenemos:
47
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Ahora, igual que el método anterior:
0x 1x 2x nx
{
x∆
{
x∆
{
x∆
2
xy =
1−nx
n
x
2
=∆ y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
n
ixi
2
1
Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
3
26
3
4
3
810
6
3
2
2
3
4
33
2
3
264
33
2
3
)12)(1(2
)1(21
2
6
112)(14
2
)(14
1
2
44
1
2
44
1
2
22
1
)(
2
2
2
1
2
2
1
1
0
1
0
2
2
1
0
2
1
0
1210
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +−
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
+−+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−−
+
−
+−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∆=
∆+∆+∆+∆=
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
==
−
=
∞→
−
=
∞→
−
=
∞→
−
=
∞→
−
∞→
∑∑∑
∑
∑
∑
A
nn
lím
n
n
n
n
lím
n
nn
n
n
lím
n
nn
nn
n
lím
nnn
n
nn
n
n
n
lím
i
n
i
nn
lím
n
i
n
i
n
lím
nn
ilím
xxflím
xxfxxfxxfxxflímA
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
n
L
48
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más
engorroso si la función f tuviese regla de correspondencia compleja.
El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de
una manera muy rápida y sencilla, liberándonos de la ideas de calcular
integrales definidas empleando su definición.
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f continua en [ ]ba, y sea cualquierF
antiderivada de f en [ ]ba, entonces:
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫
Demostración:
En la expresión , haciendo)()( aFbF − nxb = y 0xa = tenemos:
)()()()( 0xFxFaFbF n −=−
Restando y sumando términos, resulta:
[ ] [ ] [
[ ]
∑=
−
−−−−
−=
−+−−+−+−=
−=−
n
i
ii
nnnnn
n
xFxF
xFxFxFxFxFxFxFxF
xFxFaFbF
1
1
0112211
0
)()(
)()()()()()()()(
)()()()(
K ]
Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a en el intervaloF [ ]ii xx ,1−
Como es continua y diferenciable enF [ ]ii xx ,1− entonces ix∃ tal que
( )
1
1)(
)´(
−
−
−
−
=
ii
ii
i
xx
xFxF
xF
Como )()´( ii xfxF = y iii xxx ∆=− −1 entonces:
( )
i
ii
i
x
xFxF
xf
∆
−
= −1)(
)(
Despejando resulta: ( ) iiii xxfxFxF ∆=− − )()( 1 .
49
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Reemplazando en tenemos:[ ]
∑=
−−=−
n
i
ii xFxFaFbF
1
1)()()()(
∑=
∆=−
n
i
ii xxfaFbF
1
)()()(
Tomando límite queda:
[ ]
∫∑
∑
=∆=−
∆=−
=
∞→
=
∞→∞→
b
a
n
i
ii
n
n
i
ii
nn
dxxfxxfaFbF
xxfaFbF
)()(lím)()(
)(lím)()(lím
1
1
La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de en [ ].f ba,
Por tanto L.Q.Q.D.
∫=−
b
a
dxxfaFbF )()()(
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva en
2
xy = [ ]3,1
SOLUCIÓN:
El área bajo la curva estará dada por , aplicando el teorema fundamental del calculodxxA
∫=
3
1
2
3
26
3
1
3
27
3
1
3
3
3
33
3
1
3
3
1
2
=−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+==
∫ CCC
x
dxxA
Hemos dado solución a una gran problemática.
Observe que 0)( =∫
a
a
dxxf y
∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ¿Porqué?
50
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Suponga que f y g son integrables en el intervalo
[ ba, ] y sea Rk ∈ , entonces:
1. [ ] [ ] [∫∫∫ ±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ]
2. ∫∫ =
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
Si f es integrable en un intervalo que contiene a los
puntos a, b y c (no importar su orden), entonces:
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Demostración:
Por el teorema fundamental del cálculo:
∫∫∫ =−=−+−=+
b
a
b
c
c
a
dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf )()()()()()()()()(
PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?
∫∫∫ +=
3
5
2
5
1
2
3
1
2
dxxdxxdxx
51
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Ejemplo 1
Calcular
∫ donde
5
1
)( dxxf
⎩
⎨
⎧
<+−
≥−
=
3;13
3;12
)( 2
xxx
xx
xf
SOLUCIÓN:
Como tiene dos reglas de correspondencia, es decir:f
Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos:
( ) ( )
( ) ([ ])
3
38
395251
2
3
3
1
3
2
27
9
2
2
2
3
3
1213)(
5
3
2
3
1
23
5
3
3
1
2
5
1
=
−−−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
−++−=
∫∫∫
x
x
x
xx
dxxdxxxdxxf
Ejemplo 2
Calcular ∫−
−−
4
2
21 dxx
SOLUCIÓN:
Para obtener las reglas de correspondencia que definen a , obtenemos la gráfica def
21 −−= xy
Entonces:
52
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
5
9
2
9
1283
2
1
9
2
9
1
2
1
1
2
1
221
2
1
3
2
3
222
331121
4
3
2
3
1
2
1
1
2
1
2
2
4
3
3
1
1
1
1
2
4
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
−++−+++−−=−−
−
−
−
−
−
−−
∫∫∫∫∫
x
x
x
x
x
x
x
x
dxxdxxdxxdxxdxx
3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
Si f y g son integrables en [ ]ba, y si )()( xgxf ≤ ,
[ bax ,∈∀ ]; entonces: dxxgdxxf
b
a
b
a
∫∫ ≤ )()(
3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
Si f es integrable en [ ]ba, y si
Mxfm ≤≤ )( , [ ]bax ,∈∀ ; entonces:
( ) )()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫
3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN
Supóngase que g tiene una derivada continua en [ ]ba,
y sea f continua en el rango de g . Entonces:
donde∫∫
=
=
=
=
=
)(
)(
)()´())((
bgt
agt
bx
ax
dttfdxxgxgf )(xgt =
Ejemplo
Calcular
∫
π
π
4
9
2
2
cos
dx
x
x
SOLUCIÓN:
53
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Tomando el cambio de variable xt = entonces tenemos dtxdx 2= , y para los límites de
integración
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=
=⇒=
ππ
ππ
39
24
2
2
tx
tx
por tanto la integral en términos de t sería:
( ) 32
2
3
212
sen2sen2sen2cos22
cos
32
2
3
2
3
2
3
−=−=
−=== πππ
π
π
π
π
π
∫∫ ttdtdtx
x
t
Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la
propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de
las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?.
3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
1. Si es una función PAR entonces:f
dxxfdxxf
aa
a
)(2)(
0
∫∫ =
−
2. Si es una función IMPAR entonces:f
0)( =
∫−
dxxf
a
a
Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma
análoga y se recomienda al lector que la realice.
DEMOSTRACIÓN
Aplicando la propiedad de aditividad dxxfdxxfdxxf
a
a
a
a
)()()(
0
0
∫∫∫ +=
−−
Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución:
Si tomamos el cambio de variable xt −= entonces dxdt −= y para los límites de integración
. Sustituyendo resulta
⎩
⎨
⎧
=⇒−=
=⇒=
atax
tx 00
[ ]
∫∫ −−=−−
00
)()(
aa
dttfdttf
54
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Por hipótesis es una función par, por tanto se cumple que y además si
invertimos los límites de integración, tenemos:
f )()( tftf =−
∫∫ =−−
a
a
dttfdttf
0
0
)()(
la última integral si xt = queda [ ]
∫∫ =−−
a
a
dxxfdttf
0
0
)()(
Finalmente L.Q.Q.D.dxxfdxxfdxxfdxxf
aaaa
a
)(2)()()(
000
∫∫∫∫ =+=
−
Ejemplo
Calcular dx
x
x
∫−
+
5
5
2
5
4
SOLUCIÓN:
Obtengamos primero )( xf − para
4
)( 2
5
+
=
x
x
xf .
44)(
)(
)( 2
5
2
5
+
−=
+−
−
=−
x
x
x
x
xf
Observe )()( xfxf −=− , por tanto es una función impar y por la propiedad de simetría,
rápidamente concluimos que:
f
0
4
5
5
2
5
=
+∫−
dx
x
x
3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
Si f es periódica con período T , entonces:
∫∫ =
+
+
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf )()(
DEMOSTRACIÓN
En la integral , haciendo cambio de variable
∫
+
+
Tb
Ta
dxxf )( Txt −= .
55
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Del cambio de variable se obtiene Ttx += , dtdx = y los límites para la nueva variable son:
⎩
⎨
⎧
=⇒+=
=⇒+=
atTax
btTbx
Reemplazando, resulta: y como, por hipótesis, es una función
periódica se cumple que
∫∫ +=
+
+
b
a
Tb
Ta
dtTtfdxxf )()( f
)()( tfTtf =+ , entonces
∫∫ =+
b
a
b
a
dttfdtTtf )()(
Que finalmente, si xt = quedaría L.Q.Q.D.
∫∫ =
+
+
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf )()(
3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL
Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del
Cálculo.
Sea f continua en [ ]ba, y sea " x " un punto variable
de . Entonces:),( ba
)()( xfdttf
dx
d x
a
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∫
Ejemplo 1
Calcular
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫
x
x dt
t
t
D
2
2
2
3
17
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que:
1717 2
2
3
2
2
2
3
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫ x
x
dt
t
t
D
x
x
56
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Ejemplo 2
Calcular
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫
2
2
2
3
17
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que:
1717 2
2
3
2
2
2
3
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
∫ x
x
dt
t
t
D
x
x
La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera:
[ ]
dx
du
ufdttf
dx
d
xu
a
)()(
)(
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
Ejemplo 3
Calcular
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫
3
2
2
2
3
17
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad, concluimos que:
( )
( )
( )
17
3
3
1717 6
2
13
2
23
2
3
3
2
2
2
3
3
+
=
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫ x
x
x
x
x
dt
t
t
D
x
x
Ejemplo 4
Calcular
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫
3
2
172
2
3x
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ ∫ ∫∫
0
0
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
33
2
171717
x
x
x
x
x
x dt
t
t
dt
t
t
Ddt
t
t
D
Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta:
57
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
( )
( )
( )
( )
)3(
17
)2(
17
1717
17171717
2
23
2
3
3
22
2
3
2
0
2
2
3
0
2
2
3
0
2
2
3
0
2
2
3
0
0
2
2
3
2
2
3
32
3
22
3
x
x
x
x
x
x
dt
t
t
Ddt
t
t
D
dt
t
t
Ddt
t
t
Ddt
t
t
dt
t
t
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
∫∫
∫∫∫ ∫
FINALMENTE:
17
2
17
3
17 4
4
6
2
13
2
2
3
3
2
+
−
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫ x
x
x
x
dt
t
t
D
x
x
x
Ejemplo 5
Calcular
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
x
x xtdtD
1
SOLUCIÓN:
Observe que por tanto:
∫∫ =
xx
tdtxxtdt
11
( )
( ) ( )
( )
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
11
11
−=
+−=
+=
•+•=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
•+
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
•=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
•=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
∫∫
∫∫
x
x
x
x
t
xxtdt
tdtDxtdtxD
tdtxDxtdtD
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
58
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Ejemplo 6
Calcular
x
dtt
x
x
∫ −
→
0
2
0
1
lím
SOLUCIÓN:
La expresión presenta una indeterminación de la forma:
0
0
Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos:
[ ]
1
1
01
1
1
lím
1
lím
22
0
0
2
0
=
−
=
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
→→
∫ x
xD
dttD
xx
x
x
x
Ejercicios Propuestos 3.1
1. Calcular
a. si( ) ,
3
2
∫−
dxxf
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤<−
≤≤−
=
31,21
12,2 2
xx
xx
xf
b.
∫ −
4
0
1 dxx
c.
∫−
−
4
2
13 dxx
d. ( )dxxx
∫−
−+−
4
2
213
e. dxx
∫−
−−
5
2
21
f.
∫
10
0
dxx
g. [ ]( )
∫ −
4
0
dxxx
h.
∫
4
9
2
2
cos
π
π
dx
x
x
i.
( )∫ ++
+
1
0
22
14
2
dx
xx
x
j. ( )[ ]
∫ −+
1
0
33cos3 dxxx
k. ( )
∫ π
2
1
0
2sen dxx
l. dxx
∫ −
5
0
2
9
m. ( ) ( )
∫ +−
e
dxxxx
1
2
ln32
n.
( )∫−
+
1
1
42
3
1
dx
x
x
o. ( )∫−
−
100
100
3972
3 dxxxsenx
2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser
falsa de un contraejemplo.
a. Si ( ) ( )xgxf ≤ en [ ] ( ) ( )
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxgdxxfba ,,
b. ( ) ∫∫ =++
−
99
0
2
99
99
23
2 dxbxdxcxbxax
59
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
c. Si f es periódica con período T, entonces: ( ) ( )
∫∫ =
+
+
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf
d. ,f∀ ( ) ( )
∫∫
−
−
=−
a
b
b
a
dxxfdxxf
e. Si es una función parf [ ]aax ,−∈∀ , entonces ( )
∫∫ =
−
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2
f. Si ( ) ( )xgxf ≤ en [ ]ba, , entonces ( ) ( )
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxgdxxf
g. Si ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )aGbGaFbFbaxxGxF −=−∈∀′=′ ,,
h. Sea g una función derivable y supóngase que es una antiderivada de . EntoncesF f
( )( ) ( ) ( )( )
∫ +=′ CxgFdxxgxgf
3. Encuentre si toma las siguientes reglas de correspondencia:f ′ f
a. dt
t
xx
∫ −
lnsen
0
1
1
b. dtt
xx
tanxx
∫ −
sec2
ln
3 5
3
1
c. dt
t
xx
e
xxe
∫ −
3
secln
2
1
d.
∫
+
−
xx
x
dt
t
t
sen
4 5
3
2
1
2
e.
( )
( )
∫+
−
−
tanxx
x
dt
tt
t
sen
1ln
3
3
2
sencos
1
f.
∫ −
+
2
3
2
log6
cos1
sen1
x
x
dt
t
t
4. Determine:
a.
( )
3
0
2
0
lim
x
dttsen
x
x
∫
→
b.
1
lim 1
1 −
∫
+
→ x
dtsent
x
x
c.
x
dte
x
t
x
∫ −
∞→
+
1
1
lim
d.
2
0
2
2
51 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−∫
x
t
dt
dx
d
60
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Misceláneos
1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su
respuesta.
a) Si es una función continua en el intervalo´f [ ]ba , entonces
[ ] [ ]
∫ −=
b
a
afbfdxxfxf 22
)()()´()(2
b) Si entonces0)( =
∫
b
a
dxxf 0)( =xf para [ ]bax ,∈∀
c) Si es una función continua enf IR , entonces:
( ) ( )2
2
1
)(
2
xf
x
arctgxf
dxxf
dx
d
arctgx
x
−
+
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
d) [ ] ( ) INn
nn
dxx
n
∈
+
=
∫
+
;
2
1
1
0
e) Si yf g son funciones impares y continuas en IR , entonces
( )( ) 0
5
5
=
∫−
dxxgf o
f) 4
4
4
121
2
xxdttD
x
x +=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫
g)
∫−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+
2
2
434
6415
2
dxxxxex x
h) Si yf g son funciones continuas en el intervalo [ ]1,0 entonces
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫ −=−
1
0
1
0
11 dxxgxfdxxgxf
i) Si entonces para0)( ≥
∫
b
a
dxxf 0)( ≥xf [ ]bax ,∈∀
j)
∫ ∫=
π
π
2
2
2
0
4 senxdxdxsenx
k) Si y entonces3)(
3
0
=
∫ dxxf 7)(
4
0
=
∫ dxxf 4)(
3
4
−=
∫ dxxf
l)
∫∫ +≥
1
0
2
1
0
1 dxxxdx
61
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
m) Si es una función continua enf IR tal que para cualquier número real x ,
entonces es una función impar.0)()(
1212
==
∫∫−
x
x
x
x
dttfdttf f
n) Si es una antiderivada de la dunción , entoncesF f
∫ +=+ dxxfxF )12()12(
o) Si es una función continua en el intervalof [ ]5,2 y entonces7)(
5
2
=
∫ dxxf
7)(
5
2
−=
∫
−
−
dxxf
p) Si es una función tal quef 0cos3)(2
2
0
=+
∫ dttxf
x
entonces xxxf cos3)´( −=
q) Si yf g son funciones tales que y para todo
x
xexf =)( )()( xgxf ≥
[ ]1,0∈x entonces .( )
∫ ≤
1
0
1dxxg
r) Si [ ] 1)(0,2,0 ≤≤∈∀ xfx entonces 1)(0
2
0
≤≤
∫ dxxf
s) Si es una función continua en el intervalof [ ]10,0 y
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
∫
2
3
0
2
1
)(
x
t
x dt
t
e
Dxf para
[ ]10,0∈x entonces 3
5
3
)1´( ef = .
t)
∫∫ =
ππ 2
2
2
2
cos dxxdxsenx
u) π
ππ
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑=
+∞→ n
i
n
n
i
n
coslim
1
v)
2
coslim 2
1
0
π
=
∑=
→
i
n
i
p
x donde { }ixmaxp ∆= . p es una partición del intervalo [ ]π,0 .
w) Si , entonces( ) 1)(2
2
1
2
=+
∫−
dxxxf 1)(
2
1
−=
∫−
dxxf
62
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
x)
( )
3
1
lim
2
3
0
2
0
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
+
→
xtg
dttsen
x
x
y) 1
2
lim 2
1
2
1
−=
∑=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∞→
e
n
e
n
i
n
i
n
z)
∫∫
++
=∈∀
ππ 22
cos,,
b
b
a
a
xdxdxsenxRba
2. Calcular
a.
( )
3
0
0
cos1
lim
x
dtt
x
x
∫ −
→
b.
( )∫ −
2
1
2
3
2
6
1
dx
x
c.
∫
2
0
32
cos
π
xdxxsen
d.
∫ ++
2
1
2
22
3
dx
xx
e.
( )
6
0
2
0
2
lim
x
dttsen
x
x
∫
→
f. [ ]( )
∫ −
3
0
2 dxxx
g. ( )
∫−
−−+
3
2
21 dxxxx
h.
∫ −+
5
1
12
1
dx
x
i.
∫ −
−
4
2
3
4
dx
xx
x
j.
∫ +
5ln
2ln
2
16
12
dt
e t
k. ( )
∫−
−−
21
2
312 dxx
l.
∫−
+
3
2
32 dxx
m.
∫
+
π
π
2
2
2
cos1
dx
x
n.
( )
3
0
2
0
2
1
lim
x
dt
t
tsen
x
x
∫ +
→
o.
∫−
−−
4
3
32
dxe
x
p.
( ) dxe
x
xsen x
∫−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
2
2
2
3
1
63
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
3. Si es una función tal que . Determine los intervalos donde el
gráfico de es cóncava hacia arriba.
f ( )∫ ∈+−= −
3
32
,56489)(
x
t
IRxdtettxf
f
4. Si yf g son funciones tales que , y , entonces calcule
el valor de
3)(
4
1
=
∫ dxxf 2)(
7
4
−=
∫ dxxf 6)(3
7
1
=
∫ dxxg
[ ]
∫ +
1
7
)()(5 dxxgxf
64

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...Ing. Electrónica xD
 
Funciones asociadas de legendre (final)
Funciones asociadas de legendre (final)Funciones asociadas de legendre (final)
Funciones asociadas de legendre (final)jonnathan_andre
 
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011Carlos Farley Zamudio Melo
 
Aplicaciones de gauss curvatura (3)
Aplicaciones de gauss curvatura (3)Aplicaciones de gauss curvatura (3)
Aplicaciones de gauss curvatura (3)erica grunberg
 
Funciones de Varias Variables
Funciones de Varias Variables Funciones de Varias Variables
Funciones de Varias Variables Jose David Coello
 
Continuidad Y Derivada
Continuidad Y DerivadaContinuidad Y Derivada
Continuidad Y DerivadaHector Funes
 
Ecuacion diferencial lineal
Ecuacion diferencial linealEcuacion diferencial lineal
Ecuacion diferencial linealLuis Diaz
 
Ejemplo del Método de Bisección
Ejemplo del Método de BisecciónEjemplo del Método de Bisección
Ejemplo del Método de BisecciónDaniela Medina
 
La ultima del taller
La ultima del tallerLa ultima del taller
La ultima del tallerSanty Diaz
 
Examen de conocimientos previos al álgebra lineal. Diseñado por el MTRO. JAVI...
Examen de conocimientos previos al álgebra lineal. Diseñado por el MTRO. JAVI...Examen de conocimientos previos al álgebra lineal. Diseñado por el MTRO. JAVI...
Examen de conocimientos previos al álgebra lineal. Diseñado por el MTRO. JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Tabla de propiedades de la transformada de laplace
Tabla de propiedades de la transformada de laplaceTabla de propiedades de la transformada de laplace
Tabla de propiedades de la transformada de laplaceAngel Perez
 
Problemas resueltos integrales dobles y triples
Problemas resueltos integrales dobles y triplesProblemas resueltos integrales dobles y triples
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
 
Aplicación de Integrales Definidas
Aplicación de Integrales DefinidasAplicación de Integrales Definidas
Aplicación de Integrales DefinidasEmma
 
Tippens fisica 7e_diapositivas_37
Tippens fisica 7e_diapositivas_37Tippens fisica 7e_diapositivas_37
Tippens fisica 7e_diapositivas_37Robert
 
Ecuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones diferenciales exactasEcuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones diferenciales exactasAlexCoeto
 

La actualidad más candente (20)

2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...
 
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
 
Funciones asociadas de legendre (final)
Funciones asociadas de legendre (final)Funciones asociadas de legendre (final)
Funciones asociadas de legendre (final)
 
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
 
Aplicaciones de gauss curvatura (3)
Aplicaciones de gauss curvatura (3)Aplicaciones de gauss curvatura (3)
Aplicaciones de gauss curvatura (3)
 
Funciones de Varias Variables
Funciones de Varias Variables Funciones de Varias Variables
Funciones de Varias Variables
 
Integrales multiples
Integrales multiplesIntegrales multiples
Integrales multiples
 
Solucionario ud4
Solucionario ud4Solucionario ud4
Solucionario ud4
 
Continuidad Y Derivada
Continuidad Y DerivadaContinuidad Y Derivada
Continuidad Y Derivada
 
Ecuacion diferencial lineal
Ecuacion diferencial linealEcuacion diferencial lineal
Ecuacion diferencial lineal
 
Función biyectiva
Función biyectivaFunción biyectiva
Función biyectiva
 
Ejemplo del Método de Bisección
Ejemplo del Método de BisecciónEjemplo del Método de Bisección
Ejemplo del Método de Bisección
 
La ultima del taller
La ultima del tallerLa ultima del taller
La ultima del taller
 
cálculo vectorial
 cálculo vectorial cálculo vectorial
cálculo vectorial
 
Examen de conocimientos previos al álgebra lineal. Diseñado por el MTRO. JAVI...
Examen de conocimientos previos al álgebra lineal. Diseñado por el MTRO. JAVI...Examen de conocimientos previos al álgebra lineal. Diseñado por el MTRO. JAVI...
Examen de conocimientos previos al álgebra lineal. Diseñado por el MTRO. JAVI...
 
Tabla de propiedades de la transformada de laplace
Tabla de propiedades de la transformada de laplaceTabla de propiedades de la transformada de laplace
Tabla de propiedades de la transformada de laplace
 
Problemas resueltos integrales dobles y triples
Problemas resueltos integrales dobles y triplesProblemas resueltos integrales dobles y triples
Problemas resueltos integrales dobles y triples
 
Aplicación de Integrales Definidas
Aplicación de Integrales DefinidasAplicación de Integrales Definidas
Aplicación de Integrales Definidas
 
Tippens fisica 7e_diapositivas_37
Tippens fisica 7e_diapositivas_37Tippens fisica 7e_diapositivas_37
Tippens fisica 7e_diapositivas_37
 
Ecuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones diferenciales exactasEcuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones diferenciales exactas
 

Destacado

Propiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definidaPropiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definidaMirna Cuautle
 
La Integral Definida
La Integral DefinidaLa Integral Definida
La Integral DefinidaERICK CONDE
 
Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"
Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"
Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"Edison Alban
 
Cambio coyuntural
Cambio coyunturalCambio coyuntural
Cambio coyunturalinsucoppt
 

Destacado (7)

Propiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definidaPropiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definida
 
Integral definida
Integral definidaIntegral definida
Integral definida
 
Integral Definida
Integral DefinidaIntegral Definida
Integral Definida
 
La Integral Definida
La Integral DefinidaLa Integral Definida
La Integral Definida
 
Aplicaciones de integral
Aplicaciones de integralAplicaciones de integral
Aplicaciones de integral
 
Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"
Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"
Limite de funciones"capitulo 1 Moises Villena"
 
Cambio coyuntural
Cambio coyunturalCambio coyuntural
Cambio coyuntural
 

Similar a La Integral definida

Cap 3 La Integral definida.pdf
Cap 3 La Integral definida.pdfCap 3 La Integral definida.pdf
Cap 3 La Integral definida.pdfSoyyoYo
 
Introduccion integral indefinida
Introduccion integral indefinidaIntroduccion integral indefinida
Introduccion integral indefinidaErick Guaman
 
Brevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannBrevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralKike Prieto
 
4 integ-clasemultiples unacds
4 integ-clasemultiples unacds4 integ-clasemultiples unacds
4 integ-clasemultiples unacdsAngel Acosta
 
Derivada de una función
Derivada de una funciónDerivada de una función
Derivada de una funciónCatag20
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definidaKike Prieto
 
Capitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinidaCapitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinidaKike Prieto
 
Integral Indefinida. Generalidades, Reglas de integración
Integral Indefinida. Generalidades, Reglas de integraciónIntegral Indefinida. Generalidades, Reglas de integración
Integral Indefinida. Generalidades, Reglas de integraciónvane sanchez
 
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería.
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería. Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería.
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería. Alexis Legazpi
 
Técnicas de integración
Técnicas de integración Técnicas de integración
Técnicas de integración Bryan Tuñon
 

Similar a La Integral definida (20)

Cap 3 La Integral definida.pdf
Cap 3 La Integral definida.pdfCap 3 La Integral definida.pdf
Cap 3 La Integral definida.pdf
 
Integral indefinida
Integral indefinidaIntegral indefinida
Integral indefinida
 
Introduccion integral indefinida
Introduccion integral indefinidaIntroduccion integral indefinida
Introduccion integral indefinida
 
Brevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannBrevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
Brevísima Intruducción a las Sumas de Riemann
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la Integral
 
4 integ-clasemultiples unacds
4 integ-clasemultiples unacds4 integ-clasemultiples unacds
4 integ-clasemultiples unacds
 
Derivada de una función
Derivada de una funciónDerivada de una función
Derivada de una función
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 
Capitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinidaCapitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinida
 
Integral Indefinida. Generalidades, Reglas de integración
Integral Indefinida. Generalidades, Reglas de integraciónIntegral Indefinida. Generalidades, Reglas de integración
Integral Indefinida. Generalidades, Reglas de integración
 
Integral Indefinida
Integral IndefinidaIntegral Indefinida
Integral Indefinida
 
7414
74147414
7414
 
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería.
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería. Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería.
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería.
 
Clase 12 CDI
Clase 12 CDIClase 12 CDI
Clase 12 CDI
 
Técnicas de integración
Técnicas de integración Técnicas de integración
Técnicas de integración
 
Integrales teoria 1
Integrales teoria 1Integrales teoria 1
Integrales teoria 1
 
Aplicaciones
AplicacionesAplicaciones
Aplicaciones
 
Integrales indefinidas
Integrales indefinidasIntegrales indefinidas
Integrales indefinidas
 
Guía de derivadas
Guía de derivadasGuía de derivadas
Guía de derivadas
 
Integrales 5
Integrales 5Integrales 5
Integrales 5
 

Más de Kike Prieto

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenKike Prieto
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceKike Prieto
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por seriesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesKike Prieto
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricasKike Prieto
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierKike Prieto
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorKike Prieto
 
Ejercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasEjercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasKike Prieto
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorKike Prieto
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitasKike Prieto
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricasEcuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricasKike Prieto
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polaresKike Prieto
 
Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivadaAplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivadaKike Prieto
 

Más de Kike Prieto (20)

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferenciales
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por series
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricas
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de Fourier
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de Taylor
 
Ejercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasEjercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricas
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de Taylor
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitas
 
Series
SeriesSeries
Series
 
Sucesiones
SucesionesSucesiones
Sucesiones
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricasEcuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polares
 
Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivadaAplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivada
 

Último

Tipologías de vínculos afectivos (grupo)
Tipologías de vínculos afectivos (grupo)Tipologías de vínculos afectivos (grupo)
Tipologías de vínculos afectivos (grupo)portafoliodigitalyos
 
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )portafoliodigitalyos
 
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14KevinBuenrostro4
 
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencialCerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencialDanita2111
 
Comunidades Virtuales de Aprendizaje Caracteristicas.pptx
Comunidades Virtuales de Aprendizaje Caracteristicas.pptxComunidades Virtuales de Aprendizaje Caracteristicas.pptx
Comunidades Virtuales de Aprendizaje Caracteristicas.pptxJunkotantik
 
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptxTema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptxNoe Castillo
 
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoas
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de BarbacoasDiagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoas
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoasadvavillacorte123
 
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...Andrés Canale
 
ESTEREOTIPOS Y ROLES DE GÉNERO (labor de grupo)
ESTEREOTIPOS  Y ROLES DE GÉNERO (labor de grupo)ESTEREOTIPOS  Y ROLES DE GÉNERO (labor de grupo)
ESTEREOTIPOS Y ROLES DE GÉNERO (labor de grupo)portafoliodigitalyos
 
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdfRESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdfANEP - DETP
 
Presentación de medicina Enfermedades Fotográfico Moderno Morado (1).pdf
Presentación de medicina Enfermedades Fotográfico Moderno Morado (1).pdfPresentación de medicina Enfermedades Fotográfico Moderno Morado (1).pdf
Presentación de medicina Enfermedades Fotográfico Moderno Morado (1).pdfjuancmendez1405
 
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocxCONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocxMarlynRocaOnofre
 
BIENESTAR TOTAL - LA EXPERIENCIA DEL CLIENTE CON ATR
BIENESTAR TOTAL - LA EXPERIENCIA DEL CLIENTE CON ATRBIENESTAR TOTAL - LA EXPERIENCIA DEL CLIENTE CON ATR
BIENESTAR TOTAL - LA EXPERIENCIA DEL CLIENTE CON ATRDanielGrajeda7
 
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptxJunkotantik
 
PROBLEMAS DE GENÉTICA CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdf
PROBLEMAS DE GENÉTICA  CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdfPROBLEMAS DE GENÉTICA  CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdf
PROBLEMAS DE GENÉTICA CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdfmihayedo
 
proyecto semana de los Jardines, actividades a realizar para resaltar esta fecha
proyecto semana de los Jardines, actividades a realizar para resaltar esta fechaproyecto semana de los Jardines, actividades a realizar para resaltar esta fecha
proyecto semana de los Jardines, actividades a realizar para resaltar esta fechanitoagurto67
 

Último (20)

Tipologías de vínculos afectivos (grupo)
Tipologías de vínculos afectivos (grupo)Tipologías de vínculos afectivos (grupo)
Tipologías de vínculos afectivos (grupo)
 
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
 
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
 
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
 
Power Point: Luz desde el santuario.pptx
Power Point: Luz desde el santuario.pptxPower Point: Luz desde el santuario.pptx
Power Point: Luz desde el santuario.pptx
 
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencialCerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
 
Comunidades Virtuales de Aprendizaje Caracteristicas.pptx
Comunidades Virtuales de Aprendizaje Caracteristicas.pptxComunidades Virtuales de Aprendizaje Caracteristicas.pptx
Comunidades Virtuales de Aprendizaje Caracteristicas.pptx
 
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptxTema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
 
Luz desde el santuario. Escuela Sabática
Luz desde el santuario. Escuela SabáticaLuz desde el santuario. Escuela Sabática
Luz desde el santuario. Escuela Sabática
 
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoas
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de BarbacoasDiagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoas
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoas
 
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...
 
ESTEREOTIPOS Y ROLES DE GÉNERO (labor de grupo)
ESTEREOTIPOS  Y ROLES DE GÉNERO (labor de grupo)ESTEREOTIPOS  Y ROLES DE GÉNERO (labor de grupo)
ESTEREOTIPOS Y ROLES DE GÉNERO (labor de grupo)
 
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdfRESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
 
Presentación de medicina Enfermedades Fotográfico Moderno Morado (1).pdf
Presentación de medicina Enfermedades Fotográfico Moderno Morado (1).pdfPresentación de medicina Enfermedades Fotográfico Moderno Morado (1).pdf
Presentación de medicina Enfermedades Fotográfico Moderno Morado (1).pdf
 
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocxCONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
CONCLUSIONES DESCRIPTIVAS TIC que ayudaran a tus registrosdocx
 
BIENESTAR TOTAL - LA EXPERIENCIA DEL CLIENTE CON ATR
BIENESTAR TOTAL - LA EXPERIENCIA DEL CLIENTE CON ATRBIENESTAR TOTAL - LA EXPERIENCIA DEL CLIENTE CON ATR
BIENESTAR TOTAL - LA EXPERIENCIA DEL CLIENTE CON ATR
 
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx
 
PROBLEMAS DE GENÉTICA CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdf
PROBLEMAS DE GENÉTICA  CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdfPROBLEMAS DE GENÉTICA  CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdf
PROBLEMAS DE GENÉTICA CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdf
 
proyecto semana de los Jardines, actividades a realizar para resaltar esta fecha
proyecto semana de los Jardines, actividades a realizar para resaltar esta fechaproyecto semana de los Jardines, actividades a realizar para resaltar esta fecha
proyecto semana de los Jardines, actividades a realizar para resaltar esta fecha
 
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOSTRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
 

La Integral definida

  • 1. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule integrales definidas aplicando teoremas y propiedades 3.1 DEFINICIÓN 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD 3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD 3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN 3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO 3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN 3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA 3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD 3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL 3 43
  • 2. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3.1 DEFINICIÓN Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación del área bajo una curva )(xfy = . El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a esta problemática. Dividiendo la región en " " rectángulos. Observe la figura:n Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha denotado como x . El área del primer rectángulo sería 111 )( xxfA ∆= , el área del segundo rectángulo sería 222 )( xxfA ∆= ; y así , el área del n-ésimo rectángulo sería nnn xxfA ∆= )( . n x 44
  • 3. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Observe que si tomamos 11 xx = , 22 xx = , 33 xx = , …, ii xx = , se tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma 01 xx = , 12 xx = , 23 xx = , …, 1−= ii xx se tendrían rectángulos inscritos. La suma de las áreas de los rectángulos sería:n ( ) ( ) ( ) ( ) nn xxfxxfxxfxxf ∆++∆+∆+∆ K332211 Que de manera abreviada tenemos: ( )∑= ∆ n i ii xxf 1 Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por: ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆= ∑= ∞→ n i ii n xxflímA 1 De aquí surge la definición de Integral Definida. Sea f una función que está definida en el intervalo [ ].ba, Al ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∆∑= ∞→ n i ii n xxf 1 lím se le denomina la integral definida (o integral de Riemann) de f de " " a "b" y se denota de laa siguiente manera: .∫ b a dxxf )( Además, si existe este límite decimos que f es integrable en [ ].ba, Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando una función es integrable. 45
  • 4. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Si f es acotada en [ ]ba, y si f es continua a excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable [ ]ba, . En particular si f es continua en todo [ ]ba, entonces es integrable en [ ]ba, Ejemplo Hallar el área bajo la curva 2 )( xxf = en [ ]3,1 SOLUCIÓN: Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene: ])()()()([lím)(lím 33221 1 1 nn n i n ii n xxfxxfxxfxxfxxfA ∆++∆+∆+∆=∆= ∑= ∞→∞→ K PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS. Escogemos 11 xx = , 22 xx = , 33 xx = , …, ii xx = Representando la región, tenemos: 0x 1x 2x nx { x∆ { x∆ { x∆ 2 xy = Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos nnn ab x 213 = − = − =∆ y 46
  • 5. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 10 == ax n xxx 2 101 +=∆+= nn xxxxx 4 1 2 212012 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=∆+=∆+= , nn xxxxx 6 1 2 313023 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=∆+=∆+= M ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=∆+=∆+= n ixixixxi 2 110 Entonces: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 3 26 3 4 3 88 6 3 2 2 3 4 23 2 3 264 23 2 3 )12)(1(2 )1(2 2 6 )12)(1(4 2 )1(42 44 1 2 44 1 2 22 1 )( 2 2 2 1 2 2 11 1 2 2 1 2 1 321 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++++= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ++= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ +++= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + + += ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ∆= ∆+∆+∆+∆= ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ === ∞→ = ∞→ = ∞→ = ∞→ ∞→ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑ A nn lím n n n n lím n nn n n lím n nn nn n lím nnn n nn n n n lím i n i nn lím n i n i n lím nn ilím xxflím xxfxxfxxfxxflímA n n n n n n i n i n i n n i n n i n n i i n n n L SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS. Escogemos 01 xx = , 12 xx = , 23 xx = , …, 1−= ii xx Representando la región, tenemos: 47
  • 6. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Ahora, igual que el método anterior: 0x 1x 2x nx { x∆ { x∆ { x∆ 2 xy = 1−nx n x 2 =∆ y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += n ixi 2 1 Entonces: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 3 26 3 4 3 810 6 3 2 2 3 4 33 2 3 264 33 2 3 )12)(1(2 )1(21 2 6 112)(14 2 )(14 1 2 44 1 2 44 1 2 22 1 )( 2 2 2 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 0 2 1 0 1210 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−+−= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− +−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− +−+−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−− + − +−= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ∆= ∆+∆+∆+∆= ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ == − = ∞→ − = ∞→ − = ∞→ − = ∞→ − ∞→ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑ A nn lím n n n n lím n nn n n lím n nn nn n lím nnn n nn n n n lím i n i nn lím n i n i n lím nn ilím xxflím xxfxxfxxfxxflímA n n n n n n i n i n i n n i n n i n n i i n n n L 48
  • 7. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más engorroso si la función f tuviese regla de correspondencia compleja. El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de una manera muy rápida y sencilla, liberándonos de la ideas de calcular integrales definidas empleando su definición. 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f continua en [ ]ba, y sea cualquierF antiderivada de f en [ ]ba, entonces: )()()( aFbFdxxf b a −=∫ Demostración: En la expresión , haciendo)()( aFbF − nxb = y 0xa = tenemos: )()()()( 0xFxFaFbF n −=− Restando y sumando términos, resulta: [ ] [ ] [ [ ] ∑= − −−−− −= −+−−+−+−= −=− n i ii nnnnn n xFxF xFxFxFxFxFxFxFxF xFxFaFbF 1 1 0112211 0 )()( )()()()()()()()( )()()()( K ] Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a en el intervaloF [ ]ii xx ,1− Como es continua y diferenciable enF [ ]ii xx ,1− entonces ix∃ tal que ( ) 1 1)( )´( − − − − = ii ii i xx xFxF xF Como )()´( ii xfxF = y iii xxx ∆=− −1 entonces: ( ) i ii i x xFxF xf ∆ − = −1)( )( Despejando resulta: ( ) iiii xxfxFxF ∆=− − )()( 1 . 49
  • 8. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Reemplazando en tenemos:[ ] ∑= −−=− n i ii xFxFaFbF 1 1)()()()( ∑= ∆=− n i ii xxfaFbF 1 )()()( Tomando límite queda: [ ] ∫∑ ∑ =∆=− ∆=− = ∞→ = ∞→∞→ b a n i ii n n i ii nn dxxfxxfaFbF xxfaFbF )()(lím)()( )(lím)()(lím 1 1 La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de en [ ].f ba, Por tanto L.Q.Q.D. ∫=− b a dxxfaFbF )()()( Ejemplo Hallar el área bajo la curva en 2 xy = [ ]3,1 SOLUCIÓN: El área bajo la curva estará dada por , aplicando el teorema fundamental del calculodxxA ∫= 3 1 2 3 26 3 1 3 27 3 1 3 3 3 33 3 1 3 3 1 2 =−=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +== ∫ CCC x dxxA Hemos dado solución a una gran problemática. Observe que 0)( =∫ a a dxxf y ∫∫ −= a b b a dxxfdxxf )()( ¿Porqué? 50
  • 9. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD Suponga que f y g son integrables en el intervalo [ ba, ] y sea Rk ∈ , entonces: 1. [ ] [ ] [∫∫∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ] 2. ∫∫ = b a b a dxxfkdxxkf )()( 3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD Si f es integrable en un intervalo que contiene a los puntos a, b y c (no importar su orden), entonces: ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( Demostración: Por el teorema fundamental del cálculo: ∫∫∫ =−=−+−=+ b a b c c a dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf )()()()()()()()()( PREGUNTA: ¿Verdadero o falso? ∫∫∫ += 3 5 2 5 1 2 3 1 2 dxxdxxdxx 51
  • 10. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Ejemplo 1 Calcular ∫ donde 5 1 )( dxxf ⎩ ⎨ ⎧ <+− ≥− = 3;13 3;12 )( 2 xxx xx xf SOLUCIÓN: Como tiene dos reglas de correspondencia, es decir:f Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos: ( ) ( ) ( ) ([ ]) 3 38 395251 2 3 3 1 3 2 27 9 2 2 2 3 3 1213)( 5 3 2 3 1 23 5 3 3 1 2 5 1 = −−−+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−= −++−= ∫∫∫ x x x xx dxxdxxxdxxf Ejemplo 2 Calcular ∫− −− 4 2 21 dxx SOLUCIÓN: Para obtener las reglas de correspondencia que definen a , obtenemos la gráfica def 21 −−= xy Entonces: 52
  • 11. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 9 2 9 1283 2 1 9 2 9 1 2 1 1 2 1 221 2 1 3 2 3 222 331121 4 3 2 3 1 2 1 1 2 1 2 2 4 3 3 1 1 1 1 2 4 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−−+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= −++−+++−−=−− − − − − − −− ∫∫∫∫∫ x x x x x x x x dxxdxxdxxdxxdxx 3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN Si f y g son integrables en [ ]ba, y si )()( xgxf ≤ , [ bax ,∈∀ ]; entonces: dxxgdxxf b a b a ∫∫ ≤ )()( 3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO Si f es integrable en [ ]ba, y si Mxfm ≤≤ )( , [ ]bax ,∈∀ ; entonces: ( ) )()( abMdxxfabm b a −≤≤− ∫ 3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN Supóngase que g tiene una derivada continua en [ ]ba, y sea f continua en el rango de g . Entonces: donde∫∫ = = = = = )( )( )()´())(( bgt agt bx ax dttfdxxgxgf )(xgt = Ejemplo Calcular ∫ π π 4 9 2 2 cos dx x x SOLUCIÓN: 53
  • 12. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Tomando el cambio de variable xt = entonces tenemos dtxdx 2= , y para los límites de integración ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⇒= =⇒= ππ ππ 39 24 2 2 tx tx por tanto la integral en términos de t sería: ( ) 32 2 3 212 sen2sen2sen2cos22 cos 32 2 3 2 3 2 3 −=−= −=== πππ π π π π π ∫∫ ttdtdtx x t Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?. 3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA 1. Si es una función PAR entonces:f dxxfdxxf aa a )(2)( 0 ∫∫ = − 2. Si es una función IMPAR entonces:f 0)( = ∫− dxxf a a Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma análoga y se recomienda al lector que la realice. DEMOSTRACIÓN Aplicando la propiedad de aditividad dxxfdxxfdxxf a a a a )()()( 0 0 ∫∫∫ += −− Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución: Si tomamos el cambio de variable xt −= entonces dxdt −= y para los límites de integración . Sustituyendo resulta ⎩ ⎨ ⎧ =⇒−= =⇒= atax tx 00 [ ] ∫∫ −−=−− 00 )()( aa dttfdttf 54
  • 13. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Por hipótesis es una función par, por tanto se cumple que y además si invertimos los límites de integración, tenemos: f )()( tftf =− ∫∫ =−− a a dttfdttf 0 0 )()( la última integral si xt = queda [ ] ∫∫ =−− a a dxxfdttf 0 0 )()( Finalmente L.Q.Q.D.dxxfdxxfdxxfdxxf aaaa a )(2)()()( 000 ∫∫∫∫ =+= − Ejemplo Calcular dx x x ∫− + 5 5 2 5 4 SOLUCIÓN: Obtengamos primero )( xf − para 4 )( 2 5 + = x x xf . 44)( )( )( 2 5 2 5 + −= +− − =− x x x x xf Observe )()( xfxf −=− , por tanto es una función impar y por la propiedad de simetría, rápidamente concluimos que: f 0 4 5 5 2 5 = +∫− dx x x 3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD Si f es periódica con período T , entonces: ∫∫ = + + b a Tb Ta dxxfdxxf )()( DEMOSTRACIÓN En la integral , haciendo cambio de variable ∫ + + Tb Ta dxxf )( Txt −= . 55
  • 14. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Del cambio de variable se obtiene Ttx += , dtdx = y los límites para la nueva variable son: ⎩ ⎨ ⎧ =⇒+= =⇒+= atTax btTbx Reemplazando, resulta: y como, por hipótesis, es una función periódica se cumple que ∫∫ += + + b a Tb Ta dtTtfdxxf )()( f )()( tfTtf =+ , entonces ∫∫ =+ b a b a dttfdtTtf )()( Que finalmente, si xt = quedaría L.Q.Q.D. ∫∫ = + + b a Tb Ta dxxfdxxf )()( 3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del Cálculo. Sea f continua en [ ]ba, y sea " x " un punto variable de . Entonces:),( ba )()( xfdttf dx d x a =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∫ Ejemplo 1 Calcular ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +∫ x x dt t t D 2 2 2 3 17 SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que: 1717 2 2 3 2 2 2 3 + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +∫ x x dt t t D x x 56
  • 15. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Ejemplo 2 Calcular ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +∫ 2 2 2 3 17 x x dt t t D SOLUCIÓN: Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que: 1717 2 2 3 2 2 2 3 + −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ∫ x x dt t t D x x La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera: [ ] dx du ufdttf dx d xu a )()( )( = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ Ejemplo 3 Calcular ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +∫ 3 2 2 2 3 17 x x dt t t D SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad, concluimos que: ( ) ( ) ( ) 17 3 3 1717 6 2 13 2 23 2 3 3 2 2 2 3 3 + = + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +∫ x x x x x dt t t D x x Ejemplo 4 Calcular ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +∫ 3 2 172 2 3x x x dt t t D SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ ∫∫ 0 0 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 33 2 171717 x x x x x x dt t t dt t t Ddt t t D Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta: 57
  • 16. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida ( ) ( ) ( ) ( ) )3( 17 )2( 17 1717 17171717 2 23 2 3 3 22 2 3 2 0 2 2 3 0 2 2 3 0 2 2 3 0 2 2 3 0 0 2 2 3 2 2 3 32 3 22 3 x x x x x x dt t t Ddt t t D dt t t Ddt t t Ddt t t dt t t D x x x x x x x x x x x + + + −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ∫∫ ∫∫∫ ∫ FINALMENTE: 17 2 17 3 17 4 4 6 2 13 2 2 3 3 2 + − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +∫ x x x x dt t t D x x x Ejemplo 5 Calcular ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ x x xtdtD 1 SOLUCIÓN: Observe que por tanto: ∫∫ = xx tdtxxtdt 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 11 11 −= +−= += •+•= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ •+ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ •= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ •= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ ∫∫ ∫∫ x x x x t xxtdt tdtDxtdtxD tdtxDxtdtD x x x x x x x x x x 58
  • 17. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Ejemplo 6 Calcular x dtt x x ∫ − → 0 2 0 1 lím SOLUCIÓN: La expresión presenta una indeterminación de la forma: 0 0 Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos: [ ] 1 1 01 1 1 lím 1 lím 22 0 0 2 0 = − = − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − →→ ∫ x xD dttD xx x x x Ejercicios Propuestos 3.1 1. Calcular a. si( ) , 3 2 ∫− dxxf ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤<− ≤≤− = 31,21 12,2 2 xx xx xf b. ∫ − 4 0 1 dxx c. ∫− − 4 2 13 dxx d. ( )dxxx ∫− −+− 4 2 213 e. dxx ∫− −− 5 2 21 f. ∫ 10 0 dxx g. [ ]( ) ∫ − 4 0 dxxx h. ∫ 4 9 2 2 cos π π dx x x i. ( )∫ ++ + 1 0 22 14 2 dx xx x j. ( )[ ] ∫ −+ 1 0 33cos3 dxxx k. ( ) ∫ π 2 1 0 2sen dxx l. dxx ∫ − 5 0 2 9 m. ( ) ( ) ∫ +− e dxxxx 1 2 ln32 n. ( )∫− + 1 1 42 3 1 dx x x o. ( )∫− − 100 100 3972 3 dxxxsenx 2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa de un contraejemplo. a. Si ( ) ( )xgxf ≤ en [ ] ( ) ( ) ∫∫ ≤ b a b a dxxgdxxfba ,, b. ( ) ∫∫ =++ − 99 0 2 99 99 23 2 dxbxdxcxbxax 59
  • 18. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida c. Si f es periódica con período T, entonces: ( ) ( ) ∫∫ = + + b a Tb Ta dxxfdxxf d. ,f∀ ( ) ( ) ∫∫ − − =− a b b a dxxfdxxf e. Si es una función parf [ ]aax ,−∈∀ , entonces ( ) ∫∫ = − aa a dxxfdxxf 0 )(2 f. Si ( ) ( )xgxf ≤ en [ ]ba, , entonces ( ) ( ) ∫∫ ≤ b a b a dxxgdxxf g. Si ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )aGbGaFbFbaxxGxF −=−∈∀′=′ ,, h. Sea g una función derivable y supóngase que es una antiderivada de . EntoncesF f ( )( ) ( ) ( )( ) ∫ +=′ CxgFdxxgxgf 3. Encuentre si toma las siguientes reglas de correspondencia:f ′ f a. dt t xx ∫ − lnsen 0 1 1 b. dtt xx tanxx ∫ − sec2 ln 3 5 3 1 c. dt t xx e xxe ∫ − 3 secln 2 1 d. ∫ + − xx x dt t t sen 4 5 3 2 1 2 e. ( ) ( ) ∫+ − − tanxx x dt tt t sen 1ln 3 3 2 sencos 1 f. ∫ − + 2 3 2 log6 cos1 sen1 x x dt t t 4. Determine: a. ( ) 3 0 2 0 lim x dttsen x x ∫ → b. 1 lim 1 1 − ∫ + → x dtsent x x c. x dte x t x ∫ − ∞→ + 1 1 lim d. 2 0 2 2 51 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −∫ x t dt dx d 60
  • 19. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Misceláneos 1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su respuesta. a) Si es una función continua en el intervalo´f [ ]ba , entonces [ ] [ ] ∫ −= b a afbfdxxfxf 22 )()()´()(2 b) Si entonces0)( = ∫ b a dxxf 0)( =xf para [ ]bax ,∈∀ c) Si es una función continua enf IR , entonces: ( ) ( )2 2 1 )( 2 xf x arctgxf dxxf dx d arctgx x − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ d) [ ] ( ) INn nn dxx n ∈ + = ∫ + ; 2 1 1 0 e) Si yf g son funciones impares y continuas en IR , entonces ( )( ) 0 5 5 = ∫− dxxgf o f) 4 4 4 121 2 xxdttD x x += ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∫ g) ∫− =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−+ 2 2 434 6415 2 dxxxxex x h) Si yf g son funciones continuas en el intervalo [ ]1,0 entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ −=− 1 0 1 0 11 dxxgxfdxxgxf i) Si entonces para0)( ≥ ∫ b a dxxf 0)( ≥xf [ ]bax ,∈∀ j) ∫ ∫= π π 2 2 2 0 4 senxdxdxsenx k) Si y entonces3)( 3 0 = ∫ dxxf 7)( 4 0 = ∫ dxxf 4)( 3 4 −= ∫ dxxf l) ∫∫ +≥ 1 0 2 1 0 1 dxxxdx 61
  • 20. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida m) Si es una función continua enf IR tal que para cualquier número real x , entonces es una función impar.0)()( 1212 == ∫∫− x x x x dttfdttf f n) Si es una antiderivada de la dunción , entoncesF f ∫ +=+ dxxfxF )12()12( o) Si es una función continua en el intervalof [ ]5,2 y entonces7)( 5 2 = ∫ dxxf 7)( 5 2 −= ∫ − − dxxf p) Si es una función tal quef 0cos3)(2 2 0 =+ ∫ dttxf x entonces xxxf cos3)´( −= q) Si yf g son funciones tales que y para todo x xexf =)( )()( xgxf ≥ [ ]1,0∈x entonces .( ) ∫ ≤ 1 0 1dxxg r) Si [ ] 1)(0,2,0 ≤≤∈∀ xfx entonces 1)(0 2 0 ≤≤ ∫ dxxf s) Si es una función continua en el intervalof [ ]10,0 y ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ 2 3 0 2 1 )( x t x dt t e Dxf para [ ]10,0∈x entonces 3 5 3 )1´( ef = . t) ∫∫ = ππ 2 2 2 2 cos dxxdxsenx u) π ππ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑= +∞→ n i n n i n coslim 1 v) 2 coslim 2 1 0 π = ∑= → i n i p x donde { }ixmaxp ∆= . p es una partición del intervalo [ ]π,0 . w) Si , entonces( ) 1)(2 2 1 2 =+ ∫− dxxxf 1)( 2 1 −= ∫− dxxf 62
  • 21. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida x) ( ) 3 1 lim 2 3 0 2 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + → xtg dttsen x x y) 1 2 lim 2 1 2 1 −= ∑= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ e n e n i n i n z) ∫∫ ++ =∈∀ ππ 22 cos,, b b a a xdxdxsenxRba 2. Calcular a. ( ) 3 0 0 cos1 lim x dtt x x ∫ − → b. ( )∫ − 2 1 2 3 2 6 1 dx x c. ∫ 2 0 32 cos π xdxxsen d. ∫ ++ 2 1 2 22 3 dx xx e. ( ) 6 0 2 0 2 lim x dttsen x x ∫ → f. [ ]( ) ∫ − 3 0 2 dxxx g. ( ) ∫− −−+ 3 2 21 dxxxx h. ∫ −+ 5 1 12 1 dx x i. ∫ − − 4 2 3 4 dx xx x j. ∫ + 5ln 2ln 2 16 12 dt e t k. ( ) ∫− −− 21 2 312 dxx l. ∫− + 3 2 32 dxx m. ∫ + π π 2 2 2 cos1 dx x n. ( ) 3 0 2 0 2 1 lim x dt t tsen x x ∫ + → o. ∫− −− 4 3 32 dxe x p. ( ) dxe x xsen x ∫− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 2 2 3 1 63
  • 22. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3. Si es una función tal que . Determine los intervalos donde el gráfico de es cóncava hacia arriba. f ( )∫ ∈+−= − 3 32 ,56489)( x t IRxdtettxf f 4. Si yf g son funciones tales que , y , entonces calcule el valor de 3)( 4 1 = ∫ dxxf 2)( 7 4 −= ∫ dxxf 6)(3 7 1 = ∫ dxxg [ ] ∫ + 1 7 )()(5 dxxgxf 64