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212
10 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
En este capítulo se estudiará el método de diferencias finitas aplicado a la resolución de
ecuaciones diferenciales parciales.
Sea u una función que depende de dos variables independientes x, y. La siguiente ecuación
es la forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden:
F(x, y, u,
u
x
∂
∂
,
u
y
∂
∂
,
2
2
u
x
∂
∂
,
2
2
u
y
∂
∂
,
2
u
x y
∂
∂ ∂
) = 0
Una forma de clasificar estas ecuaciones es por su tipo: parabólicas, elípticas e hiperbólicas,
En forma similar a las ecuaciones diferenciales ordinarias, el método numérico que usaremos
consiste en sustituir las derivadas por aproximaciones de diferencias finitas. El objetivo es
obtener una ecuación denominada ecuación de diferencias que pueda resolverse por métodos
algebraicos. Esta sustitución discretiza el dominio con un espaciamiento que debe elegirse.
10.1 Aproximaciones de diferencias finitas
Las siguientes son algunas aproximaciones de diferencias finitas de uso común para aproximar
las derivadas en un punto xi, yj, siendo ∆x, ∆y el espaciamiento entre los puntos de x, y,
respectivamente. El término a la derecha en cada fórmula representa el orden del error de
truncamiento.
i,j i 1,j i,ju u u
O( x)
x x
+∂ −
= + ∆
∂ ∆
(8.1)
i,j i,j 1 i,ju u u
O( y)
y y
+∂ −
= + ∆
∂ ∆
(8.2)
i,j i,j i,j 1u u u
O( y)
y y
−∂ −
= + ∆
∂ ∆
(8.3)
i,j i 1,j i 1,j 2
u u u
O( x)
x 2( x)
+ −∂ −
= + ∆
∂ ∆
(8.4)
0,j 0,j 1,j 2,j 2
u 3u 4u u
O( x)
x 2( x)
∂ − + −
= + ∆
∂ ∆
(8.5)
2
i,j i 1,j i,j i 1,j 2
2 2
u u 2u u
O( x)
x ( x)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
(8.6)
2
i,j i,j 1 i,j i,j 1 2
2 2
u u 2u u
O( y)
y ( y)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
(8.7)
10.2 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico
Estas ecuaciones se caracterizan porque en su dominio una de las variables no está acotada.
Para aplicar el método de diferencias finitas usaremos un ejemplo básico para posteriormente
interpretar los resultados obtenidos.
213
Ejemplo. Resolver la ecuación de difusión en una dimensión con los datos suministrados
u(x,t):
2
2
u u
C
tx
∂ ∂
=
∂∂
Suponer que u es una función que depende de x, t, en donde u representa valores de
temperatura, x representa posición, mientras que t es tiempo,
Esta ecuación se puede asociar al flujo de calor en una barra muy delgada aislada
transversalmente y sometida en los extremos a alguna fuente de calor. La constante C
depende del material de la barra. La solución representa la distribución de temperaturas en
cada punto x de la barra y en cada instante t
u(x, t)
Ta, Tb son valores de temperatura de las fuentes de calor aplicadas en los extremo de la barra.
En este primer ejemplo suponer que son valores constantes. To es la temperatura inicial y L
es la longitud de la barra.
Estas condiciones se pueden expresar de manera simbólica en un sistema de coordenadas
u(0, t) = Ta, t ≥ 0
u(L, t) = Tb, t ≥ 0
u(x, 0) = To, 0 < x < L
Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u mediante una
malla con puntos en dos dimensiones en la cual el eje horizontal representa la posición xi
mientras que el eje vertical representa el tiempo tj.
u=u(x,t), 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0 ⇒ u(xi, tj) = ui,j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, ....
El método de diferencias finitas permitirá encontrar u en estos puntos.
Para el ejemplo supondremos los siguientes datos, en las unidades que correspondan
Ta = 60
Tb = 40
To = 25
C = 4
L = 1
Decidimos además, para simplificar la descripción del método que ∆x = 0.25, ∆t = 0.1
Con esta información se define el dominio de ui,j. En la malla se representan los datos en los
bordes y los puntos interiores que deberán calcularse:
Ta Tb
ToL
214
10.2.1 Un esquema de diferencias finitas explícito
Para nuestro primer intento elegimos las fórmulas (8.6) y (8.2) para sustituir las derivadas de la
ecuación diferencial
2
2
u u
C
tx
∂ ∂
=
∂∂
⇒
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
+ O(∆x)
2
=
i,j 1 i,ju u
C
t
+ −
∆
+ O(∆t)
Se obtiene la ecuación de diferencias
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
=
i,j 1 i,ju u
C
t
+ −
∆
Cuyo error de truncamiento es T = O(∆x)
2
+ O(∆t). Si ∆x, ∆t → 0 ⇒ T → 0 y la ecuación de
diferencias tiende a la ecuación diferencial parcial (contínua)
Para que esta sustitución sea consistente, es decir, que ambos términos de la ecuación tengan
un error de truncamiento de orden similar, ∆t debe ser menor que ∆x, aproximadamente en un
orden de magnitud.
Es conveniente analizar cuales puntos están incluidos en la ecuación de diferencias. Para esto
consideramos un segmento de la malla y marcamos los puntos de la ecuación.
Los puntos que están incluidos en la ecuación de diferencia conforman un triángulo. Este
triángulo puede colocarse en cualquier lugar de la malla asignando a i, j los valores apropiados.
Por ejemplo, si i=1, j=0, la ecuación de diferencias se ubica en el extremo inferior izquierdo de
la malla. Los puntos en color rojo son los datos conocidos. Los puntos en amarillo son los
puntos que deben calcularse.
Se puede observar que solo hay un punto desconocido en la ecuación. Por lo tanto, esta
ecuación de diferencias proporciona un método explícito de cálculo. Esto significa que cada
punto de la solución puede ser obtenerse en forma individual y directa cada vez que se aplica
la ecuación.
Despejamos el punto desconocido i,j 1u +
i,j 1 i 1,j i,j i 1,j i,j2
t
u (u 2u u ) u
C( x)
+ − +
∆
= − + +
∆
Definiendo λ = 2
t
C( x)
∆
∆
⇒ i,j 1 i 1,j i,j i 1,j i,ju (u 2u u ) u+ − +=λ − + +
215
La ecuación se puede escribir
i,j 1 i 1,j i,j i 1,ju u (1 2 )u u+ − += λ + − λ + λ , i = 1, 2, 3; j = 0, 1, 2, . . .
La forma final de la ecuación de diferencias se obtiene sustituyendo los datos:
λ = 2 2
t 0.1
0.4
C( x) 4(0.25)
∆
= =
∆
i,j 1 i 1,j i,j i 1,ju 0.4u 0.2u 0.4u+ − += + + , i = 1, 2, 3; j = 0, 1, 2, . . .
La solución se debe calcular sucesivamente para cada nivel tj hasta donde sea de interés
analizar la solución de la ecuación diferencial. Calculemos dos niveles de la solución:
j = 0, i = 1: u1,1 = 0.4u0,0 + 0.2u1,0 + 0.4u2,0 = 0.4(60) + 0.2(25) + 0.4(25) = 39
i = 2: u2,1 = 0.4u1,0 + 0.2u2,0 + 0.4u3,0 = 0.4(25) + 0.2(25) + 0.4(25) = 25
i = 3: u3,1 = 0.4u2,0 + 0.2u3,0 + 0.4u4,0 = 0.4(25) + 0.2(25) + 0.4(40) = 31
j = 1, i = 1: u1,2 = 0.4u0,1 + 0.2u1,1 + 0.4u2,1 = 0.4(60) + 0.2(39) + 0.4(25) = 41.8
i = 2: u2,2 = 0.4u1,1 + 0.2u2,1 + 0.4u3,1 = 0.4(39) + 0.2(25) + 0.4(31) = 33
i = 3: u3,2 = 0.4u2,1 + 0.2u3,1 + 0.4u4,1 = 0.4(25) + 0.2(31) + 0.4(40) = 32.2
En el siguiente gráfico se anotan los resultados para registrar el progreso del cálculo
Para que la solución tenga precisión aceptable, los incrementos ∆x y ∆t deberían ser mucho
más pequeños, pero esto haría que la cantidad de cálculos involucrados sea muy grande para
hacerlo manualmente.
10.2.2 Estabilidad del método de diferencias finitas
Existen diferentes métodos para determinar el crecimiento en el tiempo del error en el proceso
de cálculo de la solución. Si el error no crece con el tiempo, el método es estable.
Criterio de Von Newman
Consiste en suponer que el error propagado i,jE en el tiempo en cada punto (xi ,tj) tiene forma
exponencial compleja:
i jk x t
i,jE e
β +α
= , k 1= −
Si se define el coeficiente de amplificación del error en iteraciones consecutivas:
i j
i j
k x (t t)
i,j 1 t
k x t
i,j
E e
M e
E e
β +α +∆
+ α∆
β +α
= = =
Entonces, si | t
eα∆
| ≤ 1 el error no crecerá en el tiempo y el método es estable.
216
Ecuación de diferencias del método explícito:
i,j 1 i 1,j i,j i 1,j i,ju (u 2u u ) u+ − +=λ − + + , λ = 2
t
C( x)
∆
∆
Ecuación de los errores introducidos
i j i j i j i j i jk x (t t) k (x x) t k x t k (x x) t k x t
e (e 2e e ) e
β +α +∆ β +∆ +α β +α β −∆ +α β +α
=λ − + +
Dividiendo por i jk x t
e
β +α
ik ( x)t k x
e (e 2 e ) 1β −∆α∆ β∆
=λ − + +
Sustituyendo las equivalencias y simplificando
k x
e cos( x) ksen( x)± β∆
= β∆ ± β∆
Se obtiene
t
e (2cos( x) 2) 1α∆
= λ β∆ − +
La estabilidad está condicionada a: | t
eα∆
| ≤ 1
| (2cos( x) 2) 1| 1λ β∆ − + ≤
Sustituyendo los valores extremos de cos( x) 1, cos( x) 1β∆ = β∆ = −
Se obtiene la restricción para que este método sea estable:
1
2
λ ≤ ⇒ 2
t 1
2C( x)
∆
≤
∆
Si se cumple esta condición el error propagado en los cálculos aritméticos no crecerá.
Si se fija ∆x debería elegirse ∆t para que se mantenga la condición anterior. Desde el punto de
vista del error de truncamiento ∆t debería ser aproximadamente un orden de magnitud menor
que ∆x.
Se puede verificar que si no se cumple esta condición, el método se hace inestable
rápidamente y los resultados obtenidos son incoherentes.
217
10.2.3 Instrumentación computacional
El siguiente programa es una instrumentación en MATLAB para resolver el ejemplo anterior y
es una referencia para aplicarlo a problemas similares. Los resultados obtenidos se muestran
gráficamente.
Para la generalización es conveniente expresar la ecuación de diferencias en forma estándar
ui, j+1 = (P) ui-1, j + (Q)ui, j + (R)ui+1,j, i = 1, 2, 3, . . . , n-1; j = 1, 2, 3, . . .
En donde P, Q, R dependen de los datos de la ecuación que se desea resolver.
Para el ejemplo propuesto se tiene: i,j 1 i 1,j i,j i 1,ju u (1 2 )u u+ − += λ + − λ + λ ,
% Ecuación de diferencias estandarizada
% U(i,j+1)=(P)U(i-1,j) + (Q)U(i,j) + (R)U(i-1,j)
% P,Q,R son constantes evaluadas con los datos de la EDP
clf;
m=11; % Número de puntos en x
n=100; % Número de niveles en t
Ta=60; Tb=40; % Condiciones en los bordes
To=25; % Condición en el inicio
dx=0.1; dt=0.01; % incrementos
L=1; % longitud
C=4; % dato especificado
clear x U;
U(1)=Ta; % Asignación inicial
U(m)=Tb;
for i=2:m-1
U(i)=To;
end
lambda = dt/(C*dx^2);
P=lambda;
Q=1-2*lambda;
R=lambda;
hold on;
title('Curvas de distribución térmica');
xlabel('X (distancia)');
ylabel('U (temperatura)');
x=0:dx:L; % Coordenadas para el gráfico
plot(x,U,'r'); grid on; % Distribución inicial
for j=1:n
U=EDPDIF(P,Q,R,U,m);
if mod(j,5)==0
plot(x,U,'r'); % Para graficar curvas cada 5 niveles de t
pause
end
end
function u=EDPDIF(P,Q,R,U,m)
% Solución U(x,t) de una EDP con condiciones constantes en los bordes
% Método explícito de diferencias finitas
u(1)=U(1);
for i=2:m-1
u(i)=P*U(i-1)+Q*U(i)+R*U(i+1);
end
u(m)=U(m);
Almacenar la función y el programa y ejecutarlo para obtener el gráfico siguiente
218
Curvas de distribución térmica para el ejemplo. La distribución tiende a una forma
estable.
La ejecución controlada con el comando pause permite visualizar el progreso de los cálculos
Con esta instrumentación se puede verificar que al incrementar t∆ a un valor mayor que 0.02,
ya no se cumple la condición de convergencia y el método se hace inestable. Los resultados
son incoherentes
10.2.4 Un esquema de diferencias finitas implícito
En un segundo intento elegimos las aproximaciones (8.6) y (8.3) para sustituir las derivadas de
la ecuación diferencial
2
2
u u
C
tx
∂ ∂
=
∂∂
⇒
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
+ O(∆x)
2
=
i,j i,j 1u u
C
t
−−
∆
+ O(∆t)
Se obtiene la ecuación de diferencias
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
=
i,j i,j 1u u
C
t
−−
∆
Su error de truncamiento es igualmente T = O(∆x)
2
+ O(∆t), debiendo cumplirse que ∆t < ∆x
Marcamos los puntos incluidos en esta ecuación de diferencias.
Los puntos marcados conforman un triángulo de puntos invertido. Este triángulo
correspondiente a los puntos incluidos en la ecuación de diferencias y puede colocarse en
cualquier lugar de la malla asignando a i, j los valores apropiados. Por ejemplo, si i=1, j=1, la
ecuación de diferencias se aplicada en el extremo inferior izquierdo de la malla:
219
Se puede observar que la ecuación de diferencias ahora contiene dos puntos desconocidos. Si
la ecuación se aplica sucesivamente a los puntos i=2, j=1 e i=3, j=1, se obtendrá un sistema
de tres ecuaciones lineales y su solución proporcionará el valor de los tres puntos
desconocidos. Esta ecuación de diferencias proporciona entonces un método implícito para
obtener la solución.
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
=
i,j i,j 1u u
C
t
−−
∆
, T = O(∆x)
2
+ O(∆t), ∆t < ∆x
i 1,j i,j i 1,j2
t
(u 2u u )
C( x)
+ −
∆
− +
∆
= i,j i,j 1u u −−
Definiendo λ = 2
t
C( x)
∆
∆
, la ecuación se puede escribir
i 1,j i,j i 1,j i,j 1u ( 1 2 )u u u− + −λ + − − λ + λ = − , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, . . .
Finalmente con los datos λ = 2 2
t 0.1
0.4
C( x) 4(0.25)
∆
= =
∆
, se obtiene la forma final
i 1,j i,j i 1,j i,j 10.4u 1.8u 0.4u u− + −− + =− , i = 1, 2, 3; j = 0, 1, 2, . . .
Para obtener la solución en cada nivel de tj debe resolverse un sistema de ecuaciones
lineales. A continuación calculamos un nivel de la solución con este método:
j = 1, i = 1: 0.4u0,1 – 1.8u1,1 + 0.4u2,1 = -u1,0
0.4(60) – 1.8u1,1 + 0.4u2,1 = -25 ⇒ -1.8 u1,1 + 0.4u2,1 = -49
i = 2: 0.4u1,1 – 1.8u2,1 + 0.4u3,1 = -u2,0
0.4u1,1 – 1.8u2,1 + 0.4u3,1 = -25 ⇒ 0.4u1,1 - 1.8 u2,1 + 0.4u3,1 = -25
i = 3: 0.4u2,1 – 1.8u3,1 + 0.4u4,1 = -u3,0
0.4u2,1 – 1.8u3,1 + 0.4(40) = -25 ⇒ 0.4u2,1 - 1.8 u3,1 = -41
Se tiene el sistema lineal
1,1
2,1
3,1
1.8 0.4 0 u 49
0.4 1.8 0.4 u 25
0 0.4 1.8 u 41
 − −   
    − =−    
    − −    
Cuya solución es
1,1
2,1
3,1
u 33.0287
u 26.1290
u 28.5842
   
   =   
     
220
Un análisis de estabilidad demuestra que el método implícito no está condicionado a la
magnitud de 2
t
C( x)
∆
λ =
∆
como en el método explícito.
10.2.5 Instrumentación computacional
La siguiente instrumentación del método de diferencias finitas implícito permite resolver
problemas de tipo similar al ejemplo anterior. La ecuación de diferencias debe escribirse en
forma estandarizada
(P)ui-1,j + (Q)ui,j + (R)ui+1,j = -ui,j-1, i = 1, 2, 3, . . . , m-1; j = 1, 2, 3, . . .
En donde P, Q, R dependen de los datos de la ecuación que se desea resolver.
Para el ejemplo propuesto se tiene: i 1,j i,j i 1,j i,j 1u ( 1 2 )u u u− + −λ + − − λ + λ = −
Se define una función EDPDIFPI que genera y resuelve el sistema de ecuaciones lineales en
cada nivel. El sistema de ecuaciones lineales resultante tiene forma tridiagonal, y por lo tanto
se puede usar un algoritmo específico muy eficiente con el nombre TRIDIAGONAL cuya
instrumentación fue realizada en capítulos anteriores.
% Método de Diferencias Finitas implícito para una EDP
% Ecuación de diferencias estandarizada
% (P)ui-1,j + (Q)ui,j + (R)ui+1,j = -ui,j-1
% P,Q,R son constantes evaluadas con los datos de la EDP
clf;
m=11; % Número de puntos en x
n=100; % Número de niveles en t
Ta=60; Tb=40; % Condiciones en los bordes
To=25; % Condición en el inicio
dx=0.1; dt=0.01; % incrementos
L=1; % longitud
C=4; % dato especificado
clear x u U;
U(1)=Ta; % Asignación inicial
U(m)=Tb;
for i=2:m-1
U(i)=To;
end
lambda=dt/(C*dx^2);
P=lambda;
Q=-1-2*lambda;
R=lambda;
hold on;
title('Curvas de distribución térmica ');
xlabel('X (distancia)');
ylabel('U (temperatura)');
x=0:dx:L; % Coordenadas para el grafico
plot(x,U,'r'); % Distribución inicial
for j=1:n
U = EDPDIFPI(P, Q, R, U, m);
if mod(j,5)==0
plot(x,U,'r'); % Para graficar curvas cada 5 niveles de t
pause
end
end
221
function U = EDPDIFPI(P, Q, R, U, m)
% Solución de una EDP con condiciones constantes en los bordes
% Método de Diferencias Finitas Implícito
% Generación del sistema tridiagonal
clear a b c d;
for i=1:m-2
a(i)=P;
b(i)=Q;
c(i)=R;
d(i)=-1*U(i+1);
end
d(1)=d(1)-a(1)*U(1);
d(m-2)=d(m-2)-c(m-2)*U(m);
u=tridiagonal(a,b,c,d);
U=[U(1) u U(m)]; % Incluir datos en los extremos
Almacenar la función, el programa y ejecutarlo para obtener el gráfico siguiente
Curvas de distribución térmica para el ejemplo. La distribución tiende a una forma
estable.
10.2.6 Práctica computacional
Probar los métodos explícito e implícito instrumentados computacionalmente para resolver el
ejemplo anterior cambiando x∆ y t∆ para analizar la convergencia de los esquemas de
diferencias finitas.
Realizar pruebas para verificar la condición de estabilidad condicionada para el método
explícito e incondicional para el método implícito.
10.2.7 Condiciones variables en los bordes
Analizamos la ecuación anterior cambiando las condiciones inicial y en los bordes.
Suponer que inicialmente la barra se encuentra a una temperatura que depende de la posición
mientras que en el borde derecho se aplica una fuente de calor que depende del tiempo y en el
extremo izquierdo hay una pérdida de calor, según las siguientes especificaciones:
222
u(x,t):
2
2
u u
C
tx
∂ ∂
=
∂∂
, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0
u(0,t)
5
x
∂
= −
∂
, t ≥ 0
u(1, t) = 20 + 10 sen(t), t ≥ 0
u(x, 0) = 40 x, 0 < x < 1
∆x = 0.25, ∆t = 0.1, c = 4
Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u
u(xi, tj) = ui,j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, ....
La red con los datos incluidos en los bordes inferior y derecho:
Los puntos en color amarillo, en el borde izquierdo y en el centro, son desconocidos
Usamos el esquema de diferencias finitas implícito visto anteriormente:
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
=
i,j i,j 1u u
C
t
−−
∆
, E = O(∆x)
2
+ O(∆t), ∆t < ∆x
i 1,j i,j i 1,j2
t
(u 2u u )
C( x)
+ −
∆
− +
∆
= i,j i,j 1u u −−
Definiendo λ = 2
t
c( x)
∆
∆
, la ecuación se puede escribir
i 1,j i,j i 1,j i,j 1u ( 1 2 )u u u− + −λ + − − λ + λ = − , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, . . .
Finalmente se tiene la ecuación de diferencias con los datos λ = 2 2
t 0.1
0.4
C( x) 4(0.25)
∆
= =
∆
,
Ahora la ecuación es aplicada en cada punto desconocido, incluyendo el borde izquierdo:
i 1,j i,j i 1,j i,j 10.4u 1.8u 0.4u u− + −− + =− , i = 0, 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, . . .
Para obtener la solución en cada nivel de t debe resolverse un sistema de ecuaciones lineales.
A continuación calculamos un nivel de la solución con este método:
j = 1, i = 0: 0.4u-1,1 – 1.8u0,1 + 0.4u1,1 = -u1,0 ⇒ 0.4u-1,1 – 1.8u0,1 + 0.4u1,1 = 0 (1)
i = 1: 0.4u0,1 – 1.8u1,1 + 0.4u2,1 = -u1,0 ⇒ 0.4u0,1 – 1.8u1,1 + 0.4u2,1 = -10 (2)
i = 2: 0.4u1,1 – 1.8u2,1 + 0.4u3,1 = -u2,0 ⇒ 0.4u1,1 – 1.8u2,1 + 0.4u3,1 = -20 (3)
i = 3: 0.4u2,1 – 1.8u3,1 + 0.4u4,1 = -u3,0
0.4u2,1 – 1.8u3,1 + 0.4(20.99) = -30 ⇒ 0.4u2,1 – 1.8 u3,1 = -38.4 (4)
Se tiene un sistema de cuatro ecuaciones y cinco puntos desconocidos: u-1,1, u0,1, u1,1, u2,1, u3,1
incluyendo el punto ficticio u-1,1
223
El dato adicional conocido:
u(0,t)
5
x
∂
= −
∂
es aproximado ahora mediante una fórmula de
diferencias finitas central:
0,j 1,j 1,ju u u
5,
x 2( x)
−∂ −
= = −
∂ ∆
j = 1, 2, 3, . . . , E = O(∆x)
2
De donde se obtiene u-1,j = u1,j + 5(2∆x) para sustituir en la ecuación (1) anterior:
j = 1, i = 0: 0.4u-1,1 – 1.8u0,1 + 0.4u1,1 = 0
0.4[u1,j + 5(2∆x)] -1.8u0,1 + 0.4u1,1 = 0 ⇒ -1.8u0,1 + 0.8u1,1 = -1 (1)
En notación matricial:
0,1
1,1
2,1
3,1
u1.8 0.8 0 0 1
u0.4 1.8 0.4 0 10
u0 0.4 1.8 0.4 20
u0 0 0.4 1.8 38.4
− −    
    − −    =
    − −
    
− −     
Cuya solución es
u0,1 = 5.4667, u1,1 = 11.0500, u2,1 = 19.2584, u3,1 = 25.6130
El sistema de ecuaciones lineales resultante tiene forma tridiagonal, y por lo tanto se puede
usar un algoritmo específico muy eficiente para resolverlo.
10.2.8 Instrumentación computacional
La siguiente instrumentación del método de diferencias finitas implícito permite resolver
problemas de tipo similar al ejemplo anterior. La ecuación de diferencias debe escribirse en
forma estandarizada. Se suponen conocidos los datos en los bordes: δ0 =
u(0,t)
x
∂
∂
, um, j
Para el ejemplo propuesto se tiene la ecuación de diferencias estandarizada, incluyendo la
forma especial de la ecuación para el borde izquierdo
i 1,j i,j i 1,j i,j 1u ( 1 2 )u u u− + −λ + − − λ + λ = −
(P)ui-1,j + (Q)ui,j + (R)ui+1,j = -ui,j-1, i = 1, 2, 3, . . . , m-1
λ u-1, j + (-1 - 2 λ )u0, j + λ u1, j = -u0, j-1, i = 0
λ [u1,j + δ0 (2∆x)] + (-1 - 2 λ )u0, j + λ u1, j = -u0, j-1
(-1 - 2 λ )u0, j + 2 λ u1,j = -u0, j-1 - λ δ0(2∆x)
(Q)u0, j + 2(P)u1,j = -u0, j-1 - (P)δ0(2∆x)
% Método de Diferencias Finitas implícito para una EDP
% condiciones en los bordes:
% A la izquierda una derivada
% Condición inicial y en el borde derecho variables
% Ecuación de diferencias estandarizada
% (P)ui-1,j + (Q)ui,j + (R)ui+1,j = -ui,j-1
% P,Q,R son constantes evaluadas con los datos de la EDP
clf;
m=11; % Número de puntos en x
n=50; % Número de niveles en t
der0=-5; % Derivada en el borde izquierdo
dx=0.1;
dt=0.1; % incrementos
L=1; % longitud
C=4; % dato especificado
clear x U;
x=0;
224
for i=1:m % Condición variable en el inicio
U(i)=40*x;
x = x + dx;
end
lambda=dt/(C*dx^2);
P=lambda;
Q=-1-2*lambda;
R=lambda;
hold on;
title('Curvas de distribución térmica');
xlabel('X (distancia)');
ylabel('U (temperatura)');
x=0:dx:L; % Coordenadas para el grafico
t=0;
for j=1:n
t = t + dt;
U(m) = 20 + 10*sin(t); % Condición variable en el borde derecho
U = EDPDIFPID(P, Q, R, U, der0, dx, m);
plot(x,U,'r');
pause;
end
function U = EDPDIFPID(P, Q, R, U, der0, dx, m)
% Método de Diferencias Finitas Implicito
% EDP con una derivada a la izquierda y condiciones variables
% Generación del sistema tridiagonal
clear a b c d;
for i=1:m-1
a(i)=P;
b(i)=Q;
c(i)=R;
d(i)=-1*U(i);
end
c(1)=2*P;
d(1)=d(1)-P*der0*2*dx;
d(m-1)=d(m-1)-c(m-1)*U(m);
u=tridiagonal(a,b,c,d);
U=[ u U(m)]; % Incluir dato en el extremos
Almacenar la función, el programa y ejecutarlo para obtener el gráfico siguiente
Curvas de distribución térmica para el ejemplo.
225
10.2.9 Método de diferencias finitas para resolver EDP no lineales
Si la ecuación tiene términos no lineales, se puede adaptar un método de diferencias finitas
explícito como una primera aproximación.
Ejemplo. Formule un esquema de diferencias finitas para resolver la siguiente ecuación
diferencial parcial no lineal del campo de la acústica
u(x,t):
2
2
u u u
u c
t x x
∂ ∂ ∂
=− −
∂ ∂ ∂
Se usarán las siguientes aproximaciones:
i,j i,j 1 i,ju u u
O( t)
t t
+∂ −
= + ∆
∂ ∆
i,j i 1,j i 1,j 2
u u u
O( x)
x 2( x)
+ −∂ −
= + ∆
∂ ∆
2
i,j i 1,j i,j i 1,j 2
2 2
u u 2u u
O( x)
x ( x)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
Sustituyendo en la EDP
i,j 1 i,j i 1,j i 1,j i 1,j i,j i 1,j
i,j 2
u u u u u 2u u
u c
t 2( x) ( x)
+ + − − +− − − +
=− −
∆ ∆ ∆
Se obtiene un esquema explícito de diferencias finitas que permitirá calcular cada punto en la
malla que represente al dominio de la ecuación diferencial siempre que estén previamente
definidas las condiciones en los bordes así como los parámetros c, t, x∆ ∆ . También debería
analizarse la estabilidad del método.
i 1,j i 1,j i 1,j i,j i 1,j
i,j 1 i,j i,j2
u u u 2u u
u t( u c ) u
2( x) ( x)
+ − − +
+
− − +
=∆ − − +
∆ ∆
Con error de truncamiento
2
T O( t) O( x)= ∆ + ∆

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Ecuaciones diferenciales parciales

  • 1. 212 10 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES En este capítulo se estudiará el método de diferencias finitas aplicado a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Sea u una función que depende de dos variables independientes x, y. La siguiente ecuación es la forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden: F(x, y, u, u x ∂ ∂ , u y ∂ ∂ , 2 2 u x ∂ ∂ , 2 2 u y ∂ ∂ , 2 u x y ∂ ∂ ∂ ) = 0 Una forma de clasificar estas ecuaciones es por su tipo: parabólicas, elípticas e hiperbólicas, En forma similar a las ecuaciones diferenciales ordinarias, el método numérico que usaremos consiste en sustituir las derivadas por aproximaciones de diferencias finitas. El objetivo es obtener una ecuación denominada ecuación de diferencias que pueda resolverse por métodos algebraicos. Esta sustitución discretiza el dominio con un espaciamiento que debe elegirse. 10.1 Aproximaciones de diferencias finitas Las siguientes son algunas aproximaciones de diferencias finitas de uso común para aproximar las derivadas en un punto xi, yj, siendo ∆x, ∆y el espaciamiento entre los puntos de x, y, respectivamente. El término a la derecha en cada fórmula representa el orden del error de truncamiento. i,j i 1,j i,ju u u O( x) x x +∂ − = + ∆ ∂ ∆ (8.1) i,j i,j 1 i,ju u u O( y) y y +∂ − = + ∆ ∂ ∆ (8.2) i,j i,j i,j 1u u u O( y) y y −∂ − = + ∆ ∂ ∆ (8.3) i,j i 1,j i 1,j 2 u u u O( x) x 2( x) + −∂ − = + ∆ ∂ ∆ (8.4) 0,j 0,j 1,j 2,j 2 u 3u 4u u O( x) x 2( x) ∂ − + − = + ∆ ∂ ∆ (8.5) 2 i,j i 1,j i,j i 1,j 2 2 2 u u 2u u O( x) x ( x) + −∂ − + = + ∆ ∂ ∆ (8.6) 2 i,j i,j 1 i,j i,j 1 2 2 2 u u 2u u O( y) y ( y) + −∂ − + = + ∆ ∂ ∆ (8.7) 10.2 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico Estas ecuaciones se caracterizan porque en su dominio una de las variables no está acotada. Para aplicar el método de diferencias finitas usaremos un ejemplo básico para posteriormente interpretar los resultados obtenidos.
  • 2. 213 Ejemplo. Resolver la ecuación de difusión en una dimensión con los datos suministrados u(x,t): 2 2 u u C tx ∂ ∂ = ∂∂ Suponer que u es una función que depende de x, t, en donde u representa valores de temperatura, x representa posición, mientras que t es tiempo, Esta ecuación se puede asociar al flujo de calor en una barra muy delgada aislada transversalmente y sometida en los extremos a alguna fuente de calor. La constante C depende del material de la barra. La solución representa la distribución de temperaturas en cada punto x de la barra y en cada instante t u(x, t) Ta, Tb son valores de temperatura de las fuentes de calor aplicadas en los extremo de la barra. En este primer ejemplo suponer que son valores constantes. To es la temperatura inicial y L es la longitud de la barra. Estas condiciones se pueden expresar de manera simbólica en un sistema de coordenadas u(0, t) = Ta, t ≥ 0 u(L, t) = Tb, t ≥ 0 u(x, 0) = To, 0 < x < L Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u mediante una malla con puntos en dos dimensiones en la cual el eje horizontal representa la posición xi mientras que el eje vertical representa el tiempo tj. u=u(x,t), 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0 ⇒ u(xi, tj) = ui,j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, .... El método de diferencias finitas permitirá encontrar u en estos puntos. Para el ejemplo supondremos los siguientes datos, en las unidades que correspondan Ta = 60 Tb = 40 To = 25 C = 4 L = 1 Decidimos además, para simplificar la descripción del método que ∆x = 0.25, ∆t = 0.1 Con esta información se define el dominio de ui,j. En la malla se representan los datos en los bordes y los puntos interiores que deberán calcularse: Ta Tb ToL
  • 3. 214 10.2.1 Un esquema de diferencias finitas explícito Para nuestro primer intento elegimos las fórmulas (8.6) y (8.2) para sustituir las derivadas de la ecuación diferencial 2 2 u u C tx ∂ ∂ = ∂∂ ⇒ i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ + O(∆x) 2 = i,j 1 i,ju u C t + − ∆ + O(∆t) Se obtiene la ecuación de diferencias i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ = i,j 1 i,ju u C t + − ∆ Cuyo error de truncamiento es T = O(∆x) 2 + O(∆t). Si ∆x, ∆t → 0 ⇒ T → 0 y la ecuación de diferencias tiende a la ecuación diferencial parcial (contínua) Para que esta sustitución sea consistente, es decir, que ambos términos de la ecuación tengan un error de truncamiento de orden similar, ∆t debe ser menor que ∆x, aproximadamente en un orden de magnitud. Es conveniente analizar cuales puntos están incluidos en la ecuación de diferencias. Para esto consideramos un segmento de la malla y marcamos los puntos de la ecuación. Los puntos que están incluidos en la ecuación de diferencia conforman un triángulo. Este triángulo puede colocarse en cualquier lugar de la malla asignando a i, j los valores apropiados. Por ejemplo, si i=1, j=0, la ecuación de diferencias se ubica en el extremo inferior izquierdo de la malla. Los puntos en color rojo son los datos conocidos. Los puntos en amarillo son los puntos que deben calcularse. Se puede observar que solo hay un punto desconocido en la ecuación. Por lo tanto, esta ecuación de diferencias proporciona un método explícito de cálculo. Esto significa que cada punto de la solución puede ser obtenerse en forma individual y directa cada vez que se aplica la ecuación. Despejamos el punto desconocido i,j 1u + i,j 1 i 1,j i,j i 1,j i,j2 t u (u 2u u ) u C( x) + − + ∆ = − + + ∆ Definiendo λ = 2 t C( x) ∆ ∆ ⇒ i,j 1 i 1,j i,j i 1,j i,ju (u 2u u ) u+ − +=λ − + +
  • 4. 215 La ecuación se puede escribir i,j 1 i 1,j i,j i 1,ju u (1 2 )u u+ − += λ + − λ + λ , i = 1, 2, 3; j = 0, 1, 2, . . . La forma final de la ecuación de diferencias se obtiene sustituyendo los datos: λ = 2 2 t 0.1 0.4 C( x) 4(0.25) ∆ = = ∆ i,j 1 i 1,j i,j i 1,ju 0.4u 0.2u 0.4u+ − += + + , i = 1, 2, 3; j = 0, 1, 2, . . . La solución se debe calcular sucesivamente para cada nivel tj hasta donde sea de interés analizar la solución de la ecuación diferencial. Calculemos dos niveles de la solución: j = 0, i = 1: u1,1 = 0.4u0,0 + 0.2u1,0 + 0.4u2,0 = 0.4(60) + 0.2(25) + 0.4(25) = 39 i = 2: u2,1 = 0.4u1,0 + 0.2u2,0 + 0.4u3,0 = 0.4(25) + 0.2(25) + 0.4(25) = 25 i = 3: u3,1 = 0.4u2,0 + 0.2u3,0 + 0.4u4,0 = 0.4(25) + 0.2(25) + 0.4(40) = 31 j = 1, i = 1: u1,2 = 0.4u0,1 + 0.2u1,1 + 0.4u2,1 = 0.4(60) + 0.2(39) + 0.4(25) = 41.8 i = 2: u2,2 = 0.4u1,1 + 0.2u2,1 + 0.4u3,1 = 0.4(39) + 0.2(25) + 0.4(31) = 33 i = 3: u3,2 = 0.4u2,1 + 0.2u3,1 + 0.4u4,1 = 0.4(25) + 0.2(31) + 0.4(40) = 32.2 En el siguiente gráfico se anotan los resultados para registrar el progreso del cálculo Para que la solución tenga precisión aceptable, los incrementos ∆x y ∆t deberían ser mucho más pequeños, pero esto haría que la cantidad de cálculos involucrados sea muy grande para hacerlo manualmente. 10.2.2 Estabilidad del método de diferencias finitas Existen diferentes métodos para determinar el crecimiento en el tiempo del error en el proceso de cálculo de la solución. Si el error no crece con el tiempo, el método es estable. Criterio de Von Newman Consiste en suponer que el error propagado i,jE en el tiempo en cada punto (xi ,tj) tiene forma exponencial compleja: i jk x t i,jE e β +α = , k 1= − Si se define el coeficiente de amplificación del error en iteraciones consecutivas: i j i j k x (t t) i,j 1 t k x t i,j E e M e E e β +α +∆ + α∆ β +α = = = Entonces, si | t eα∆ | ≤ 1 el error no crecerá en el tiempo y el método es estable.
  • 5. 216 Ecuación de diferencias del método explícito: i,j 1 i 1,j i,j i 1,j i,ju (u 2u u ) u+ − +=λ − + + , λ = 2 t C( x) ∆ ∆ Ecuación de los errores introducidos i j i j i j i j i jk x (t t) k (x x) t k x t k (x x) t k x t e (e 2e e ) e β +α +∆ β +∆ +α β +α β −∆ +α β +α =λ − + + Dividiendo por i jk x t e β +α ik ( x)t k x e (e 2 e ) 1β −∆α∆ β∆ =λ − + + Sustituyendo las equivalencias y simplificando k x e cos( x) ksen( x)± β∆ = β∆ ± β∆ Se obtiene t e (2cos( x) 2) 1α∆ = λ β∆ − + La estabilidad está condicionada a: | t eα∆ | ≤ 1 | (2cos( x) 2) 1| 1λ β∆ − + ≤ Sustituyendo los valores extremos de cos( x) 1, cos( x) 1β∆ = β∆ = − Se obtiene la restricción para que este método sea estable: 1 2 λ ≤ ⇒ 2 t 1 2C( x) ∆ ≤ ∆ Si se cumple esta condición el error propagado en los cálculos aritméticos no crecerá. Si se fija ∆x debería elegirse ∆t para que se mantenga la condición anterior. Desde el punto de vista del error de truncamiento ∆t debería ser aproximadamente un orden de magnitud menor que ∆x. Se puede verificar que si no se cumple esta condición, el método se hace inestable rápidamente y los resultados obtenidos son incoherentes.
  • 6. 217 10.2.3 Instrumentación computacional El siguiente programa es una instrumentación en MATLAB para resolver el ejemplo anterior y es una referencia para aplicarlo a problemas similares. Los resultados obtenidos se muestran gráficamente. Para la generalización es conveniente expresar la ecuación de diferencias en forma estándar ui, j+1 = (P) ui-1, j + (Q)ui, j + (R)ui+1,j, i = 1, 2, 3, . . . , n-1; j = 1, 2, 3, . . . En donde P, Q, R dependen de los datos de la ecuación que se desea resolver. Para el ejemplo propuesto se tiene: i,j 1 i 1,j i,j i 1,ju u (1 2 )u u+ − += λ + − λ + λ , % Ecuación de diferencias estandarizada % U(i,j+1)=(P)U(i-1,j) + (Q)U(i,j) + (R)U(i-1,j) % P,Q,R son constantes evaluadas con los datos de la EDP clf; m=11; % Número de puntos en x n=100; % Número de niveles en t Ta=60; Tb=40; % Condiciones en los bordes To=25; % Condición en el inicio dx=0.1; dt=0.01; % incrementos L=1; % longitud C=4; % dato especificado clear x U; U(1)=Ta; % Asignación inicial U(m)=Tb; for i=2:m-1 U(i)=To; end lambda = dt/(C*dx^2); P=lambda; Q=1-2*lambda; R=lambda; hold on; title('Curvas de distribución térmica'); xlabel('X (distancia)'); ylabel('U (temperatura)'); x=0:dx:L; % Coordenadas para el gráfico plot(x,U,'r'); grid on; % Distribución inicial for j=1:n U=EDPDIF(P,Q,R,U,m); if mod(j,5)==0 plot(x,U,'r'); % Para graficar curvas cada 5 niveles de t pause end end function u=EDPDIF(P,Q,R,U,m) % Solución U(x,t) de una EDP con condiciones constantes en los bordes % Método explícito de diferencias finitas u(1)=U(1); for i=2:m-1 u(i)=P*U(i-1)+Q*U(i)+R*U(i+1); end u(m)=U(m); Almacenar la función y el programa y ejecutarlo para obtener el gráfico siguiente
  • 7. 218 Curvas de distribución térmica para el ejemplo. La distribución tiende a una forma estable. La ejecución controlada con el comando pause permite visualizar el progreso de los cálculos Con esta instrumentación se puede verificar que al incrementar t∆ a un valor mayor que 0.02, ya no se cumple la condición de convergencia y el método se hace inestable. Los resultados son incoherentes 10.2.4 Un esquema de diferencias finitas implícito En un segundo intento elegimos las aproximaciones (8.6) y (8.3) para sustituir las derivadas de la ecuación diferencial 2 2 u u C tx ∂ ∂ = ∂∂ ⇒ i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ + O(∆x) 2 = i,j i,j 1u u C t −− ∆ + O(∆t) Se obtiene la ecuación de diferencias i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ = i,j i,j 1u u C t −− ∆ Su error de truncamiento es igualmente T = O(∆x) 2 + O(∆t), debiendo cumplirse que ∆t < ∆x Marcamos los puntos incluidos en esta ecuación de diferencias. Los puntos marcados conforman un triángulo de puntos invertido. Este triángulo correspondiente a los puntos incluidos en la ecuación de diferencias y puede colocarse en cualquier lugar de la malla asignando a i, j los valores apropiados. Por ejemplo, si i=1, j=1, la ecuación de diferencias se aplicada en el extremo inferior izquierdo de la malla:
  • 8. 219 Se puede observar que la ecuación de diferencias ahora contiene dos puntos desconocidos. Si la ecuación se aplica sucesivamente a los puntos i=2, j=1 e i=3, j=1, se obtendrá un sistema de tres ecuaciones lineales y su solución proporcionará el valor de los tres puntos desconocidos. Esta ecuación de diferencias proporciona entonces un método implícito para obtener la solución. i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ = i,j i,j 1u u C t −− ∆ , T = O(∆x) 2 + O(∆t), ∆t < ∆x i 1,j i,j i 1,j2 t (u 2u u ) C( x) + − ∆ − + ∆ = i,j i,j 1u u −− Definiendo λ = 2 t C( x) ∆ ∆ , la ecuación se puede escribir i 1,j i,j i 1,j i,j 1u ( 1 2 )u u u− + −λ + − − λ + λ = − , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, . . . Finalmente con los datos λ = 2 2 t 0.1 0.4 C( x) 4(0.25) ∆ = = ∆ , se obtiene la forma final i 1,j i,j i 1,j i,j 10.4u 1.8u 0.4u u− + −− + =− , i = 1, 2, 3; j = 0, 1, 2, . . . Para obtener la solución en cada nivel de tj debe resolverse un sistema de ecuaciones lineales. A continuación calculamos un nivel de la solución con este método: j = 1, i = 1: 0.4u0,1 – 1.8u1,1 + 0.4u2,1 = -u1,0 0.4(60) – 1.8u1,1 + 0.4u2,1 = -25 ⇒ -1.8 u1,1 + 0.4u2,1 = -49 i = 2: 0.4u1,1 – 1.8u2,1 + 0.4u3,1 = -u2,0 0.4u1,1 – 1.8u2,1 + 0.4u3,1 = -25 ⇒ 0.4u1,1 - 1.8 u2,1 + 0.4u3,1 = -25 i = 3: 0.4u2,1 – 1.8u3,1 + 0.4u4,1 = -u3,0 0.4u2,1 – 1.8u3,1 + 0.4(40) = -25 ⇒ 0.4u2,1 - 1.8 u3,1 = -41 Se tiene el sistema lineal 1,1 2,1 3,1 1.8 0.4 0 u 49 0.4 1.8 0.4 u 25 0 0.4 1.8 u 41  − −        − =−         − −     Cuya solución es 1,1 2,1 3,1 u 33.0287 u 26.1290 u 28.5842        =         
  • 9. 220 Un análisis de estabilidad demuestra que el método implícito no está condicionado a la magnitud de 2 t C( x) ∆ λ = ∆ como en el método explícito. 10.2.5 Instrumentación computacional La siguiente instrumentación del método de diferencias finitas implícito permite resolver problemas de tipo similar al ejemplo anterior. La ecuación de diferencias debe escribirse en forma estandarizada (P)ui-1,j + (Q)ui,j + (R)ui+1,j = -ui,j-1, i = 1, 2, 3, . . . , m-1; j = 1, 2, 3, . . . En donde P, Q, R dependen de los datos de la ecuación que se desea resolver. Para el ejemplo propuesto se tiene: i 1,j i,j i 1,j i,j 1u ( 1 2 )u u u− + −λ + − − λ + λ = − Se define una función EDPDIFPI que genera y resuelve el sistema de ecuaciones lineales en cada nivel. El sistema de ecuaciones lineales resultante tiene forma tridiagonal, y por lo tanto se puede usar un algoritmo específico muy eficiente con el nombre TRIDIAGONAL cuya instrumentación fue realizada en capítulos anteriores. % Método de Diferencias Finitas implícito para una EDP % Ecuación de diferencias estandarizada % (P)ui-1,j + (Q)ui,j + (R)ui+1,j = -ui,j-1 % P,Q,R son constantes evaluadas con los datos de la EDP clf; m=11; % Número de puntos en x n=100; % Número de niveles en t Ta=60; Tb=40; % Condiciones en los bordes To=25; % Condición en el inicio dx=0.1; dt=0.01; % incrementos L=1; % longitud C=4; % dato especificado clear x u U; U(1)=Ta; % Asignación inicial U(m)=Tb; for i=2:m-1 U(i)=To; end lambda=dt/(C*dx^2); P=lambda; Q=-1-2*lambda; R=lambda; hold on; title('Curvas de distribución térmica '); xlabel('X (distancia)'); ylabel('U (temperatura)'); x=0:dx:L; % Coordenadas para el grafico plot(x,U,'r'); % Distribución inicial for j=1:n U = EDPDIFPI(P, Q, R, U, m); if mod(j,5)==0 plot(x,U,'r'); % Para graficar curvas cada 5 niveles de t pause end end
  • 10. 221 function U = EDPDIFPI(P, Q, R, U, m) % Solución de una EDP con condiciones constantes en los bordes % Método de Diferencias Finitas Implícito % Generación del sistema tridiagonal clear a b c d; for i=1:m-2 a(i)=P; b(i)=Q; c(i)=R; d(i)=-1*U(i+1); end d(1)=d(1)-a(1)*U(1); d(m-2)=d(m-2)-c(m-2)*U(m); u=tridiagonal(a,b,c,d); U=[U(1) u U(m)]; % Incluir datos en los extremos Almacenar la función, el programa y ejecutarlo para obtener el gráfico siguiente Curvas de distribución térmica para el ejemplo. La distribución tiende a una forma estable. 10.2.6 Práctica computacional Probar los métodos explícito e implícito instrumentados computacionalmente para resolver el ejemplo anterior cambiando x∆ y t∆ para analizar la convergencia de los esquemas de diferencias finitas. Realizar pruebas para verificar la condición de estabilidad condicionada para el método explícito e incondicional para el método implícito. 10.2.7 Condiciones variables en los bordes Analizamos la ecuación anterior cambiando las condiciones inicial y en los bordes. Suponer que inicialmente la barra se encuentra a una temperatura que depende de la posición mientras que en el borde derecho se aplica una fuente de calor que depende del tiempo y en el extremo izquierdo hay una pérdida de calor, según las siguientes especificaciones:
  • 11. 222 u(x,t): 2 2 u u C tx ∂ ∂ = ∂∂ , 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0 u(0,t) 5 x ∂ = − ∂ , t ≥ 0 u(1, t) = 20 + 10 sen(t), t ≥ 0 u(x, 0) = 40 x, 0 < x < 1 ∆x = 0.25, ∆t = 0.1, c = 4 Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u u(xi, tj) = ui,j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, .... La red con los datos incluidos en los bordes inferior y derecho: Los puntos en color amarillo, en el borde izquierdo y en el centro, son desconocidos Usamos el esquema de diferencias finitas implícito visto anteriormente: i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ = i,j i,j 1u u C t −− ∆ , E = O(∆x) 2 + O(∆t), ∆t < ∆x i 1,j i,j i 1,j2 t (u 2u u ) C( x) + − ∆ − + ∆ = i,j i,j 1u u −− Definiendo λ = 2 t c( x) ∆ ∆ , la ecuación se puede escribir i 1,j i,j i 1,j i,j 1u ( 1 2 )u u u− + −λ + − − λ + λ = − , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, . . . Finalmente se tiene la ecuación de diferencias con los datos λ = 2 2 t 0.1 0.4 C( x) 4(0.25) ∆ = = ∆ , Ahora la ecuación es aplicada en cada punto desconocido, incluyendo el borde izquierdo: i 1,j i,j i 1,j i,j 10.4u 1.8u 0.4u u− + −− + =− , i = 0, 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, . . . Para obtener la solución en cada nivel de t debe resolverse un sistema de ecuaciones lineales. A continuación calculamos un nivel de la solución con este método: j = 1, i = 0: 0.4u-1,1 – 1.8u0,1 + 0.4u1,1 = -u1,0 ⇒ 0.4u-1,1 – 1.8u0,1 + 0.4u1,1 = 0 (1) i = 1: 0.4u0,1 – 1.8u1,1 + 0.4u2,1 = -u1,0 ⇒ 0.4u0,1 – 1.8u1,1 + 0.4u2,1 = -10 (2) i = 2: 0.4u1,1 – 1.8u2,1 + 0.4u3,1 = -u2,0 ⇒ 0.4u1,1 – 1.8u2,1 + 0.4u3,1 = -20 (3) i = 3: 0.4u2,1 – 1.8u3,1 + 0.4u4,1 = -u3,0 0.4u2,1 – 1.8u3,1 + 0.4(20.99) = -30 ⇒ 0.4u2,1 – 1.8 u3,1 = -38.4 (4) Se tiene un sistema de cuatro ecuaciones y cinco puntos desconocidos: u-1,1, u0,1, u1,1, u2,1, u3,1 incluyendo el punto ficticio u-1,1
  • 12. 223 El dato adicional conocido: u(0,t) 5 x ∂ = − ∂ es aproximado ahora mediante una fórmula de diferencias finitas central: 0,j 1,j 1,ju u u 5, x 2( x) −∂ − = = − ∂ ∆ j = 1, 2, 3, . . . , E = O(∆x) 2 De donde se obtiene u-1,j = u1,j + 5(2∆x) para sustituir en la ecuación (1) anterior: j = 1, i = 0: 0.4u-1,1 – 1.8u0,1 + 0.4u1,1 = 0 0.4[u1,j + 5(2∆x)] -1.8u0,1 + 0.4u1,1 = 0 ⇒ -1.8u0,1 + 0.8u1,1 = -1 (1) En notación matricial: 0,1 1,1 2,1 3,1 u1.8 0.8 0 0 1 u0.4 1.8 0.4 0 10 u0 0.4 1.8 0.4 20 u0 0 0.4 1.8 38.4 − −         − −    =     − −      − −      Cuya solución es u0,1 = 5.4667, u1,1 = 11.0500, u2,1 = 19.2584, u3,1 = 25.6130 El sistema de ecuaciones lineales resultante tiene forma tridiagonal, y por lo tanto se puede usar un algoritmo específico muy eficiente para resolverlo. 10.2.8 Instrumentación computacional La siguiente instrumentación del método de diferencias finitas implícito permite resolver problemas de tipo similar al ejemplo anterior. La ecuación de diferencias debe escribirse en forma estandarizada. Se suponen conocidos los datos en los bordes: δ0 = u(0,t) x ∂ ∂ , um, j Para el ejemplo propuesto se tiene la ecuación de diferencias estandarizada, incluyendo la forma especial de la ecuación para el borde izquierdo i 1,j i,j i 1,j i,j 1u ( 1 2 )u u u− + −λ + − − λ + λ = − (P)ui-1,j + (Q)ui,j + (R)ui+1,j = -ui,j-1, i = 1, 2, 3, . . . , m-1 λ u-1, j + (-1 - 2 λ )u0, j + λ u1, j = -u0, j-1, i = 0 λ [u1,j + δ0 (2∆x)] + (-1 - 2 λ )u0, j + λ u1, j = -u0, j-1 (-1 - 2 λ )u0, j + 2 λ u1,j = -u0, j-1 - λ δ0(2∆x) (Q)u0, j + 2(P)u1,j = -u0, j-1 - (P)δ0(2∆x) % Método de Diferencias Finitas implícito para una EDP % condiciones en los bordes: % A la izquierda una derivada % Condición inicial y en el borde derecho variables % Ecuación de diferencias estandarizada % (P)ui-1,j + (Q)ui,j + (R)ui+1,j = -ui,j-1 % P,Q,R son constantes evaluadas con los datos de la EDP clf; m=11; % Número de puntos en x n=50; % Número de niveles en t der0=-5; % Derivada en el borde izquierdo dx=0.1; dt=0.1; % incrementos L=1; % longitud C=4; % dato especificado clear x U; x=0;
  • 13. 224 for i=1:m % Condición variable en el inicio U(i)=40*x; x = x + dx; end lambda=dt/(C*dx^2); P=lambda; Q=-1-2*lambda; R=lambda; hold on; title('Curvas de distribución térmica'); xlabel('X (distancia)'); ylabel('U (temperatura)'); x=0:dx:L; % Coordenadas para el grafico t=0; for j=1:n t = t + dt; U(m) = 20 + 10*sin(t); % Condición variable en el borde derecho U = EDPDIFPID(P, Q, R, U, der0, dx, m); plot(x,U,'r'); pause; end function U = EDPDIFPID(P, Q, R, U, der0, dx, m) % Método de Diferencias Finitas Implicito % EDP con una derivada a la izquierda y condiciones variables % Generación del sistema tridiagonal clear a b c d; for i=1:m-1 a(i)=P; b(i)=Q; c(i)=R; d(i)=-1*U(i); end c(1)=2*P; d(1)=d(1)-P*der0*2*dx; d(m-1)=d(m-1)-c(m-1)*U(m); u=tridiagonal(a,b,c,d); U=[ u U(m)]; % Incluir dato en el extremos Almacenar la función, el programa y ejecutarlo para obtener el gráfico siguiente Curvas de distribución térmica para el ejemplo.
  • 14. 225 10.2.9 Método de diferencias finitas para resolver EDP no lineales Si la ecuación tiene términos no lineales, se puede adaptar un método de diferencias finitas explícito como una primera aproximación. Ejemplo. Formule un esquema de diferencias finitas para resolver la siguiente ecuación diferencial parcial no lineal del campo de la acústica u(x,t): 2 2 u u u u c t x x ∂ ∂ ∂ =− − ∂ ∂ ∂ Se usarán las siguientes aproximaciones: i,j i,j 1 i,ju u u O( t) t t +∂ − = + ∆ ∂ ∆ i,j i 1,j i 1,j 2 u u u O( x) x 2( x) + −∂ − = + ∆ ∂ ∆ 2 i,j i 1,j i,j i 1,j 2 2 2 u u 2u u O( x) x ( x) + −∂ − + = + ∆ ∂ ∆ Sustituyendo en la EDP i,j 1 i,j i 1,j i 1,j i 1,j i,j i 1,j i,j 2 u u u u u 2u u u c t 2( x) ( x) + + − − +− − − + =− − ∆ ∆ ∆ Se obtiene un esquema explícito de diferencias finitas que permitirá calcular cada punto en la malla que represente al dominio de la ecuación diferencial siempre que estén previamente definidas las condiciones en los bordes así como los parámetros c, t, x∆ ∆ . También debería analizarse la estabilidad del método. i 1,j i 1,j i 1,j i,j i 1,j i,j 1 i,j i,j2 u u u 2u u u t( u c ) u 2( x) ( x) + − − + + − − + =∆ − − + ∆ ∆ Con error de truncamiento 2 T O( t) O( x)= ∆ + ∆