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f(2,5) = (2,5)3 – 5 (2,5) + 2 = 5,125f ‘(2,5) = 3(2,5)2 – 5 = 13,75x1 = 2,5    5,125         - = 2,1272            13,75x2...
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Trabajo final metodos

  1. 1. TRABAJO COLABORATIVO N°. 1CALCULO DE ERRORES Y SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES Y ALGEBRAICAS METODOS NUMERICOS ESTUDIANTES RONALD FUNEZ RODRIGUEZ OSCAR MANUEL MARTINEZ TORRES LUIS FERNANDO QUIROZ MARTINEZ EVER LOPEZ ESPEJO FARID ANTONIO JIMENEZ VILLADIEGO GRUPO: 100401_20 TUTOR LIC. RICARDO GOMEZ NARVAÉZESCUELAS DE CIENCIAS BASICAS TEGNOLOGIAS E INGENIERIAS INGENIERIA DE SISTEMAS UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD-COROZAL 2011
  2. 2. INTRODUCCIONEn el siguiente trabajo se mostrara que en la práctica de la ingeniería y ciencias esfrecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estossistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completade un problema o al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, serequiere resolverlos en forma eficiente.Haciendo conversiones de números fraccionarios dados en decimal a binarios yviceversa se dará a conocer como los métodos numéricos que resuelven lossistemas se pueden clasificar en directos e indirectos. Los métodos directos sonaquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos. Losmétodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella enun número finito, pero no definido de pasos.La siguiente entrega pretende encontrar la solución de un sistema de ecuacioneslineales por los métodos anteriormente mencionados. Como los algoritmos de losmétodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia,se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación(personales)delos métodos directos(que son más difíciles de programar.
  3. 3. DESARROLLO DE EJERCICIOS. 1. CONVIERTA LOS SIGUIENTES NUMEROS FRACCIONARIOS DADOS EN DECIMAL A NUMERO BINARIO: a) 0.973 b) 0.356 a) 0,973 0,9732 * 0,973 = 1,946 [1,946] = 12 * 0,946 = 1,892 [1,892] = 12 * 0,892 = 1,784 [1,784] = 12 * 0,784 = 1,568 [1,568] = 12 * 0,568 = 1,136 [1,136] = 12 * 0,136 = 0,272 [0,272] = 02 * 0,272 = 0,544 [0,544] = 02 * 0,544 = 1,088 [1,088] = 12 * 0,088 = 0,176 [0,176] = 02 * 0,176 = 0,352 [0,352] = 02 * 0,352 = 0,704 [0,704] = 02 * 0,704 = 1,408 [1,408] = 1En este caso la representación es infinita, (0,973) = (0,111110010001. . . )2. b) 0,356 0,3562 * 0,356 = 0,712 [0,712] = 02 * 0,712 = 1,424 [1,424] = 12 * 0,424 = 0,848 [0,848] = 02 * 0,848 = 1,696 [1,616] = 12 * 0,696 = 1,392 [1,392] = 12 * 0,392 = 0,784 [0,784] = 02 * 0,784 = 1,568 [1,568] = 12 * 0,568 = 1,136 [1,136] = 12 * 0,136 = 0,272 [0,272] = 0
  4. 4. 2 * 0,272 = 0,544 [0,544] = 02 * 0,544 = 1,088 [1,088] = 12 * 0,088 = 0,176 [0,176] = 0En este caso la representación es infinita, (0,356) = (0,010110110010 . . . )2. 2. CONVERTIR LOS SIGUIENTES NUMEROS FRACCIONARIOS DADOS EN BINARIOS A DECIMAL: a) 0.010101 b) 0.00110011 0,010101 00,0-1+1-2+0-3+1-4+0-5+1-6 = 0x20+0x2-1+1x2-2+0x2-3+1x2-4+0x2-5+1x2-6 =0+0+ + + + = 0 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 + 0 + 0,03125 = 0,34375 0,00110011 00,0-1+0-2+1-3+1-4+0-5+0-6+1-7+1-8 = 0x20+0x2-1+0x2-2+1x2-3+1x2-4+0x2-5+0x2-6+1x2-7+1x2-8 = 0 + 0 + 0+ + +0+0+ + = 0+0+0+0,125+0,0625+0+0+0,0078125+0,0078125 = 0,2031253. Determine las raíces reales de f(x)=0,3x2 – 2x -0,51a) usando la formula cuadrática0,3x2 – 2x – 0,51 = 0
  5. 5. a = 0,3 ; b = -2 ; c =0,51 =x1 = = 6,912594585x2 = = -0,2459279188b) usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar laraíz mas grande. Emplee como valores iníciales x1 = 6 y xu = 7.f(6) = 0,3 (6)2 – 2(6) – 0,51 = -1,71 < 0f(7) = 0,3 (7)2 – 2(7) – 0,51 = 0,19 > 0xr1 =f(6,5) = 0,3 (6,5)2 – 2 (6,5) – 0,51 = - 0,835 < 0 f(6) f(6,5) f(7) - - +
  6. 6. xr3 =f(6,875) = 0,3(6,875)2 – 2(6,875) – 0,51 = -0,0803125 < 0 f(6) f(6,5) f(6,75) f(6,875) f(7) - - - - +Luego la raíz más grande es xu = 7c) xr3 – xr2 * Er3 = 100% Xr3Er3 = 6,875 – 6,75 * 100% 6,875Er3 = 1,82 %Aprox. A la raíz Error Aprox. 6,5 6,75 3,7 % 6,875 1,82 %4. Determine la raíz real de f(x) = x3 – 5x + 2. Usando el método de Newton –Raphson (tres iteraciones iniciando con x0 = 2,5).Formulaxi + 1 = xi f(xi) - f (xi)x1 = x0 f(xi) - f ‘ (x) = 3x2 - 5 f (xi)x0 = 2,5
  7. 7. f(2,5) = (2,5)3 – 5 (2,5) + 2 = 5,125f ‘(2,5) = 3(2,5)2 – 5 = 13,75x1 = 2,5 5,125 - = 2,1272 13,75x2 = x1 f(x1) - f (x1)x1 = 2,12727f (2,12727) = 0,99014f ‘(2,12727) = 8,57583x3 = x2 f(x2) - f (x2)x2 = 2,01181f (2,01181) = (2,01181)3 – 5 (2,01181) + 2 = 0,08351f ‘(2,01181) = 3 (2,01181)2 – 5 = 7,14214x3 = 2,01181 0,08351 - 7,14214x3 = 2,000125. Mediante el método de Gauss-Jordán resuelva el sistema. 10x1 + x2 – 5x3 = 1 -20x1 + 3x2 + 20x3 = 2 5x1 + 3x2 + 5x3 = 6
  8. 8. 10 1 -5 1 1 20 F1 + F2 2 2 -20 3 20 -20 3 20 -5 F1 + F1 F3 5 3 5 6 5 3 5 6 F2 + 1 1 F1 0 5 10 4 0 1 2 F2 + F2 F3 0 0 1 0 1 0 F3 + F1 0 1 2 0 1 2 -2 F3 + F3 F2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 -2 0 0 1Solución:
  9. 9. X1 = 1X2 = -2X3 =6. Dada la matriz determine para quevalores de“a” el sistema tiene solución única.El sistema seria.x1 + 2x2 – 2x3 = 0-x1 + (a-2)x2 + 2x3 = 04x1 + 8x2 + (a2 – 9)x3 = 0El sistema tiene solución única si y solo si 1 2 -2 -1 a-2 2 ≠0 4 8 a2-9Veamos para que 1 2 -2valores: -1 a-2 2 =0 4 8 a2-9
  10. 10. 1 2 -2 a-2 -1 -1 - a-2 2 = 1 2 -2 2 +(-2) a-21 8 4 a2- 4 8 8 a2-94 a2-9 9= (a-2) (a2 -9) – 16 -2(-a2 + 9 – 8) – 2 (-8 – 4a + 8)= a3 – 9a – 2a2 + 18 – 16 + 2a2 – 2 + 8a= a3 – aAsi 1 2 -2 = a3 - a -1 a-2 2 4 8 a2-9Resolvemos.a3 – a = 0a (a2 – 1) = 0a (a + 1) (a – 1) = 0a=0 ó a = -1 ó a=1 1 2 -2Por lo tanto -1 a-2 2 =0 4 8 a2-9Cuando: a = -1 ; a=0 ó a=1Luego el sistema tiene solución única si: a ≠ -1 , a ≠ 0 y a≠1

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