ECUACIONES E
INECUACIONES
N O M B R E : K A R L A T A M A Y O
KARLA TAMAYO
S E X TO S E M EST R E
P R O F ES O R A : MSC JHON ACOSTA
MSC DAVID CASTILLO

ECUACIONES
DE PRIMER
GRADO
EJEMPLO
4X + 11 = 23
Una ecuación es una igualdad
donde por lo menos hay un
número desconocido, llamado
incógnita o variable, y que se
cumple para determinado valor
numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones
lineales o de primer grado a las
igualdades algebraicas con
incógnitas cuyo exponente es 1
(elevadas a uno, que no se
escribe) resolverlas significa
encontrar el valor de las variables
con los que se cumple la
igualdad.
INCÓGNITA
Primer
membro
Segundo
miembro

PROPIEDADES DE IGUALDAD
1. Propiedad reflexiva: todo número es igual a sí mismo:
a = a.
2. Propiedad simétrica: el orden de los elementos de una
expresión no altera la igualdad:
a = b entonces b = a
3. Propiedad transitiva:
si a = b y b = c entonces a = c.
4. Propiedad de la suma y resta: si a ambos miembros de
la igualdad les sumamos o restamos la misma cantidad, la
igualdad se conserva,
Si a = b y c es un número real. entonces se cumple lo siguiente:
a + c = b + c
a – c = b – c
5. Propiedad del producto: si multiplicamos ambos miembros
de la igualdad por una misma cantidad, la igualdad se
conservar
Sea a = b y c un número real, entonces:
a (c) = b (c)
6. Propiedad de la división: si dividjmos ambos miembros de la
igualdad entre una misma cantidad distinta de cero, la
igualdad se conserva.
Sea a = b y c un número real distinto (≠) de cero, entonces:
𝑎𝑐=𝑏𝑐

FORMAS
QUE TOMA
UNA
ECUACIÓN
DE PRIMER
GRADO
a) a + x= b
donde a y b
son cualquier
número
dado.
b) ax=b
donde a y b
son cualquier
número
dado.
c) ax+b=c
donde a, b y c
son cualquier
número
dado.
d)
ax+b=cx+d
donde a, b, c
y d son
cualquier
número dado

Procedimiento general para resolver
ecuaciones enteras de primer grado
Se deben seguir los siguientes pasos:
1.- Se reconocen los miembros de la ecuación, tanto el primer miembro como el segundo
miembro, sean estos separados por la igualdad:
Primer miembro Segundo miembro
2X – 4 + 3X = 5X + 5 – 9X
2.- Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita de variable x en el primer
miembro y los que no la tengan en el segundo miembro, pero siempre con sus respectivos signos
cambiados: 2X + 3X –5X + 9X = 5 + 4
Términos que tengan la misma
variable x, con sus signos
cambiados.
Términos que no tienen
variable, pero sí un
coeficiente y a la vez con sus
signos cambiados

3.- Se simplifican los dos miembros, efectuando las operaciones necesarias:
X + 3X – 5X + 9X = 5 + 4
(2 + 3 – 5 + 9 ) X = 5 + 4
(5 – 5 +9 ) X = 9
9 X = 9
X = 9
9
X = 1
4.- Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es:
x= 1
Sumamos y restamos
los coeficientes que
tengan variable x
Se opera mediante
la suma, porque el
signo lo indica así.

ECUACIONES
DE SEGUNDO
GRADO
Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o
ecuaciones cuadráticas, aquellas que adoptan la forma típica:
ax² +bx +c
O que son deducibles a esta forma por transformaciones
algebraicas.
En (1) x representa la incógnita y los coeficientes a, b, c son
constantes.
Se supone a ‡ 0 pues, de lo contrario, la ecuación se reduciría a
otra de primer grado ( si b ‡0)

Una ecuación
cuadrática se obtiene
igualando a cero un
trinomio ( completo o
incompleto) de
segundo grado
EJEMPLOS: SON
ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO LAS SIGUIENTES

Como hemos dicho,en una ecuación de segundo grado se supone siempre a ‡ 0.
Cuando los coeficientes b ó c, o ambos,son nulos la ecuación se dice incompleta.Sin ningún
coeficiente es cero la ecuación se dice entonces completa.
También Son Ecuaciones de segundo grado la siguiente:
x (x+1)(x+3)= x³+2x-5
Ya que por transformaciones algebraicas se obtiene sucesivamente:
x³+4x²+3x=x³+2x-5
4x²+x+5=0
Que es una ecuación en forma ax² +bx +c, en esta ecuación los coeficientes valen a=4 , b=1 , c=5

Las ecuaciones
incompletas de segundo
grado se reducen a una
de las formas siguientes:
ax²+c= 0
(b=0)
ax²+bx= 0
(c=0)
ax²= 0
(b=c=0)

RESOLUCION
DE
ECUACIONES
INCOMPLETAS
Resolver la ecuación
9x²-1=0
Si se traslada el termino constante al segundo
miembro, se tiene:
Despejando x²: x²= 1 / 9
Extrayendo la raíz cuadrada: X= ± 1 / 3
La ecuación propuesta admite, pues, las dos
raÍces X1= +1/3 x2=-1/3
Comprobación:
9(±1/3)²-1=9. 1/9-1= -1=0
Cuando una ecuación de
segundo grado es incompleta,
sus soluciones o raíces se
determinan fácilmente, como
muestran los ejemplos
siguiente:
Resolver la ecuación 9x²-1=0

Método gráfico
Ejemplo
Sea la función f(x) = 2x2 – 8. encuentra las raíces reales por el
método gráfico.
Evaluamos la función en valores positivos, negativos y el cero, de la
siguiente manera:
f(—3) = 2(—3)2 — 8 = 10
f(—2) = 2(—2)2 — 8 = 0
f(—1) = 2(—1)2 — 8 = — 6
f(0) = 2(0)2 — 8 = — 8
f(1) = 2(1)2 — 8 = — 6
f(2) = 2(2)2 — 8 = 0
f(3) = 2(3)2 — 8 = 10
Este método consiste en realizar
la gráfica de la función que
resulta de igualar el polinomio
de segundo grado a f(x) y
decimos que es una función de
x; observamos que a los puntos
donde la gráfica corta el eje de
las abscisas o interseca con el
eje xx' se les llama raíces reales
o soluciones de la ecuación, o
ceros de la función.

Se localizan los puntos y se unen con segmentos de recta, con
lo que se obtiene una aproximación a la gráfica de la
ecuación.

Por
factorización
Resuelve la ecuación: x2 – 2x + 1 = 0.
Cuando la ecuación es un trinomio de la forma x2
+ bx + c = 0, factorizable en números enteros. se
puede resolver de la siguiente manera.
x2 + 7x + 12 = 0
Ejemplo
Solución Factoriza: (x + 3)(x + 4) = 0
Utiliza la propiedad del cero:
(x + 3)=0 y/o (x + 4)=0
De donde se tienen las soluciones:
x= – 3 y x = – 4
Para resolver una
ecuación completa se
puede factorizar el
trinomio o utilizar la
fórmula general.
Si la ecuación a resolver
es un trinomio cuadrado
perfecto

Cuando la ecuación es un trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0, factorizable en
números enteros, se resuelve de la siguiente manera
8x2 + 22x + 15= 0
Ejemplo
Solución:
Factoriza: (2x + 3)(4x + 5) = 0
Utiliza la propiedad del cero:
(2x + 3) = 0 y/o (4x + 5) = 0
De donde se tienen las soluciones:
x =−32 y x = −54

Por la Formula
General
𝑥=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2
Ejemplo
Encuentra las soluciones de la ecuación 3x2 – 5x - 2 = 0
Solución
Primero se obtienen los valores de a, b y c, que son,
respectivamente, los coeficientes de la ecuación de segundo
grado.
a = 3 b = – 5 c = – 2
Tenga cuidado de los signos del coeficiente.
Se sustituyen en la fórmula general: 𝑥=−𝑏 ±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎
𝑥=−(−5) ±√(−5)2−4(3)(−2)2(3)
Se realizan las operaciones: 𝑥=5 ±√25+246 𝑥=5 ±√496
Tenemos dos soluciones: 𝑥1=5+76=126=2
𝑥2=5−76=−26=−13
Esta ecuación se conoce como
la fórmula general para
resolver ecuaciones de
segundo grado. Ésta sólo tiene
sentido cuando el
discriminante b2 – 4ac es
mayor o igual que cero, en
caso de ser negativo las
soluciones son números
complejos.