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ECUACIONES DIFERENCIALES DE
VARIABLES SEPARABLES
DEFINICION: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
de la forma:
y´ = F (x, y )
se dice de Variables Separables si es posible factorizar F (x, y ) en
la forma:
F (x, y) = f ( x ) · g ( y )
Una EDO de variables separables puede resolverse usando la
siguiente estrategia:
- Procedimiento: Variables Separables
- Entrada: Una EDO en la forma y´ = F (x, y )
- Salida: La solución de la ED.
Paso I: Factorizar el segundo miembro.
Factorizar F (x, y) = f ( x ) · g ( y ), si tal factorización no
es posible, se concluye que la ED no es de variables
separables y el procedimiento no continua.
Paso II: Separar las variables
Hacer álgebra para poner variables diferentes en lados
diferentes:
Paso III: Integrar
Integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos:
o simplemente:
Paso IV: Despejar y Opcional
Debido a que y representa la función incógnita a determinar,
lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como
solución una expresión de la forma:
y = Expresión en x
En caso que este despeje sea posible, se dice que la solución
está dada en forma explícita, en caso contrario (cuando no
fue posible despejar y) se dice que la solución está dada en
forma implícita.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: ( GUÍA ALED, PÁGINA 16-EJERCICIO 2)
Sea la ecuación diferencial
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟖𝒙 𝟑
𝒚 𝟐
a) Encuentre la solución general b) Encuentre la solución particular
que verifica 𝒚(2)=3.
Separamos las variables :
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟖𝒙 𝟑
𝒚 𝟐
y(2) = 3
donde obtenemos que:
x0 = 2 , y0 = 3
𝒅𝒚
𝒚 𝟐= 𝟖𝒙 𝟑
𝒅𝒙
reemplazando x0 y y0 en la solución general:
𝒚−𝟐
𝒅𝒚 = 𝟖𝒙 𝟑
𝒅𝒙
Integramos: -
1
𝒚
= 𝟐𝒙 𝟒
+ 𝐶
𝒚−𝟐
𝒅𝒚= 𝟖𝒙 𝟑
𝒅𝒙 tenemos que :
Luego tenemos: C = -
93
𝟑
-
1
𝒚
= 𝟐𝒙 𝟒
+ 𝐶 por lo tanto la ecuación particular es:
-
1
𝒚
= 𝟐𝒙 𝟒
−
93
𝟑
ECUACIONES DIFERENCIABLES REDUCIBLES A VARIABLES
SEPARABLES
En muchas ocasiones no es posible reparar las variables de
una E.D. directamente. En este caso se puede realizar un
cambio de variable para llegar a convertir la E.D. en una de
variables separables.
Por ejemplo la E.D.
No es de variables separables (las variables no pueden separarse
de manera inmediata). Pero con el cambio de variable
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝒖 obtenemos la E.D.
Que es una de variables separables y puede ser resuelta por el
método anterior.
METODOS DE SOLUCIÓN
• Escoger un cambio adecuado de variables. La siguiente tabla
puede ayudar a escoger el cambio:
• Formar la nueva E.D. con una de las variables originales y la nueva
variable.
Ejemplo 1: Resuelva la E.D.
Ejemplo2: Resuelva la E.D.(GUÍA ALED,PÁGINA18-EJERCICIO 2F)
(𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒚 𝟑) 𝒅𝒚 − 𝒙𝒅𝒙 = 𝟎
Por cambio de variables:
𝒚= u𝒙 u=
𝒚
𝒙
𝒅𝒚 = 𝒙𝒅u +𝒖𝒅𝒙
reemplazando:
𝒙 𝟐(u𝒙) +(u𝒙)
𝟑
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Obtenemos:
𝒙 𝟒(u + 𝒖 𝟑)𝒅u +𝒙 𝟐(u +𝒖 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟎
−𝒙−𝟑 𝒅𝒙 = 𝒖−𝟐 𝒅𝒖
Finalmente la solución es :
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𝟐𝒙2 = −
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+ C
1
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𝒙
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  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES DEFINICION: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma: y´ = F (x, y ) se dice de Variables Separables si es posible factorizar F (x, y ) en la forma: F (x, y) = f ( x ) · g ( y ) Una EDO de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia: - Procedimiento: Variables Separables - Entrada: Una EDO en la forma y´ = F (x, y ) - Salida: La solución de la ED.
  • 2. Paso I: Factorizar el segundo miembro. Factorizar F (x, y) = f ( x ) · g ( y ), si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento no continua. Paso II: Separar las variables Hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes:
  • 3. Paso III: Integrar Integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos: o simplemente:
  • 4. Paso IV: Despejar y Opcional Debido a que y representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la forma: y = Expresión en x En caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma explícita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar y) se dice que la solución está dada en forma implícita.
  • 6.
  • 7. Ejemplo 2: ( GUÍA ALED, PÁGINA 16-EJERCICIO 2) Sea la ecuación diferencial 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟖𝒙 𝟑 𝒚 𝟐 a) Encuentre la solución general b) Encuentre la solución particular que verifica 𝒚(2)=3. Separamos las variables : 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟖𝒙 𝟑 𝒚 𝟐 y(2) = 3 donde obtenemos que: x0 = 2 , y0 = 3 𝒅𝒚 𝒚 𝟐= 𝟖𝒙 𝟑 𝒅𝒙 reemplazando x0 y y0 en la solución general: 𝒚−𝟐 𝒅𝒚 = 𝟖𝒙 𝟑 𝒅𝒙 Integramos: - 1 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟒 + 𝐶 𝒚−𝟐 𝒅𝒚= 𝟖𝒙 𝟑 𝒅𝒙 tenemos que : Luego tenemos: C = - 93 𝟑 - 1 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟒 + 𝐶 por lo tanto la ecuación particular es: - 1 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟒 − 93 𝟑
  • 8. ECUACIONES DIFERENCIABLES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES En muchas ocasiones no es posible reparar las variables de una E.D. directamente. En este caso se puede realizar un cambio de variable para llegar a convertir la E.D. en una de variables separables. Por ejemplo la E.D. No es de variables separables (las variables no pueden separarse de manera inmediata). Pero con el cambio de variable 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝒖 obtenemos la E.D. Que es una de variables separables y puede ser resuelta por el método anterior.
  • 9. METODOS DE SOLUCIÓN • Escoger un cambio adecuado de variables. La siguiente tabla puede ayudar a escoger el cambio: • Formar la nueva E.D. con una de las variables originales y la nueva variable.
  • 11. Ejemplo2: Resuelva la E.D.(GUÍA ALED,PÁGINA18-EJERCICIO 2F) (𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒚 𝟑) 𝒅𝒚 − 𝒙𝒅𝒙 = 𝟎 Por cambio de variables: 𝒚= u𝒙 u= 𝒚 𝒙 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅u +𝒖𝒅𝒙 reemplazando: 𝒙 𝟐(u𝒙) +(u𝒙) 𝟑 (𝒙𝒅u +𝒖𝒅𝒙) − 𝒙𝒅𝒙 = 𝟎 Obtenemos: 𝒙 𝟒(u + 𝒖 𝟑)𝒅u +𝒙 𝟐(u +𝒖 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟎 −𝒙−𝟑 𝒅𝒙 = 𝒖−𝟐 𝒅𝒖 Finalmente la solución es : 1 𝟐𝒙2 = − 1 𝒖 + C 1 𝟐𝒙2 = − 𝒙 𝒚 + C