ejericicio con variables resuelto por el método de Lagrangeano usadando hessiano Orlado

1. ℒ = 𝐿2
+ 𝑐2
+ 𝑅2
− 𝜆[𝐿 + 𝑐 + 𝑅 + 6] − 𝜇[𝐿 − 𝑐 − 𝑅 − 1]
Paso 1: Derivadas parciales
𝜕ℒ
𝜕𝐿
= 2𝐿 − 𝜆 − 𝜇 = 0 (1)
𝜕ℒ
𝜕𝑐
= 2𝑐 − 𝜆 + 𝜇 = 0 (2)
𝜕ℒ
𝜕𝑅
= 2𝑅 − 𝜆 + 𝜇 = 0 (3)
𝜕ℒ
𝜕𝜆
= 𝐿 + 𝑐 + 𝑅 + 6 = 0
𝜕ℒ
𝜕𝜇
= 𝐿 − 𝑐 − 𝑅 − 1 = 0
Paso 2: Igualar y despejar
(1) + (2)
2𝐿 + 2𝑐 − 2𝜆 = 0
𝐿 + 𝑐 = 𝜆
(2) = (3)
2𝑐 − 𝜆 + 𝜇 = 2𝑅 − 𝜆 + 𝜇
𝑐 = 𝑅
(4)
𝜆 + 𝑅 = −6
𝝀 = −𝟔 − 𝑹
(5)
𝜆 − 𝑐 − 𝑐 − 𝑐 = 1
𝜆 − 3𝑐 = 1
𝝀 = 𝟏 + 𝟑𝒄
(6)
−𝟔 − 𝑹 = 𝟏 + 𝟑𝑹
−7 = 4𝑅
𝑅 = −
7
4
𝑐 = −
7
4
𝝀 = 𝟏 + 𝟑 (−
𝟕
𝟒
) = −
𝟏𝟕
𝟒

2. 𝐿 = 𝜆 − 𝑐
𝐿 = −
17
4
+
7
4
= −
10
4
= −
𝟓
𝟐
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 (3)
𝝁 = 2𝐿 − 𝜆 = 2 (−
𝟓
𝟐
) +
17
4
= −
3
4
Paso 3: Soluciones
(𝐿∗
, 𝑐∗
, 𝑅∗
, 𝜆∗
, 𝜇∗) = (−
5
2
, −
7
4
, −
7
4
, −
17
4
, −
3
4
)
Paso 4: Condiciones de segundo orden
| 𝐻| =
|
|
0 0 𝑔1
1
𝑔2
1
𝑔3
1
0 0 𝑔1
2
𝑔2
2
𝑔3
2
𝑔1
1
𝑔2
2
𝑓𝐿𝐿 𝑓𝐿𝑐 𝑓𝐿𝑅
𝑔2
1
𝑔2
2
𝑓𝑐𝐿 𝑓𝑐 𝑐 𝑓𝑐𝑅
𝑔3
1
𝑔3
2
𝑓𝑅𝐿 𝑓𝑅𝑐 𝑓𝑅𝑅
|
|
𝑔1
= 𝐿 + 𝑐 + 𝑅 = −6
𝑔2
= 𝐿 − 𝑐 − 𝑅 = 1
𝑔 𝐿
1
= 1; 𝑔 𝑐
1
= 1; 𝑔 𝑅
1
= 1
𝑔 𝐿
2
= 1; 𝑔 𝑐
2 = −1; 𝑔 𝑅
2
= −1
𝑓𝐿𝐿 = 2; 𝑓𝑐𝑐 = 2; 𝑓𝑅𝑅 = 2
𝑓𝐿𝑐 = 0; 𝑓𝐿𝑅 = 0; 𝑓𝑐𝑅 = 0
| 𝐻| = |
|
0 0 1 1 1
0 0 1 −1 −1
1 1 2 0 0
1 −1 0 2 0
1 −1 0 0 2
|
| = 16
Min (−1) 𝑚
= (−1)2
= +𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑧∗
= (−
5
2
)
2
+ (−
7
4
)
2
+ (−
7
4
)
2
=
99
8
Solución:
(𝑧∗
, 𝑐∗
, 𝑅∗
, 𝜆∗
, 𝜇∗) = (
99
8
, −
5
2
, −
7
4
, −
7
4
, −
17
4
, −
3
4
)