Asignación Estructuras Discretas I Proposiciones Logicas

1. PROPOSICIONES
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE- RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
PROPOSICIONES
LÓGICAS
Autor: Luis Serrano
Docente: Domingo Méndez
Asignatura: Estructuras Discretas I
Cumana Edo Sucre
Autor: Luis Serrano
Docente: Domingo Méndez
Asignatura: Estructuras Discretas I

2. Proposiciones lógicas
Cuando hablamos en nuestro lenguaje diario usamos proposiciones simples
(oraciones) que constan de sujeto y predicado. Cuando adquirimos mayor familiaridad con el
lenguaje empezamos a usar enunciados compuestos formados por varias proposiciones
simples.
Algo similar sucede con el lenguaje matemático donde los enunciados pueden ser
simples o compuestos, es decir cuando se utiliza un conector para unir dos proposiciones
simples y así dar origen a una proposición compuesta.
Las proposiciones son el lenguaje formal de la lógica simbólica por el cual están regidas
todas las leyes de esta matemática que utiliza la simbología como su principal fuente de
estudio. En si las proposiciones son oraciones simples o matemáticas en el cual tiene sentido
establecer un valor de verdad o falsedad. Es decir una proposición puede ser verdadera o falsa
y no ambas a la vez. Y por lo tanto una oración que no tenga sentido o carezca de valor no será
considerada una proposición.
Las proposiciones la simbolizaremos por las letras p, q, r, s etc, las cuales por separado
representa proposiciones simples, sin embargo también se pueden formar combinaciones
entre proposiciones simples para formar una compuesta, para ello es necesario hacer uso de
los diferentes conectores lógicos que permitan generar una proposición compuesta que tenga
sentido lógico, a la cual será posible asignar un valor de verdad
En cuanto los conectivos lógicos se refiere, existen diferentes tipos: conjunción
disyunción, negación, condicional, bicondicional.
Conjunción: sean p y q dos proposiciones simples cuales quiera, entonces podemos
formar una nueva proposición utilizando la conectiva “y”, la cual se simboliza (^)
La proposición “p ^ q” que se lee “p y q” se llama conjunción de las proposiciones p y
q. Como proposición (p ^ q) debe ser verdadera o falsa. La proposición “p ^q” será verdadera
cuando ambas proposiciones p y q sean ambas verdadera en caso contrario será falsa la
proposición (conjunción).
Disyunción: sean p y q dos proposiciones simples cuales quiera, entonces podemos
formar una nueva proposición utilizando la conectiva “o”, la cual se simboliza (v)

3. La proposición “p v q” que se lee “p o q” se llama Disyunción de las proposiciones p o
q. Como proposición (p v q) debe ser verdadera o falsa. La proposición “p v q” será verdadera
cuando al menos una de las proposiciones p o q sea verdadera y será falsa cuando ambas
proposiciones sean falsas.
Negación: si p es una proposición, entonces una de las proposiciones más simple q se
pueden formar a partir de p es la negación de p la cual se simboliza ̴p, la cual se lee (no p).
El valor de verdad de la proposición ̴p es el contrario de la proposición p, es decir su
negación.
Condicional: esta conectiva es fundamental en el estudio de las matemáticas,
corresponde a la expresión si… entonces… la cual se simboliza por (→)
Ejemplo: si el esta brillando entonces José esta pescando
P: si el sol esta brillando.
q: José esta pescando
Conectiva (→): entonces
En forma simbólica se escribe p → q
La implicación o condicional se pude leer de varias maneras
a) Si p entonces q
b) q es necesario para p
c) p es suficiente para q
d) p solamente si q
e) p implica q
La proposición p → q será falsa solo cuando el consecuente (q) sea falso, en todos los
demás casos la proposición será verdadera.
Bicondicional: sean p y q dos proposiciones entonces la bicondicional es
una proposición que tiene una doble condicionalidad, fijada por las fórmulas que relaciona de
manera binaria. En el lenguaje coloquial, la idea está asociada a la expresión “si y solo si” y se
simboliza de la siguiente forma (p ↔ q) o también puede ser simbolizado de la siguiente
manera {(p → q) ^ (q → p)} esta segunda expresión que representa una conjunción entre dos
proposiciones compuesta por lo q el valor de verdad de esta proposición será verdadera,

4. cuando las proposiciones (p → q) y (q → p) son verdaderas en caso contrario será falsa la
bicondicional.
Sin embargo también decimos q la bicondicional (p ↔ q) será verdadera cuando las
proposiciones p y q tengan el mismo valor de verdad en caso contrario la proposición será
falsa.
Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables
proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan estas formas proposicionales se
representan con las letras mayúsculas del alfabeto español. Las formas proposicionales no
tienen valor de verdad conocido y por lo tanto, no serán consideradas proposicionales si cada
variable proposicional se convierte en una proposición. Si reemplazamos a las variables
proposicionales por proposición verdadera o falsa el número de proposición que se generan es
2 siendo el número de variables proposicionales. Las formas proposicionales pueden ser
conectadas con operadores lógicos para formar nuevas proposicionales. Dadas A y B, los
símbolos ~A, (A ^ B), (A v B), (A→B), (A↔B) representan nuevas formas proposicionales.
A continuación se presentan las leyes del algebra proposicional
EQUIVALENCIA NOMBRE DE LA LEY
~ ( ~P )↔Q LEY DE DOBLE NEGACIÓN
( P ^ Q )↔( Q ^ P )
( P v Q )↔ ( Q v P )
LEY CONMUTATIVA
[ P ^ ( Q ^ R ) ] ↔ [ ( P ^ Q ) ^ R ]
[ P v ( Q v R ) ] ↔ [ ( P v Q ) v R ]
LEY ASOCIATIVA
(~ P v ~ Q) ↔ ~ ( P v Q)
(~ P ^ ~ Q) ↔ ~ ( P ^ Q)
LEY DE MORGAN
[ P ^ ( Q v R ) ] ↔ [ ( P ^ Q ) v ( P ^ R
) ] [ P v ( Q ^ R ) ] ↔
[ ( P v Q ) ^ ( P v R ) ]
LEY DISTRIBUTIVA
Si T es verdadera entonces [ P ^ T ] ↔ P
Si F es falsa entonces [ P v F ] ↔ P
LEY DE IDENTIDAD
( P ^ P ) ↔ P
( P v P ) ↔ P
LEY DE IDEMPOTENCIA

5. ( P v T ) ↔ T
( P ^ F ) ↔ F
LEY DE DOMINACION
Ningún resultado en matemáticas se puede considerar valido, hasta tanto no
sea demostrado de manera formal. La solución de un problema debe pasar a través del
tamiz indefectible de la lógica, si se quiere elevar a la categoría de un hecho verdadero.
Una pequeña falla o argumento erróneo en el proceso de demostración anula toda
posibilidad de éxito en el paso de las hipótesis hacia la tesis.
Las demostraciones son importantes para garantizar la validez de los teoremas de la
matemática, aparte del placer estético que nos proporcionan. Al quedar demostrada una
fórmula, ella se convierte en una herramienta confiable susceptible de aplicaciones en otras
ciencias. Pensemos en lo que sucedería si los ingenieros o arquitectos usarán fórmulas
erróneas en sus proyectos. Los edificios se derrumbarían, los trenes no podrían moverse, los
aviones no volarían,...etc.
Existen diferentes tipos de demostración dentro de las cuales podemos mencionar las
siguientes:
Demostración Directa
Una demostración directa es aquella en la cual se aceptan las hipótesis como verdades
y a partir de ellas se deduce la veracidad de la tesis mediante un proceso lógico deductivo.
P ^ (p → q) → q
A) Si a es múltiplo de 3 entonces a² es múltiplo de 3
a² = 3 n Entonces a² = (3 n)² = 9 n²
= 3 (3 n²)
= 3 L
Entonces a² es múltiplo de 3

6. B) Demostrar que si a y b son números pares entonces a + b es par
a = 2n y b = 2m entonces
a + b = 2n + 2m = 2 (n + m) = 2 k
Demostración por Contrareciproco
Es aquella ley lógica, formalizada que establece que la negación de un consecuente
implica la negación de su antecedente. Es decir, si una primera premisa implica una segunda
premisa, se puede concluir que la negación de la segunda premisa implica la negación de
la primera premisa. En consecuencia, la implicación original y su contrarreciproco son
equivalentes.
(p → q) ↔ ̴q → ̴p
A) Demostrar que si a² es par entonces a es par
p → q
a es impar, entonces a = 2n + 1
a² = (2 n + 1)² = 4n² + 1
= 2 (n² + 2n) + 1
= 2 L + 1
B) Demostrar que si a + c ˂ b + c Entonces a ˂ b
Demostración por contrareciproco:
Supongamos que a ≥ b Entonces a – b ≥ 0
Sea c un número real entonces a + c – c – b ≥ 0
a + c – (c + b) ≥ 0
a + c ≥ b + c
b + c ≤ a + c

7. ̴p
̴p
p
p
p
̴q
q
q
A= ̴p ^ ̴q
B= p v q C= [q ^ (p v ̴p)]
(A v B) ^ (p v C)
[( ̴p ^ ̴q) v (p v q)] ^ {p v [q ^ (p v ̴p)]}
RED DE CIRCUITOS LOGICOS DE UNA FORMA PROPOSICIONAL