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Vol. 3 No. 3
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TÉCNICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LA
EDUCACIÓN PRIMARIA.
TECHNIQUES FOR SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS IN PRIMARY
EDUCATION.
Autores: ¹Enrique Guerrero Cortés, ²Humberto Aladro Bermúdez, y ³Azucena del Roció
Mendoza García
²ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-8810-4178
¹E-mail de contacto: eguerreroc@udg.co.cu
²E-mail de contacto: haladrob@udg.co.cu
Articulo recibido: 14 de Enero del 2022
Articulo revisado: 27 de Enero del 2022
Articulo aprobado: 26 de Febrero del 2022
¹Profesor del Departamento Educación Primaria. Universidad de Granma, (Cuba). Máster en Ciencias de la Educación
²Profesor del Departamento Educación Primaria. Universidad de Granma, (Cuba). Licenciado en Geografía.
³Licenciada en Ciencias de la Educación mención Educación Básica egresada de la Universidad Estatal de Milagro (Ecuador).
Resumen
La investigación refiere una problemática de
prioridad en los diferentes contextos
educativos y una situación típica de la
enseñanza de la Matemática por constituir nodo
cognitivo básico en la formación matemática
general. Ofrece información detallada sobre la
resolución de problemas y el empleo de la
modelación como técnica en la solución de los
mismos, se emplearon métodos del nivel
empírico para recopilar la información y la
modelación como método teórico para elaborar
los problemas que se resuelven, utilizando la
modelación como técnica, su importancia
radica en ofrecer diferentes tipos de modelos
que favorecen el proceso de solución de un
problema.
Palabras claves: Modelación, resolución de
problemas, Educación Primaria.
Abstract
The research refers to a problem of priority in
the different educational contexts and a typical
situation of the teaching of Mathematics for
constituting a basic cognitive node in general
mathematical training. It offers detailed
information on problem solving and the use of
modeling as a technique in solving them,
empirical level methods were used to collect
information and modeling as a theoretical
method to develop the problems that are
solved, using modeling. As a technique, its
importance lies in offering different types of
models that favor the process of solving a
problem.
Keywords: Modeling, problem solving,
Primary Education.
Sumário
A pesquisa refere-se a um problema prioritário
nos diferentes contextos educacionais e a uma
situação típica do ensino de Matemática por
constituir um nó cognitivo básico na formação
matemática geral. Oferece informações
detalhadas sobre a resolução de problemas e o
uso da modelagem como técnica para resolvê-
los, métodos de nível empírico foram usados
para coletar informações e modelagem como
método teórico para desenvolver os problemas
que são resolvidos, usando modelagem.
consiste em oferecer diferentes tipos de
modelos que favorecem o processo de resolução
de um problema.
Palavras-chave: Modelagem, resolução de
problemas, Ensino Fundamental.
Introducción
La resolución de problemas es una problemática
no resuelta en su totalidad en los momentos
actuales, por lo que constituye una prioridad en
la enseñanza de la Matemática en los diferentes
contextos educativos, investigadores han
realizado trabajos relacionados con el tema,
entre los que se destacan Rizo, Cabrera (1996),
Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378)
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Labarrere, Sarduy (1994) en el nivel primario
referida al estudio de las dificultades de los
niños y niñas en la resolución de problemas,
sustentada en el enfoque histórico-cultural Para
la resolución de problemas establecen un
programa heurístico general.
La resolución de problemas como objetivo de
enseñanza en la Matemática ha encauzado los
esfuerzos de los educadores hacia incrementar
la cantidad de problemas de aplicación en todas
las asignaturas y en la selección de problemas y
su aplicación, para lograr o perfeccionar la
articulación interdisciplinaria.
Estos esfuerzos se han concentrado en la
elevación del rendimiento de los estudiantes
relacionado con la resolución de problemas
como situación típica de la enseñanza de la
Matemática, para ello se han utilizado mejor los
libros de texto y se tienen elaboradas
colecciones de ejercicios extraídos de las
materias específicas de cada carrera. Esto
constituye un paso de avance pues
anteriormente se daba más atención al
desarrollo de habilidades de cálculo. No
obstante, no se han preparado suficientemente a
los escolares para enfrentar la resolución de
problemas empleando modelos, los que
permiten reproducir las relaciones
fundamentales que se establecen en el
enunciado del problema y al mismo tiempo se
convierten en recursos para encontrar la vía de
solución. La mayor dificultad de los problemas
presentados a los escolares radica en la
modelación de los mismos, buscando “nuevos”
campos de aplicación respecto a los clásicos
problemas de los libros de texto.
Luis Campistrous Pérez (1996) y Celia Rizo
Cabrera (1996) abordan la importancia de la
resolución de problemas para el desarrollo del
escolar primario, donde plantean que está
determinada por sus funciones en el proceso de
enseñanza aprendizaje, los problemas tienen
función cognoscitiva, desarrolladora, educativa
y de control.
Schoenfeld. A H (1991) refiere que la
responsabilidad fundamental del maestro de
matemática es enseñar a los alumnos a pensar y
razonar e interpretar modelos que conduzcan a
la resolución de problemas.
Resultados aportados por la aplicación de
métodos teóricos como la observación, visitas a
clases y la aplicación de instrumentos
evaluativos han permitido constatar que
persisten dificultades en la resolución de
problemas entre las que se desatacan.
➢ Insuficiente aplicación de la modelación
como técnica de solución de un problema en
la práctica escolar, la que tiene como causa
esencial la falta de entrenamiento que realiza
el docente con sus alumnos para solucionar
el problema.
➢ Es limitado el empleo por parte de los
escolares de los medios matemáticos
necesarios que se implican en el proceso de
solución de un problema, lo que tiene su
causa en el bajo nivel de conocimientos
sobre conceptos, teoremas, relaciones,
procedimientos entre otros.
➢ Es muy limitado el desarrollo de habilidades
en los escolares que se implican en la
resolución de problemas entre ellas la
interpretación del problema y su
razonamiento, a partir de la modelación, el
proceder para su solución teniendo en cuenta
las exigencias del problema, lo que tiene
como causa esencial la falta de
sistematización en la operacionalización de
la habilidad.
➢ La estimulación es indirecta, mediatizada,
guiada por la acción del maestro que por lo
general enseña cómo se encuentra la
solución de un problema específico, lo que
Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378)
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conduce al pobre razonamiento por parte de
los alumnos para encontrar por ellos mismos
las posibles vías de solución.
➢ Los problemas se utilizan en función de
habilidades de cálculo y no como objetos de
enseñanza en sí mismos. Por otra parte, no se
enseñan técnicas de trabajo que pueden ser
útiles para resolver el problema, lo que limita
el desempeño de los escolares.
Teniendo en cuenta estas dificultades los
autores de este material ofrecen elementos
teóricos y prácticos relativos a varis tipos de
modelos que se emplean en la enseñanza de la
matemática para resolver problemas.
El empleo de técnicas de modelación para la
solución de problemas matemáticos no solo
permite reproducir las relaciones fundamentales
que se establecen en el enunciado del problema,
sino además permiten encontrar las vías de
solución, Rizo Cabrera y Campistrous Pérez
(1996) plantean que la modelación es una
capacidad muy importante en la modelación del
problema porque la representación de las
relaciones que se dan en el problema, mediante
esquemas gráficos, ayudan a la comprensión,
permiten a los alumnos hacer visibles los
elementos que componen el enunciado y las
relaciones que se establecen entre ellos y en
muchos casos descubrir la vía de solución.
Desarrollo
La modelación como técnica de resolución de
un problema.
Hernández (1995) refiere que “para comprender
los procesos que intervienen en la resolución de
problemas, resulta importante investigar las
características de las estructuras del
conocimiento y su organización, como
resultado de la experiencia y del aprendizaje la
idea nos sugiere estimular el establecimiento de
estructuras modificables de información en los
estudiantes y, además entrenarlos en la
dinámica de enriquecer y recuperar el contenido
de estas estructuras”.
Más adelante aclara que
“cuando nos referimos a la organización del
conocimiento, no nos referimos sólo a la
posibilidad que se desarrolla en el estudiante de
representarse el sistema conceptual
determinado, sino de recuperar esa información
para aplicarla en problemas o tareas concretas
que requieran no sólo una operatoria, sino
conexiones inteligentes con otra información
acumulada dentro de ese sistema conceptual o
fuera de él” Hernández (1995, pp.60)
Así, Hernández (1995) introduce la idea de que
“los nodos cognitivos son como un recurso
didáctico que contribuye a organizar el
conocimiento de los estudiantes”.
“El Nodo Cognitivo es un punto de
acumulación de información en torno a un
concepto o a una habilidad determinada. Es
información que se establece de manera
consciente por el profesor en el estudiante y se
hace perdurable, toda vez que es activable: para
ser aplicado, para ser modificado (enriquecido
o transformado), para ser recuperado, para
conectarse con otro nodo”.
Continúa diciendo.
“No se trata sólo de que el profesor haga las
conexiones matemáticas o induzca a una
organización del conocimiento, se trata de
dinamizar esas estructuras (...) Se trata de
mantener un diálogo permanente del profesor
con los estudiantes y entre los estudiantes”
Los nodos cognitivos constituyen núcleos
básicos del conocimiento en este caso se refriere
al conocimiento básico del escolar para la
formación matemática general.
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Entre las características que constituyen
indicadores de la calidad de la asimilación se
encuentran: la forma, el dominio, la conciencia,
la generalización, la solidez, etc. Para ello,
partiendo de un momento inicial de motivación,
el cual facilita el aprendizaje, el escolar debería
elaborar de forma independiente bases de
orientación completas y generalizadas para las
acciones a asimilar.
Estas deberían transitar por determinadas etapas
en las cuales irían evolucionando las
características citadas hasta los niveles
deseados. Así, una acción transcurre, según su
forma, por los planos material, verbal y mental
y se convierte en acción mental cuando el sujeto
no necesita de apoyo externo para la
orientación, ejecución y control (lo que no
equivale a que no se auxilie de determinados
recursos heurísticos e instrumentos de cálculo),
pues ya la ha asimilado y almacenado como
información en su mente de determinado modo.
La acción asimilada, indica un determinado
nivel de dominio de la misma y por ende de una
determinada automatización a la hora de actuar.
Asociada a ese proceso de automatización se
lleva a cabo un proceso de reducción consciente
de su aparato operatorio, lo que posibilita que se
aprehenda, de modo eficiente en la mente, como
acción dominada por el sujeto, o sea, como
habilidad.
La generalización es un indicador de la
posibilidad que tiene la persona de ejecutar
tareas o resolver problemas en una esfera
determinada respecto a las teóricamente
posibles, o sea, indica una relación entre las
posibilidades subjetivas y objetivas de
actuación y la misma depende de diferentes
factores, entre los que están la forma en que se
asimilen los nuevos contenidos y por tanto, en
que se elabore la base de orientación
correspondiente y las tareas que resuelva
durante todo el proceso de asimilación de los
conocimientos.
Los términos problema y resolución de
problemas han tenido y tienen múltiples
acepciones entre investigadores y docentes.
Para unos, problema es cualquier ejercicio con
texto, para otros este término se utiliza cuando
se refieren a aplicaciones extra matemáticas.
El psicólogo cubano Labarrere asume una
definición de problema que apoya los
razonamientos anteriores. Para Labarrere
(1994) “un problema es determinada situación
en la cual existen nexos, relaciones, cualidades
de y entre los objetos que no son accesibles
directa o inmediatamente a la persona”; o sea, y
utilizando sus propias palabras “una situación
en la cual hay algo oculto para el sujeto, que éste
se esfuerza por hallar”.
Labarrere asume esa acepción, la cual es cada
vez más acogida por investigadores y
educadores matemáticos, en tanto ayuda a
enfocar la atención hacia el problema
psicopedagógico que representa la enseñanza y
el aprendizaje de recursos para enfrentar
situaciones problémicas.
Este proceso, en que el profesor aparece como
modelo de comportamiento, puede manifestarse
de tres maneras:
➢ El profesor, frente a sus alumnos, explica
paso a paso el proceso de resolución del
problema (conocido para él) tal como si se
enfrentara a él por primera vez. Al finalizar
destaca y reflexiona sobre las estrategias
heurísticas empleadas.
➢ El profesor resuelve el problema (conocido
para él) con los alumnos, utilizando las
ideas de ellos.
El razonamiento plausible o heurístico hay que
formarlo a través del empleo consciente de los
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recursos que lo caracterizan hasta que sean
dominados por el sujeto, o sea, hasta que se
hayan convertido en habilidades, pero esto
plantea el dilema de su formación a través de un
material específico o en un contexto general. De
manera inconsciente existe la creencia entre los
docentes que la automatización en la resolución
de problemas de keyword es condición
suficiente o quizás necesaria para la resolución
de problemas dentro de un tema determinado.
En general, no es ni lo uno ni lo otro, pues estos
“problemas” pueden llegar a convertirse en
meras habilidades de cálculo, de un tipo
diferente porque poseen un texto, generalmente
de un contenido no matemático, que hay que
interpretar, pero donde todo lo que hay que
hacer es conocido desde el primer momento. No
obstante, si el conocimiento de las
características esenciales de estos tipos de
problemas es incorporado a la base de
orientación, esto puede tributar a una
orientación más sistematizada y por tanto que
fluya con mayor rapidez y certeza en el
momento de identificación de la vía de solución
de un problema.
La enseñanza de la Matemática en la escuela
cubana tiene la tarea de contribuir a la
preparación de los escolares para la vida
laboral, económica y social, de manera que
disponga de sólidos conocimientos
matemáticos que le permitan interpretar los
avances de la ciencia y la técnica, que sean
capaces de operar con ellos con rigor y
exactitud, aplicarlos adecuadamente, el ser
humano diariamente se enfrenta a una gran
cantidad de problemas cuya solución depende
en mayor o menor medida del éxito en las
diferentes situaciones que se le presenten y en
las tareas emprendidas.
Los problemas matemáticos hacen una
contribución especial al desarrollo intelectual,
el pensamiento se expresa principalmente a
través de la solución de problemas por el
hombre; en otros términos: pensar es
esencialmente solucionar problemas.
La solución de problemas matemáticos. Es
considerada la parte más esencial de la
educación matemática. Mediante la resolución
de problemas, los escolares experimentan la
potencia y utilidad de las Matemáticas en el
mundo que les rodea.
Es de gran importancia el trabajo con
problemas, en ellos se logra el desarrollo
integral de los escolares, sirve de base para la
obtención de conceptos y conocimientos
matemáticos, el proceso de asimilación de
conocimientos se organiza partiendo de la
realidad objetiva de acuerdo a los principios y
leyes del conocimiento.
Por otra parte, en los problemas se presentan
tareas que le permiten al escolar actualizar
concepciones que le sirvan para la obtención de
conceptos, se utilizan como medio de fijación y
de aplicación de conocimientos, capacidades,
habilidades matemáticas, al solucionar
problemas que requieren de la capacidad de
hallar una vía racional para el cálculo.
Los problemas constituyen uno de los recursos
didácticos más empleados en el proceso de
enseñanza-aprendizaje, no solamente en la
Matemática, sino en las restantes ciencias, por
considerarse uno de los aspectos más efectivos
para promover y fortalecer el conocimiento
científico.
¿Qué es la modelación?
La modelación es la habilidad que le permite al
escolar realizar una representación, en las
distintas formas de las relaciones esenciales los
cuales deben asimilar o que le permite llegar a
la solución de una tarea cognoscitiva planteada.
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La modelación adquiere diversas formas:
Utilización de esquemas, gráficos, cuadro,
fórmulas, signos, símbolos.
Modelar un problema significa reproducir las
relaciones fundamentales que se establecen en
el enunciado del problema. Los modelos
constituyen un recurso técnico que utiliza el
escolar para llegar a resolver el problema
planteado y encontrar la vía de solución.
Tipos de modelos gráficos que se usan en la
enseñanza primaria
Existen diferentes modelos gráficos que son
utilizados en la enseñanza de la Matemática en
las escuelas primarias.
Lineales: Se utiliza de forma general cuando en
el problema hay una sola magnitud o una
información en juego, en especial, cuando en el
problema aparecen relaciones de parte y todo.
Dentro de este tipo de modelo se encuentra el
segmento, de rectángulo y pictográficos.
Modelo Lineal Pictográfico (se hacen
reproducciones de los objetos que intervienen),
de segmentos, de rectángulos, entre otras. Estas
últimas formas se han utilizado en varios
ejemplos.
En una caja hay 10 lápices. ¿Cuántos lápices
hay en dos cajas?
Hay una sola magnitud en juego: lápices. En
este caso se ha escogido una representación
pictográfica.
Modelo lineal de segmento.
Ejemplo. Entre María y su hermana pesan 147
kg. Si la hermana pesa la mitad de lo que pesa
María, ¿Cuánto pesa cada una?
Para darle solución al problema Primeramente
Establecer la relación (Parte-Todo)
Significado Práctico de la División: (Dado el
todo y las partes, hallar el contenido de cada
parte)
Todo: 147kg, se divide el todo en tres partes
para hallar el contenido de cada parte.
147 kg: 3= 49 kg.
La hermana pesa 49 kg y María pesa el doble
49.2 = 98 kg.
La solución de este problema puede asumir otra
variante metodológica para el sexto grado,
empleando este modelo se soluciona por la vía
algebraica estableciendo la formación de
igualdad con variable (ecuación).
2x + x= 147 R/ La hermana pesa 49 kg y María
49.2 = 98 kg
3x =147
X= 147: 3
X= 49
Modelo tabular
Tabulares: Se emplean cuando intervienen
varias magnitudes o información en juego. Se
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llaman tabulares porque la información se
coloca por lo general en tablas de doble entrada.
En las casas de Juan, Roberto y Alberto, hay un
total de 16 animales domésticos. Entre ellos hay
3 perros, doble número de gatos hay canarios y
hay loros. En la casa de Roberto aborrecen a los
perros y a los loros, pero tienen, 4 gatos y 2
canarios: en la casa de Alberto solo hay 1 perro
y 2 gatos. En la casa de Juan hay 3 canarios.
¿Qué otros animales hay en la casa de Juan?
Personas Perros Gatos Canarios Loros Total
Juan 2 ----- 3 2 7
Roberto ------ 4 2 ----- 6
Alberto 1 2 ------ ----- 3
Total 3 6 5 2 16
Modelo Conjuntista.
Conjuntistas: Se usan cuando la información
que se da se refiere a diferentes propiedades o
características que cumplen los elementos de un
conjunto. Esto hace formar nuevos conjuntos de
los elementos que satisfacen las características
pedidas.
A continuación, se da un ejemplo de problema
donde se puede utilizar la modelación
conjuntista.
Una de las aulas de una escuela deportiva tiene
14 escolares que compiten en atletismo, 25 en
natación, y 8 solo en baloncesto. De los
escolares que compiten en atletismo y natación
hay 9 que compiten en ambos deportes.
¿Cuántos compiten solo en natación y cuántos
solo en atletismo? ¿Cuántos escolares hay en
total en el aula?
14 – 9 = 5 sólo en atletismo
25 – 9 = 16 sólo en natación
Total: 5 + 9 + 16 + 8 = 38
Modelo Ramificado.
Ramificados: se usan básicamente en problemas
de conteo y también en los de multiplicación
donde se da la cantidad de partes y el contenido
de cada parte para hallar el todo.
Un ejemplo de problema donde se puede ver
este modelo es el que aparece a continuación.
Un matrimonio tiene 4 hijos y cada hijo tiene 3
hijos. ¿Cuántos nietos tienen?
Conclusiones
La resolución de problemas en la enseñanza de
la Matemática constituye en los momentos
actuales del proceso de perfeccionamiento una
prioridad que debe ser atendida por docentes y
directivos en los diferentes contextos
educativos, constituye núcleo básico para la
formación matemática general del individuo a
partir de su significado práctico para la vida.
La modelación constituye un recurso didáctico
y de aprendizaje de alto valor práctico que
favorece el desarrollo de habilidades en la
resolución de problemas matemáticos en los
diferentes escenarios educativos.
Referencias Bibliográficas
Campistrous, Pérez. L Y Rizo, Cabrera C
(1996). Aprende a resolver problemas
Aritméticos. Editorial Pueblo y Educación.
Ciudad de la Habana. Cuba.
Colectivo de Autores. (991). Programas,
Orientaciones Metodológicas y libros de
Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378)
Vol. 3 No. 3
Marzo del 2022
Página 32
texto. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad
de la Habana. Cuba.
Hernández, H. (1995). Nodos Cognitivos. Un
recurso eficiente para el aprendizaje
matemático”. IX Reunión Centroamericana
y del Caribe sobre Formación de profesores
en investigación en Matemática Educativa.
Ciudad de La Habana, Cuba.
Labarrere, A. (1994). El adolescente cubano:
una aproximación al estudio de su
Personalidad. Editorial Pueblo y Educación.
Ciudad de la Habana, Cuba.
Schonfeld, H. A. (1991). Conferencia sobre
Metodología de la Matemática III. Editorial
Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana.
Cuba.
Esta obra está bajo una licencia de
Creative Commons Reconocimiento-No Comercial
4.0 Internacional. Copyright (c) Enrique Guerrero
Cortés, Humberto Aladro Bermúdez, y Azucena
del Roció Mendoza García.
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  • 1. Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378) Vol. 3 No. 3 Marzo del 2022 Página 25 TÉCNICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA. TECHNIQUES FOR SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS IN PRIMARY EDUCATION. Autores: ¹Enrique Guerrero Cortés, ²Humberto Aladro Bermúdez, y ³Azucena del Roció Mendoza García ²ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-8810-4178 ¹E-mail de contacto: eguerreroc@udg.co.cu ²E-mail de contacto: haladrob@udg.co.cu Articulo recibido: 14 de Enero del 2022 Articulo revisado: 27 de Enero del 2022 Articulo aprobado: 26 de Febrero del 2022 ¹Profesor del Departamento Educación Primaria. Universidad de Granma, (Cuba). Máster en Ciencias de la Educación ²Profesor del Departamento Educación Primaria. Universidad de Granma, (Cuba). Licenciado en Geografía. ³Licenciada en Ciencias de la Educación mención Educación Básica egresada de la Universidad Estatal de Milagro (Ecuador). Resumen La investigación refiere una problemática de prioridad en los diferentes contextos educativos y una situación típica de la enseñanza de la Matemática por constituir nodo cognitivo básico en la formación matemática general. Ofrece información detallada sobre la resolución de problemas y el empleo de la modelación como técnica en la solución de los mismos, se emplearon métodos del nivel empírico para recopilar la información y la modelación como método teórico para elaborar los problemas que se resuelven, utilizando la modelación como técnica, su importancia radica en ofrecer diferentes tipos de modelos que favorecen el proceso de solución de un problema. Palabras claves: Modelación, resolución de problemas, Educación Primaria. Abstract The research refers to a problem of priority in the different educational contexts and a typical situation of the teaching of Mathematics for constituting a basic cognitive node in general mathematical training. It offers detailed information on problem solving and the use of modeling as a technique in solving them, empirical level methods were used to collect information and modeling as a theoretical method to develop the problems that are solved, using modeling. As a technique, its importance lies in offering different types of models that favor the process of solving a problem. Keywords: Modeling, problem solving, Primary Education. Sumário A pesquisa refere-se a um problema prioritário nos diferentes contextos educacionais e a uma situação típica do ensino de Matemática por constituir um nó cognitivo básico na formação matemática geral. Oferece informações detalhadas sobre a resolução de problemas e o uso da modelagem como técnica para resolvê- los, métodos de nível empírico foram usados para coletar informações e modelagem como método teórico para desenvolver os problemas que são resolvidos, usando modelagem. consiste em oferecer diferentes tipos de modelos que favorecem o processo de resolução de um problema. Palavras-chave: Modelagem, resolução de problemas, Ensino Fundamental. Introducción La resolución de problemas es una problemática no resuelta en su totalidad en los momentos actuales, por lo que constituye una prioridad en la enseñanza de la Matemática en los diferentes contextos educativos, investigadores han realizado trabajos relacionados con el tema, entre los que se destacan Rizo, Cabrera (1996),
  • 2. Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378) Vol. 3 No. 3 Marzo del 2022 Página 26 Labarrere, Sarduy (1994) en el nivel primario referida al estudio de las dificultades de los niños y niñas en la resolución de problemas, sustentada en el enfoque histórico-cultural Para la resolución de problemas establecen un programa heurístico general. La resolución de problemas como objetivo de enseñanza en la Matemática ha encauzado los esfuerzos de los educadores hacia incrementar la cantidad de problemas de aplicación en todas las asignaturas y en la selección de problemas y su aplicación, para lograr o perfeccionar la articulación interdisciplinaria. Estos esfuerzos se han concentrado en la elevación del rendimiento de los estudiantes relacionado con la resolución de problemas como situación típica de la enseñanza de la Matemática, para ello se han utilizado mejor los libros de texto y se tienen elaboradas colecciones de ejercicios extraídos de las materias específicas de cada carrera. Esto constituye un paso de avance pues anteriormente se daba más atención al desarrollo de habilidades de cálculo. No obstante, no se han preparado suficientemente a los escolares para enfrentar la resolución de problemas empleando modelos, los que permiten reproducir las relaciones fundamentales que se establecen en el enunciado del problema y al mismo tiempo se convierten en recursos para encontrar la vía de solución. La mayor dificultad de los problemas presentados a los escolares radica en la modelación de los mismos, buscando “nuevos” campos de aplicación respecto a los clásicos problemas de los libros de texto. Luis Campistrous Pérez (1996) y Celia Rizo Cabrera (1996) abordan la importancia de la resolución de problemas para el desarrollo del escolar primario, donde plantean que está determinada por sus funciones en el proceso de enseñanza aprendizaje, los problemas tienen función cognoscitiva, desarrolladora, educativa y de control. Schoenfeld. A H (1991) refiere que la responsabilidad fundamental del maestro de matemática es enseñar a los alumnos a pensar y razonar e interpretar modelos que conduzcan a la resolución de problemas. Resultados aportados por la aplicación de métodos teóricos como la observación, visitas a clases y la aplicación de instrumentos evaluativos han permitido constatar que persisten dificultades en la resolución de problemas entre las que se desatacan. ➢ Insuficiente aplicación de la modelación como técnica de solución de un problema en la práctica escolar, la que tiene como causa esencial la falta de entrenamiento que realiza el docente con sus alumnos para solucionar el problema. ➢ Es limitado el empleo por parte de los escolares de los medios matemáticos necesarios que se implican en el proceso de solución de un problema, lo que tiene su causa en el bajo nivel de conocimientos sobre conceptos, teoremas, relaciones, procedimientos entre otros. ➢ Es muy limitado el desarrollo de habilidades en los escolares que se implican en la resolución de problemas entre ellas la interpretación del problema y su razonamiento, a partir de la modelación, el proceder para su solución teniendo en cuenta las exigencias del problema, lo que tiene como causa esencial la falta de sistematización en la operacionalización de la habilidad. ➢ La estimulación es indirecta, mediatizada, guiada por la acción del maestro que por lo general enseña cómo se encuentra la solución de un problema específico, lo que
  • 3. Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378) Vol. 3 No. 3 Marzo del 2022 Página 27 conduce al pobre razonamiento por parte de los alumnos para encontrar por ellos mismos las posibles vías de solución. ➢ Los problemas se utilizan en función de habilidades de cálculo y no como objetos de enseñanza en sí mismos. Por otra parte, no se enseñan técnicas de trabajo que pueden ser útiles para resolver el problema, lo que limita el desempeño de los escolares. Teniendo en cuenta estas dificultades los autores de este material ofrecen elementos teóricos y prácticos relativos a varis tipos de modelos que se emplean en la enseñanza de la matemática para resolver problemas. El empleo de técnicas de modelación para la solución de problemas matemáticos no solo permite reproducir las relaciones fundamentales que se establecen en el enunciado del problema, sino además permiten encontrar las vías de solución, Rizo Cabrera y Campistrous Pérez (1996) plantean que la modelación es una capacidad muy importante en la modelación del problema porque la representación de las relaciones que se dan en el problema, mediante esquemas gráficos, ayudan a la comprensión, permiten a los alumnos hacer visibles los elementos que componen el enunciado y las relaciones que se establecen entre ellos y en muchos casos descubrir la vía de solución. Desarrollo La modelación como técnica de resolución de un problema. Hernández (1995) refiere que “para comprender los procesos que intervienen en la resolución de problemas, resulta importante investigar las características de las estructuras del conocimiento y su organización, como resultado de la experiencia y del aprendizaje la idea nos sugiere estimular el establecimiento de estructuras modificables de información en los estudiantes y, además entrenarlos en la dinámica de enriquecer y recuperar el contenido de estas estructuras”. Más adelante aclara que “cuando nos referimos a la organización del conocimiento, no nos referimos sólo a la posibilidad que se desarrolla en el estudiante de representarse el sistema conceptual determinado, sino de recuperar esa información para aplicarla en problemas o tareas concretas que requieran no sólo una operatoria, sino conexiones inteligentes con otra información acumulada dentro de ese sistema conceptual o fuera de él” Hernández (1995, pp.60) Así, Hernández (1995) introduce la idea de que “los nodos cognitivos son como un recurso didáctico que contribuye a organizar el conocimiento de los estudiantes”. “El Nodo Cognitivo es un punto de acumulación de información en torno a un concepto o a una habilidad determinada. Es información que se establece de manera consciente por el profesor en el estudiante y se hace perdurable, toda vez que es activable: para ser aplicado, para ser modificado (enriquecido o transformado), para ser recuperado, para conectarse con otro nodo”. Continúa diciendo. “No se trata sólo de que el profesor haga las conexiones matemáticas o induzca a una organización del conocimiento, se trata de dinamizar esas estructuras (...) Se trata de mantener un diálogo permanente del profesor con los estudiantes y entre los estudiantes” Los nodos cognitivos constituyen núcleos básicos del conocimiento en este caso se refriere al conocimiento básico del escolar para la formación matemática general.
  • 4. Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378) Vol. 3 No. 3 Marzo del 2022 Página 28 Entre las características que constituyen indicadores de la calidad de la asimilación se encuentran: la forma, el dominio, la conciencia, la generalización, la solidez, etc. Para ello, partiendo de un momento inicial de motivación, el cual facilita el aprendizaje, el escolar debería elaborar de forma independiente bases de orientación completas y generalizadas para las acciones a asimilar. Estas deberían transitar por determinadas etapas en las cuales irían evolucionando las características citadas hasta los niveles deseados. Así, una acción transcurre, según su forma, por los planos material, verbal y mental y se convierte en acción mental cuando el sujeto no necesita de apoyo externo para la orientación, ejecución y control (lo que no equivale a que no se auxilie de determinados recursos heurísticos e instrumentos de cálculo), pues ya la ha asimilado y almacenado como información en su mente de determinado modo. La acción asimilada, indica un determinado nivel de dominio de la misma y por ende de una determinada automatización a la hora de actuar. Asociada a ese proceso de automatización se lleva a cabo un proceso de reducción consciente de su aparato operatorio, lo que posibilita que se aprehenda, de modo eficiente en la mente, como acción dominada por el sujeto, o sea, como habilidad. La generalización es un indicador de la posibilidad que tiene la persona de ejecutar tareas o resolver problemas en una esfera determinada respecto a las teóricamente posibles, o sea, indica una relación entre las posibilidades subjetivas y objetivas de actuación y la misma depende de diferentes factores, entre los que están la forma en que se asimilen los nuevos contenidos y por tanto, en que se elabore la base de orientación correspondiente y las tareas que resuelva durante todo el proceso de asimilación de los conocimientos. Los términos problema y resolución de problemas han tenido y tienen múltiples acepciones entre investigadores y docentes. Para unos, problema es cualquier ejercicio con texto, para otros este término se utiliza cuando se refieren a aplicaciones extra matemáticas. El psicólogo cubano Labarrere asume una definición de problema que apoya los razonamientos anteriores. Para Labarrere (1994) “un problema es determinada situación en la cual existen nexos, relaciones, cualidades de y entre los objetos que no son accesibles directa o inmediatamente a la persona”; o sea, y utilizando sus propias palabras “una situación en la cual hay algo oculto para el sujeto, que éste se esfuerza por hallar”. Labarrere asume esa acepción, la cual es cada vez más acogida por investigadores y educadores matemáticos, en tanto ayuda a enfocar la atención hacia el problema psicopedagógico que representa la enseñanza y el aprendizaje de recursos para enfrentar situaciones problémicas. Este proceso, en que el profesor aparece como modelo de comportamiento, puede manifestarse de tres maneras: ➢ El profesor, frente a sus alumnos, explica paso a paso el proceso de resolución del problema (conocido para él) tal como si se enfrentara a él por primera vez. Al finalizar destaca y reflexiona sobre las estrategias heurísticas empleadas. ➢ El profesor resuelve el problema (conocido para él) con los alumnos, utilizando las ideas de ellos. El razonamiento plausible o heurístico hay que formarlo a través del empleo consciente de los
  • 5. Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378) Vol. 3 No. 3 Marzo del 2022 Página 29 recursos que lo caracterizan hasta que sean dominados por el sujeto, o sea, hasta que se hayan convertido en habilidades, pero esto plantea el dilema de su formación a través de un material específico o en un contexto general. De manera inconsciente existe la creencia entre los docentes que la automatización en la resolución de problemas de keyword es condición suficiente o quizás necesaria para la resolución de problemas dentro de un tema determinado. En general, no es ni lo uno ni lo otro, pues estos “problemas” pueden llegar a convertirse en meras habilidades de cálculo, de un tipo diferente porque poseen un texto, generalmente de un contenido no matemático, que hay que interpretar, pero donde todo lo que hay que hacer es conocido desde el primer momento. No obstante, si el conocimiento de las características esenciales de estos tipos de problemas es incorporado a la base de orientación, esto puede tributar a una orientación más sistematizada y por tanto que fluya con mayor rapidez y certeza en el momento de identificación de la vía de solución de un problema. La enseñanza de la Matemática en la escuela cubana tiene la tarea de contribuir a la preparación de los escolares para la vida laboral, económica y social, de manera que disponga de sólidos conocimientos matemáticos que le permitan interpretar los avances de la ciencia y la técnica, que sean capaces de operar con ellos con rigor y exactitud, aplicarlos adecuadamente, el ser humano diariamente se enfrenta a una gran cantidad de problemas cuya solución depende en mayor o menor medida del éxito en las diferentes situaciones que se le presenten y en las tareas emprendidas. Los problemas matemáticos hacen una contribución especial al desarrollo intelectual, el pensamiento se expresa principalmente a través de la solución de problemas por el hombre; en otros términos: pensar es esencialmente solucionar problemas. La solución de problemas matemáticos. Es considerada la parte más esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los escolares experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. Es de gran importancia el trabajo con problemas, en ellos se logra el desarrollo integral de los escolares, sirve de base para la obtención de conceptos y conocimientos matemáticos, el proceso de asimilación de conocimientos se organiza partiendo de la realidad objetiva de acuerdo a los principios y leyes del conocimiento. Por otra parte, en los problemas se presentan tareas que le permiten al escolar actualizar concepciones que le sirvan para la obtención de conceptos, se utilizan como medio de fijación y de aplicación de conocimientos, capacidades, habilidades matemáticas, al solucionar problemas que requieren de la capacidad de hallar una vía racional para el cálculo. Los problemas constituyen uno de los recursos didácticos más empleados en el proceso de enseñanza-aprendizaje, no solamente en la Matemática, sino en las restantes ciencias, por considerarse uno de los aspectos más efectivos para promover y fortalecer el conocimiento científico. ¿Qué es la modelación? La modelación es la habilidad que le permite al escolar realizar una representación, en las distintas formas de las relaciones esenciales los cuales deben asimilar o que le permite llegar a la solución de una tarea cognoscitiva planteada.
  • 6. Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378) Vol. 3 No. 3 Marzo del 2022 Página 30 La modelación adquiere diversas formas: Utilización de esquemas, gráficos, cuadro, fórmulas, signos, símbolos. Modelar un problema significa reproducir las relaciones fundamentales que se establecen en el enunciado del problema. Los modelos constituyen un recurso técnico que utiliza el escolar para llegar a resolver el problema planteado y encontrar la vía de solución. Tipos de modelos gráficos que se usan en la enseñanza primaria Existen diferentes modelos gráficos que son utilizados en la enseñanza de la Matemática en las escuelas primarias. Lineales: Se utiliza de forma general cuando en el problema hay una sola magnitud o una información en juego, en especial, cuando en el problema aparecen relaciones de parte y todo. Dentro de este tipo de modelo se encuentra el segmento, de rectángulo y pictográficos. Modelo Lineal Pictográfico (se hacen reproducciones de los objetos que intervienen), de segmentos, de rectángulos, entre otras. Estas últimas formas se han utilizado en varios ejemplos. En una caja hay 10 lápices. ¿Cuántos lápices hay en dos cajas? Hay una sola magnitud en juego: lápices. En este caso se ha escogido una representación pictográfica. Modelo lineal de segmento. Ejemplo. Entre María y su hermana pesan 147 kg. Si la hermana pesa la mitad de lo que pesa María, ¿Cuánto pesa cada una? Para darle solución al problema Primeramente Establecer la relación (Parte-Todo) Significado Práctico de la División: (Dado el todo y las partes, hallar el contenido de cada parte) Todo: 147kg, se divide el todo en tres partes para hallar el contenido de cada parte. 147 kg: 3= 49 kg. La hermana pesa 49 kg y María pesa el doble 49.2 = 98 kg. La solución de este problema puede asumir otra variante metodológica para el sexto grado, empleando este modelo se soluciona por la vía algebraica estableciendo la formación de igualdad con variable (ecuación). 2x + x= 147 R/ La hermana pesa 49 kg y María 49.2 = 98 kg 3x =147 X= 147: 3 X= 49 Modelo tabular Tabulares: Se emplean cuando intervienen varias magnitudes o información en juego. Se
  • 7. Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378) Vol. 3 No. 3 Marzo del 2022 Página 31 llaman tabulares porque la información se coloca por lo general en tablas de doble entrada. En las casas de Juan, Roberto y Alberto, hay un total de 16 animales domésticos. Entre ellos hay 3 perros, doble número de gatos hay canarios y hay loros. En la casa de Roberto aborrecen a los perros y a los loros, pero tienen, 4 gatos y 2 canarios: en la casa de Alberto solo hay 1 perro y 2 gatos. En la casa de Juan hay 3 canarios. ¿Qué otros animales hay en la casa de Juan? Personas Perros Gatos Canarios Loros Total Juan 2 ----- 3 2 7 Roberto ------ 4 2 ----- 6 Alberto 1 2 ------ ----- 3 Total 3 6 5 2 16 Modelo Conjuntista. Conjuntistas: Se usan cuando la información que se da se refiere a diferentes propiedades o características que cumplen los elementos de un conjunto. Esto hace formar nuevos conjuntos de los elementos que satisfacen las características pedidas. A continuación, se da un ejemplo de problema donde se puede utilizar la modelación conjuntista. Una de las aulas de una escuela deportiva tiene 14 escolares que compiten en atletismo, 25 en natación, y 8 solo en baloncesto. De los escolares que compiten en atletismo y natación hay 9 que compiten en ambos deportes. ¿Cuántos compiten solo en natación y cuántos solo en atletismo? ¿Cuántos escolares hay en total en el aula? 14 – 9 = 5 sólo en atletismo 25 – 9 = 16 sólo en natación Total: 5 + 9 + 16 + 8 = 38 Modelo Ramificado. Ramificados: se usan básicamente en problemas de conteo y también en los de multiplicación donde se da la cantidad de partes y el contenido de cada parte para hallar el todo. Un ejemplo de problema donde se puede ver este modelo es el que aparece a continuación. Un matrimonio tiene 4 hijos y cada hijo tiene 3 hijos. ¿Cuántos nietos tienen? Conclusiones La resolución de problemas en la enseñanza de la Matemática constituye en los momentos actuales del proceso de perfeccionamiento una prioridad que debe ser atendida por docentes y directivos en los diferentes contextos educativos, constituye núcleo básico para la formación matemática general del individuo a partir de su significado práctico para la vida. La modelación constituye un recurso didáctico y de aprendizaje de alto valor práctico que favorece el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos en los diferentes escenarios educativos. Referencias Bibliográficas Campistrous, Pérez. L Y Rizo, Cabrera C (1996). Aprende a resolver problemas Aritméticos. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana. Cuba. Colectivo de Autores. (991). Programas, Orientaciones Metodológicas y libros de
  • 8. Ciencia y Educación (ISSN 2707-3378) Vol. 3 No. 3 Marzo del 2022 Página 32 texto. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana. Cuba. Hernández, H. (1995). Nodos Cognitivos. Un recurso eficiente para el aprendizaje matemático”. IX Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de profesores en investigación en Matemática Educativa. Ciudad de La Habana, Cuba. Labarrere, A. (1994). El adolescente cubano: una aproximación al estudio de su Personalidad. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana, Cuba. Schonfeld, H. A. (1991). Conferencia sobre Metodología de la Matemática III. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana. Cuba. Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-No Comercial 4.0 Internacional. Copyright (c) Enrique Guerrero Cortés, Humberto Aladro Bermúdez, y Azucena del Roció Mendoza García.