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LOGICA
- EQUIVALENCIAS LOGICAS
- LEYES LOGICAS
- SIMPLIFICACIÓN
- EJERCICIOS


        AUTOR: LUIS R. PACHECO HUAROTTO
EQUIVALENCIAS LOGICAS
 Dos proposiciones compuestas o Fórmulas Lógicas P y Q son
  equivalentes, si unidos por el bicondicional “↔ “, el resultado
  es una Tautología; es decir que ambas proposiciones tienen el
  mismo valor de verdad.
 Se denota:       P ΞQ      o      P ↔ Q
             Se lee: “P es equivalente a Q” o viceversa
  Ejemplos:
 a) [(p∧q)→ r] ↔ [p → (q→r)] (Exportación)
 b) (p→q) ↔ [p ↔ (p ∧ q)]            (Expansión 1)
 c) (p→q) ↔ [q ↔ (p ∨ q)]            (Exp. 2)
 d)    p ↔ p ∧ (q ∨ ~q)              (Exp. 3)
 e)    p ↔ p ∨ (q ∧ ~q)              (Exp. 4)
LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS
   La    tradición    aristotélica   ha     considerado    como
    fundamentales a los principios lógicos otorgándoles máxima
    jerarquía. Dichos principios pueden transformarse a
    fórmulas cuya evaluación de sus matrices lógicas nos revele
    que se trata de una tautología. Esto significa que no
    podemos privilegiar sólo a estas tautologías por sobre otras
    igual de válidas. Dichos principios son los siguientes:
   1. Principio de Identidad: Una proposición solo es
    idéntica a sí mismo.
                       Forma Lógica: p↔p
   2. Principio de No-contradicción: No es posible que una
    proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo.
                       Forma Lógica: ~(p∧~p)
   3. Principio de Tercio Excluido: Toda proposición es
    necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No
    existe una posibilidad intermedia.
                        Forma Lógica: p∨~p
NOTABLES
   (LEYES LÓGICAS O
TAUTOLÓGICAS)
   Leyes Conmutativas (Conm.)
    (p∧q) ↔ (q ∧ p)
    (p∨q) ↔ (q∨p)
    (p↔q) ↔ (q↔p)
    (p ↮ q) ↔ (p ↮ q)
   Leyes Asociativas (Asoc.)
    p∧(q∧r) ↔ (p∧q)∧r
    p∨(q∨r) ↔ (p∨q) ∨ r
    p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r
   Leyes Distributivas (Distrib.)
    (p∧q) ∨ r ↔ (p∨r) ∧ (q∨r)
    (p∨q) ∧ r ↔ (p∧r) ∨ (q∧r)
    p→(q∧r) ↔(p→q)∧(q→p)
    p→(q∨r) ↔(p→q)∨(q→p)
LEYES DE EQUIVALENCIAS
NOTABLES

   Doble Negación (DN)
    ~~p↔p
    ~~~p ↔~p
   Teoremas de De Morgan (DM)
    ~(p∧q) ↔ ~p∨~q
    ~(p∨q) ↔ ~p∧~q
    p∧q ↔ ~(~p∨~q)
    p∨q ↔ ~(~p∧~q)
   Idempotencia (Idem.)
    p∨p ↔ p
    p∧p ↔ p
   Def. del condicional (Def. cond.)
    p→q ↔ ~p∨q
    p→q ↔ ~(p∧~q)
LEYES DE EQUIVALENCIAS
NOTABLES
   Def. del bicondicional (Def. Bicondicional)
    p ↔ q ↔ (p→q) ∧ (q→p)
    p↔q ↔ [ (p∧q) ∨ (~p∧~q) ]
   Def. de la disyunción fuerte (Def. DF)
    p ↮ q ↔ ~ (p ↔ q)
    p ↮ q ↔ (p∨q) ∧ (~p∨~q)
   Absorción (Abs.)
    p ∧ (p ∨ q) ↔ p
    p ∨ (p ∧ q) ↔ p
    p ∨ (~p ∧ q) ↔ p∨q
    p ∧ (~p ∨ q) ↔ p∧q
   Transposición (Trans.)
    p→q ↔ ~q→~p
    p ↔ q ↔ (~ q ↔ ~p)
LEYES DE EQUIVALENCIAS
NOTABLES
    Ley de Exportación:
    a) ( p Λ q) → r Ξ p → (q → r)
    b) ( P1ΛP2 Λ …ΛPn) → r Ξ ( P1 ΛP2Λ…ΛPn-1) → (Pn → r)
    Consideremos que T es una fórmula tautológica, C es
     una fórmula contradictoria y Q es una fórmula
     consistente (Proposición).
     Leyes de Complemento o Adicionales
     T ∧ Q ↔ Q ( V es Neutro de la Conjunción : p Λ V Ξ p )
      C∧ Q↔C              T∨ Q↔T
     C ∨ Q ↔ Q ( F es neutro de la Disyunción : p v F Ξ p )

     T→Q↔Q                 C→Q↔T
     Q→T↔T                 Q → C ↔ ~Q
OBSERVACIÓN: ESTAS LEYES SON MUY ÚTILES PARA
SIMPLIFICAR LOS PROBLEMAS, PUESTO QUE ES VALIDO
REEMPLAZAR UNA PROPOSICIÓN POR SU EQUIVALENTE SIN
ALTERAR EL RESULTADO.
  Ejemplos:
1.- Demostrar que: (p→q) ↔ (~q →~p)
                   Solución:

     (p→q) ↔ (~q →~p)
               ↔   ~   (~q ) V ~p        Ley de la Condicional
               ↔         q       V ~p Ley de la Doble Negación
               ↔        ~p       V q Ley Conmutativa
               ↔         p       → q Por Definición


2.- Simplificar la siguiente proposición: A = (~p∧q) →(q → p)
                   Solución:

     A = ~ (~p∧q) V (q → p) Ley de la Condicional

       = ( p v ~q) v (~q v p ) Ley de Morgan y Condicional
       = ( p v ~q) v ( p v ~q)     Ley Conmutativa
       = pv ~q                     Idempotencia
EJERCICIOS

1.- Demostrar que:
a) p ∧~q ↔ ~(p → q)       b) p ↔ (q v ~q) →p
c) ~ [~ (p ∧q) →~q ] v q ↔ q
2.- Simplificar y representar mediante Circuito:
a) ~ [ p ↔ ~(q v r) ]      b) ~(p) ↔ (p → ~ q)
                R: p Λ (q v r)                  R: ~ p v p

c) (p v q) → [(~p v q) → (p ∧ q) ]                        R: p v ~ q

3.- Determinar si a) y b) son proposiciones
  equivalentes:
a) p → (r v ~ q)                b) (q → ~p) v ( ~r → ~ p)
    Nota: Se puede determinar la equivalencia mediante la tabla de
  verdad o mediante la simplificación.
EJERCICIOS
4.- Demostrar que las siguientes equivalencias son tautológicas:
   1. [(p→q) → (r→s)] ↔ ~(~s→~r)→~(~q→~p)
   2. [(p→q)→r] ↔ [(p∨r) ∧ (~q∨r)]
   3. [(p∧q) ∨ r] ∨ s ↔ ~[~(p∧q)→r] → s
   4. ~(p∧q∧r) ↔ ~p∨~q∨~r
   5. p→[~p→(q→r)] ↔ (p∧~p∧q)→r
5.- Responda las siguientes preguntas:
   6. ¿Cuál es la relación entre bicondicional y equivalencia?
   7. ¿Qué es una tautología? ¿Qué cosas pueden ser tautológicas?
   8. ¿Cuál es la relación entre lógica proposicional y teoría de
   conjuntos?
   9. ¿Podemos leer lógicamente las equivalencias usando las tablas
   de verdad? ¿Cómo? Dé unos ejemplos.
  10. Si lo son ¿en qué sentido son importantes los principios lógicos?
   ¿qué correcciones le harías a los principios lógicos?
BIBLIOGRAFÍA:
 ESPINOZA, E. (2005) Matemática Básica. Lima. 2ª
  Edición.
 FIGUEROA, R. (1992) Matemática Básica 1. Lima. 5ª
  Edición.
 GARCÍA, Ó. (2007) Lógica. Lima: UNMSM.

 SEMINARIO, R. y VILLANUEVA, J. (1992). El Gran
  Saber. Logica. Lima. Editora Rival S.A.
 PISCOYA, L. (1997) Lógica. Lima: UNMSM.

 DEAÑO, A. (2001) Introducción a la Lógica Formal.
  Madrid: Alianza Editorial.
 LLANOS, M. (2003) Lógica Jurídica. Lima: Logos.

 http://profe-alexz.blogspot.com/2010/05/logica-proposicional



                   Autor: LUIS R. PACHECO HUAROTTO

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EQUIVALENCIAS LÓGICAS Y SIMPLIFICACIÓN

  • 1. LOGICA - EQUIVALENCIAS LOGICAS - LEYES LOGICAS - SIMPLIFICACIÓN - EJERCICIOS AUTOR: LUIS R. PACHECO HUAROTTO
  • 2. EQUIVALENCIAS LOGICAS  Dos proposiciones compuestas o Fórmulas Lógicas P y Q son equivalentes, si unidos por el bicondicional “↔ “, el resultado es una Tautología; es decir que ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.  Se denota: P ΞQ o P ↔ Q Se lee: “P es equivalente a Q” o viceversa Ejemplos: a) [(p∧q)→ r] ↔ [p → (q→r)] (Exportación) b) (p→q) ↔ [p ↔ (p ∧ q)] (Expansión 1) c) (p→q) ↔ [q ↔ (p ∨ q)] (Exp. 2) d) p ↔ p ∧ (q ∨ ~q) (Exp. 3) e) p ↔ p ∨ (q ∧ ~q) (Exp. 4)
  • 3. LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS  La tradición aristotélica ha considerado como fundamentales a los principios lógicos otorgándoles máxima jerarquía. Dichos principios pueden transformarse a fórmulas cuya evaluación de sus matrices lógicas nos revele que se trata de una tautología. Esto significa que no podemos privilegiar sólo a estas tautologías por sobre otras igual de válidas. Dichos principios son los siguientes:  1. Principio de Identidad: Una proposición solo es idéntica a sí mismo. Forma Lógica: p↔p  2. Principio de No-contradicción: No es posible que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo. Forma Lógica: ~(p∧~p)  3. Principio de Tercio Excluido: Toda proposición es necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No existe una posibilidad intermedia. Forma Lógica: p∨~p
  • 4. NOTABLES (LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS)  Leyes Conmutativas (Conm.) (p∧q) ↔ (q ∧ p) (p∨q) ↔ (q∨p) (p↔q) ↔ (q↔p) (p ↮ q) ↔ (p ↮ q)  Leyes Asociativas (Asoc.) p∧(q∧r) ↔ (p∧q)∧r p∨(q∨r) ↔ (p∨q) ∨ r p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r  Leyes Distributivas (Distrib.) (p∧q) ∨ r ↔ (p∨r) ∧ (q∨r) (p∨q) ∧ r ↔ (p∧r) ∨ (q∧r) p→(q∧r) ↔(p→q)∧(q→p) p→(q∨r) ↔(p→q)∨(q→p)
  • 5. LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES  Doble Negación (DN) ~~p↔p ~~~p ↔~p  Teoremas de De Morgan (DM) ~(p∧q) ↔ ~p∨~q ~(p∨q) ↔ ~p∧~q p∧q ↔ ~(~p∨~q) p∨q ↔ ~(~p∧~q)  Idempotencia (Idem.) p∨p ↔ p p∧p ↔ p  Def. del condicional (Def. cond.) p→q ↔ ~p∨q p→q ↔ ~(p∧~q)
  • 6. LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES  Def. del bicondicional (Def. Bicondicional) p ↔ q ↔ (p→q) ∧ (q→p) p↔q ↔ [ (p∧q) ∨ (~p∧~q) ]  Def. de la disyunción fuerte (Def. DF) p ↮ q ↔ ~ (p ↔ q) p ↮ q ↔ (p∨q) ∧ (~p∨~q)  Absorción (Abs.) p ∧ (p ∨ q) ↔ p p ∨ (p ∧ q) ↔ p p ∨ (~p ∧ q) ↔ p∨q p ∧ (~p ∨ q) ↔ p∧q  Transposición (Trans.) p→q ↔ ~q→~p p ↔ q ↔ (~ q ↔ ~p)
  • 7. LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES  Ley de Exportación: a) ( p Λ q) → r Ξ p → (q → r) b) ( P1ΛP2 Λ …ΛPn) → r Ξ ( P1 ΛP2Λ…ΛPn-1) → (Pn → r)  Consideremos que T es una fórmula tautológica, C es una fórmula contradictoria y Q es una fórmula consistente (Proposición).  Leyes de Complemento o Adicionales T ∧ Q ↔ Q ( V es Neutro de la Conjunción : p Λ V Ξ p ) C∧ Q↔C T∨ Q↔T C ∨ Q ↔ Q ( F es neutro de la Disyunción : p v F Ξ p ) T→Q↔Q C→Q↔T Q→T↔T Q → C ↔ ~Q
  • 8. OBSERVACIÓN: ESTAS LEYES SON MUY ÚTILES PARA SIMPLIFICAR LOS PROBLEMAS, PUESTO QUE ES VALIDO REEMPLAZAR UNA PROPOSICIÓN POR SU EQUIVALENTE SIN ALTERAR EL RESULTADO.  Ejemplos: 1.- Demostrar que: (p→q) ↔ (~q →~p) Solución: (p→q) ↔ (~q →~p) ↔ ~ (~q ) V ~p Ley de la Condicional ↔ q V ~p Ley de la Doble Negación ↔ ~p V q Ley Conmutativa ↔ p → q Por Definición 2.- Simplificar la siguiente proposición: A = (~p∧q) →(q → p) Solución: A = ~ (~p∧q) V (q → p) Ley de la Condicional = ( p v ~q) v (~q v p ) Ley de Morgan y Condicional = ( p v ~q) v ( p v ~q) Ley Conmutativa = pv ~q Idempotencia
  • 9. EJERCICIOS 1.- Demostrar que: a) p ∧~q ↔ ~(p → q) b) p ↔ (q v ~q) →p c) ~ [~ (p ∧q) →~q ] v q ↔ q 2.- Simplificar y representar mediante Circuito: a) ~ [ p ↔ ~(q v r) ] b) ~(p) ↔ (p → ~ q) R: p Λ (q v r) R: ~ p v p c) (p v q) → [(~p v q) → (p ∧ q) ] R: p v ~ q 3.- Determinar si a) y b) son proposiciones equivalentes: a) p → (r v ~ q) b) (q → ~p) v ( ~r → ~ p) Nota: Se puede determinar la equivalencia mediante la tabla de verdad o mediante la simplificación.
  • 10. EJERCICIOS 4.- Demostrar que las siguientes equivalencias son tautológicas: 1. [(p→q) → (r→s)] ↔ ~(~s→~r)→~(~q→~p) 2. [(p→q)→r] ↔ [(p∨r) ∧ (~q∨r)] 3. [(p∧q) ∨ r] ∨ s ↔ ~[~(p∧q)→r] → s 4. ~(p∧q∧r) ↔ ~p∨~q∨~r 5. p→[~p→(q→r)] ↔ (p∧~p∧q)→r 5.- Responda las siguientes preguntas: 6. ¿Cuál es la relación entre bicondicional y equivalencia? 7. ¿Qué es una tautología? ¿Qué cosas pueden ser tautológicas? 8. ¿Cuál es la relación entre lógica proposicional y teoría de conjuntos? 9. ¿Podemos leer lógicamente las equivalencias usando las tablas de verdad? ¿Cómo? Dé unos ejemplos. 10. Si lo son ¿en qué sentido son importantes los principios lógicos? ¿qué correcciones le harías a los principios lógicos?
  • 11. BIBLIOGRAFÍA:  ESPINOZA, E. (2005) Matemática Básica. Lima. 2ª Edición.  FIGUEROA, R. (1992) Matemática Básica 1. Lima. 5ª Edición.  GARCÍA, Ó. (2007) Lógica. Lima: UNMSM.  SEMINARIO, R. y VILLANUEVA, J. (1992). El Gran Saber. Logica. Lima. Editora Rival S.A.  PISCOYA, L. (1997) Lógica. Lima: UNMSM.  DEAÑO, A. (2001) Introducción a la Lógica Formal. Madrid: Alianza Editorial.  LLANOS, M. (2003) Lógica Jurídica. Lima: Logos.  http://profe-alexz.blogspot.com/2010/05/logica-proposicional Autor: LUIS R. PACHECO HUAROTTO