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República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Barquisimeto estado -Lara.
Universidad politécnica territorial Andrés Eloy blanco.
2da presentación de matemáticas
Integrante:
Luis Mendoza
ci. 19.726.781
Prof.: maría Ramírez
Distribución y logística
Sección 0203

Definición de conjuntos
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser
cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que
componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que
«pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 la
expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A»,
«A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:
3 ∈ A ,♠ ∈ D
amarillo ∉ B, z ∉ C
operaciones con conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados,
para obtener nuevos conjuntos:
 Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B,
es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los
conjuntos A y B.
 Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
 Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A  B que
resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
 Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos
los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
 Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el
conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero
no a ambos a la vez.
 Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer
elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
Ejemplos
 {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
 {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
 {5, z, ♠}  {♠, a} = {5, z}
 {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
 {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
Que son los números reales
Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o
corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo
tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
 Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
 Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir,
cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
 Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo.
Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
 Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita.
La clasificación de los números reales
incluye los siguientes números.
 Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El
conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.
 Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el
cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.
 Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con
denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números
naturales y enteros.
 Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de
números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no
pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un
ejemplo de este tipo de números.
Operaciones de los números reales
Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades:
Propiedad interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo mismo
ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro número real.
Propiedad asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el
caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
propiedad conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa
que indica que el orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
elemento neutro
En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el
0 va a dar como resultado el mismo número.
a + 0 = a
Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son
opuestos (e - e = 0).
En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier
número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.
a x 1 = a
0.453 x 1 = 0.453
En la multiplicación el inverso de un número es aquel que, al multiplicarlo, da como resultado la
unidad:
a x 1/a = 1
3.4 x 1/3.4 = 1
Propiedad distributiva
El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a x (b + c) = a x b + a x c
Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común.
a x b + a x c = a x (b + c)
La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales por lo
que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros números
como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un
orden, pudiendo ser decimales y negativos.
Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más de
ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para organizar,
contar y realizar cálculos.
DESIGUALDAD
es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser
iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales,
entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b;
también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se
están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor.
Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al
elemento menor.
La relación a no mayor que b también puede representarse con a ≯ b, con el símbolo de «mayor
que» cortado con una barra, «no». Lo mismo ocurre con a no menor que b y la notación a ≮ b.
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las
propiedades de transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se
mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus
correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad
 Para números reales arbitrarios a, b y c:
 Si a > b y b > c entonces a > c.
 Si a < b y b < c entonces a < c.
 Si a > b y b = c entonces a > c.
 Si a < b y b = c entonces a < c.
Adición y sustracción
 Para números reales arbitrarios a,b y c:
 Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
 Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
Multiplicación y división
 Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
 Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
 Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Definición de valor absoluto
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número, pero con signo
positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o
negativo.
En física y en matemáticas, el valor absoluto de un número real (x) es la distancia que x tiene
respecto al cero en la recta numérica. Como las distancias no son negativas, el valor absoluto
tampoco lo es. Por ejemplo: |8| = 8 (el valor absoluto de 8 es 8) y |-8| = 8 (el valor absoluto de -8 es
8).
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una
variable dentro.
La desigualdad significa que la distancia entre y es menor que
Así, y El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales y si entonces y
Ejemplo.
Resolver la inecuación
Solución.
Sabiendo que:
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  • 1. República bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación universitaria Barquisimeto estado -Lara. Universidad politécnica territorial Andrés Eloy blanco. 2da presentación de matemáticas Integrante: Luis Mendoza ci. 19.726.781
  • 2. Prof.: maría Ramírez Distribución y logística Sección 0203  Definición de conjuntos Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son: A es el conjunto de los números naturales menores que 5. B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo. C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u. D es el conjunto de los palos de la baraja francesa. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo: 3 ∈ A ,♠ ∈ D amarillo ∉ B, z ∉ C operaciones con conjuntos Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:  Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.  Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.  Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.  Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.  Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.  Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B. Ejemplos
  • 3.  {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}  {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}  {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}  {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}  {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)} Que son los números reales Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito. Las principales características de los números reales son:  Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …  Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.  Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.  Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita. La clasificación de los números reales incluye los siguientes números.  Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.  Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.  Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y enteros.  Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números. Operaciones de los números reales Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades: Propiedad interna Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro número real. Propiedad asociativa El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo
  • 4. a + (b + c) = (a + b) + c a x (b x c) = (a x b) x c propiedad conmutativa Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado. a + b = b + a a x b = b x a elemento neutro En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número. a + 0 = a Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0). En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número. a x 1 = a 0.453 x 1 = 0.453 En la multiplicación el inverso de un número es aquel que, al multiplicarlo, da como resultado la unidad: a x 1/a = 1 3.4 x 1/3.4 = 1 Propiedad distributiva El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a x (b + c) = a x b + a x c Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común. a x b + a x c = a x (b + c) La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros números
  • 5. como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos. Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para organizar, contar y realizar cálculos. DESIGUALDAD es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.  La notación a < b significa a es menor que b;  La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"  La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;  La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).  La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;  La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.  La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor. La relación a no mayor que b también puede representarse con a ≯ b, con el símbolo de «mayor que» cortado con una barra, «no». Lo mismo ocurre con a no menor que b y la notación a ≮ b. Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades de transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥). Transitividad  Para números reales arbitrarios a, b y c:  Si a > b y b > c entonces a > c.  Si a < b y b < c entonces a < c.  Si a > b y b = c entonces a > c.  Si a < b y b = c entonces a < c. Adición y sustracción
  • 6.  Para números reales arbitrarios a,b y c:  Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.  Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c. Multiplicación y división  Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:  Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.  Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c. Definición de valor absoluto El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número, pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. En física y en matemáticas, el valor absoluto de un número real (x) es la distancia que x tiene respecto al cero en la recta numérica. Como las distancias no son negativas, el valor absoluto tampoco lo es. Por ejemplo: |8| = 8 (el valor absoluto de 8 es 8) y |-8| = 8 (el valor absoluto de -8 es 8). DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<) Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad significa que la distancia entre y es menor que Así, y El conjunto solución es Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales y si entonces y Ejemplo. Resolver la inecuación Solución. Sabiendo que:
  • 7. Por lo que el conjunto solución es el intervalo DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (>) La desigualdad significa que la distancia entre y es mayor que Así, o El conjunto solución es Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera números reales y si entonces o Ejemplo. Resolver la inecuación Solución. Sabiendo que: Por lo que el conjunto solución es: .