Condiciones Kuhn Tucker y Lagrange

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
CONDICIONES DE KUHN TUCKER
Y LAGRANGE
Alumna: Luisana Marquez

2. Condiciones de Kuhn-Tucker
Estas condiciones se nombran en honor de Harold W. Kuhn,
miembro emérito del Departamento de Matemáticas de
Princeton, y Albert W. Tucker, quien formuló por primera
vez y estudió las condiciones. Por consiguiente, también
son utilizados para optimizar sistemas aplicando estas
condiciones
para
determinar
las
desigualdades
estableciendo restricciones dentro de los problemas y
representar su máximo tomando en cuenta n variables
permitiendo analizar el problema tomando en cuenta todos
los aspectos que intervienen dentro del mismo así como sus
limitaciones. Por ejemplo tenemos un repartidor el cual
presenta limitaciones como tiempo para realizar la entrega
en el lapso estipulado por el destinatario.

3. Formulación
Considere el problema de optimización:
Min f(x1, x2, . . . , xn)
sujeto a
g1(x1, x2, . . . , xn) ≤0
g2(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0
gm(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0

4. El método de solución procede de la siguiente manera.
Cambiemos cada restricción de desigualdad gi ≤ 0 a una
restricción de igualdad introduciendo una variable si de la
siguiente manera:
gi ≤ 0
gi + si² = 0
De acuerdo a la técnica de los multiplicadores de Lagrange se
construye la función:
Los puntos que minimizan a f sujeta a las restricciones
gi ≤0 (1 ≤ i ≤ m) están dentro de los puntos críticos de F:

5. Que hacen cero las parciales con respecto a las
variables xj (j = 1, . . . , n):
Que hacen cero las parciales con respecto a las
variables λi (i = 1, . . . ,m):
Que hacen cero las parciales con respecto a la
variables si (i = 1, . . . ,m):

6. Teorema
Suponga una formulación para el problema anterior de
minimización. Si X0 = (a1, a2, . . . , an) es un óptimo,
entonces deben existir números reales llamados
multiplicadores λ1, λ2,. . . , λm no negativos tales que (a1,
a2, . . . , an, λ1, . . . , λm) es un punto crítico para F. Es decir
que se cumple:
Observe que los valores de si se obtienen de la relación
gi + si² = ≤ 0 y de que gi ≤ 0.

7. Si ahora el problema es de maximización:
Max f(x1, x2, . . . , xn)
sujeto a
g1(x1, x2, . . . , xn) ≤0
g2(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0
gm(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0
Para su solución lo cambiamos a un problema de minimización
para −f(x). En este caso la función F queda en la forma:

8. Teorema
Suponga una formulación para el problema anterior en el
caso de maximización. Si x0 = (a1, a2, . . . , an) es un óptimo,
entonces deben existir números reales llamados
multiplicadores λ1, λ2,. . . , λm no negativos tales que
(a1, a2, . . . , an, λ1, . . . , λm) es un punto crítico para F.
Es decir, que se cumple:

9. Uso de las Condiciones KKT
La forma de operar las condiciones de KKT será la siguiente:
Como lo que buscamos es el punto xo y de inicio se desconoce,
entonces las ecuaciones de las condiciones de los bloques I y II se
piensan como un sistema de ecuaciones en las variables X j’ s y λ
j’ s : Se intenta resolver tal sistema de ecuaciones y en caso de
encontrarse las soluciones se revisan una a una para ver cual de
ella cumple que los y λ j’ s son no negativos y que también se
cumplen las restricciones gi ≤ 0 en los puntos encontrados.
Normalmente se realiza una tabla donde se hace la verificación.
Observe también es posible trabajar el problema de maximización
resolviendo el problema de minimización pero conservando
aquellos puntos que tengan los valores de los multiplicadores no
positivos.