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República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Universidad Politécnica territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo Lara
Números reales
(presentación)
Nombre:
Luisender Antequera CI: 32257436
Sección del PNF de informática: IN0404
DEFINICION DE CONJUNTOS
Un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está
formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos
matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno sus elementos) o por
comprensión (se menciona solo una característica común a todos los elementos).
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la
colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de
los objetos de la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de
los colores del arcoíris es:
Al= {rojo, naranja, verde, amarillo, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por
ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, la
propiedad de los números primos es:
P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden
en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera
idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos.
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, el conjunto de los números naturales es infinito, pero
el conjunto de los planetas en el sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los
conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con
números.
Ejemplo 1: Z= {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}
Ejemplo 2 : {0, 1, 2, 3, 4…}
-99 -3 5
15 16 98
-2
-99 -88 -9
-6 -5 -2
13 15
UNIÓN
Es la operación que nos permiten unir dos o mas conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a
todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un
conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A,
con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: U. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unión de
conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.
a) Dados los conjunto A= {-2, -5, -88, -99} y B = {13, -6, -9, 15}
AUB = {-99, -88, -9, -6, -5, -2, 13, 15}
AUB
b) Dados los conjuntos A = {-2, -3, 5, 98, 15} y B = {-3,-2,-99,16}
AUB = {-99,-3,-2, 5, 15, 16, 98}
AUB
-3
-2
-3
2
4
-2
-1 0 1
2 3
INTERSECCIÓN
Es la operación que nos permite formar un conjunto, solo con los elementos comunes involucrados en
la operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la de la intersección de los conjuntos A y B, estará
formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A
y B, serán excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Dados los conjuntos A= {-3, -2, 1, 5} y B= {-1, 8, 9}
A∩B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
A∩B
Dados los conjuntos A= {-2, -1, 0, 1, 3} y B= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 4}
A∩B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
A∩B
-1 8
0 1 9
2 3
4 5
-33
3 3
4
0 -1
2
1
DIFERENCIAS
Es la operación que nos permite formar un conjunto en donde de dos conjuntos el conjunto resultante
es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados los
conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entre A y B, estará formado por todos los elementos de A
que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que de usa para la
resta o sustracción, que es el siguiente: -.
a) Dados los conjuntos A= {-1, 0, 1, 2} y B= {-33, -1, 2, 3, 4} La diferencia entre A y B será A-
B = {0, 1}
A-B
b) Dados los conjuntos F = {-88, 99, 14, 66, 33} y G= {1, 2, 3, 4, 14, 33} La diferencia entre
F y G será F-G = {-88, 99, 66}
6
7
99
1
2 3
4
-88 14
99 33
66
1 5
2 3
4 104 88
F-G
DIFERENCIAS SIMÉTRICA
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante
es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formada por todos los elementos no comunes a los
conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente:
∆.
Dados los conjuntos A= {1, 2, 3, 4, 5, 88, 104} y B= {5, 6, 7, 88, 99} La diferencia simétrica
entre A y B será A ∆ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 99, 104}
A ∆ B
4
5
14 1
17 2
20 3
J
Jˈ -3 -2
1 5
-1
0
6
Dados los conjuntos J = {14, 17, 20, 1, 2, 3} y D = {1, 2, 3, 4, 5} La diferencia simétrica
entre J y D será J ∆ D = {4, 5, 14, 17, 20}
J ∆ D
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Es la operación que nos permite formar un conjunto de todos los elementos del conjunto de referencia o
universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que está incluido en el conjunto
universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta
operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera,
algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
a) Dado el conjunto universal U= {-1, -2, -3, 0, 1, 5, 6} y el conjunto J= {-1, 0, 6} el conjunto
complemento es Gˈ = {-3, -2, 1, 5}
U
b) Dado el conjunto universal U= {-88, -22, 25, -3, 2, 3} y el conjunto G= {-25, -3, 3} el
conjunto complemento es Gˈ = {-88, -22, 2}
NUMEROS REALES
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e
irracionales. Se representa con la letra (AQUÍ LA LETRA RARA).
Los números reales son los que pueden ser expresados por un numero entero (3, 28, 1568) o decimal
(4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden
representarse como el cociente de dos números enteros con denominador distinto a cero) y los números
irracionales (los que pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador
diferente a cero).
Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número
complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).
a) 5 es un número real 5=5,0000…
b) 8 es un número real ya que 8=8,0000…
c)
5
4
es un número real
5
4
=1,5
d)
3
5
es un número real
3
5
=0,6
Gˈ -88
-22
2
-5
-3
3
DESIGUALDADES
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de
desigualdad son:
≠ No es igual
< Menor que >
Mayor que
≤ Menor o igual que
≥ Mayor o igual que
1) Todo número positivo es mayor que cero.
a) 22>0; porque 22-0=22
b) 99>0; porque 99-0=99
2) Todo número negativo es menor que cero.
Ejemplo:
a) -10 <0; ya que -10-0=-10
b) -130<0; porque -130-0=-130
3) Si do números son negativos es mayor el que tiene menos valor absoluto.
Ejemplo:
a) -69>-114; porque -69-(114)=-69+114
b) -32>-34; porque -32-(34)=-32+34=2
4) Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.
Por ejemplo:
X-5<8
Propiedades:
1- a ± c < 6 ± c
Ejemplo:
a) 2+X>16
-2+2X>16-12 (restamos 2 en ambos lados)
X>14
b) X-5>20
X-5+5>0+5 (sumamos 5 en ambos lados)
X>25
a) .20 <100 C=2
20.2<100.2
40<200
b) 88<42 C=8
8.88<42.8
704<336
c) 88<166 C=-12
(-12).88>166. (-12)
-1056>-1992
d) 204>56
(-48).204<56. (-48)
-9792<-2688
DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, denotado por │x│, es el valor no negativo de x, sin importar el
signo, sea este positivo o negativo, así 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto de un número a, representado como │a│, es su valor numérico (con signo positivo).
a) |-100|=100
b) |1200|=1200
c) |258|=258
d) |-350|=350
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una
variable dentro.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto hay dos casos a considerar:
Caso 1: la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualquier número real a y b, si │a│< b, entonces a < b y a > -b.
a) |X-8|<16
-16<X-8<16
-16<X-8 y X-8<16
8-16<X-8+8 y X+8-8<16+8
-8<X y X<24
b) |X+16|<32
-32<X+16<32
-32<X+16 y X+16+16<32
-16-32<X+16-16 y X-16+16<32-16
-48<X y X<16

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NUMEROS NATURALES (PRESENTACION) LUISENDER. A.pdf

  • 1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universidad Politécnica territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto – Edo Lara Números reales (presentación) Nombre: Luisender Antequera CI: 32257436 Sección del PNF de informática: IN0404
  • 2. DEFINICION DE CONJUNTOS Un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno sus elementos) o por comprensión (se menciona solo una característica común a todos los elementos). Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos de la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: Al= {rojo, naranja, verde, amarillo, azul, añil, violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, la propiedad de los números primos es: P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, el conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Ejemplo 1: Z= {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…} Ejemplo 2 : {0, 1, 2, 3, 4…}
  • 3. -99 -3 5 15 16 98 -2 -99 -88 -9 -6 -5 -2 13 15 UNIÓN Es la operación que nos permiten unir dos o mas conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: U. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unión de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión. a) Dados los conjunto A= {-2, -5, -88, -99} y B = {13, -6, -9, 15} AUB = {-99, -88, -9, -6, -5, -2, 13, 15} AUB b) Dados los conjuntos A = {-2, -3, 5, 98, 15} y B = {-3,-2,-99,16} AUB = {-99,-3,-2, 5, 15, 16, 98} AUB
  • 4. -3 -2 -3 2 4 -2 -1 0 1 2 3 INTERSECCIÓN Es la operación que nos permite formar un conjunto, solo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la de la intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, serán excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩. Dados los conjuntos A= {-3, -2, 1, 5} y B= {-1, 8, 9} A∩B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} A∩B Dados los conjuntos A= {-2, -1, 0, 1, 3} y B= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 4} A∩B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} A∩B -1 8 0 1 9 2 3 4 5
  • 5. -33 3 3 4 0 -1 2 1 DIFERENCIAS Es la operación que nos permite formar un conjunto en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados los conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entre A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que de usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -. a) Dados los conjuntos A= {-1, 0, 1, 2} y B= {-33, -1, 2, 3, 4} La diferencia entre A y B será A- B = {0, 1} A-B b) Dados los conjuntos F = {-88, 99, 14, 66, 33} y G= {1, 2, 3, 4, 14, 33} La diferencia entre F y G será F-G = {-88, 99, 66}
  • 6. 6 7 99 1 2 3 4 -88 14 99 33 66 1 5 2 3 4 104 88 F-G DIFERENCIAS SIMÉTRICA Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formada por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: ∆. Dados los conjuntos A= {1, 2, 3, 4, 5, 88, 104} y B= {5, 6, 7, 88, 99} La diferencia simétrica entre A y B será A ∆ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 99, 104} A ∆ B
  • 7. 4 5 14 1 17 2 20 3 J Jˈ -3 -2 1 5 -1 0 6 Dados los conjuntos J = {14, 17, 20, 1, 2, 3} y D = {1, 2, 3, 4, 5} La diferencia simétrica entre J y D será J ∆ D = {4, 5, 14, 17, 20} J ∆ D COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Es la operación que nos permite formar un conjunto de todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. a) Dado el conjunto universal U= {-1, -2, -3, 0, 1, 5, 6} y el conjunto J= {-1, 0, 6} el conjunto complemento es Gˈ = {-3, -2, 1, 5} U
  • 8. b) Dado el conjunto universal U= {-88, -22, 25, -3, 2, 3} y el conjunto G= {-25, -3, 3} el conjunto complemento es Gˈ = {-88, -22, 2} NUMEROS REALES Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra (AQUÍ LA LETRA RARA). Los números reales son los que pueden ser expresados por un numero entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos números enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero). Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional). a) 5 es un número real 5=5,0000… b) 8 es un número real ya que 8=8,0000… c) 5 4 es un número real 5 4 =1,5 d) 3 5 es un número real 3 5 =0,6 Gˈ -88 -22 2 -5 -3 3
  • 9. DESIGUALDADES Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: ≠ No es igual < Menor que > Mayor que ≤ Menor o igual que ≥ Mayor o igual que 1) Todo número positivo es mayor que cero. a) 22>0; porque 22-0=22 b) 99>0; porque 99-0=99 2) Todo número negativo es menor que cero. Ejemplo: a) -10 <0; ya que -10-0=-10 b) -130<0; porque -130-0=-130 3) Si do números son negativos es mayor el que tiene menos valor absoluto. Ejemplo: a) -69>-114; porque -69-(114)=-69+114 b) -32>-34; porque -32-(34)=-32+34=2 4) Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación. Por ejemplo: X-5<8 Propiedades: 1- a ± c < 6 ± c
  • 10. Ejemplo: a) 2+X>16 -2+2X>16-12 (restamos 2 en ambos lados) X>14 b) X-5>20 X-5+5>0+5 (sumamos 5 en ambos lados) X>25 a) .20 <100 C=2 20.2<100.2 40<200 b) 88<42 C=8 8.88<42.8 704<336 c) 88<166 C=-12 (-12).88>166. (-12) -1056>-1992 d) 204>56 (-48).204<56. (-48) -9792<-2688 DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, denotado por │x│, es el valor no negativo de x, sin importar el signo, sea este positivo o negativo, así 3 es el valor absoluto de +3 y de -3. El valor absoluto de un número a, representado como │a│, es su valor numérico (con signo positivo). a) |-100|=100 b) |1200|=1200
  • 11. c) |258|=258 d) |-350|=350 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto hay dos casos a considerar: Caso 1: la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualquier número real a y b, si │a│< b, entonces a < b y a > -b. a) |X-8|<16 -16<X-8<16 -16<X-8 y X-8<16 8-16<X-8+8 y X+8-8<16+8 -8<X y X<24 b) |X+16|<32 -32<X+16<32 -32<X+16 y X+16+16<32 -16-32<X+16-16 y X-16+16<32-16 -48<X y X<16