1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
ECUACIÓN DIFERENCIAL
PRESENTADA POR:
 Condori Mejia Mery
Abancay – Apurímac – Perú
2022
APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

2. INTRODUCCIÓN
La matemática es una abstracción de la realidad. Es poner en símbolos lo que nos
rodea. Es una herramienta poderosa que nos conduce a través de la aplicación
rigurosa de sus leyes y de la lógica a soluciones precisas. Ante una situación real:
ajuste de especificaciones en las áreas de ingeniería, sistemas computacionales,
economía, etc. El camino a seguir es:
 Establecer la ecuación diferencial que traduce fielmente al lenguaje simbólico
el fenómeno a estudiar.
 Catalogar y resolver dicha ecuación.
 Analizar la solución.
Para mayor facilidad se expondrán juntos los problemas concernientes a varias
ramas del saber.

3. APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
I. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA GEOMETRÍA
Cuando un problema geométrico está enunciado en términos de la recta tangente o
la recta normal, los puntos de corte de estas con los ejes coordenados quedan
expresados en función de la derivada y el modelo matemático que se obtiene va a
representar una ecuación diferencial ya que las pendientes de las rectas tangente y
normal a una curva en un punto, se puede expresar en términos de sus derivadas
Ejercicios planteados
1.1. La pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) vale x + 2y.
Determinar la ecuación de dicha curva si, además sabemos que pasa
por el origen de coordenadas.
Solución:
“Traducimos” al lenguaje simbólico la primera parte de la información.
La pendiente se representa en geometría analítica por la letra m y en
cálculo diferencial por la expresión
𝑑𝑦
𝑑𝑥
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 + 2𝑦
Nos indica que la curva pasa por el origen entonces
𝑦(0) = 0
Esta ecuación es lineal, no homogénea y de primer orden
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 + 2𝑦
Donde 𝑓(𝑥) = −2, 𝑟(𝑥) = 𝑥
→ 𝑦 = 𝑒− ∫ −2𝑎𝑥
[∫ 𝑒∫ −2𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥 + 𝑐]
→ 𝑦 = 𝑒2𝑥[∫ 𝑒−2𝑥
𝑥𝑑𝑥 + 𝑐]
𝑦 = 𝑒2𝑥
[−
𝑥
2
𝑒−2𝑥
−
1
4
𝑒−2𝑥
+ 𝑐]
𝑦 = −
𝑥
2
−
1
4
+ 𝑐 𝑒 2𝑥
Parra 𝑦(0) =0

4. 0 = 0 −
1
4
+ 𝑐, 𝑐 =
1
4
𝑦 = −
𝑥
2
−
1
4
+
1
4
𝑒2𝑥
o 4𝑦 = −2𝑥 − 1 + 𝑒2𝑥
1.2. Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (0, 1) con las
siguientes propiedades:
1. El área bajo la curva limitada por los ejes coordenados y la
ordenada de cualquier punto es igual a:
2. La longitud de la curva correspondiente a dicha región.
Solución:
Por la condición tenemos
𝑆 = ∫ 𝑦
𝑋
0
𝑑𝑥
Que representa el área
𝐿 = ∫ √1 + 𝑦´2
𝑋
0
𝑑𝑥

5. Que representa la longitud de la curva en el tramo correspondiente.
Entonces, como 𝑆 = 𝐿 tenemos:
∫ 𝑦
𝑋
0
𝑑𝑥 = ∫ √1 + 𝑦´2
𝑋
0
𝑑𝑥
Derivamos con respecto a 𝒙
𝑦 = √1 + 𝑦´2
𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:
𝑑𝑦
√1+𝑦´2
= 𝑑𝑥
𝑪𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍:
𝑥 = ln(𝑦 + √𝑦2 − 1 ) + 𝑐
𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟎, 𝟏), 𝒄 = 𝟎 𝒚 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔:
𝑥 = ln(𝑦 + √𝑦2 − 1 )
II. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS AL CRECIMIENTO Y
DECRICIMIENTO
Uno de los primeros intentos para modelar el crecimiento de la población humana
por medio de las matemáticas fue realizado en 1798 por el economista inglés
Thomas Malthus. Básicamente la idea detrás del modelo de Malthus es la
suposición de que la razón con la que la población de un país en un cierto tiempo
es proporcional* a la población total del país en ese tiempo. En otras palabras, entre
más personas estén presentes al tiempo t, habrá más en el futuro. En términos
matemáticos, si P(t) denota la población al tiempo t, entonces esta suposición se
puede expresar como
donde k es una constante de proporcionalidad. Este modelo simple, falla si se
consideran muchos otros factores que pueden influir en el crecimiento o
decrecimiento (por ejemplo, inmigración y emigración), resultó, sin embargo,
bastante exacto en predecir la población de los Estados Unidos, durante 1790-1860.

6. Las poblaciones que crecen con una razón descrita por la ecuación (1) son raras;
sin embargo, (1) aún se usa para modelar el crecimiento de pequeñas poblaciones
en intervalos de tiempo cortos (por ejemplo, crecimiento de bacterias en una caja
de Petri).
Ejercicios planteados
2.1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón
proporcional al número de personas presentes en el tiempo 𝒕. Si la
población inicial 𝑷𝟎 se duplico en 5 años, ¿en cuánto tiempo esta
población se triplicará?
Solución:
Sea
𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑎ñ𝑜
𝑃: 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡
𝑃0: 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑘: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑃
𝑑𝑡
: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
De tal manera que
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃……………………………………………………………………………(1)
𝑑𝑃
𝑃
= 𝑘𝑑𝑡 ⇒ ∫
𝑑𝑃
𝑃
= ∫ 𝑘𝑑𝑡 ⇒ 𝑙𝑛𝑃 = 𝑘𝑡 + 𝑐 ⇒ 𝑃 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐
⇒ 𝑃 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐
𝑒𝑐
,
⇒ 𝑃 = 𝐶𝑒𝑘𝑡
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . … . . … (2)
𝑃0 = 𝐶𝑒𝑘(0)
⇒ 𝐶 = 𝑃0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . (3)
Sustituimos la ecuación (3) en (2)
𝑃0 = 𝐶𝑒𝑘𝑡
… … … … … … … … … … … … … … … . … … … … … … … … … … … … … … (4)
En 5 años la población inicial se duplica:

7. 2𝑃0 = 𝑃0𝑒𝑘(5)
⇒ 𝑒5𝑘
= 2 ⇒ 5𝐾 = 𝑙𝑛2 ⇒ 𝑘 =
𝑙𝑛2
5
… … … … … … … … … … … … . (5)
𝑃 = 𝑃0𝑒
𝑙𝑛2
5
𝑡
𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 (5)𝑒𝑛 (4)
3𝑃0 = 𝑃0𝑒
𝑙𝑛2
5
𝑡
⇒ 3 = 𝑒
𝑙𝑛2
5
𝑡
⇒ 𝑙𝑛3 =
𝑙𝑛2
5
𝑡 ⇒ 𝑡 =
5𝑙𝑛3
𝑙𝑛2
⇒ 𝑡 = 7.9
4𝑃0 = 𝑃0𝑒
𝑙𝑛2
5
𝑡
⇒ 4 = 𝑒
𝑙𝑛2
5
𝑡
⇒ 𝑙𝑛4 =
𝑙𝑛2
5
𝑡 ⇒ 𝑡 =
5𝑙𝑛4
𝑙𝑛2
⇒ 𝑡 = 10
𝑹𝒕𝒂: 𝑳𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒔𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒏 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟕. 𝟗
𝒂ñ𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒖𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒏 𝟏𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔
2.2. La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la
población en tiempo 𝒕. La población inicial de 500 aumenta un 15% en
10 años ¿cuál será la población pasad 30 años? ¿Qué tan rápido está
creciendo la población en 𝒕 = 𝟑𝟎?
Solución:
donde
𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑎ñ𝑜
𝑃: 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡
𝑃0: 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑘: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑃
𝑑𝑡
: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
De tal manera que
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃……………………………………………………………………………(1)
𝑑𝑃
𝑃
= 𝑘𝑑𝑡 ⇒ ∫
𝑑𝑃
𝑃
= ∫ 𝑘𝑑𝑡 ⇒ 𝑙𝑛𝑃 = 𝑘𝑡 + 𝑐 ⇒ 𝑃 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐
⇒ 𝑃 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐
𝑒𝑐
,
⇒ 𝑃 = 𝐶𝑒𝑘𝑡
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . … . . … (2)
𝑃0 = 𝐶𝑒𝑘(0)
⇒ 𝐶 = 𝑃0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . (3)
Calculamos los valores numéricos de las constantes
𝑃 = 𝐶𝑒𝑘𝑡

8. 𝑃(0) = 𝐶𝑒𝑘∗0
= 500
𝑃(𝑡) = 500𝑒𝑘∗𝑡
𝑃(10) = 500 +
15∗500
100
𝑒10𝑘
= 1.15
10𝑘 = 𝑙𝑛1.15
𝑘 = 0.014
𝑃(𝑡) = 500𝑒𝑘∗𝑡
𝑃(𝑡) = 500𝑒0.014𝑡
ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 30 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑃(30) = 760
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 10.6
𝐿𝒂 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝟏𝟏 𝒂ñ𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗𝒖𝒅𝒖𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒂ñ𝒐
III. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS TEMPERATURAS DE
NEWTON
LEY DE ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO DE NEWTON
De acuerdo con la ley empírica de Newton de enfriamiento/calentamiento, la rapidez
con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre
la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea, que se llama temperatura
ambiente. Si 𝑇(𝑡) representa la temperatura del cuerpo al tiempo 𝑡, 𝑇𝑚 t, Tm es
la temperatura del medio que lo rodea y
𝑑𝑇
𝑑𝑡
es la rapidez con que cambia la
temperatura del cuerpo, entonces la ley de Newton de enfriamiento/calentamiento
traducido en una expresión matemática es ecuación diferencial en circuito
y
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝛼𝑇 − 𝑇

9. donde 𝑘 es una constante de proporcionalidad. En ambos casos, enfriamiento o
calentamiento, si 𝑇𝑚 es una constante, se establece que 𝑘 < 0
Ejercicios planteados
3.1. Según la ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfría una
sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia de temperaturas de
la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28° y la sustancia se
enfría de 100° a 80° en 12 minutos, ¿en qué momento estará a una
temperatura de 50 grados?
Solución:
Llamaremos 𝑇 a la temperatura de la sustancia a los 𝑡 minutos
Entonces,
𝑑𝑇
𝑠𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 28) es la ecuación del proceso, donde la constante
negativa representa perdida o disminución.
Solucionaremos por el método de variable separable
𝑇 = 𝑐𝑒−𝑘𝑡
+ 28
Aplicando las condiciones iniciales
𝑡 = 0 𝑇 = 100 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
100 = 𝑐 + 28, 𝐶 = 72
Para 𝒕 = 𝟏𝟐, 𝑻 = 𝟖𝟎
80 = 72𝑒−12𝑘
+ 28
𝑘 =
1
12
ln
13
28
Entonces 𝑻 = 𝟕𝟐𝒆
−(
𝟏
𝟏𝟐
)𝐥𝐧(
𝟏𝟑
𝟐𝟖
)𝒕
+ 𝟐𝟖
Para 𝑻 = 𝟓𝟎
𝟓𝟎−𝟕𝟖
𝟕𝟐
= 𝒆
−(
𝟏
𝟏𝟐
)𝐥𝐧(
𝟏𝟑
𝟐𝟖
)𝒕
𝒍𝒏
𝟏𝟏
𝟑𝟔
=
𝟏
𝟏𝟐
(𝒍𝒏
𝟏𝟑
𝟏𝟖
) 𝒕
𝑡 = 43.72 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

10. 3.2. A la 1 p.m. un termómetro que marca 70° es trasladado al exterior donde
el aire tiene una temperatura de 10° a las 1.02 p.m. la temperatura es de
26° ¿Cuál es la lectura del termómetro a las 1?04 p.m
Solución

11. 𝑻 = 𝟔. 𝟐°
IV. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A VACIADO DE TANQUES
4.1. Un cilindro circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con
agua. ¿Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro
cuando se vaciara todo el tanque?
Solución:

12. Solución:
Aplicamos la formula
𝑨(𝒉)𝒅𝒉 = −𝒂𝒄√𝟐𝒈𝒉 … … … … 𝒆𝒄𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝟏.
El diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada,
por lo tanto, el radio es ½ pulgadas. Se utiliza la equivalencia de 1 pulgada
Aplicamos la formula= 𝟏
𝟏
𝟐
pies y en área del orificio de salida es el área
una circunferencia 𝝅 𝒓𝟐
𝐴 = 𝜋
12
24
=
𝜋
576
√64ℎ 𝑑𝑡
8𝜋
576
√ℎ
Multiplicando por
𝟏
𝝅
y simplificando
100𝑑ℎ = −
1
72
√ℎ 𝑑𝑡 … … … … . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variable separable y para
las variables se debe multiplicar por el factor −
𝟕𝟐
√𝒉
−
7200
√ℎ
𝑑ℎ = 𝑑𝑡

13. 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 − 7200 ∫
1
√ℎ
𝑑ℎ = ∫ 𝑑𝑡 … … … … . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (3)
Ambas integrales son inmediatas
∫
1
√ℎ
𝑑ℎ = ∫ ℎ−
1
2𝑑ℎ = 2ℎ−
1
2 = 2√ℎ + 𝑘1
∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝑘2
Sustituyendo en la ecuación (3)
−14400 + √ℎ = 𝑡 + 𝑘 … … … … … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (4)
Cuando 𝒕 = 𝟎 𝒚 𝒉 = 𝟐𝟎 𝒑𝒊𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔
𝑘 = −14400√20
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟒)
−14400 + √ℎ = 𝑡 − 14400√20
𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 −
𝟏
𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎
𝒚 𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐
ℎ(𝑡) = (−
𝑡
14400
+ √202) … … … … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (5)
La ecuación (5) es la ley de variaciones de la altura del líquido del tanque en
cualquier instante 𝑡
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆𝒎𝒐𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒗𝒂𝒄𝒊𝒂𝒓𝒔𝒆 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒏𝒒𝒖𝒆 𝒉 =
𝟎 𝒚 𝒔𝒆 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟓
𝑇 = 14400√20
𝑇 = 64398.75 𝑆𝑒𝑔. ≅ 17 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 53 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑦 19 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
4.2. Un tanque con forma cilíndrica que contiene agua con una profundidad de
9 metros. Si se le quita el tapón del fondo en un 𝒕 = 𝟎 ( 𝒆𝒏 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔) y después
de 1 hora la profundidad del agua ha disminuido a 4 m ¿Cuánto tiempo
tardara en vaciarse?
Solución:

14. Datos:
𝑦(0) = 9
𝑦(1) = 4
𝐴
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑘√𝑦
𝑑𝑦
√𝑦
= −
𝑘
𝐴
𝑑𝑡
∫ 𝑦−
1
2𝑑𝑦 = ∫
𝑘
𝐴
𝑑𝑡
𝑦
−
1
2
+1
−
1
2
+1
= −
𝑘
𝐴
𝑡 + 𝐶1 ⇒ √𝑦 =
1
2
(−
𝐾
𝐴
𝑡 + 𝐶1)
𝑦
1
2
1
2
= −
𝑘
𝐴
𝑡 + 𝐶1 ⇒ √𝑦 = −
𝑘
2𝐴
𝑡 + 𝐶
Remplazamos loa valores de 𝒕 = 𝟎
√9 = −
𝑘
2𝐴
(0) + 𝐶
𝐶 = 3
Hay que tener en cuenta los siguientes datos
𝑦(1) = 4
𝑡 = 1
𝑦 = 4
𝐶 = 3

15. Remplazamos los datos en la formula
√𝑦 = −
𝑘
2𝐴
𝑡 + 𝐶
√4 = −
𝑘
2𝐴
(1) + 3
𝑘
2𝐴
= 1
Remplazamos
√𝑦 = −
𝑘
2𝐴
𝑡 + 𝐶
√𝑦 = −𝑡 + 3
𝑦(𝑡) = (𝑡 − 3)2
Cuando el tanque está vacío 𝒚(𝒕) = 𝟎
(𝑡 − 3)2
= 0
𝑡 − 3 = 0
𝑡 = 3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
V. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A CIRCUITO ELECTRICO
CIRCUITOS EN SERIE
Considere el circuito en serie simple que tiene un inductor, un resistor y un
capacitor que se muestra en la fi gura 1.3.3a. En un circuito con el interruptor
cerrado, la corriente se denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se
denota por q(t). Las letras L, R y C son conocidas como inductancia, resistencia
y capacitancia, respectivamente y en general son constantes. Ahora de acuerdo
con la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado E(t) a un circuito cerrado
debe ser igual
a la suma de las caídas de voltaje en el circuito. La fi gura 1.3.3b muestra los
símbolos y fórmulas de las caídas respectivas de voltaje a través de un inductor,

16. un capacitor y un resistor. Como la corriente i(t) está relacionada con la carga
q(t) en el capacitor mediante i dqdt, sumamos los tres voltajes
E igualando la suma de los voltajes con el voltaje aplicado se obtiene la
ecuación diferencial de segundo orden
Planteamiento de problemas
5.1. Encuentre la corriente 𝑰 como función del tiempo para el circuito de la
figura, si el interruptor S se cierra cuando 𝑰 = 𝟎 𝒆𝒏 𝒕 = 𝟎.
Solución:
𝑢(𝑡) = 𝑒∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡
𝑢(𝑡) = 𝑒∫ 60𝑑𝑡
𝑢(𝑡) = 𝑒∫ 60𝑡
𝐿
𝑑𝑙
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼(𝑡) = 𝐸(𝑡)
4
𝑑𝑙
𝑑𝑡
+ 60𝐼(𝑡) = 3

17. 𝑒60𝑡
4
𝑑𝑙
𝑑𝑡
+ 60𝐼(𝑡) = 3𝑒60𝑡 𝑑
𝑑𝑡
(4𝑒60𝑡
𝐼(𝑡)) = 3𝑒60𝑡
𝑑(4𝑒60𝑡
𝐼(𝑡)) = 3𝑒60𝑡
𝑑𝑡 ∫ 𝑑(4𝑒60𝑡
𝐼(𝑡)) = ∫ 3𝑒60𝑡
4𝑒60𝑡
𝐼(𝑡) =
1
20
𝑒60𝑡
+ 𝐶 𝐼(𝑡) =
1
80
+
𝑐
4𝑒60𝑡
0 =
1
80
+
𝑐
4𝑒60𝑡
𝐶 = −
1
20
𝐼(𝑡) =
1
80
−
1
80𝑒60𝑡
𝐶 = −
1
20
𝐼(𝑡) =
1
80
−
1
80𝑒60𝑡
5.2. Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una inductancia de 1 henrio, una
resistencia de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar la
corriente en el circuito para cualquier tiempo t.
El circuito más sencillo RL consta de:
 Una resistencia R, en ohmios.
 Una inductancia L, en henrios.
 Una fuerza electromotriz, fem E, en voltios.

18. Solución:
La cantidad de corriente 𝐼, en amperios, queda expresada por la ecuación
𝒅𝒍
𝒅𝒕
+
𝑹
𝑳
𝑰 =
𝑬
𝑳
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸 = 5, 𝐿 = 1 𝑦 𝑅 = 80, 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑠:
𝐼 =
1
16
+ 𝑐𝑒−80𝑡
Para 𝑡 = 0, 𝐼 = 0; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑐 = −
1
16
La corriente en cualquier tiempo 𝑡 𝑒𝑠:
𝐼 =
1
16
(1 − 𝑒−80𝑡)