CALCULO VECTORIAL

1. 1
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
GUIA DE APRENDIZAJEGUIA DE APRENDIZAJEGUIA DE APRENDIZAJEGUIA DE APRENDIZAJE
UNIDAD 4 :UNIDAD 4 :UNIDAD 4 :UNIDAD 4 : INTEGRALES MÚLTIPLESINTEGRALES MÚLTIPLESINTEGRALES MÚLTIPLESINTEGRALES MÚLTIPLES
Objetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicos
Interpretar las componentes de una integral doble
Bosquejar el área sobre la cual una integral doble es definida
Evaluar una integral doble por integración repetida
Revertir el orden de una integral doble
Convertir una integral doble a coordenadas polares y evaluarla
Encontrar volúmenes usando integrales dobles
Interpretar las componentes de una integral triple
Bosquejar la región sobre la cual una integral triple es definida
Evaluar una integral triple simple por repetida integración
Formular y evaluar una integral triple expresada en coordenadas cilíndricas
1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :
Los temas necesarios para esta unidad son :
Dominio y rango de funciones de una variable
Cálculo de funciones de una variable .
Identificación y grafica de curvas en 2D.
Identificación de superficies y sus graficas
2.2.2.2. MATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYO
Libro de texto: STEWART J., “Cálculo de Varias Variables: Trascendentes tempranas”, Editorial Cengage
Learning , Séptima edición, México, 2012.
Tabla de derivadas e integrales
Software matemático
Calculadora con CAS
3.3.3.3. ACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICAS
Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase.
Elaboración de las respuestas de los ejercicios propuestos de la guía, justificación de cada etapa del
desarrollo de ejercicios.
Análisis sobre resultados de los ejercicios desarrollados.
4.4.4.4. METODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍA DE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJO

2. 2
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es
imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad usando el texto recomendado por el
Docente.
Los estudiantes organizan grupos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar
los ejercicios propuestos de la guía
El docente solucionará las dudas referentes a la guía y orientará su desarrollo.
5.5.5.5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)
Realizar los siguientes ejercicios para la siguiente sesión como preparación para el estudio de la unidad 4 sobre
integrales múltiples.
Esta tarea extraclase será evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como
prerrequisitos de la unidadunidadunidadunidad 4444.
Además se le recuerda revisar la parte teórica de la unidad 4unidad 4unidad 4unidad 4....
5.15.15.15.1 Encontrar las ecuaciones de la región limitada por la curva y el primer cuadrante.
5555.2.2.2.2 Determinar ecuaciones para la región formada por una semiparábola, una recta inclinada y una recta
horizontal como se ve en la siguiente gráfica :
5.35.35.35.3 Hallar las intersecciones de las siguientes curvas y graficar
a) x² + y² – 2x – 6y = 12
b) 12x² + 20y² –12x + 40y –37 = 0
5.45.45.45.4 Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada.
r = 2 ∙ sen(θ)
5.55.55.55.5 Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada.
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
x
y
1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
x
y

3. 3
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
r = 6 + 6 ∙cos(θ)
5.65.65.65.6 Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de r = 4∙cos(2θ) y exterior a r = 2.
5.75.75.75.7 Determinar la ecuación de la superficie que se observa en la figura.
5.5.5.5.8888 Grafique la región en el primer octante limitada por la superficie Z=4-X2-Y2.
5.5.5.5.9999 Grafique la región comprendida dentro de la semiesfera 22
16 YXZ −−= y del cilindro X2+Y2=1, limitado
debajo por el plano Z=0.
5.105.105.105.10 Plantear una integral simple para calcular el área de la región sombreada. Evalue la integral.
Sugerencia :Sugerencia :Sugerencia :Sugerencia : dividir en varias regiones adecuadas.
6.6.6.6. REVISIÓN DE CONCEPTOSREVISIÓN DE CONCEPTOSREVISIÓN DE CONCEPTOSREVISIÓN DE CONCEPTOS
6.16.16.16.1 INTEGRALES DOBLESINTEGRALES DOBLESINTEGRALES DOBLESINTEGRALES DOBLES
La integral definida para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera:
La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la curva y= f(x) en un intervalo [a,b].
1
12
y
x

4. 4
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dos variables; primero deberíamos suponer que
ahora la región de integración sería de la forma [a,b]×[c,d], es decir un rectángulo de R 2 , la cual la denotamos
como R.
Haciendo particiones de la región R, de dimensiones no necesariamente iguales:
La ij − ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al área de esta partición, que estaría dada
por:
ΔAij = Δxi .Δyj
Podemos definir una función de dos variables z= f(x,y) en la región R, que para la ij − ésima partición sería:
Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráfica siguiente:

5. 5
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
El punto ( ‫̅ݔ‬i ,‫ݕ‬തj ) , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo.
El volumen del ij − ésimo paralelepípedo, denotémoslo como ΔVij , estaría dado por:
Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer una suma de volúmenes de una
cantidad infinita de paralelepípedos, es decir:
De aquí surge la definición de Integral doble :
Sea f(x,y) una función de dos variables definida en una región plana [a,b]×[c,d] . La expresión
lim௡→ஶ
௠→ஶ
෍ ෍ ݂൫‫ݔ‬௜, ‫ݕ‬௝൯∆‫ݔ‬௜∆‫ݕ‬௝ = න න ݂(‫,ݔ‬ ‫ݕ݀ݔ݀)ݕ‬
௕
௔
ௗ
௖
௡
௜ୀଵ
௠
௝ୀଵ
Se denomina Integral doble de la función f(x,y) sobre la región de integración R y si el límite existe se dice que la
función es integrable en R.
6.1.16.1.16.1.16.1.1 REGLAREGLAREGLAREGLA DEL PUNTO MEDIODEL PUNTO MEDIODEL PUNTO MEDIODEL PUNTO MEDIO
Los métodos que se emplearon para aproximar integrales simples (regla del punto medio, regla del trapecio, regla
de Simpson) tienen contrapartes para integrales dobles. Aquí se considera sólo la regla del punto medio para
integrales dobles, Esto significa que se usa una suma de Riemann doble para aproximar la integral doble, donde el
punto muestra (‫ݔ‬௜௝
∗
, ‫ݕ‬௜௝
∗
) en ܴ௜௝ se elige como el centro (‫̅ݔ‬௜, ‫ݕ‬ത௝) de ܴ௜௝. En otras palabras, ‫̅ݔ‬௜ es el punto medio
de[‫ݔ‬௜ିଵ, ‫ݔ‬௜] y ‫ݕ‬ത௝ es el punto medio de ൣ‫ݕ‬௝ିଵ, ‫ݕ‬௝൧.
ඵ ݂(‫,ݔ‬ ‫ܣ݀)ݕ‬ ≈ ෍ ෍ ݂(‫̅ݔ‬௜, ‫ݕ‬ത௝)∆‫ܣ‬
௡
௝ୀଵ
௠
௜ୀଵோ

6. 6
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
EjemploEjemploEjemploEjemplo 1111 Use la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar el valor de la integral ∬ (‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ଶ)݀‫ܣ‬ோ
, donde
ܴ = {(‫,ݔ‬ ‫|)ݕ‬ 0 ≤ ‫ݔ‬ ≤ 2, 1 ≤ ‫ݕ‬ ≤ 2}.
Al usar la regla del punto medio con m = n = 2, se evalúa ݂(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ = ‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ଶ
en los centros de los cuatro
subrectángulos mostrados en la figura. Por lo tanto, ‫̅ݔ‬ଵ =
ଵ
ଶ
, ‫̅ݔ‬ଶ =
ଷ
ଶ
, ‫ݕ‬തଵ =
ହ
ସ
y ‫ݕ‬തଶ =
଻
ସ
. El área de cada subrectángulo
es ∆‫ܣ‬ =
ଵ
ଶ
. Así que
ܸ = ඵ(‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ଶ)݀‫ܣ‬ ≈ ෍ ෍ ݂(‫̅ݔ‬௜, ‫ݕ‬ത௝)∆‫ܣ‬
ଶ
௝ୀଵ
ଶ
௜ୀଵோ
≈ ݂(‫̅ݔ‬ଵ, ‫ݕ‬തଵ)∆‫ܣ‬ + ݂(‫̅ݔ‬ଵ, ‫ݕ‬തଶ)∆‫ܣ‬ + ݂(‫̅ݔ‬ଶ, ‫ݕ‬തଵ)∆‫ܣ‬ + ݂(‫̅ݔ‬ଶ, ‫ݕ‬തଶ)∆‫ܣ‬
≈ ݂ ൬
1
2
,
5
4
൰ ∆‫ܣ‬ + ݂ ൬
1
2
,
7
4
൰ ∆‫ܣ‬ + ݂ ൬
3
2
,
5
4
൰ ∆‫ܣ‬ + ݂ ൬
3
2
,
7
4
൰ ∆‫ܣ‬
≈ ൬
83
16
൰
1
2
+ ൬
155
16
൰
1
2
+ ൬
99
16
൰
1
2
+ ൬
171
16
൰
1
2
=
127
8
ܸ = ඵ(‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ଶ)݀‫ܣ‬ ≈
ோ
127
8
6.26.26.26.2 EVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLESEVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLESEVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLESEVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLES
Recuerde que por lo común es difícil evaluar integrales simples directamente de la definición de una integral, pero
el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho más fácil. La evaluación de integrales dobles a partir
de primeros principios es incluso más difícil, pero en esta sección se ve cómo expresar una integral doble como
una integral iterada, que se puede evaluar entonces calculando dos integrales simples.
EjemploEjemploEjemploEjemplo 2222 Evalúe la integral iterada ‫׬‬ ‫׬‬ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݔ‬
ଶ
ଵ
ଷ
଴
.
Se considera a x constante y se obtiene :
න ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݔ‬
ଶ
ଵ
= ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
2
ቤ
2
1
0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
−0.50
−0.25
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
x
y
R11
R22R12
R21

7. 7
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
‫ݔ‬ଶ
ቆ
2ଶ
2
ቇ − ‫ݔ‬ଶ
ቆ
1ଶ
2
ቇ =
3
2
‫ݔ‬ଶ
Así, la función A está dada por ‫)ݔ(ܣ‬ =
ଷ
ଶ
‫ݔ‬ଶ
en este ejemplo. Ahora integrará esta función de x de 0 a 3:
න න ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݔ‬
ଶ
ଵ
ଷ
଴
= න ቈන ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ ݀‫ݕ‬
ଶ
ଵ
቉ ݀‫ݔ‬
ଷ
଴
න
3
2
‫ݔ‬ଶ
݀‫ݔ‬
ଷ
଴
=
‫ݔ‬ଷ
2
ቤ
3
0
=
27
2
6.2.16.2.16.2.16.2.1 TEOREMA DE FUBINITEOREMA DE FUBINITEOREMA DE FUBINITEOREMA DE FUBINI
Si f es continua en el rectángulo ܴ = {(‫,ݔ‬ ‫ܽ)ݕ‬ ≤ ‫ݔ‬ ≤ ܾ, ܿ ≤ ‫ݕ‬ ≤ ݀}, entonces
ඵ ݂(‫,ݔ‬ ‫ܣ݀)ݕ‬ = න න ݂(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݔ‬
ௗ
௖
௕
௔
= න න ݂(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ ݀‫ݔ‬ ݀‫ݕ‬
௕
௔
ௗ
௖
ோ
En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R, f es discontinua sólo en un número finito
de curvas uniformes y existen integrales iteradas.
6.2.26.2.26.2.26.2.2 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIOINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIOINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIOINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALESNES MÁS GENERALESNES MÁS GENERALESNES MÁS GENERALES
El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales.
En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana, como la que se muestra en la figura, puede
ser particionada de la siguiente manera:
Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:
Cuya área, denotada como dA, está dada por: dAdAdAdA ==== dxdydxdydxdydxdy ==== dydxdydxdydxdydx
Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la región plana R tiene la
forma:

8. 8
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
ඵ ‫,ݔ(ܨ‬ ‫ܣ݀)ݕ‬
ோ
Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras:
a)a)a)a) Haciendo un barrido vertical
න න ‫,ݔ(ܨ‬ ‫ݕ݀)ݕ‬ ݀‫ݔ‬
௙(௫)
௚(௫)
௕
௔
b)b)b)b) Haciendo primero un barrido horizontal
න න ‫,ݔ(ܨ‬ ‫ݔ݀)ݕ‬ ݀‫ݕ‬
௙(௬)
௚(௬)
ௗ
௖
EjemploEjemploEjemploEjemplo 3333 Evalúe‫׬‬ ‫׬‬ (‫ݔ‬ + 2‫ܣ݀)ݕ‬஽
, donde D es la región acotada por las parábolas y= 2x2 ,,,, y = 1 + x2.
Las parábolas se cortan cuando 2x2 = 1 + x2, es decir x2 = 1, por lo tanto ‫ݔ‬ = ±1.
‫ܦ‬ = {(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬: − 1 ≤ ‫ݔ‬ ≤ 1 , 2‫ݔ‬ଶ
≤ ‫ݕ‬ ≤ 1 + ‫ݔ‬ଶ}

9. 9
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
න න(‫ݔ‬ + 2‫ܣ݀)ݕ‬
஽
= න න (‫ݔ‬ + 2‫)ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݔ‬
ଵା௫మ
ଶ௫మ
ଵ
ିଵ
= න [‫ݕݔ‬ + ‫ݕ‬ଶ]1 + ‫ݔ‬ଶ
2‫ݔ‬ଶ
ଵ
ିଵ
݀‫ݔ‬
= න (−3‫ݔ‬ସ
− ‫ݔ‬ଷ
+ 2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ + 1)
૚
ି૚
݀‫ݔ‬
= ቈ−3
‫ݔ‬ହ
5
−
‫ݔ‬ସ
4
+ 2
‫ݔ‬ଷ
3
+
‫ݔ‬ଶ
2
+ ‫ݔ‬቉
1
−1
=
32
15
6.2.3 CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN6.2.3 CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN6.2.3 CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN6.2.3 CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN
EjemploEjemploEjemploEjemplo 4444 Calcular ‫׬‬ ‫׬‬ ‫ݕ‬ଶ
݁௫௬
݀‫ݕ݀ݔ‬
௬
଴
ଵ
଴
....
Las curvas que acotan la región de integración es R = ൝
‫ݔ‬ = ‫ݕ‬
‫ݔ‬ = 0
0 ≤ ‫ݕ‬ ≤ 1
Los puntos de intersección son (0,0) y (1,1), como tenemos primero a dx entonces el rectángulo se dibuja
horizontal.
−1 1
1
2
3
x
y
y=1+x^2
y=2x^2

10. 10
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
න න ‫ݕ‬ଶ
݁௫௬
݀‫ݕ݀ݔ‬ =
௬
଴
ଵ
଴
න ቈ
‫ݕ‬ଶ
݁௫௬
‫ݕ‬
቉
‫ݕ‬
0
ଵ
଴
݀‫ݕ‬
න න ‫ݕ‬ଶ
݁௫௬
݀‫ݕ݀ݔ‬ =
௬
଴
ଵ
଴
න[‫ݕ‬ ݁௫௬]
‫ݕ‬
0
ଵ
଴
݀‫ݕ‬ = න൫‫݁ݕ‬௬మ
− ‫ݕ‬൯݀‫ݕ‬ =
1
2
ൣ݁௬మ
− ‫ݕ‬ଶ
൧
1
0
ଵ
଴
න න ‫ݕ‬ଶ
݁௫௬
݀‫ݕ݀ݔ‬ =
௬
଴
ଵ
଴
݁
2
− 1
Cambiando el orden de integración tenemos. ‫׬‬ ‫׬‬ ‫ݕ‬ଶ
݁௫௬
݀‫ݔ݀ݕ‬
ଵ
୶
ଵ
଴
Las curvas que acotan la región de integración, son las mismas. Pero es necesario dejar a “y” en función de “x”, para
los limites, entonces tenemos
R = ൝
‫ݕ‬ = 1
‫ݕ‬ = ‫ݔ‬
0 ≤ ‫ݔ‬ ≤ 1
Los puntos de intersección son (0,0) y (1,1), como ahora tenemos primero a dx entonces el rectángulo se dibuja
horizontal.
Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
න න ‫ݕ‬ଶ
݁௫௬
݀‫ݔ݀ݕ‬
ଵ
௫
ଵ
଴
= න ቤ
‫ݔ‬ଶ
݁௫௬
‫ݕ‬
−
2‫݁ݔ‬௫௬
‫ݕ‬ଶ
+
2݁௫௬
‫ݕ‬ଷ
ቤ
ଵ
଴
1
‫ݔ‬
݀‫ݔ‬
= න ቤ
‫ݔ‬ଶ
݁௫
1
−
2‫݁ݔ‬௫
1
+
2݁௫
1
−
‫ݔ‬ଶ
݁௫మ
‫ݔ‬
+
2‫݁ݔ‬௫మ
‫ݔ‬ଶ
−
2݁௫మ
‫ݔ‬ଷ
ቤ
ଵ
଴
݀‫ݔ‬
= ቤ‫ݔ‬ଶ
݁௫
− 2‫݁ݔ‬௫
+ 2݁௫
− 2‫݁ݔ‬௫
+ 2‫݁ݔ‬௫
+ 2݁௫
−
݁௫మ
2
+
2݁௫మ
‫ݔ‬
−
2݁௫మ
‫ݔ‬ଷ
ቤ
1
0
= ቤ‫ݔ‬ଶ
݁௫
− 2‫݁ݔ‬௫
+ 4݁௫
−
݁௫మ
2
+
2݁௫మ
‫ݔ‬
−
2݁௫మ
‫ݔ‬ଷ
ቤ
1
0
= ቤ‫ݔ‬ଶ
݁௫
− 2‫݁ݔ‬௫
+ 4݁௫
−
݁௫మ
2
+
2݁௫మ
‫ݔ‬
−
2݁௫మ
‫ݔ‬ଷ
ቤ
1
0
=
݁
2
− 1

11. 11
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
Nota: Para este ejemplo es conveniente, y mucho más sencillo integrar primero por dx y luego a dy.
6.3 ÁREAS Y VOLÚMENES6.3 ÁREAS Y VOLÚMENES6.3 ÁREAS Y VOLÚMENES6.3 ÁREAS Y VOLÚMENES
ඵ ‫,ݔ(ܨ‬ ‫ܣ݀)ݕ‬
ோ
Si F(x, y) = 1, la integral doble representa el área de la regiónárea de la regiónárea de la regiónárea de la región R , es decir:
‫ܣ‬ = ඵ ݀‫ܣ‬
ோ
Si F(x, y) = z con z ≥ 0, la integral doble representa el volumen bajo la superficie “S” z= F(x,y), es decir:
ܸ = ඵ ‫ݖ‬ ݀‫ܣ‬
ோ
EjemploEjemploEjemploEjemplo 5555 Calcular el volumen de ‫ݖ‬ = ݂(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ = 4 − ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
, con ‫ݖ‬ ≥ 0
ܸ = ඵ ‫ݖ‬ ݀‫ܣ‬ = ඵ[(4 − ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ)]݀‫ܣ‬
ோோ
Para ponerle los límites de integración identificamos la región R, en este caso sería la curva de intersección de
൜ ‫ݖ‬ = 4 − ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
‫ݖ‬ = 0
proyectada en el plano xy.
4 − ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
= 0
‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= 4

12. 12
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
ܸ = න න (4 − ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
)
ା√(ସି௫మ)
ି√(ସି௫మ)
ଶ
ିଶ
݀‫ݔ݀ݕ‬ = න ቤ4‫ݕ‬ − ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ −
‫ݕ‬ଷ
3
ቤ
ଶ
ିଶ
+√(4 − ‫ݔ‬ଶ
)
−√(4 − ‫ݔ‬ଶ)
݀‫ݔ‬
= න ቤቈ4(ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ) − ‫ݔ‬ଶ
(ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ) −
(√4 − ‫ݔ‬ଶ)ଷ
3
቉ − ቈ4(−ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ) − ‫ݔ‬ଶ
(−ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ) −
(−√4 − ‫ݔ‬ଶ)ଷ
3
቉ቤ
ଶ
ିଶ
݀‫ݔ‬
= න ቤ2 ቈ4(ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ) − ‫ݔ‬ଶ
(ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ) −
(√4 − ‫ݔ‬ଶ)ଷ
3
቉ቤ
ଶ
ିଶ
݀‫ݔ‬
= 2 ቮቌ2‫ݔ‬ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ +
2ߨ‫݊݁ݏ‬ିଵ
ቀ
‫ݔ‬
2
ቁ
45
ቍ −
‫ݔ‬ଷ
൫√4 − ‫ݔ‬ଶ൯
4
+
‫4√(ݔ‬ − ‫ݔ‬ଶ)
2
−
ߨ‫݊݁ݏ‬ିଵ
ቀ
‫ݔ‬
2
ቁ
90
+
‫ݔ‬ଷ
൫√4 − ‫ݔ‬ଶ൯
12
−
5‫4√(ݔ‬ − ‫ݔ‬ଶ)
6
−
ߨ‫݊݁ݏ‬ିଵ
ቀ
‫ݔ‬
2
ቁ
90
ቮ
2
−2
ܸ = 8ߨ ‫ݑ‬ଷ
EjemploEjemploEjemploEjemplo 6666 Hallar el volumen del sólido limitado por el plano
௫
௔
+
௬
௕
+
௭
௖
= 1 y el plano xy en el primer octante.
Para obtener los limites, encontramos la región de integración, que nos da reemplazando z = 0, en la ecuación del
sólido.
௫
௔
+
௬
௕
+
଴
௖
= 1 →
௫
௔
+
௬
௕
= 1
El volumen del elemento diferencial sería
dV =hdA=zdA
Por tanto el volumen total está dado por:
ܸ = ඵ ܿ ቀ1 −
‫ݔ‬
ܽ
−
‫ݕ‬
ܾ
ቁ ݀‫ܣ‬
ோ
Donde la región R sería:

13. 13
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
Escogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedaría:
ܸ = න න ܿ ቀ1 −
‫ݔ‬
ܽ
−
‫ݕ‬
ܾ
ቁ ݀‫ݔ݀ݕ‬
௕ቀଵି
௫
௔
ቁ
଴
௔
଴
ܸ = න ܿ ቈ1 −
‫ݕݔ‬
ܽ
−
‫ݕ‬ଶ
2ܾ
቉
ܾ ቀ1 −
‫ݔ‬
ܽ
ቁ
0
݀‫ݔ‬
௔
଴
ܸ = න
ܾܿ
2
ቂ1 −
‫ݔ‬
ܽ
ቃ
ଶ
݀‫ݔ‬ =
ܾܿ
2
ቀ−
ܽ
3
ቁ ൤ቀ1 −
‫ݔ‬
ܽ
ቁ
ଷ
൨
ܽ
0
௔
଴
=
ܾܽܿ
6
Ahora consideremos un sólido limitado por superficies. Por ejemplo:
En el gráfico, el elemento diferencial de volumen limitado por las superficies está dado por:
ܸ݀ = ൫݂(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ − ݃(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬൯݀‫ܣ‬
RRRR,,,, es la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy.
EjemploEjemploEjemploEjemplo 7777 Hallar el volumen del sólido limitado por z = 4 - x2 - 2y2 y el plano z = 2

14. 14
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
En este caso ܸ݀ = ℎ ∙ ݀‫ܣ‬ = ൫(4 − ‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݕ‬ଶ) − 2൯݀‫ܣ‬
ܸ = ඵ ℎ݀‫ܣ‬ = ඵ[(4 − ‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݕ‬ଶ) − (2)]݀‫ܣ‬
ோோ
Para ponerle los límites de integración identificamos la región R, en este caso sería la curva de intersección de
൜ ‫ݖ‬ = 4 − ‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݕ‬ଶ
‫ݖ‬ = 2
proyectada en el plano xy.
Igualando y simplificando:
4 − ‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݕ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݕ‬ଶ
= 2
‫ݔ‬ଶ
2
+
‫ݕ‬ଶ
1
= 1
Entonces la región sería:
Se utiliza solo un cuadrante debido a la simetría y al final el resultado multiplicamos por cuatro.
ܸ = 4 න න (2 − ‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݕ‬ଶ)݀‫ݔ݀ݕ‬
ටଶି௫మ
ଶ
଴
√ଶ
଴

15. 15
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
ܸ = 4 න න ቈ2‫ݕ‬ − ‫ݔ‬ଶ‫ݕ‬ −
2‫ݕ‬ଷ
3
቉ ଴
ටଶି௫మ
ଶ
݀‫ݔ‬
ටଶି௫మ
ଶ
଴
√ଶ
଴
ܸ =
8
3√2
න (2 − ‫ݔ‬ଶ
)
ଷ
ଶ ݀‫ݔ‬ =
8
3√2
∙
3ߨ
4
√ଶ
଴
=
2ߨ
√2
6.46.46.46.4 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.
Suponga que la región de integración es simple-θθθθ, la integral doble
∬ ݂(‫,ݔ‬ ‫ܣ݀)ݕ‬ோ
puede ser expresada de la forma:
ඵ ݂(‫,ߠݏ݋ܿݎ‬ ‫ܣ݀)ߠ݊݁ݏݎ‬
ோ
Definamos el dA en coordenadas cilíndricas. Observe la figura:
En este caso dA = dsdr pero ds = rdθ entonces dA = rdrdθ
Finalmente la integral doble en coordenadas polares quedará de la forma:
ඵ ݂(‫,ݎ‬ ߠ)‫ߠ݀ݎ݀ݎ‬
ோ
EjemploEjemploEjemploEjemplo 8888 Hallar el volumen del sólido limitado por z = x2+y2 y el plano z = 9 .
Haciendo un dibujo de las superficies, e identificando el sólido

16. 16
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
ܸ݀ = ℎ ∙ ݀‫ܣ‬ = ൫(9 − ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ)൯݀‫ܣ‬
Por tanto el volumen estará dado por ܸ = ∬ ሾ9 − (‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ)ሿ݀‫ܣ‬ோ
Cambiando a polares ܸ = ‫׬‬ ‫׬‬ (9 − ‫ݎ‬ଶ
)
ଷ
଴
ଶగ
଴
‫ߠ݀ݎ݀ݎ‬
ܸ = න න (9‫ݎ‬ − ‫ݎ‬ଷ
)
ଷ
଴
ଶగ
଴
݀‫ߠ݀ݎ‬ = න ቈ
9‫ݎ‬ଶ
2
−
‫ݎ‬ସ
4
቉
3
0
ଶగ
଴
݀ߠ =
81ߨ
2
EjemploEjemploEjemploEjemplo 9999 Encuentre el volumen de la región limitada por las superficies x2+y2+z2= 4, x2 +(y −1)2 =1 .Haciendo
un dibujo de las superficies, e identificando el sólido

17. 17
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
Calcularemos el volumen de la porción superior, ya que el sólido es simétrico y lo multiplicaremos por dos.
ܸ = 2 න න ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ − ‫ݕ‬ଶ
ோ
݀‫ܣ‬
La región de integración es:
Cambiando a coordenadas polares :
ܸ = 2 න න√(4 − ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
)
ோ
݀‫ܣ‬ = 2 න න √(4 − ‫ݎ‬ଶ
)
ଶ௦௘௡ఏ
଴
గ
଴
‫ߠ݀ݎ݀ݎ‬
= 2 න
2
3
(4 − ‫ݎ‬ଶ
)
−2
ቤ
2‫ߠ݊݁ݏ‬
0
గ
଴
݀ߠ
=
2
3
න ൬8 − (4 − 4‫݊݁ݏ‬ଶ
ߠ)
ଷ
ଶ൰
గ
଴
݀ߠ
=
2
3
න (8 − 8ܿ‫ݏ݋‬ଷ
ߠ)
గ
଴
݀ߠ =
16
3
ߨ
6.56.56.56.5 ÁREA DE UNA SUPERFICIE.ÁREA DE UNA SUPERFICIE.ÁREA DE UNA SUPERFICIE.ÁREA DE UNA SUPERFICIE.
El área de un paralelogramo es: Área = Magnitud del producto Cruz de ‫ݑ‬ሬԦ y ‫ݒ‬Ԧ

18. 18
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
‫ܣ‬ = ‖‫ݑ‬ሬԦ‫ݒݔ‬Ԧ‖
Si tuviésemos una superficie con ecuación z = f(x,y), y quisiéramos hallar el valor del área de una porción R de la
superficie, podemos actuar con la misma metodología con la que hemos resuelto nuestros problemas hasta el
momento; es decir, particionar la región R y luego sumar dando lugar a una integral.
Observe la gráfica:
Llamemos S, al valor del área de la porción R de la superficie, entonces:
ܵ = ඵ ݀ܵ
ோ
El asunto sería ahora proyectar la superficie al plano xy obteniendo la región R´. Podemos pensar en una
transformación de R3 a R2 .
Denotando como RRRR la función vectorial para la superficie, tenemos:
RRRR = (x,y, f ( x, y ))
Los vectores de derivadas parciales con respecto a x ( RRRRx ) y con respecto a y ( RRRRy ), serían:
ࡾ࢞ = (1,0, ݂௫) y ࡾ࢟ = (1,0, ݂௬)
Entonces:
݀ܵ = ฮࡾ࢞xࡾ࢟ฮ݀‫ܣ‬
Calculando el vector producto cruz y luego su magnitud:

19. 19
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
ࡾ࢞xࡾ࢟ ൌ ቮ
݅ ݆ ݇
1 0 ݂௫
0 1 ݂௬
ቮ ൌ ሺെ݂௫, െ݂௬, 1ሻ
ฮࡾ࢞xࡾ࢟ฮ ൌ ට1 ൅ ݂௫
ଶ
൅ ݂௬
ଶ
Finalmente:
ܵ ൌ ඵ݀ܵ
ோ
ൌ ඵ ට1 ൅ ݂௫
ଶ
൅ ݂௬
ଶ
ோ
݀‫ܣ‬
EjemploEjemploEjemploEjemplo 10101010 Encuentre el área de la región de la esfera ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
൅ ‫ݖ‬ଶ
ൌ 9, limitada por el cilindro ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
െ 3x ൌ
0
La región R´ en este caso sería:
‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
ൌ 3x
‫ݎ‬ଶ
ൌ 3rcosθ
r ൌ 3cosθ

20. 20
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
El área estaría dada por ܵ ൌ 2 ∬ ඥ1 ൅ ݂௫
ଶ ൅ ݂௬
ଶ
ோ
݀‫ܣ‬
Reemplazando: ܵ ൌ 2 ∬ ට1 ൅
௫మ
ଽି௫మି௬మ ൅
௬మ
ଽି௫మି௬మோ
݀‫ܣ‬
Cambiando a polares: : ܵ ൌ 2 ∬
ଷ
√ଽି௥మோ
݀‫ܣ‬
ܵ ൌ 2 ∬
ଷ
√ଽି௥మோ
݀‫ܣ‬ ൌ 6 ‫׬‬ ‫׬‬
ଵ
√ଽି௥మ
ଷୡ୭ୱሺఏሻ
଴
గ
଴
‫ߠ݀ݎ݀ݎ‬
ܵ ൌ 6ሺ3ߨ െ 6ሻ ൌ 18ߨ െ 36
Puede ocurrir que no sea posible proyectar la superficie en el plano xy y que si se la pueda proyectar en el plano
xz o en el plano yz , en tales casos tenemos:
Proyectando en el planoProyectando en el planoProyectando en el planoProyectando en el plano xzxzxzxz.
Si la ecuación de la superficie está dada por ‫ݕ‬ = ݂(‫,ݔ‬ ‫)ݖ‬
݀ܵ = ට1 ൅ ݂௫
ଶ
൅ ݂௭
ଶ
݀‫ݖ݀ݔ‬
Proyectando en el planoProyectando en el planoProyectando en el planoProyectando en el plano yzyzyzyz.
Si la ecuación de la superficie está dada por ‫ݔ‬ = ݂(‫,ݕ‬ ‫)ݖ‬
݀ܵ = ට1 ൅ ݂௬
ଶ
൅ ݂௭
ଶ
݀‫ݖ݀ݕ‬
6.66.66.66.6 INTEGRALES TRIPLESINTEGRALES TRIPLESINTEGRALES TRIPLESINTEGRALES TRIPLES
Para definir una integral para una función de tres variables, análogamente a integrales dobles, deberíamos pensar
que nuestra región de integración se extendería a la forma [a,b]×[c,d]×[e,g]; es decir, ahora se tendría un
paralelepípedo, una región de R3 , la cual se la denota como Q:
Si hacemos particiones de Q, la ijk -ésima partición tendría la forma:

21. 21
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
Y su volumen sería: ∆ܸ௜௝௞ ൌ ∆‫ݔ‬௜∆‫ݕ‬௝∆‫ݖ‬௞
Una función de tres variables ‫ݓ‬ ൌ ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫)ݖ‬ definida en Q, para esta partición sería de la forma
݂(‫̅ݔ‬௜ , ‫ݕ‬ത௝ , ‫̅ݖ‬௞)∆‫ݔ‬௜∆‫ݕ‬௝∆‫ݖ‬௞
Donde (‫̅ݔ‬௜ , ‫ݕ‬ത௝ , ‫̅ݖ‬௞) representa un punto cualquiera de la ijk –ésima partición.
Para todo Q, habría que considerar una cantidad infinita de particiones, es decir:
De aquí surge la definición de integrales triples :
Sea f una función de tres variables definida en una región R3 , ܳ = [ܽ, ܾ] × [ܿ, ݀] × [݁, ݃] . Al límite :
se le denomina integral triple de f sobre Q :
න න න ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݔ݀)ݖ‬ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݖ‬
௕
௔
ௗ
௖
௚
௘
Si ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫)ݖ‬ = 1 , sería el volumen de la región Q. En esta sección nos ocuparemos de calcular volúmenes con
integrales triples para familiarizarnos con su planteo y con su evaluación; en otra sección calcularemos otras
integrales triples y además con alternativas de evaluación.
El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales también, porque al igual que integrales dobles, estas pueden
ser observadas como integrales iteradas. Y es más, si tuviésemos regiones generales también el teorema de Fubini
es aplicable. Su aplicación es para calcular volumen de sólidos
ܸ = මܸ݀
ொ
Ejemplo 11Ejemplo 11Ejemplo 11Ejemplo 11 Encontrar el volumen de la región acotada por ‫ݖ‬ = ‫ݔ‬ଶ
+ 3‫ݕ‬ଶ
y ‫ݖ‬ = 12 −
ଵ
ଷ
‫ݔ‬ଶ
Se trata de la región comprendida entre 2 paraboloides, los cuales se intersectan en una elipse

22. 22
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
La integral triple para el volumen sería:
ܸ ൌ ම ݀‫ݖ‬ ݀‫ܣ‬
ଵଶି
ଵ
ଷ
௫మ
௫మାଷ௬మ
ܸ ൌ ඵሺ12 −
1
3
‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݕ‬ଶ
) ݀‫ܣ‬ = ඵ ൬12 −
4
3
‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݕ‬ଶ
൰ ݀‫ܣ‬
Para definir la región R, determinemos la curva de intersección entre las superficies:
ቊ
‫ݖ‬ = ‫ݔ‬ଶ
+ 3‫ݕ‬ଶ
‫ݖ‬ = 12 −
ଵ
ଷ
‫ݔ‬ଶ
Igualando, tenemos:
ܸ = 4 න න ൬12 −
4
3
‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݕ‬ଶ
൰ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݔ‬
ඥଷ଺ିସ௫మ
ଷ
଴
ଷ
଴

23. 23
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
ܸ ൌ 4 න ൤12‫ݕ‬ −
4
3
‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ − ‫ݕ‬ଷ
൨ ଴
ඥଷ଺ିସ௫మ
ଷ
݀‫ݔ‬
ଷ
଴
ܸ =
8
27
න (36 − 4‫ݔ‬ଶ)
ଷ
ଶ ݀‫ݔ‬ =
8
27
∙
243ߨ
2
= 36ߨ
ଷ
଴
Las integrales triples igual que las integrales dobles, pueden presentarse laboriosa en su evaluación; por tanto,
aquí también es posible utilizar trasformaciones.trasformaciones.trasformaciones.trasformaciones.
6.76.76.76.7 INTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDEEEENADASNADASNADASNADAS CILÍNDRICASCILÍNDRICASCILÍNDRICASCILÍNDRICAS
En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio tridimensional está representado por el triple
ordenado (‫,ݎ‬ ߠ, ‫)ݖ‬ donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia
dirigida desde el plano hasta P.
Las relaciones de las coordenadas rectangulares y las cilíndricas se presentan a continuación.
‫ݔ‬ = ‫ݎ‬ cos ߠ ‫ݎ‬ ≥ 0
‫ݕ‬ = ‫ߠ݊݁ݏݎ‬ 0 ≤ ߠ ≤ 2ߨ
‫ݖ‬ = ‫ݖ‬
‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= ‫ݎ‬ଶ
‫ߠ݊ܽݐ‬ = ‫ݔ/ݕ‬
Para usar en las integrales triples coordenadas cilíndricas, se una el diferencial de volumen dV el cual puede ser:
ܸ݀ = ݀‫ݔ‬ ‫ݎ‬ ݀‫ݎ‬ ݀ߠ
ܸ݀ = ݀‫ݕ‬ ‫ݎ‬ ݀‫ݎ‬ ݀ߠ
ܸ݀ = ݀‫ݖ‬ ‫ݎ‬ ݀‫ݎ‬ ݀ߠ
‫ݏܽ݀ܽ݊݁݀ݎ݋݋ܥ‬ ‫:ݏܽܿ݅ݎ݈݀݊݅݅ܥ‬ ܲ(‫,ݎ‬ ߠ, ‫)ݖ‬
ܸ݀ = ݀‫ݖ‬ ‫ݎ‬ ݀‫ݎ‬ ݀ߠ
Los diferenciales dx, dy, dz dependen del plano al que se proyecta el sólido, por ejemplo si el sólido está proyectado
al plano xy, se utilizada dz, si está proyectado al plano xz se usara dy y si está proyectado al plano yz se usara dx.
Suponga que E es una región cuya proyección D en el plano xy describe convenientemente en coordenadas polares.
En particular, suponga que f es continua y

24. 24
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
‫ܧ‬ ൌ ሼሺ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫,ݔ(ܫ)ݖ‬ ‫)ݕ‬ ∈ ‫,ܦ‬ ‫ݑ‬ଵ(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ ≤ ‫ݖ‬ ≤ ‫ݑ‬ଶ(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ሽ
Donde D está en coordenadas polares por
‫ܦ‬ = ሼ(‫,ݎ‬ ߠ) ‫ܫ‬ ߙ ≤ ߠ ≤ ߚ, ℎଵ(ߠ) ≤ ‫ݎ‬ ≤ ℎଶ(ߠ)ሽ
Se sabe que la ecuación:
න න න ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ = ඵ ቈන ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ݀)ݖ‬
௨మ(௫,௬)
௨భ(௫,௬)
቉ ݀‫ܣ‬
஽ா
Por lo tanto combinando las ecuaciones tenemos que:
න න න ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ = න න න ݂(‫,ߠݏ݋ܿݎ‬ ‫,ߠ݊݁ݏݎ‬ ‫ݖ݀)ݖ‬ ‫ݎ‬ ݀‫ݎ‬ ݀ߠ
௨మ(௥௖௢௦ఏ,௥௦௘௡ఏ)
௨భ(௥௖௢௦ఏ,௥௦௘௡ఏ)
௛మ(ఏ)
௛భ(ఏ)
ఉ
ఈ
ா
Esta es la fórmula para integración triple en coordenadas cilíndricas. Esta dice que se convierte una integral triple
en coordenadas rectangulares a cilíndricas al escribir ‫ݔ‬ = ‫,ߠݏ݋ܿݎ‬ ‫ݕ‬ = ‫,ߠ݊݁ݏݎ‬ dejar a z como es, usar los límites de
integración apropiados para z, r, θ y reemplazar dV por dz r dr dθ.
Es importante usar esta fórmula cuando E es una región solida descrita fácilmente en coordenadas cilíndricas y en
particular cuando la función f(x, y, z) tiene que ser con la expresión x2൅y2.
EjemploEjemploEjemploEjemplo 12121212 Evalúe
න න න (࢞૛
+ ࢟૛
)ࢊࢠࢊ࢟ࢊ࢞
૛
ඥ࢞૛ା࢟૛
ඥ૝ି࢞૛
ିඥ૝ି࢞૛
૛
ି૛
Esta integral iterada es una integral triple sobre la región solida
‫ܧ‬ = ቄ(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫)ݖ‬ ∶ −2 ≤ ‫ݔ‬ ≤ 2, ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ ≤ ‫ݕ‬ ≤ ඥ4 − ‫ݔ‬ଶ, ඥ࢞૛ + ࢟૛ ≤ ࢠ ≤ ૛ቅ
y la proyección de E sobre el plano xy es el disco ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
≤ 4. La superficie inferior de E es el cono ‫ݖ‬ = ඥ‫ݔ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ y
su superficie superior es el plano z=2, esta región tiene una descripción mucho más simple en coordenadas
cilíndricas.
‫ܧ‬ = ሼ(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫)ݖ‬ 0 ≤ ߠ ≤ 2ߨ, 0 ≤ ‫ݎ‬ ≤ 2, ‫ݎ‬ ≤ ‫ݖ‬ ≤ 2ሽ
x
y
z
(2.00,2.00,0.00)
(-2.00,-2.00,2.00)

25. 25
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
න න න ሺ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
ሻ݀‫ݔ݀ݕ݀ݖ‬
ଶ
ඥ௫మା௬మ
ඥସି௫మ
ିඥସି௫మ
ଶ
ିଶ
ൌ න න නሺ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶሻܸ݀
ா
ൌ න න න ‫ݎ‬ଶ
ଶ
௥
ଶ
଴
ଶగ
଴
݀‫ݖ‬ ‫ݎ‬ ݀‫ݎ‬ ݀ߠ
ൌ න ݀ߠ
ଶగ
଴
න ‫ݎ‬ଷሺ2 − ‫ݎ݀)ݎ‬
ଶ
଴
= 2ߨ ൤
1
2
‫ݎ‬ସ
−
1
5
‫ݎ‬ହ
൨
2
0
=
16
5
ߨ
EjemploEjemploEjemploEjemplo 13131313 Encontrar el volumen del sólido que esta fuera del cilindro ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= 9 , y dentro de la esfera ‫ݔ‬ଶ
+
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
= 25
Para encontrar los límites de z, trazamos una línea paralela al eje z y las superficie que corta serán los limites, en
este caso los límites son ܼ௦௨௣ = ඥ25 − (‫ݔ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ) y ܼ௜௡௙ = −ඥ25 − (‫ݔ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ)
La integral para el volumen sería:
ܸ = 4 න න න ݀‫ݔ݀ݕ݀ݖ‬
√(ଶହି(௫మା௬మ)
ି√(ଶହି(௫మା௬మ)
√(ଶହି௫మ)
√(ଽି௫మ)
ଷ
଴
൅ 4 න න න ݀‫ݔ݀ݕ݀ݖ‬
√(ଶହି(௫మା௬మ)
ି√(ଶହି(௫మା௬మ)
√(ଶହି௫మ)
଴
ହ
ଷ
Como se puede ver tenemos una integral muy compleja, para ello transformaremos a polares:
‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
= 25 → ‫ݎ‬ଶ
= 25 → ‫ݎ‬ = 5
‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
= 9 → ‫ݎ‬ଶ
= 9 → ‫ݎ‬ = 3

26. 26
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
La nueva integral será: ܸ ൌ ‫׬‬ ‫׬‬ ‫׬‬ ݀‫ߠ݀ݎ݀ݎݖ‬
√(ଶହି௥మ)
ି√(ଶହି௥మ)
ହ
ଷ
ଶగ
଴
Evaluando
ܸ = න න อ ‫ݖ‬ อ
√(25 − ‫ݎ‬ଶ
)
−√(25 − ‫ݎ‬ଶ
)
‫ߠ݀ݎ݀ݎ‬
ହ
ଷ
=
ଶగ
଴
න න ቂඥ25 − ‫ݎ‬ଶ − (−ඥ25 − ‫ݎ‬ଶ)ቃ ‫ߠ݀ݎ݀ݎ‬
ହ
ଷ
=
ଶగ
଴
ܸ = න න ቂ2‫ݎ‬ඥ25 − ‫ݎ‬ଶቃ ݀‫ߠ݀ݎ‬
ହ
ଷ
=
ଶగ
଴
න ቎−
2(25 − ‫ݎ‬ଶ
)
ଷ
ଶ
3
቏
5
3
݀ߠ =
ଶగ
଴
ܸ = න ൤
128
3
൨ ݀ߠ =
ଶగ
଴
൤
128
3
ߠ൨
2ߨ
0
=
256ߨ
3
6.86.86.86.8 INTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDEEEENADASNADASNADASNADAS ESFERICASESFERICASESFERICASESFERICAS
Otro útil sistema de coordenadas en tres dimensiones es el sistema de coordenadas esféricas.
Simplifica la evaluación de integrales triples sobre regiones acotadas por esferas o conos.
‫ݔ‬ = ߩ‫)߮(݊݁ݏ‬ cos(ߠ)
‫ݕ‬ = ߩ‫)߮(݊݁ݏ‬sen(θ) ߩ ≥ 0, 0 ≤ ߠ ≤ 2ߨ, 0 ≤ ߮ ≤ ߨ
‫ݖ‬ = ߩcos(߮)
ߩ = ඥ‫ݔ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ + ‫ݖ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= ߩଶ
∙ ‫݊݁ݏ‬ଶ(߮)
cos(߮) =
௭
ఘ
න න න ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬
ா
= න න න ݂(ߩ‫߮݊݁ݏ‬ ܿ‫,ߠݏ݋‬ ߩ‫߮݊݁ݏ‬
௕
௔
ௗ
௖
ఉ
ఈ
‫,ߠ݊݁ݏ‬ ߩܿ‫ߩ)߮ݏ݋‬ଶ
‫߮݊݁ݏ‬ ݀ߩ ݀߮ ݀ߠ
Esta sería la fórmula general para evaluar integrales triples de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

27. 27
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
Siendo ܸ݀ ൌ ߩଶ
‫߮݊݁ݏ‬ ݀ߩ ݀߮ ݀ߠ
‫ݏܽ݀ܽ݊݁݀ݎ݋݋ܥ‬ ‫:ݏܽܿ݅ݎ݂݁ݏܧ‬ ܲሺߩ, ߠ, ∅), ܸ݀ = ߩଶ
‫݊݁ݏ‬ ∅ ݀ߩ ݀∅ ݀ߠ
EjemploEjemploEjemploEjemplo 14141414 Hallar el volumen de la porción del cono ‫ݖ‬ଶ
= ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
, limitada superiormente por la esfera ‫ݔ‬ଶ
+
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
= ܽଶ
De la ecuación de la esfera ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
= ܽଶ
, pasamos a esféricas y tenemos
ρଶ
= aଶ
ρ = a
Y de la ecuación del cono ‫ݖ‬ଶ
= ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
, pasamos a esféricas y tenemos
ρଶ
cosଶ
∅ = ρଶ
senଶ
∅
cos∅ = sen∅
1 =
sen∅
cos∅
‫∅݊ܽݐ‬ = 1
∅ = ‫݊ܽݐ‬ିଵ(1) =
ߨ
4

28. 28
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
La integral para el volumen sería:
ܸ ൌ න න න ߩଶ
‫݊݁ݏ‬ሺ߶ሻ݀ߩ݀߶݀ߠ
௔
଴
గ/ସ
଴
ଶగ
଴
ܸ ൌ න න ቈ
ߩଷ
3
቉
଴
௔
‫݊݁ݏ‬ሺ߶ሻ ݀߶ ݀ߠ ൌ
ܽଷ
3
න ሾെcosሺ߶ሻሿ଴
గ
ସ
ଶగ
଴
గ/ସ
଴
ଶగ
଴
݀ߠ
ܸ ൌ
ܽଷ
3
න ൬1 −
1
√2
൰
ଶగ
଴
݀ߠ =
2ߨ ܽଷ
3
൬1 −
1
√2
൰
6.96.96.96.9 APLICAPLICAPLICAPLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLESACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLESACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLESACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Recuerde que si ݂(‫)ݔ‬ ≥ 0, entonces la integral simple ‫׬‬ ݂(‫ݔ݀)ݔ‬
௕
௔
representa al área bajo la curva ‫ݕ‬ = ݂(‫)ݔ‬ de a a
b, y si ݂(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ ≥ 0, entonces la integral doble ∬ ݂(‫,ݔ‬ ‫ܣ݀)ݕ‬஽
representa al volumen bajo la superficie ‫ݖ‬ = ݂(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ y
arriba de D. La interpretación correspondiente de una integral triple ∭ ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ா
, donde ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫)ݖ‬ ≥ 0, no es
muy útil porque sería el “hipervolumen” de un objeto tetradimensional y, por supuesto, es muy difícil representar.
(Recuerde que E es sólo el dominio de la función f, la gráfica de f se localiza en el espacio tetradimensional.) No
obstante, la integral triple ∭ ݂(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ா
se puede interpretar de varias maneras en diferentes situaciones
físicas, lo que depende de las interpretaciones físicas de x, y, z y f(x, y, z).
Se comenzará con el caso especial donde f (x, y, z) = 1 para los puntos en E. Entonces la integral triple representa
al volumen de E:
ܸ(‫)ܧ‬ = ම ܸ݀
ா
Las aplicaciones de las integrales dobles se pueden extender de inmediato a las integrales triples. Por ejemplo, si la
función de densidad de un objeto sólido que ocupa la región E es ߩ(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫,)ݖ‬ en unidades de masa por unidad de
volumen, en cualquier punto dado (x, y, z), entonces su masa es

29. 29
CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
݉ ൌ ම ߩሺ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬
ா
y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son
‫ܯ‬௬௭ = ∭ ‫,ݔ(ߩݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ா
‫ܯ‬௫௭ = ∭ ‫,ݔ(ߩݕ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ா
‫ܯ‬௫௬ = ∭ ‫,ݔ(ߩݖ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ா
El centro de masa se localiza en el punto (‫̅ݔ‬, ‫ݕ‬ത, ‫̅ݖ‬), donde
‫̅ݔ‬ =
ெ೤೥
௠
‫ݕ‬ത =
ெೣ೥
௠
‫̅ݖ‬ =
ெೣ೤
௠
Los momentos de inercia respecto a los tres ejes coordenados son
‫ܫ‬௫ = ∭ (‫ݕ‬ଶ
൅ ‫ݖ‬ଶ
)ߩ(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ா
‫ܫ‬௬ = ∭ (‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݖ‬ଶ
)ߩ(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ா
‫ܫ‬௭ = ∭ (‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
)ߩ(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬ா
La carga eléctrica total sobre un objeto sólido que ocupa una región E y que tiene densidad de carga ߪ(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫)ݖ‬ es
ܳ = ම ߪ(‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ܸ݀)ݖ‬
ா
7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUES7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUES7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUES7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUESTOSTOSTOSTOS
7.17.17.17.1 RealRealRealRealizar las siguientesizar las siguientesizar las siguientesizar las siguientes ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.
LIBROLIBROLIBROLIBRO –––– STEWARTSTEWARTSTEWARTSTEWART
séptima ediciónséptima ediciónséptima ediciónséptima edición
EJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOS
Seccion 15.1 4,6,7,17
Seccion 15.3 33,40,56,63,68
Seccion 15.4 18,24,28,35,36
Seccion 15.5 13,15,20,25,30
Seccion 15.6 10,13,23
Seccion 15.7 20,34,40,46,53
Seccion 15.8 13,25,26,27
Seccion 15.9 16,19,29,32,42
7.27.27.27.2 Problemas de aplicaciónProblemas de aplicaciónProblemas de aplicaciónProblemas de aplicación adicionalesadicionalesadicionalesadicionales
1)1)1)1) La carga eléctrica se distribuye sobre el disco ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
≤ 4 , de modo que la densidad de carga en ( x,y ) es
ߪ = ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
(coulombs/m2) . Calcule la carga total sobre el disco.
2)2)2)2) Suponga que el triángulo R con vértices (0,0), (0,10) y (10,0) representa la región situada dentro del límite
de cierta región de una provincia . Después de una tormenta de invierno, la profundidad del agua en el
punto (x, y) de R era ݂(‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ =
ଵ
ହ଴଴
݁ି
ೣ
భబబ݁ି
೤
ఱబ cm. Suponiendo que x e y se miden en centímetros . Halle una
expresión para establecer la profundidad media del agua en la región.

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CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4
3ሻ3ሻ3ሻ3ሻ Calcule el volumen, usando integrales múltiples, de un granero, que tiene una base rectangular de 6 por
12 metros y paredes verticales de 9 m de altura al frente (que está del lado que mide 6 m) y 12 m detrás.
(El granero tiene techo plano)
4)4)4)4) La temperatura en los puntos del cubo C ൌ ሼሺx, y,z)/ −1≤ x ≤1, −1≤ y ≤1 y 1≤ z ≤ 1} es 32d2 , donde d
es la distancia al origen.
(a) ¿Cuál es la temperatura promedio?
ሺbሻ ¿En cuáles puntos del cubo es la temperatura igual a la temperatura promedio?
8.8.8.8. OBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALES
Revise los conceptos vistos en clase y el material subido al AVAC.
Desarrollar todas las actividades, los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el
docente.
Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes
Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de los ejercicios.
Ante cualquier duda, pregunte a su profesor y asista a las tutorías