Este documento presenta cuatro temas sobre geometría y álgebra. El tema 1 cubre patrones y fórmulas matemáticas utilizadas por los babilonios. El tema 2 trata sobre ecuaciones y su resolución a través de balances. El tema 3 explica conceptos básicos de rectas en un plano cartesiano. El tema 4 analiza los ángulos interiores de polígonos y teselaciones.

1. UNIDAD
DIDÁCTICA
BLOQUE 3

2. TEMA 1. PATRONES Y FÓRMULAS
TEMA 2. ECUACIONES
TEMA 3. RECTAS EN EL PLANO
TEMA 4. ÁNGULOS DE POLIGONOS Y
TESELACIONES

3. TEMA 1. PATRONES Y FÓRMULAS
• LOS BABILONIOS COMPILARON UNA
GRAN CANTIDAD DE TABLAS DE
MULTIPLICAR, DE DIVIDIR Y DE
NÚMEROS CUADRADOS.
• ADEMÁS CALCULARON NO SOLO LA
SUMA DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Y DE ALGUNAS GEOMÉTRICAS, SINO
TAMBIÉN DE SUCESIONES DE NÚMEROS
CUADRADOS.

4. ADIVINA ADIVINADOR

5. ¿CÓMO PUEDES ENCONTRAR EL NÚMERO DE
TRIÁNGULOS DE CADA FIGURA?
- Se suma 1 al lugar en el que se encuentra y se
eleva al cuadrado.
- Entonces tenemos (n+1)2
- Por ejemplo el Triangulo 3° , + 1 = 4 y al
resultado se eleva al cuadrado (4)2 = 16

6. ¿QUÉ NÚMERO ES LA DIFERENCIA?___________
AHORA ESCRIBE UNA REGLA________________
DIFERENCIA DE CONSTANTE

7. OBSERVA LAS OPERACIONES DE LA SIGUIENTE TABLA Y
COMPLETA:

8. ¿CÓMO SE REALIZÓ?
•SE MULTIPLICÓ EL NÚMERO DEL TÉRMINO POR SIETE Y SE LE
RESTÓ 3
•ENTONCES LA REGLA QUEDÓ : 7n - 3

9. COMPLETA LA TABLA Y ENCUENTRA LOS TERMINOS 25°
Y 100°

10. TEMA 2. ECUACIONES
En la balanza I se observa que una lata de jugo equivale a una pelota, una bolsita
de dulces y un paquete de cacahuates; pero en la balanza II vemos también es
equivalente a 2 pelotas.

11. En la balanza I se observa que una lata de jugo equivale a una pelota, una bolsita de
dulces y un paquete de cacahuates; pero en la balanza II vemos que también es
equivalente a 2 pelotas.
Esto es, si se colocan 2 pelotas de un lado y en el otro una pelota, la bolsita de dulces y
el paquete de cacahuates, se tiene la balanza IV en equilibrio.
Observa que si se quita o añade lo mismo a los dos platillos de la balanza IV ésta
quedará en equilibrio, al igual que si se sustituye cualquier objeto por otra cosa que
también la equilibre.
De aquí que, si se quita una pelota de cada lado, se sigue teniendo la balanza en
equilibrio. Así obtenemos la balanza V. Nota que se está asumiendo que todas las
pelotas son iguales entre sí; lo mismo ocurre con las bolsitas de dulces y los paquetes
de cacahuates.

12. Ahora, si en la balanza I se pone en lugar de la pelota
una bolsita de dulces y un paquete de cacahuates, se
guarda el equilibrio. Ver balanza VI

13. De la balanza III que vimos al principio, se sabe que 2 paquetes
de cacahuates pesan lo mismo que 3 bolsitas de dulces, así que
al sustituir los cacahuates por dulces en la balanza VI, se tiene
que una lata de jugo pesa lo mismo que 5 bolsitas de dulces,
balanza VII.

14. • Cuando se resuelven ecuaciones, se
procede de manera semejante a como
se hizo con las balanzas. Es decir, se
busca un valor que haga verdadera la
igualdad, aplicando operaciones
conocidas y sin alterarla. Por ejemplo,
supón que se tiene la ecuación:
x + 2 = 19
• Es fácil ver que si se sustituye x por 17,
la igualdad es cierta; se dice entonces
que 17 es la solución de la ecuación.
LAS ECUACIONES

15. Se llaman ecuaciones a las igualdades en las que aparecen elementos
desconocidos o incógnitas. Resolver una ecuación significa encontrar
el valor de la o las incógnitas para que la igualdad sea verdadera.
*Escribe la ecuación que corresponde a la siguiente balanza, en la que se
quiere encontrar el peso de un cuadrado verde usando los triángulos.
Denota con x a un cuadrado e
indica solamente el número de
triángulos.
_____ + 5 = ______ + _____

16. Observa que, si le quitas dos cuadritos a los
dos platillos, la balanza se mantiene en
equilibrio.
Escribe la ecuación correspondiente.
________ + 5 = _______
Compárala con la ecuación anterior.

17. TEMA 3. RECTAS EN EL PLANO
Cuando se pide un préstamo a un banco, se tiene que pagar la cantidad prestada
más una carga financiera, dependiendo del tiempo en que se pagará el préstamo. La
carga financiera es la cantidad total que se pagó por alguna compra menos el valor
de compra, ésta se puede pagar periódicamente o con un monto final, e incluye
intereses, seguros, gastos de apertura de crédito, etcétera.
El banco presta $180 000 para comprar una casa y pide que los pagos
mensuales sean los indicados en la tabla, dependiendo del plazo del
préstamo.

18. • ¿Cuál es la carga financiera para un periodo de
18, 24 y 30 meses?
• Para 18 meses:_____________
• Para 24 meses:_____________
• Para 30 meses:_____________
Para encontrar la carga financiera, se multiplica el
número de meses por el pago mensual y se resta
el monto del préstamo, en este caso, $180 000.

19. Usa los datos de la tabla anterior y escribe las parejas ordenadas
(tiempo, carga financiera). Marca en la gráfica los puntos que
corresponden a las parejas ordenadas. Marca el punto (0, 0). Usa
una regla para conectar los puntos.

20. (6, 9 000)
(___, _______)
(___, _______)
(24 , ________)
(___, ________)

21. (12, 18 000)
(18, 27 000)
(24, 36 000)
(30, 45 000)

22. • “Lydia es 6 años menor que Juan”. Para traducir esta frase a lenguaje
algebraico se usan variables para representar el número de años de
cada uno, entonces:
x representa los años de Lydia
Y representa los años de Juan
Como Lydia es menor que Juan, se tiene que sumar 6 a la edad de Lydia
para “alcanzar” la edad de Juan:
Y = x + 6
Observa que tenemos una ecuación algebraica de tipo y = ax + b
donde a = 1 y b = 6 .
Cuando Lydia tenía un año, Juan tenía. Se puede registrar esta
información en una tabla, y así, cada vez que se dé un valor de x, se
obtendrá uno de y.
LA EDAD DE LYDIA

23. Para cada punto de la tabla de la izquierda se tiene una pareja ordenada
que se puede localizar en un plano cartesiano:

24. Observe que al
unir los puntos
estan en una
recta.

25. En la tienda de Alejandro tienen cajas para regalos y quieren preparar
el listón del tamaño necesario para envolverlas. Las cajas son cúbicas
y necesitan 30 cm más para hacer el moño después de pasar el listón
por todas las caras.
Observa que el listón pasa dos veces por la cara superior y la inferior y
una sola vez por las caras laterales. Como la caja es un cubo, entonces
la longitud de cada arista la representamos con x.
Como el listón pasa una vez por cada una de las caras laterales, se
usará 4x en esas caras, en la cara inferior serán 2x y en la superior 2x
más el moño. Completa lo que se tiene en cada caso
EL REGALO

27. * Completa la tabla y
coloca los puntos del
tipo (x,y) en la gráfica,
donde x es la longitud
del lado de la caja y “y”
es la longitud del liston
necesario. Une los
puntos de la grafica.

28. ¿Qué se obtiene como gráfica?

29. • Si se conoce la temperatura en grados Celsius también se
puede conocer la temperatura en grados Fahrenheit.
• A cada temperatura en grados Celsius corresponde una
Temperatura en grados Fahrenheit que se obtiene gracias a
la fórmula
9
°F = — °C + 32, donde °F son los grados Fahrenheit y °C los
grados
5
Celsius.
¿A cuántos grados Fahrenheit corresponden 0 grados
Celsius?_________
LAS EQUIVALENCIAS

30. COMPLETA LA SIGUIENTE TABLA

31. COLOCA LOS PUNTOS:

33. LA DISTANCIA Y EL TIEMPO
• Hemos visto que un vehículo se mueve a velocidad
constante v, recorre en un tiempo t una distancia d, es
decir que d = vt. Si la velocidad es de 35 km/h,
entonces d = 35t, lo cual es una función lineal si la
escribimos como y = 35x.
• ¿Cuánto vale a?______
• ¿Cuánto vale b?______
• ¿Cómo crees que será la representación gráfica de esta
función?_____________
• ¿Crees que sea creciente o decreciente?
Es decir, que mientras más tiempo pasa, mayor es el
recorrido.Nuevamente, esta función es creciente.

34. Consideremos que un vehículo empieza en el tiempo 0 en el kilómetro
25, con una velocidad de 50 km/h.
1
¿En qué kilómetro estará después de — hora?
2
¿En qué kilómetro estará después de 1 hora?_________
Observa que después de cierto tiempo t, el vehículo habrá recorrido
50t kilómetros, así que se encontrará en el kilómetro 25 + 50t. Es
decir, que la función lineal que describe el recorrido de este vehículo
es d = 25 + 50t.
• ¿Cómo es la gráfica que representa el recorrido?____________

35. Como una recta queda determinada por dos puntos, completa la siguiente
tabla y traza la gráfica.

37. • Por lo general, hay varias formas de calcular la
suma de los ángulos interiores de un polígono de
n lados. Aquí vamos a trabajar únicamente con
polígonos convexos aunque todos los resultados
son ciertos inclusive para los polígonos que no
son convexos.
• Analicemos primero polígonos con pocos lados y
luego obtendremos la fórmula general.
TEMA 4. ÁNGULOS DE POLIGONOS Y
TESELACIONES

38. El siguiente cuadrilátero podemos tomar un vértice y trazar la
diagonal desde ese vértice.
¿Cuántos lados tiene el polígono?_________
¿Cuántas diagonales hay desde un vértice?__________
¿En cuántos triángulos se divide el polígono?___________
¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores del polígono?________

39. Contesta las siguientes preguntas para cada uno de los siguientes
polígonos:

40. AGRUPA LOS RESULTADOS ANTERIORES EN LA
SIGUIENTE TABLA