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  1. 1. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011SELECCIÓN 1) Uno de los factores de 16 x 2 − 80 x + 100 es: A) 2 x − 5 B) 4 x − 5 C) 2 x + 5 D) 4 x + 5 Solución: Se resuelve utilizando la calculadora e introduciendo las valores para a=16, b=-80 y c=100, ya que es una cuadrática. O también se puede resolver despejando la − b ± b 2 − 4ac ecuación general x = . Recordar que con la calculadora o por la 2a 5 fórmula general siempre obtenemos solo un valor x = , lo que indica que las dos 2 raíces deben ser iguales y se despejan como se muestra a continuación: 5 x= Lo primero es pasar el 2 a multiplicar. 2 2x = 5 Luego pasamos el 5 negativo. 2x − 5 = 0 Todo queda igualado a cero. (2 x − 5)(2 x − 5) Ahora solo lo representamos como factores, siempre deben ser dos. Entonces la respuesta correcta es la opción: A. 2) Uno de los factores de − 3m 2 + 4mn − n 2 es: A) m + n B) 3m + n C) 3m + 1 D) n − 3m Solución: Este tipo de factorización se desarrolla muy bien por el método de INSPECCIÓN, veamos su desarrollo: − 3m 2 + 4mn − n 2 Lo primero es descomponer los extremos cuadrados de las letras. m n m n Ahora colocamos los números en cada columna que al ser multiplicados me den en valor que acompaña a cada letra al cuadrado.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 1
  2. 2. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 ( − 3m + n) Ahora debemos colocar los signos entre los valores para obtener los factores (m - n) correspondientes pero que cumplan que la multiplicación en cruz de ambos y su suma de al valor del término del medio. (− 3 • −1) + (1 • 1) = 4 . Incluso observen que los signos también deben corresponder a los signos de las constantes de los extremos. (− 3m + n )(m − n ) Así es como quedan los factores. La respuesta es la opción: D. Solo que está acomodada de diferente manera, por lo que debo siempre fijarme de cómo me presentan las respuestas. 25 3 3) Uno de los factores de x 2 y − xy es: 4 A) x 3 y 3 5 B) x − y 2 5 C) x 2 + y 2 2 25 y 2 D) x 2 + 4 Solución: Para poder contestar de manera correcta, se debe primero aplicar el método de factorizar por factor común, así logramos obtener entre los paréntesis la tercera fórmula notable. Veamos como. 25 3 x2 y − xy Sacamos a factor común las 4 letras que se repiten, estas son la  25 2  xy x 2 − y  x y la y. Saldrán a factor las que  4  tengan el exponente más pequeño.  2  5 2  xy x −  y   Ahora representamos el segundo  2     factor como un cuadrado perfecto para poder aplicarExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 2
  3. 3. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 directo la tercera fórmula  5  5  xy x + y  x − y  notable, como sigue.  2  2  La respuesta entonces es la opción: B. 4) Uno de los factores de 6 x 3 + 12 x 2 − 4 x − 8 es: A) 3x + 2 B) 3 x 2 − 2 C) 3 x 2 + 2 D) (3 x − 2 ) 2 Solución: El método de factorización que se debe aplicar aquí es el de AGRUPACIÓN. Por dicha la operación está acomodaba de manera que los dos primeros se agrupan y los dos juntos también, pero no se puede uno confiar ya que puede ser que nos presenten la operación desordenada por lo que debemos acomodarla tomando como punto de partida los factores literales o las letras y juntar las que son iguales. Veamos el método aplicado. 6 x 3 + 12 x 2 − 4 x − 8 Ahora agrupemos los términos semejantes. (6 x + 12 x ) − (4 x + 8) 3 2 Observe que tuvimos que poner paréntesis para agrupar y que cuando un signo negativo queda por fuera del mismo, lo que queda adentro es cambiado de signo. 6 x ( x + 2 ) − 4( x + 2) 2 Al aplicar factor común en cada agrupación nos quedan los paréntesis iguales, con esto ( ) (x + 2) 6 x 2 − 4 podemos también sacar a factor común el mismo como sigue. Claro hasta que factorizamos de ( (x + 2)2 3x − 2 2 ) nuevo por factor común es que podemos obtener un respuesta al ejercicio. La respuesta es la opción: B.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 3
  4. 4. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 n 2 − n − 12 5) La expresión es equivalente a: 2n 2 − 18 n+4 A) 2n − 3 n−4 B) 2(n − 3) n−4 C) 2(n + 3) n+4 D) 2(n + 3) Solución: Aquí debemos aplicar lo que se nos presentó en la pregunta primera, la cuadrática ya sea por calculadora o aplicando la fórmula general y abajo por factor común, el fin último es simplificar al máximo la expresión. Veamos. n 2 − n − 12 Aplicando arriba cuadrática y 2n 2 − 18 abajo factor común tenemos. (n − 4)(n + 3) ( ) Ahora tenemos la tercera 2 n2 − 9 fórmula notable en el denominador. (n − 4)(n + 3) Entonces eliminamos los 2(n + 3)(n − 3) paréntesis que son iguales ya que se están multiplicando arriba y abajo( numerador y denominador). Entonces queda (n − 4) la expresión. 2(n − 3) La respuesta es la opción: B NOTA: Existe otro camino para resolver este tipo de operación, cuando nos pregunten sobre una expresión equivalente. Aprendamos este método donde la calculadora es vital. n 2 − n − 12 Le asignamos un valor numérico 2n 2 − 18 a la variable, cuando sean más n=0 de una los valores serán diferentes y resolvemos cuanto (1) 2 − 1 − 12 nos da, para este ejemplo 2(1) 2 − 18 asignamos a n= 1. No debemosExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 4
  5. 5. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 asignar un valor que me vaya a afectar la expresión, como por − 12 12 6 3 = = = ejemplo en el caso de fracciones − 16 16 8 4 que me quede un CERO en el denominador ya que la división por cero no estás definida en 3 matemáticas. Ahora solo debo 4 sustituir el mismo o valores 1− 4 Opción: B. cuando sean más de una variable 2(1 − 3) en cada una de las respuestas y obtendremos la respuesta −3 3 = correcta ya que esta será la que −4 4 me de el mismo valor que la operación original. 2x 4 6) La expresión − es equivalente a: 25 x − 1 10 x − 2 2 − 8x A) 25 x 2 − 1 − 8x + 1 B) 25 x 2 − 1 − 8x − 2 C) 25 x 2 − 1 2x − 4 D) 25 x + 10 x − 3 2 Solución: Bueno ya sabemos que podemos tomar un atajo con solo sustituir la variable por un valor numérico y probar cada una de las respuestas, la que de igual será la respuesta correcta, esto quedara para el estudiante que desee aplicarlo. Nosotros vamos a aplicar el proceso netamente algebraico. 2x 4 − Ahora aplicamos la suma de 25 x − 1 10 x − 2 2 fracciones. ( 2 x(10 x − 2) − 4 25 x − 1 2 ) ( ) Aplicamos factor común tanto 25 x 2 − 1 (10 x − 2 ) arriba como abajo (numerador y denominador) para ver queExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 5
  6. 6. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 2 x(2 )(5 x − 1) − 4(5 x − 1)(5 x + 1) podemos simplificar eliminando (5 x − 1)(5 x + 1)2(5 x − 1) términos iguales en la fracción. 4 x(5 x − 1) − 4(5 x − 1)(5 x + 1) Vamos a sacar a factor común el (5 x − 1)(5 x + 1)2(5 x − 1) paréntesis que se repite en cada término como sigue. (5 x − 1)(4 x − 4(5 x + 1)) Ahora eliminamos el factor con (5 x − 1)(5 x + 1)2(5 x − 1) uno de los de abajo que se están multiplicando entre sí, sino el (4 x − 4(5x + 1)) (5x + 1)2(5x − 1) proceso no sería válido. Ahora sacamos a factor el número 4 para simplificarlo con 4( x − (5 x + 1)) (5x + 1)2(5x − 1) el denominador. 2( x − (5x + 1)) (5x + 1)(5x − 1) Eliminamos ahora el paréntesis del numerador y nos queda. 2( x − 5 x − 1) (5x + 1)(5x − 1) Aplicar la suma o resta de semejantes en el numerador. signos cambiaron como se puede observar. 2(−4 x − 1) (5x + 1)(5x − 1) Por último solo realizamos la operación en el numerador y al − 8x − 2 denominador lo representamos 25x 2 − 1 como la tercera fórmula notable. La respuesta entonces es la opción: B.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 6
  7. 7. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 x 2 y 2 − 36 y 4 xy − 6 y 2 7) La expresión ÷ es equivalente a: 6 12 A) 2 y ( x − 6 y ) B) 2 y ( x + 6 y ) C) (xy − 6 y )2 3 72 D) ( xy − 6 y 2 ) (xy + 6 y ) 2 2 72 Solución: Debemos aplicar la división de fracciones, la cual se ejecuta multiplicando en cruz los términos y obteniendo una sola fracción. Claro está debemos factorizar cuando así me lo permita la operación. x 2 y 2 − 36 y 4 xy − 6 y 2 ÷ Multipliquemos en cruz. 6 12 12( x 2 y 2 − 36 y 4 ) Ahora simplifiquemos los 6( xy − 6 y 2 ) números 12 y 6. 2( x y − 36 y ) 2 2 4 Apliquemos factor común en el ( xy − 6 y 2 ) numerador y en el denominador. 2 y ( x − 36 y ) 2 2 2 Veamos como nos queda de y( x − 6 y) nuevo la tercera fórmula notable en el numerador (Arriba de la 2 y 2 ( x 2 − (6 y ) 2 ) fracción), entonces debemos y( x − 6 y) desarrollarla como sigue. 2 y ( x + 6 y )( x − 6 y ) 2 Bueno solo simplifiquemos el y( x − 6 y) paréntesis igual. 2 y( x + 6 y) Además simplificamos la letra y que estaba en el numerador al cuadrado y abajo a la uno. La respuesta es la opción: B.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 7
  8. 8. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 8) El conjunto solución de 6 x 2 − 7 x = −2 es: 1 2  A)  ,  2 3 1  B)  ,1 3  −1 − 2 C)  ,  2 3   7 + 97 7 − 97  D)  ,   12 12  Solución: Lo que se debe hacer aquí es resolver la ecuación, despejando el valor de la variable como sigue. 6 x 2 − 7 x = −2 Despejamos el -2 al otro lado del igual y se le cambia de signo, acorde a las leyes de ecuaciones. 6x − 7 x + 2 = 0 2 Ahora tenemos otra cuadrática, solo utilizamos la calculadora y obtendremos los valores para x, 2 1 X1 = X2 = aquí no se debe despejar la x, 3 2 sino que los valores que nos da se aplican directo y YA. La respuesta correcta es la opción: A. 9) El conjunto solución de x 2 + x = − x( x + 1) es: A) {0} B) { ,2} 1 C) {− 1,0}  1 D) − 1,   2 Solución: Igual que la pregunta anterior solo debemos despejar la variable y como nos volverá a quedar una cuadrática, solo utilizamos la calculadora. x 2 + x = − x( x + 1) Realicemos la multiplicación del término de la derecha del igual. x2 + x = −x2 − x Ahora coloquemos las variables al lado izquierdo, recordar cambiar de signos. x +x +x+x=0 2 2 Sumemos los monomios semejantes. 2x 2 + 2x = 0 Entonces el valor de las equis serán.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 8
  9. 9. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 X1 = 0 X 2 = −1 También se pudo resolver mediante el factor común y luego cada paréntesis igualarlo a 2 x ( x + 1) = 0 cero, para después solo despejar. 2x=0 y x+1=0 X=0 y X= -1 La respuesta correcta es la opción C. 10) El conjunto solución de − 3x − (1 − x ) = x − 4 es: 2 A) {3,1} B) {− 3,1} { C) 3 − 6 ,3 + 6 } D) {− 2 − 7 ,−2 + 7 } Solución: Observemos que el paréntesis elevado al cuadrado es la tercera fórmula notable de nuevo, así que solo debemos desarrollarla para comenzar y continuar con el proceso. − 3x − (1 − x ) = x − 4 2 Apliquemos la III fórmula notable. ( ) − 3x − 1 − 2 x + x 2 = x − 4 Ahora quitamos el paréntesis, pero hay que recordar que el − 3x − 1 + 2 x − x = x − 4 2 signo negativo fuera cambia de signo todo lo que está adentro. − x −1 − x2 = x − 4 Restemos los monomios semejantes. − x − x − x = −4 + 1 2 Despejamos monomios con variables (letras) a la izquierda y constantes (números) a la − 2 x − x = −3 2 derecha y efectuamos las operaciones correspondientes. − x − 2x + 3 = 0 2 Luego se acomoda el polinomio de mayor a menor y despejamos la constante a la izquierda para X 1 = −3 X2 =1 tener la cuadrática. Claro ya sabemos que hacer, solo aplicar la calculadora o desarrollar la fórmula general. La respuesta es la opción B.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 9
  10. 10. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 3x + 5 5 x − 1 11) Una solución de = es: x +1 4x A) − 8 + 31 B) − 8 + 62 − 8 + 31 C) 2 − 8 − 57 D) 7 Solución: Lo primero es pasar a multiplicar a ambos lados del igual los términos que se encuentran en los denominadores, con el fin de que no hayan fracciones. 3x + 5 5 x − 1 = Pasemos entonces los x +1 4x denominadores a multiplicar a ambos lados del igual. 4 x(3 x + 5) = ( x + 1)(5 x − 1) Luego desarrollamos las multiplicaciones. 12 x + 20 x = 5 x − x + 5 x − 1 2 2 Ahora sumamos o restamos los monomios que son semejantes. 12 x 2 + 20 x = 5 x 2 + 4 x − 1 Pasemos todos los términos al lado izquierdo para tener otra vez la fórmula cuadrática. Ya 12 x − 5 x + 20 x − 4 x + 1 = 0 2 2 sabemos como desarrollarla. Claro antes debemos volver a sumar o restar todos aquellos 7 x + 16 x + 1 = 0 2 monomios que sean semejantes. − 8 + 57 − 8 − 57 X1 = X2 = Claro está con la calculadora lo 7 7 que obtenemos es un número con decimales, por lo que la X 1 = −0.0643 X 2 = −2.2214 única opción de verificar las respuestas es probando los resultados y ver cuál me da el mismo número. La respuesta es la opción D.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 10
  11. 11. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 12) En un rombo, la medida de la diagonal mayor es tres veces la medida de la diagonal menor. Si su área es 37,5 entonces. ¿ Cuál es la longitud de la diagonal mayor del rombo?. 2 D=3X A) 5 1 d=X B) 15 C) 75 225 D) 4 Solución: Aca solo debemos utilizar la fórmula del área del rombo y asignar una variable X a la medida del lado menor, veamos como. D•d A= Fórmula del área del rombo. 2 Pasemos el denominador (2) a 2A = D • d multiplicar al A, ya que nos dan este dato. Ahora solo sustituimos los 2(37.5) = (3 x ) • ( x ) datos. 75 = 3 x 2 Despejemos el 3 a dividir. 75 = x2 Por último sacamos la raíz 3 25 = x 2 cuadrada a ambos lados del 25 = x 2 igual y obtenemos la respuesta. 5= x Ahora solo debemos sustituir el D = 3(x ) valor de X en el planteo original D = 3(5) = 15 y obtenemos el resultado. La respuesta es la opción B. 13) Considere el siguiente enunciado. El producto de dos números enteros consecutivos disminuido en 16 es igual al menor de ellos. ¿Cuál es el número?. Si “X” representa el menor de ellos, entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es. A) x 2 − x = x + 16 B) x 2 + x = x + 16 C) x 2 + x = x − 16 D) x 2 − x = x − 16Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 11
  12. 12. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 Solución: Si x es el menor de ellos, el planteo quedará como sigue. x( x + 1) − 16 = x Donde solo debemos despejar la constante al lado derecho del igual para obtener una ecuación x + x = x + 16 2 igual a las que nos plantean las respuestas. Claro está también se debe efectuar la multiplicación de los números consecutivos. La respuesta correcta es la opción B. 4x 2 − x 14) Sea f una función dada por f ( x) = , la imagen de -5 es: 3x − 4 95 A) 11 105 B) 11 − 45 C) 19 − 105 D) 19 Solución: Debemos tener muy claro que -5 es la preimagen, o sea el valor X que será sustituido en la función para obtener su imagen ya sea el valor Y. 4x 2 − x f ( x) = Sustituyamos el valor de X en -5 3x − 4 4(−5) 2 − (−5) f (−5) = Luego efectuamos las 3(−5) − 4 operaciones indicadas. 100 + 5 f (−5) = Obtenemos entonces la − 19 respuesta correcta. 105 f (−5) = Pero no pueden haber negativos − 19 en el denominador, por lo que solo subimos el signo y lo − 105 f (−5) = multiplicamos con el numerador. 19 La respuesta correcta es entonces la opción: D.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 12
  13. 13. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 15) Si {(− 3,4 ), (− 1,2 ), (0,0 ), (1,2 ), (3,6 )} es el gráfico de una función, entonces el dominio Y 6 de esa función es: A) [0,6] 4 DOMINIO MÁXIMO B) [− 3,6] 2 C) {0,2,4,6} X D) {− 3,−1,0,1,3} -3 -1 0 1 2 3 Solución: Aquí solo debemos ubicar que el dominio se ubica siempre en funciones en el eje X, por lo que con solo identificar los valores de X de los pares de coordenadas cartesianas es suficiente. X= {− 3,−1,0,1,3} Sólo con esta análisis es suficiente para tener la respuesta. La respuesta correcta es la opción D. 9x 2 − 4 16) El dominio máximo de la función dada por f ( x) = es: 3 + x2 A) B) − {− 3,3} − 2 2 C) − ,   3 3 D) { − − 3, 3 } Solución: Bueno sabemos que debemos siempre fijarnos en el denominador de la función, ya que cuando es una fracción el dominio estará limitado a todos los valores menos los que me hacen cero el denominador ya que la división entre cero no está definida en matemáticas. (restricción vital). Entonces procedemos como sigue: 9x 2 − 4 f ( x) = Separemos el denominador y lo 3 + x2 planteamos como sigue. 3+ x = 0 2 Igualamos a cero la expresión y despejamos. x 2 = −3 Luego para eliminar el cuadrado de la variable solo se le saca raíz x2 = − 3 en ambos lados del igual. Pero de nuevo tenemos una restricción ya que las raíces x ≠ −3 negativas de números pares no están definidas en matemáticas Está claro que la respuesta será todo el conjunto de los reales ya que no existe ningún valorExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 13
  14. 14. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 definido que me haga cero la función. La respuesta correcta es la opción: D. 1 17) El dominio máximo de la función f dada por f ( x) = corresponde a: − x+3 A) ]− α ,3[ B) ]− α ,3] C) ]3,+α [ D) [3,+α [ Solución: La función planteada en principio es fraccionaria por lo que la restricción de la división entre cero es importante, pero además tenemos una raíz, esto nos modifica el planteo hacia una INECUACIÓN con el signo >, veamos: 1 f ( x) = Separemos el subradical y lo −x+3 planteamos como sigue. − x+3>0 Bien, despejemos la inecuación para obtener todos los valores − x > −3 que son permitidos en el dominio máximo. x<3 Observemos como cuando se da un cambio de signo, ya sea porque la X no puede quedar negativa o por algún choque de signos, la dirección del > cambió −α -3 -1 0 1 2 3 a <. La respuesta correcta es la opción: A. 18) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, el ámbito es: A) Y B) [0,2] C) [0,+α [ 2 D) ]− α ,4[ X −α 0 2 4 Solución: Según la gráfica el ámbito no tiene fin, este sabemos se encuentra sobre el eje Y, y nos presentan una flecha sin termino, por lo que su fin será el infinito. Solo tiene una principio en cero. La respuesta correcta será la opción: C.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 14
  15. 15. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 19) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, considere las siguientes proposiciones: I. f es constante en ]− α ,−6[ II. f es estrictamente decreciente en ]− 2,2[ ¿Cuál de ellas son VERDADERAS?. A) Ambas B) Ninguna. C) Solo la I. 2 D) Solo la II. -4 -3 0 2 3 -4 Solución: Claramente observamos que ninguna de las proposiciones es VERDADERA ya que la función tendrá los intervalos siguientes como correctos: f constante en: ]− α ,−3]....[2,+α [ f es estrictamente decreciente en: [− 3,2] La respuesta correcta será entonces la opción: B. 20) La pendiente de la recta que contiene los puntos (-2,3) y (-4,8) es: 5 A) 8 2 B) 11 −5 C) 2 −5 D) 8 Solución: La solución es realmente muy simple, ya que solo debemos asignar a cada par de coordenadas cartesianas un orden lógico y aplicar la formula para su cálculo. y − y1 m= 2 Esta es la fórmula a utilizar. x 2 − x1 Ahora solo le asignamos las posiciones a los pares de (-2,3) serán ( x1 , y1 ) coordenadas.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 15
  16. 16. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 (-4,8) serán ( x 2 , y 2 ) Solo debemos sustituir en la fórmula y efectuar los cálculos correspondientes. 8−3 m= Tenemos entonces. − 4− − 2 −5 m= 2 La respuesta correcta será entonces la opción: C. 3 y 21) El punto donde la recta definida por x − = −1 se interseca con el eje “Y” 2 4 corresponde a: A) (4,0 ) B) (0,4 ) −2  C)  ,0   3   −2 D)  0,   3  Solución: Lo primero es tener la ecuación lineal representada de la forma general: y = mx + b . Luego solo identificamos cual es el valor de la “b” ya que este será el punto de corte con el eje de coordenada “y”. y −3 − = x −1 Primer paso de despeje de la Y. 4 2 −3  − y = 4 x − 1 Segundo paso de despeje.  2  − 12 −y= x−4 Luego de multiplicar el 4 por 2 todo lo que está adentro del paréntesis. − y = −6 x − 4 Ahora solo le cambiamos el signo a la Y, ya que no puede y = 6x + 4 quedar negativa nunca. Claro todo lo demás también cambia de signo. La respuesta será entonces la opción: B. Veamos gráficamente la respuesta. Para esto solo debemos calcular dos valores: Cuando x=0 y cuando y=0. luego marcamos los pares de coordenadas. X 0 −2 3 Y 4 0Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 16
  17. 17. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 Cuando x=0 entonces Y= 4. y = 6(0) + 4 y = 0+4 Punto de y=4 corte con el 4 eje Y −2 Par de Cuando y=0 entonces X= coordenadas 3 (0,4) 0 = 6x + 4 (x,y) − 4 = 6x −4 −2 =x -1 0 6 3 −2 =x 3 22) Una ecuación de una recta, paralela a la dada por la ecuación 3 y − 5 = −2 x es: 3 A) y = x − 5 2 2 B) y = x − 5 3 −3 C) y = x+5 2 −2 D) y = x+5 3 Solución: Para que una recta sea paralela a otra solo de debe cumplir que: m1=m2, entonces solo debemos despejar la ecuación original y localizar el valor de la pendiente m, la respuesta será aquella que tenga el mismo valor en su pendiente. 3 y − 5 = −2 x Despejemos la ecuación en función del valor Y. 3 y = −2 x + 5 − 2x + 5 y= Ahora solo debemos representar 3 a fracciones homogéneas. − 2x 5 −2 y= + Entonces el valor de m1 es: . 3 3 3 Respuesta: La opción correcta será: D.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 17
  18. 18. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 23) La ecuación de la recta a la que pertenece el punto (2,-3) y que es perpendicular a la recta determinada por 4 x − 2 y + 6 = 0 es equivalente a: A) y = 2 x − 7 1 B) y = x − 4 2 C) y = −2 x + 1 −1 D) y = x−2 2 Solución: La condición vital para que dos rectas sean perpendiculares es que sus pendientes cumplan que: m1 • m2 = −1 . Entonces solo debemos calcular el valor de la pendiente de la ecuación que nos dan y calcular la pendiente de la recta que nos piden, para luego poder calcular el valor de la variable b. Veamos como. 4x − 2 y + 6 = 0 Despejemos la ecuación en función de Y. − 2 y + 6 = 4x − 2 y = 4x − 6 4x − 6 y= Pero nunca puede quedar un −2 número negativo en el denominador, entonces solo − 4x + 6 y= cambiamos el signo de todo lo 2 que está arriba. 4x 6 y= + Separé en fracciones homogéneas y me 2 2 quedará la ecuación como sigue. y = 2x + 3 Dividiendo las fracciones. m1 • m2 = −1 Ahora sustituyamos el valore de la primera m1 y despejemos para obtener el valor de la segunda m2. 2 • m2 = −1 −1 m2 = Ahora solo calculemos el valor de b. 2 Para ello tomamos el valor de m2 y los valores de (x,y) que nos dan y que pertenecen a la recta el cuestión.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 18
  19. 19. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 y = mx + b −1 y= x+b 2 −1 Observemos que el calculo del valor −3= (2) + b de b, se realiza solo con sustituir los 2 valores que nos dan junto con el que −2 −3= +b hemos calculado de m2 y luego solo 2 despejamos. − 3 = −1 + b − 3 +1 = b −2=b −1 y= x−2 Esta es la ecuación que necesitamos 2 encontrar. Respuesta: la opción D, es la correcta. 24) Si f es una función dada por f ( x) = 2 − 3x , entonces f −1 (−2) es: A) 8 B) 0 4 C) 3 D) -4 Solución: Aquí hay dos posibles caminos para resolver correctamente esta operación. La primera tiene que ver con el calculo de la función inversa de la función original y luego calcular le imagen de la función inversa, el otro consiste en solo calcular el valor sustituyendo la preimagen de la función inversa en el función original donde se localiza f(x) y despejar para llegar a la respuesta correcta. Observemos los dos caminos usted escoge. f ( x) = 2 − 3x Calculemos la inversa de la función en cuestión. y = 2 − 3x Solo debemos despejar el valor de x. y − 2 = −3 x y−2 =x Pero de nuevo no puede haber −3 un número negativo en el denominador, por esto solo − y+2 =x cambiamos el signo de todo lo 3 que está en la expresión y ya solucionamos todo.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 19
  20. 20. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 −x+2 f −1 ( x) = Ahora solo sustituimos el valor 3 de la preimagen de la función inversa. − (− 2 ) + 2 f −1 (−2) = Obtenemos lo siguiente. 3 2+2 f −1 (−2) = 3 4 f −1 (−2) = Bien hasta aquí recorrimos el 3 primer camino posible, ahora veamos el segundo camino. f ( x) = 2 − 3x Solo se sustituye el valor de la preimagen inversa en el función original como se puede ver. − 2 = 2 − 3x Ahora solo calculamos el valor de x despejando. − 2 − 2 = −3 x − 4 = −3 x −4 =x −3 4 =x Donde podemos ver que la 3 solución es la misma. Respuesta: La opción correcta será entonces: C. −x 25) Si f es una función biyectiva dada por f ( x) = + 2 , entonces se cumple que: 5 A) f −1 (x ) = 5 x − 2 B) f (x ) = 2 − 5 x −1 C) f −1 ( x ) = 5 x − 10 D) f −1 ( x ) = 10 − 5 x Solución: Bueno aquí debemos calcular de manera algebraica la función inversa despejando la x en le función original. −x y= +2 Despejemos el valor de x. 5Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 20
  21. 21. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 −x y−2= 5 5( y − 2 ) = − x Como vemos no se puede tener 5 y − 10 = − x − 5 y + 10 = x al valor de x en negativo por lo que solo se le cambia de signo a todo y YA. f ( x ) = −5 x + 10 −1 Logrando obtener la solución. Respuesta: La opción correcta es la D, solo que está acomodada de otra manera. 26) El eje de simetría de la gráfica de la función g dada por g ( x) = 3 − 6 x 2 corresponde a: A) y = 0 B) x = 0 1 C) y = 4 1 D) x = 4 Solución: El eje de simetría esta dado en la ecuación cuadrática por el valor que tiene la X en el calculo del vértice.  − b 4ac − b 2  Vértice   2a , 4a   Estos son los puntos del vértice.   a=-6, b=0 y c=3 Donde solo tomamos los valores de b y a. −0 Aquí calculamos el valor de x. 2(− 6 ) 0 =0 Entonces el valor de la x es de − 12 cero. Respuesta: La opción B es la correcta.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 21
  22. 22. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 x2 27) La función dada por f ( x) = + 1 es estrictamente creciente en: 5 A) [0,+α [ B) ]− α ,0] −1  C)  ,+α   10   − 1 D)  − α ,   10  Solución: Primero debemos calcular el valor de los puntos que componen el vértice y a partir del valor de la x y la forma de la curva, si es cóncava hacia abajo o hacia arriba, realizamos un barrido visual sobre el eje x para ver donde es creciente la curva dada. x2 f ( x) = +1 Calculemos el punto del 5 vértice de X.  − b 4ac − b 2 Vértice  2a , 4a     1 a= , b= 0, c= 1 5 −0 Sigamos con el cálculo. 1 2  5 0 =0 Nos da cero en el eje de 2 5 simetría. Veamos la gráfica. a>0 Punto mínimo 1 +α Ya que el vértice se encuentra en el punto: (0,1) , luego de calcular el valor de Y también. El intervalo será: [0,+α [ La respuesta será entonces la opción: A.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 22
  23. 23. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 28) Para la función dada por f ( x ) = 3 − x considere las siguientes proposiciones. I. El ámbito es ]0,+α [ . II. f es creciente. ¿Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. C) Solo la I. D) Solo la II. Solución: Veamos la gráfica de la función exponencial y examinemos donde se ubica el ámbito dependiendo de los valores de a y cuando es creciente, también dependiendo de a. f (x ) = 3− x La gráfica estaría dada por: +α Como podemos ver la gráfica nos da una relación decreciente. Por esto la opción II es totalmente falsa. Pero vemos como el ámbito se acerca a cero pero no lo toca, por esto debemos entender que la opción I si es correcta. Además se sabe que la función exponencial es creciente si a>0 y en este caso no se cumple ya que 1 a vale: x esto da valores muy 3 por debajo de 0. Otra razón para que el intervalo no incluya al cero es que como el exponente es negativo y la expresión positiva hace que me queda en el denominador y nunca puede haber un cero en el mismo ya que no está definida en matemáticas. Respuesta: La opción C es la correcta.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 23
  24. 24. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 29) La gráfica de la función dada por f ( x) = 2 x −1 se interseca con el eje “Y” en el punto. A) (1,0 ) B) (0,1) 1  C)  ,0  2   1 D)  0,   2 Solución: Para calcular el punto de corte con el eje Y solo debemos calcular cuando la X vale cero y representar el valor con exponentes positivos. Veamos el gráfico. 1 Veamos el punto de corte en 2 en el eje Y. El calculo por sustitución con cero en X será como sigue. y = 2 0−1 Luego. 1 y= Porque el 2 queda con un 2 exponente negativo. Respuesta: La opción D será la correcta, donde se localiza el punto de corte con Y. 30) La solución de 16 x +1 = 64 2 x −3 es: 1 A) 2 7 B) 4 1 C) 8 11 D) 4Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 24
  25. 25. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 Solución: Cuando tenemos exponenciales con bases diferentes la estrategia es que los exponentes sean iguales a ambos lados del igual para que se puedan eliminar y luego nos queda una ecuación lineal fácil de resolver. 16 x +1 = 64 2 x −3 Vamos a factorizar las bases para lograr que me queden bases iguales. 16 4 64 4 4 4 16 4 1 4 4 1 Tienen en común el 4 de base. (4 ) 2 x +1 = 43( )2 x −3 Apliquemos la propiedad de potencias: Potencia a una potencia, se conserva la base y 4 2 x + 2 = 4 6 x −9 se multiplican los exponentes. 2x + 2 = 6x − 9 Se eliminan las bases y nos queda una ecuación lineal, solo 2 x − 6 x = −9 − 2 debemos resolverla y YA. − 4 x = −11 − 11 x= Leyes de signos en división. −4 11 x= 4 Respuesta: La opción D es la correcta entonces. x +1 2 x −1  1  31) El conjunto solución de 36 =  es:  216  2 A)   7  3 B)   7   − 1 C)   7 − 5 D)    7  Solución: El primer objetivo de nuevo es factorizar para que las bases en ambos lados del igual sean iguales, así las eliminamos, facilitando el cálculo. Veamos como. x +1 2 x −1  1  36 =  Factoricemos las bases que nos  216  dan.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 25
  26. 26. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 x +1 (6 ) 2 2 x −1  1  = 3 Al lado derecho debemos subir 6  el denominador, así el exponente se vuelve negativo. (6 ) 2 2 x −1 ( ) = 6 −3 x +1 Ahora apliquemos la propiedad de una potencia elevada a otra potencia que dice: se conserva la 6 2( 2 x −1) = 6 −3( x +1) base y se multiplican los exponentes. 2(2 x − 1) = −3( x + 1) Se cancelaron las bases aplicando una propiedad de las ecuaciones exponenciales. 4 x − 2 = −3 x − 3 Ahora se multiplica el número que está fuera de los paréntesis por cada uno de los electos que 4 x + 3 x = −3 + 2 se encuentra dentro. Despejamos los términos que poseen letras a la izquierda y las constantes a la 7 x = −1 derecha. Por último apliquemos las operaciones aritméticas de sumas y restas con sus −1 x= respectivas leyes de signos y 7 despejamos la variable que nos da la respuesta al ejercicio. Respuesta: La opción C es la correcta. 32) Considere los siguientes criterios de funciones logarítmicas. I- f(x)= log 1 x 5 II- g(x)= log 2 x 3 II- h(x)= log 6 x 3 ¿Cuáles de ellos corresponden a funciones decrecientes? A) Solo el I. B) Solo el III. C) Solo el I y el II. D) Solo el II y el III.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 26
  27. 27. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 Solución: Analicemos los intervalos donde la función logarítmica es decreciente y creciente, ya que depende del valor de la base a la que esté dicho logaritmo. Sí 0 < a < 1 ] la función decrece en 0, + α [ Sí a> 1 ] la función crece en 0, + α [ Como vemos los intervalos donde crece y decrece son los mismos, por lo que debemos solo fijarnos en el valor que En la opción I la base vale: tiene la base del logaritmo para 0,2 y en la opción II vale ubicar aquel que será 0,67. decreciente. Respuesta: La alternativa correcta será entonces C. log a b 33) Si = −2 entonces se cumple que 3 1 A) b6 = a 1 B) a6 = b C) a = −6 b D) b a = −6 Solución: Bueno la manera correcta para resolver esta operación me permitirá darme cuenta de que la respuesta que el MEP dio como válida no sirve en realidad, veamos. log a b = −2 Primero pasamos el 3 3 al otro lado del igual. log a b = −2(3) Luego convertimos a su expresión exponencial aplicando el dibujo del corazón. log a b = −6 Esto me indica que la base a del logaritmo para a ser la base del exponencial y el resultado será b = a −6 ahora la potencia de esta base. 1 b= Por último solo debemos tener el a6 resultado con exponentesExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 27
  28. 28. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 positivos así que solo bajamos la a y listo. Respuesta: No hay un alternativa correcta dentro de las planteadas como válidas. APELAR 34) Si se cumple que log 1 x = 4 , entonces el valor de x es 2 A) 2 1 B) 16 C) -2 1 D) 4 2 Solución: Fácil solo aplicar a la forma logarítmica el efecto CORAZÓN y tendremos la forma exponencial, para luego solo resolver la ecuación. log 1 x = 4 Veamos como queda de forma 2 exponencial. 4 1 x=  Apliquemos propiedad de 2 potencias. 4 1 x= Ahora solo resolvamos las 24 potencias y listo. 1 x= 16 Respuesta: La alternativa B. 1 35) EL valor de x para que la expresión log x =4 sea verdadera es 2 1 A) 4 B) -4 1 C) 6 2 1 D) 8 2Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 28
  29. 29. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 Solución: Debemos aplicar la propiedad de logaritmos para cuando una potencia pasa a multiplicar el logaritmo para después despejarlo al otro lado del igual, así podré convertir con el efecto CORAZÓN la expresión exponencial misma que dará por resultado. 1 log x =4 Recordar que las raíces son en 2 realidad exponentes 1 fraccionarios, así a =a . 2 1 1 2 log x   = 4 Pasemos el exponente a 2 multiplicar al logaritmo, 1 1 log x   = 4 como la potencia quedó 2 2 multiplicando la despejamos al otro lado del igual, en su operación contraria. 1 4 log x   = Ahora multiplico extremos y 2 1 2 medios de acuerdo a las leyes de división de fracciones. Cuando 4 1 log x = 1 algún número no tiene 2 1 2 denominador le ponemos un 1 abajo y YA. Multipliquemos extremos y medios. 1 log x =8 Ahora el efecto CORAZÓN. 2 1 = x8 Pues bien ahora solo debemos 2 sacar la raíz octava en ambos lados del igual y listo. 1 8 =8 La potencia de la X se canceló 2 con la raíz por tener igual valor, ley de radicales y potencias, operaciones opuestas. Respuesta: Opción D la correcta.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 29
  30. 30. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 36) Considere las siguientes proposiciones. I. log 2 (8 x) = log 2 x + 3 log 3 x II. log 3 x = 2 ¿Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I. D) Solo la II. Solución: Resolvamos primero la proposición I, aplicando las leyes de logaritmos de multiplicación, misma que pasa a suma con el resultado podremos comprobar que la igualdad se da o NO. Con la proposición II, igual aplicaremos las propiedades de logaritmos, pero acá será la de potencias, para igual comprobar que la igualdad se cumple. log 2 (8 x) = log 2 x + 3 Bueno primero apliquemos la propiedad de la multiplicación por suma al lado izquierdo de la ecuación. log 2 8 + log 2 x = log 2 x + 3 Convirtamos el 8 en potencia, para poder aplicar la propiedad de potencias en logaritmos. log 2 2 3 + log 2 x = log 2 x + 3 Sigamos. 3 log 2 2 + log 2 x = log 2 x + 3 Recordemos que cuando la base y el valor del logaritmo son iguales, esto vale 1. 3(1) + log 2 x = log 2 x + 3 Podemos observar que en efecto la igualdad se da, por lo que esta proposición se cumple. Evaluemos la II. log 3 x log 3 x = Bueno representemos la raíz con 2 su respectivo exponente fraccionario.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 30
  31. 31. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 1 log 3 x log 3 ( x) 2 = Ahora pasemos el exponente a 2 multiplicar según la propiedad. 1 log 3 x log 3 x = Ahora solo falta que lo 2 2 representemos de una sola forma fraccionaria el lado izquierdo para ver si queda igual que el lado derecho o NO. log 3 x log 3 x = Entonces la igualdad también se 2 2 da. Respuesta: La A es la correcta. 37) La expresión log 5 ( x + y ) − log 5 y + 1 es equivalente a. A) log 5 (5 x) B) log 5 ( x + 5) x+ y C) log 5   y +1     5( x + y )  D) log 5      y  Solución: De nuevo me preguntan “es equivalente a”, entonces tengo dos caminos a seguir, primero resolverla de forma algebraica y luego podría ser por sustitución, asignando valores a las variables de manera arbitraria. Para efectos de este ejercicios diremos que x=2 y que y=3. Veamos los dos métodos aplicados. log 5 ( x + y ) − log 5 y + 1 Primero apliquemos la propiedad de la resta de logaritmos con iguales bases, x+ y  y  +1 log 5   como es el caso de la base 5.   x+ y  y  + log 5 5 log 5   Ahora convertimos el 1 en el   logaritmo de igual base e igual valor. x+ y log 5 5  y  Por último aplicamos la   propiedad de la suma deExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 31
  32. 32. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011  5( x + y )  log 5     logaritmos de igual base.  y  Ahora solo se representa según la respuesta. log 5 ( x + y ) − log 5 y + 1 Ahora apliquemos el método de sustitución. Solo asignamos los valores de x y de y dados al principio de ejercicio. log 5 (2 + 3) − log 5 3 + 1 Como vemos en la calculadora no podemos obtener el logaritmo de base 5, así que solo log(5) log 3 − +1 aplicamos el cambio de base y log 5 log 5 nos quedan en base 10. Veamos. 1.31739…… Este es el resultado que me da la sustitución, ahora solo se debe probar cada una de las respuestas aplicando las propiedades como hemos visto y comprobamos que la que de igual es la correcta. Respuesta: La opción D es la correcta por cualquiera de los dos métodos a emplear.  x +1 38) El conjunto solución de log 2   = 9 es.  3  A) {23} B) { } 191 C) {242} D) {1535} Solución: De nuevo me preguntan el “conjunto solución” entonces también puedo aplicar sustitución o resolver de forma algebraica. El método de sustitución aquí es nada más sustituir las respuestas que me dan en x de la pregunta y calcular para que me de 9, la que dé el 9 es la respuesta correcta.  x +1 log 2  =9 Vamos a aplicar el método  3  algebraico primero. Hagamos corazoncitos de nuevo y x +1 = 29 convirtamos la expresión 3 logarítmica en exponencial.Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 32
  33. 33. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 x + 1 = (512) • 3 Despejemos la variable x. x + 1 = 1536 x = 1536 − 1 Así obtenemos la respuesta x = 1535 correcta.  x +1 log 2  =9 Ahora por sustitución con solo  3  probar cada una de las opciones de respuesta es suficiente para  1535 + 1  log 2  =9 que me dé 9 en ambos lado del  3  igual.  1536  log   3  =9 Solo se debe resolver con la log 2 calculadora y ya está listo. Respuesta: es le Opción D la correcta. 39) La solución de log 5 ( x − 2) − log 5 (5 − x) = 2 es. A) 81 81 B) 17 127 C) 2 127 D) 26 Solución: De nuevo por el tipo de pregunta “la solución de” se puede hacer por cualquiera de los métodos de sustitución o algebraico, usted escoge por lo pronto aquí resolveremos solo por el método algebraico. log 5 ( x − 2) − log 5 (5 − x) = 2 Primero apliquemos la propiedad de resta en logaritmos.  x −2 log 5  =2 Ahora hagamos de nuevo 5− x corazoncitos. x−2 = 52 Despejemos ahora la X. 5− xExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 33
  34. 34. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 x − 2 = 25(5 − x) x − 2 = 125 − 25 x x + 25 x = 125 + 2 Como vemos es solo algebra lo 26 x = 127 127 x= 26 que hay que aplicar. 40) De acuerdo con los datos de la figura. Si m ∠ SPO = 55 o , entonces la m PR es. A) 35 0 B) 70 0 P C) 140 0 D) 220 0 Q S O R O: centro de la circunferencia Solución: Lo primero aquí es colocar en la figura los datos que nos dan, además de aquellas secciones de la circunferencia que nos piden de datos y luego aplicar la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 grados, además de que una cuerda cortada por un rayo en la circunferencia divide a esta en dos segmentos congruentes. Adelante. Ubiquemos los datos y las P secciones que nos piden. 550 X Q S O RExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 34
  35. 35. Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011 P 550 Ahora ubiquemos los demás 350 datos del triángulo que se formó. X= 700 Q 350 Además se formaron dos S O triángulos congruentes que a su vez nos dan la medida del ángulo central que determina el R arco que nos están pidiendo. Respuesta: La opción B, por la propiedad de que al ángulo central mide igual que el arco que forma. 41) De acuerdo con los datos de la figura, si m ∠ AOB = 50 0 , m BCY = 60 0 y XY es tangente a la circunferencia de centro O en el punto C, entonces la medida del ACX es igual a. A A) 20 0 B) 70 0 C) 90 0 D) 95 0 O B X C Y Solución: De nuevo primero ubiquemos en la figura los datos que nos presentan y luego apliquemos las propiedades sobre los ángulos inscritos, que miden la mitad de lo que mide el arco que comprenden y que el ángulo llano formado por la recta tangente mide 180 grados. A 500 O Ubiquemos los datos que nos B dan, primero y observemos cuales propiedades podemos X aplicar con respecto a los 600 ángulos centrales y inscritos. C YExamen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 35

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