Este documento presenta información sobre conceptos geométricos como la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola y sus ecuaciones. Define cada figura geométrica y explica sus elementos constitutivos. También incluye ejemplos y ecuaciones para representar cada curva en el plano cartesiano.

1. KEIDY ALEXANDRA GARCÍA CAMPOS
LEIDY YULIETH ARANGO YEPES
JUAN MANUEL RUIZ
MANUELA CARO RAMIREZ
JOSE HERNEY TANGARIFE HERRERA

2. Unidad 3
Pensamiento
Geométrico
y Analítico

3. Linea Recta
01
Circunferencia
02
Hipérbola
03
Contenido
Parábola
03
Elipse
04

4. Es el conjunto de puntos que
tiene una característica
común y su ecuación se
determina a partir de la
pendiente y algunas
condiciones particulares
Línea Recta
01

5. Ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente
y el intercepto con el eje y
● La ecuación canónica o explicita de la recta es
de la forma y= mx + b donde m es la pendiente
y b el valor donde la grafica de la recta y el eje y
se intersecan; dicho valor recibe el nombre de
y-intercepto.
● La pendiente de la recta corresponde al ángulo
de inclinación, que se forma entre la recta l y el
eje positivo de las x y es igual a la tangente
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
y-intercepto
pendiente

6. Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos
Por dos puntos pasa una única recta, a partir de este
postulado es posible determinar la ecuación. Para ello,
seguimos este procedimiento.
➢ Primero, hallamos la pendiente utilizando la
expresión:
𝑚 =
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
➢ Luego, sustituimos el valor de la pendiente y una de
las coordenadas de un punto en la ecuación
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
➢ Finalmente, despejamos y

7. Ecuación general de la recta
La ecuación general de la recta es de la forma
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ,donde A, B y C son números reales.
De la ecuación general se puede despejar y de tal manera
que se puede indicar su ecuación canónica o explicita de
la siguiente forma:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝐵𝑦 = −𝐴𝑥 − 𝐶
𝑦 =
−𝐴𝑥
𝐵
−
𝐶
𝐵
𝑐𝑜𝑛 𝐵 ≠ 0
De lo anterior podemos deducir que la ecuación de la recta
de forma
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, la pendiente de la recta es
−𝐴𝑥
𝐵
y el
intercepto con eje y es −
𝐶
𝐵
, donde 𝐵 ≠ 0

8. Sección Cónica
La curva generada al interceptar un plano con una superficie de revolución cónica
se llama sección cónica. A partir de la forma como el plano interseca la superficie
cónica, se puede obtener una circunferencia, una elipse, una parábola o una
hipérbola.

9. Circunferencia
Corresponde al lugar geométrico
de todos los puntos que están a la
misma distancia de un punto fijo
llamado centro.
Dicha distancia de cada punto al
centro se conoce como radio.
02

10. 10
¿Sabias qué?
Las construcciones geométricas
se remontan a la antigua Grecia,
además existían
problemas, pues las
construcciones tenían que
hacerse mediante la intersección
de rectas y circunferencias,
usando solamente la regla no
numerada y el compás,
instrumentos considerados
divinos por Platón.

11. 11

12. 12

13. Definamos ¿Qué es la circunferencia y sus partes
?
13

14. 14

15. 15

16. 16
Dos circunferencias

17. 17

18. 18

19. 19
La circunferencia es el lugar
geométrico del conjunto de puntos
equidistantes de un punto fijo,
llamado centro. A la distancia fija
de cualquier punto de la
circunferencia al centro se le
denomina radio (r).

20. si en la figura 1, se considera el centro
c(h,k ) fijo (de coordenadas
constantes) y el punto p (x,y ) que gira
alrededor de c, conservando la
distancia constante, se tiene la gráfica
de la circunferencia.
20

21. 21
Recuerda que sustituimos los
números por las letras

22. 22
Aplicando la fórmula para la distancia entre dos puntos
se obtiene:
Elevando al cuadrado ambos miembros
Ecuación de la circunferencia en forma ordinaria (1)

23. 23

24. 24

25. 25

26. 26

27. 27

28. 28

29. Parabola
La parábola se define como el
lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de una
recta fija l, llamada directriz y un
punto fijo F, llamado foco.
03

30. LA PARÁBOLA

31. Conceptos y elementos de la parábola
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos
P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo ( F )
llamado foco y de una recta Fija llamada directriz.
d( P , F ) =d( P , D )= constante

32. foco
directríz eje
vértice
F
P
L
D
p p
Lado
recto=|4p|
La Parábola

33. ELEMENTOS MÁS
IMPORTANTES DE LA PARÁBOLA
Foco : es el punto fijo.
Directriz : es la recta fija D.
Parámetro : es la distancia del foco a la directriz
y se designa por 2p.
Vértice : es el punto de intersección de la parábola con su eje de
simetría.
Lado recto : es la cuerda focal AB perpendicular al eje focal o eje de
simetría de la parábola, cuya medida es | 4p |.

34. Lado recto
El lado recto (4p) es la cuerda paralela a la
directriz que pasa por el foco.

35. Ecuación de la parábola con vértice en el origen
A continuación determinemos la ecuación analítica de la parábola.
Para ello supongamos que el eje focal de la parábola coincide con el eje X, y que el vértice se encuentra en el origen del sistema.
De acuerdo a lo anterior, las coordenadas del
foco son: ( p , 0 )
y la directriz tiene como ecuación : x = -p
Si P ( x , y ) es un punto de la parábola, se cumple que:
d ( P , F ) = d ( P , D )/ ( )2
reduciendo, resulta la ecuación canónica

36. Observamos que:
_ Si p > 0, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje X, por lo tanto, su concavidad se orienta
hacia la derecha.
_ Si p < 0, el foco de la parábola está en la parte negativa del eje X, por lo tanto, su concavidad se orienta
hacia la izquierda.
En forma análoga,
Si el eje de simetría de la parábola coincide con el eje Y, la parábola tiene por eje focal al mismo eje Y.
Las coordenadas del foco son :
F ( 0 , p )
y la ecuación de la directriz es :
y = -p
Su ecuación canónica es ahora

38. Parábolas con eje focal paralelo al eje x
y
x
0
p>0
V(h,k). .F
(y-k)2 = 4p(x-h)
y
x
0
F. .V(h,k)
p<0

39. y
x
0
F.
.V(h,k)
p>0
(x-h)2 = 4p(y-
k)
y
x
0
.
.F
V(h,k)
p<0
Parábolas con eje focal paralelo al eje y

40. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.
Si consideramos una parábola con vértice V(0,0), su ecuación canónica es
Si le aplicamos una traslación T(h,k), obtenemos la ecuación principal de la parábola con vértice V(h,k):
Por efecto de la traslación, el nuevo eje focal
se mantiene paralelo al eje X. La ecuación principal
permite conocer de inmediato las coordenadas de
su vértice, el valor de p y, por lo tanto, la medida
del lado recto.
Desarrollado los cuadrados de binomios y
Ordenando la ecuación principal, se obtiene la ecuación general de la
parábola:
D= -4p ; E= -2k ;

41. V(h,k) ; F(h+p,k) ; D: x = -p+h ; L.R : 4p
Ahora ,
Si el eje focal o eje de simetría es paralelo al eje Y, la ecuación principal es de la forma:
o su equivalente, la ecuación general:
D = -2h ; E = -4p ;
V(h,k) ; F(h,p+k) ; D: y = -p+k

42. Elipse
La elipse es el lugar
geométrico de todos los
puntos en el plano cartesiano
tales que la suma de las
distancias a dos puntos fijos 𝐹1
y 𝐹2 llamadas focos
constantes
04

43. Hipérbola
05
Una hipérbola es el lugar
geométrico de los puntos en el
plano cuya diferencia de distancias
a dos puntos fijos llamados focos,
F y F´es constante

44. Hipérbola
En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales
que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es
igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Siendo esta constante
menor a la distancia entre los focos.

45. Elementos de la hipérbola
-Eje transversal o transverso
-Eje conjugado
-Eje focal
-Asíntotas
-Vértices
-Focos
-Centro
-Tangentes
-Radio de curvatura
-Áreas

46. Referencias
• Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas
3 (2a. ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
• Real, M. (2010). Secciones
Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
• Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 –
265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583