3... funcion exponencial 2015

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Las funciones exponenciales y logarítmicas...

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3... funcion exponencial 2015

  1. 1. UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES FACULTAD DE MEDICINA HUMANA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS MATEMATICA APLICADA A LA MEDICINA 2015
  2. 2. FUNCION EXPONENCIAL Conceptos previos de la teoría de exponentes Potenciación: Sea a ∈ R, n ∈ Z+ a n = a . a. a………….a n factores Propiedades: 1. an.am = a n+m 2. 𝒂 𝒏 𝒂 𝒎 = 𝒂 𝒏 − 𝒎 3. (a . b)n = an.bn 4. (a n)m = a n.m 5. entonces: 6. ∀ a ∈ R, a ≠ 0 a0 = 1 7. ∀ a ∈ R, a ≠ 0 , n ∈ Z+
  3. 3. FUNCION EXPONENCIAL Ecuación Exponencial Se considera así a toda expresión matemática cuya variable se encuentra en el exponente. Forma: PRINCIPIOS FUNDAMENTALES: a) Bases Iguales : a = b x = y Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación: 3 𝑋2+4 = 1 3 𝑋−10 SOLUCION 3 𝑋2+4 = 3−1 𝑋−10 𝑋2 + 4 = −𝑋 + 10 3 𝑋2+4 = 3 −𝑋+10 𝑋2 +𝑋 − 6 = 0 X = - 3 X = 2
  4. 4. FUNCION EXPONENCIAL Exponentes Iguales : Ejemplo: Hallar la solución de la ecuación: m + 5 = m + 5 x = - 15
  5. 5. FUNCION EXPONENCIAL Bases y Exponentes Iguales : Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación:
  6. 6. FUNCION EXPONENCIAL Sea ¨b¨ un numero real donde b > 0 y b ≠ 1. La función exponencial de base ¨b¨ es la función f: R R cuya regla de correspondencia es: 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 y 𝑥 ∈ 𝑅 Si: b >1 Si: 0 < b < 1 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 1 1 Función creciente Función decreciente
  7. 7. FUNCION EXPONENCIAL Sea la función: 𝑓 𝑥 = 3 𝑥. Hallar el dominio, el rango y esbozar el grafico. Solución -2 -1 1 2 Df: R Rf: < 0; ∞ > x 𝑓 𝑥 ( x , 𝑓 𝑥 ) - 2 1 / 9 ( - 2; 1/9) - 1 1 / 3 ( - 1; 1/3) 0 1 ( 0; 1) 1 3 ( 1; 3) 2 9 ( 2; 9) 9 3 1
  8. 8. FUNCION EXPONENCIAL Sea la función: 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥 . Hallar el dominio, el rango y esbozar el grafico. Solución - 2 -1 1 2 Df: R Rf: < 0; ∞ > x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 - 2 9 ( - 2; 9) - 1 3 ( - 1; 3) 0 1 ( 0 ; 1) 1 1/3 ( 1; 1/3) 2 1/9 ( 2; 1/9) 9 3 1
  9. 9. FUNCION EXPONENCIAL Graficar y determinar el dominio , rango y asíntota de la siguiente función: 𝑓 𝑥 = 3 + 2 𝑥−2 Solución 3 -2 1 2 3 4 Df: R Rf: < 3 ; ∞ > x 𝑓 𝑥 ( x; 𝑓 𝑥 ) - 2 3 + 1/16 (-2; 49/16) 0 3 + 1/4 ( 0 ; 13/4) 2 3 + 1 ( 2 ; 4 ) 3 3 + 2 ( 3 ; 5 ) 4 3 + 4 ( 4 ; 7 )
  10. 10. FUNCION EXPONENCIAL Determinar el dominio, rango, asíntota , asi mismo graficar la función: 𝑓 𝑥 = 2 − 2 𝑥−2 Solución 2 1 2 3 4 Df: R Rf: < - ∞; 2 > x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 ) 4 - 2 ( 4 ; - 2) 3 0 ( 3 ; 0 ) 2 1 ( 2 ; 1 ) 1 2 – 1/2 ( 1; 3/2) 0 2 – 1/4 (0 ; 7/4)
  11. 11. FUNCION EXPONENCIAL Determinar el rango y la asíntota de la siguiente función. 𝑓 𝑥 = 1 + 2 𝑥+2 , 𝑥 ≤ −2 1 − 1 2 𝑥+2 , 𝑥 > −2 Solución -4 -3 - 2 2 Df: R Rf: < 0; 1> U < 1; 2] asíntota: y=1 x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 ) - 2 1 + 1 ( - 2; 2) - 3 1+ ½ ( - 3; 3/2) - 4 1+ 1/4 ( - 4; 5/4) x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 ) - 2 1 - 1 ( - 2; 0 ) 0 1 – 1/4 ( 0; 3/4) 2 1 – 1/16 ( 2; 1/16) v v 1 2 3/2
  12. 12. FUNCION EXPONENCIAL FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Esta función tiene como base al numero trascendente ℮ y cuya regla de correspondencia es: 𝑓 𝑥 = ℮ 𝑥 Dominio de: 𝑓 𝑥 = R y Rango de 𝑓 𝑥 = < 0; ∞ > Valor aproximado de ℮ = 2, 71828182847……… Entonces: 𝑓 𝑥 = ℮ 𝑥 𝑓 𝑥 = ℮−𝑥 Función creciente Función decreciente 11
  13. 13. FUNCION EXPONENCIAL Hallar el dominio, rango, asíntota y grafico de la función: 𝑓 𝑥 = 3 − 2℮1−𝑥 Solución 3 1 2 D𝑓 𝑥 = R R𝑓 𝑥 = < - ∞; 3 > Asintota: y = 3 x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 ) 0 3 - 2e ( 0; - 2,41) 1 3 - 2 ( 1 ; 1) 2 3 – 2/e ( 2 ; 2,26) 2,26 1
  14. 14. FUNCION LOGARITMO DEFINICIÓN DE LOGARITMO: Sean los números reales “a” y “b”, si b > 0, b ≠ 1 y a >0, al número real x se denomina logaritmo del número a en base b y se denota por: Logb a = x si y solo si bx = a de la definición se tiene: Logb a = x bx = a Donde: b: Base del logaritmo a: Número del logaritmo x: Logaritmo de a en la base b
  15. 15. FUNCION LOGARITMO Propiedades de los logaritmos 1. Sea la base real b, tal que b > 0 ; b ≠ 1 logb1 = 0 ; logb b = 1 2. Sea A > 0 ^ B > 0, además b > 0 ˄ b ≠ 1 logb AB = logb A + logb B 3. Sea A > 0 ^ B > 0, además b > 0 ; b ≠ 1 logb ( A B ) = logb A – logb B 4. Sea A > 0 ^ b > 0 ; b ≠ 1 ; n  R: logb An = n logb A 5. Sea B > 0 ^ b > 0 ; b ≠ 1 ; c > 0 : logb B = logC 𝐁 log 𝐂 𝐛 6. 𝒃log 𝒃 𝒙 = 𝒙 ; ∀ x > 𝟎
  16. 16. FUNCION LOGARITMO Hallar los siguientes ejercicios: a) log1 2 32 log1 2 32 = x 32 = 1 2 𝑥 25 = 2−𝑥 x = - 5 b) log1 3 2𝑥2 − 9𝑥 + 4 = −2 1 3 −2 = 2𝑥2 − 9𝑥 + 4 32 = 2𝑥2 − 9𝑥 + 4 2𝑥2 − 9𝑥 − 5 = 0 x = - ½ ∨ x = 5 Con estos valores ∶ 2𝑥2 − 9𝑥 + 4 > 0 entonces CS = { -1/2;5}
  17. 17. FUNCION LOGARITMO Sea b un numero real, con b>0 y b≠ 1. La función logaritmo de base b es la función inversa de la función exponencial y su regla de correspondencia es: 𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑥 También podemos considerar: y= 𝑏 𝑥 y = 𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑥 Dominio 𝑓 𝑥 : < 0; ∞ > y= log 𝑏 𝑥 Rango 𝑓 𝑥 = R -1 1 1
  18. 18. FUNCION LOGARITMO 𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑥 donde 0 < b < 1 y= 𝑏 𝑥 y = log 𝑏 𝑥 Dominio 𝑓 𝑥 : < 0; ∞ > Rango 𝑓 𝑥 : R Función decreciente 1 1
  19. 19. FUNCION LOGARITMO 1. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones: a) 𝑓 𝑥 = log3 𝑥 − 2 Solucion Analizamos: x – 2 > 0 x = 2 (asíntota) 2 3 D𝑓 𝑥 = < 2 ; ∞ > R𝑓 𝑥 = R
  20. 20. FUNCION LOGARITMO b) 𝑓 𝑥 = 2 − log2 𝑥 + 3 Solucion Asintota: x + 3 > 0 x > -3 1 -3 -1 1 D𝑓 𝑥 = < - 3; ∞ > R 𝑓 𝑥 = R
  21. 21. FUNCION LOGARITMO c) 𝑓 𝑥 = − 3 − 2 ln 𝑥 + 1 Solucion Asintota: x + 1 > 0 x > - 1 1. 71828 D𝑓 𝑥 : < - 1; ∞ > R 𝑓 𝑥 : R -5 -1

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