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Algebra de funciones y funcion inversa. 2015

El álgebra de funciones y sus inversas ala hora de resolver una de estas preguntas nos marea, aquí un point más simple-espero-de entender.

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UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES
FACULTAD DE MEDICINA HUMANA
ALGEBRA DE FUNCIONES Y
FUNCION INVERSA
MATEMATICA APLICADA A LA
MEDICINA
2015
TRANSFORMACION DE FUNCIONES
Desplazamiento Horizontal:
Sea f(x) = 𝑥
Si: c > 0 ;
y= f(x – c) y=
f(x+c)
c - c
Desplazamiento Desplazamiento
hacia la derecha hacia la izquierda
TRANSFORMACION DE FUNCIONES
Desplazamiento Vertical:
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y = f(x) + c y = f(x) - c
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TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Hallar el dominio, rango y el grafico de la siguiente
función.
f(x)= 𝑥 − 3 + 2
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Hallar el dominio; rango y grafico de la siguiente función:
g(x) = 𝑥 + 3 2 + 2
Solución.
Desplazamiento horizontal: x + 3 = 0; x = - 3
Desplazamiento Vertical: y = 2
2
- 3
Dg(x) = R
Rg(x) = [ 2; ∞ >
ALGEBRA DE FUNCIONES
Si f(x) y g(x) son dos funciones con dominios Df y Dg
donde se cumple que Df Dg
Suma de funciones:
( f + g )(x)= f(x) + g(x)
Diferencia de funciones:
( f – g )(x)= f(x) – g(x)
Multiplicación de funciones:
( f . g )(x) = f(x).g(x)
División de funciones:
- 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 /𝑔(𝑥) = 0

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  • 1. UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES FACULTAD DE MEDICINA HUMANA ALGEBRA DE FUNCIONES Y FUNCION INVERSA MATEMATICA APLICADA A LA MEDICINA 2015
  • 2. TRANSFORMACION DE FUNCIONES Desplazamiento Horizontal: Sea f(x) = 𝑥 Si: c > 0 ; y= f(x – c) y= f(x+c) c - c Desplazamiento Desplazamiento hacia la derecha hacia la izquierda
  • 3. TRANSFORMACION DE FUNCIONES Desplazamiento Vertical: Si: c > 0; y = f(x) + c y = f(x) - c c - c Desplazamiento Desplazamiento vertical hacia arriba vertical hacia abajo
  • 4. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Hallar el dominio, rango y el grafico de la siguiente función. f(x)= 𝑥 − 3 + 2 Desplazamiento horizontal: x – 3 = 0; x = 3 Desplazamiento vertical: + 2 2 3
  • 5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Hallar el dominio; rango y grafico de la siguiente función: g(x) = 𝑥 + 3 2 + 2 Solución. Desplazamiento horizontal: x + 3 = 0; x = - 3 Desplazamiento Vertical: y = 2 2 - 3 Dg(x) = R Rg(x) = [ 2; ∞ >
  • 6. ALGEBRA DE FUNCIONES Si f(x) y g(x) son dos funciones con dominios Df y Dg donde se cumple que Df Dg Suma de funciones: ( f + g )(x)= f(x) + g(x) Diferencia de funciones: ( f – g )(x)= f(x) – g(x) Multiplicación de funciones: ( f . g )(x) = f(x).g(x) División de funciones: - 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 /𝑔(𝑥) = 0
  • 7. ALGEBRA DE FUNCIONES Ejercicios: 1. Dada las funciones : f(x) = {(-1,2),(0,0),(2,4),(3,- 1),(4,3)} g(x) = {(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)} Hallar: (f + g)(x); (f – g)(x); (f . g)(x) y (f / g )(x) Solucionario Primero hallamos los dominios de : Df = {- 1, 0, 2, 3, 4} Dg = {2, 3, 4, 6} entonces hallamos: Df Dg: { 2, 3, 4} (f + g)(2)= f(2) + g(2) = 4 + 0 = 4 (2, 4) (f + g) (f + g)(3)= f(3) + g(3) = -1 + 4 = 3 (3, 3) (f + g) (f + g)(4)= f(4) + g(4) = 3 + 7 = 10 (4, 10) (f + g) (f – g)(2) = f(2) – g(2) = 4 – 0 = 0 (2, 0) (f – g ) (f – g)(3) = f(3) – g(3) = -1 – 4 = -5 (2, 0) (f – g ) (f – g)(4)= f(4) – g(4) = 3 – 7 = - 4 (2, 0) (f – g )
  • 8. OPERACIONES CON FUNCIONES (f . g)(2) = f(2) .g(2) = 4 . 0 = 0 (2, 0) f . G (f . g)(3) = f(3) .g(3) = - 1 . 4 = -4 (3, - 4) f . g (f . g)(4) = f(4) .g(4) = 3 . 7 = 21 (4, 21) f . g Df Dg = { 3,4} – { 2 Dg /( g(2) = 0 ) ( 3, -1/4) f/ g ( 4, 3/7) f/ g
  • 9. OPERACIONES CON FUNCIONES 2. Si: y Hallar : (f + g)(x); (f . g)(x); (f / g)(x) Solución Hallamos la intersección de los dominio de f y g. Df Dg = {[- 3,0 > [0, 4]} { [ - 2, 2] < 2, 5] } Df Dg = [- 2, 0 > [ 0, 2] < 2, 4] [ [
  • 10. OPERACIONES CON FUNCIONES a) Si X [- 2, 2] g(x)= b) Si X < 2, 5] g(x) = x – 4 = 0 x = 4 x <2,5] – {4} D(f/g) = Df Dg – { 4 } = [ - 2, 0 > < 0, 2] < 2, 4> [
  • 11. OPERACIONES CON FUNCIONES Dadas las funciones: f(x) = 2x – 3 y g(x) = 1 - 𝑥2 Hallar el dominio y su regla de correspondencia: ℎ 𝑥 = 𝑓+𝑔 𝑔 𝑥 Solución Dh = ( Df ∩ Dg ) – { x ∈ g(x) / g(x) = 0 } = ( R ∩ R ) – { -1 ; 1} Dh = R – { - 1; 1 } h(x) = − 𝑥2 + 2𝑥−2 1−𝑥2 h(x) = 𝑥2− 2𝑥 + 2 𝑥2−1
  • 12. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas 2 funciones: f: A B y g: B C Es decir: f g A B C g o f La composición de g con f, denotada por g o f está definida por: Regla de correspondencia: g o f = g [ f (x) ] Donde: Dom(g o f)={x / x ϵ Dom (f)^ f(x) ϵ Dom (g)} A f B g C Df Rf Dg Rg x f(x) g(f(x)) Dgof g o f Rgof
  • 13. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Su regla de correspondencia es: g o f = g [ f(x) ], donde según el gráfico se puede apreciar: Dom (g o f) Dom (f) A Rang (g o f) Rang (g) C Rang (f)  Dom (g) ≠ ɸ EJEMPLO Entonces: Si: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1; hallar la regla de correspondencia de f(g(x)) y g(f(x)). f(g(x))= f( 2x+1) = 2𝑥 + 1 2 + 2 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 3 g(f(x))= g(𝑥2 + 2)= 2(𝑥2 + 2) + 1= 2𝑥2 + 5   
  • 14. ¿CUÁL ES EL DOMINIO DE G O F? Dom (g o f) = 1 Dom(f) f(1) = b Dom (g) 2 Dom(f) f(2) = d Dom (g) 3 Dom(f) f(3) = a Dom (g) 4 Dom(f) f(4) = d Dom (g) Dom (g o f) = {2, 3, 4}
  • 15. ¿CUÁL ES EL RANGO DE G O F ? (gof)(x) = g(f(x)) (gof)(2) = g(f(2)) = g(d) = 6 (2, 6 gof (gof)(3) = g(f(3)) = g(a) = 4 (3, 4) gof (gof)(4) = g(f(4)) = g(d) = 6 (4, 6) gof gof = { (2, 6) , (3, 4) , (4, 6) } Ran (g o f) = { 4, 6 }
  • 16. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Si f(x) = 2x + 3 , x [ -2, 5] ; g(x) = ; x [-3, 7] Hallar : (g o f)(x) y dominio de g o f. (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = (g o f)(x) = x + 2 Dominio g o f: x [-2, 5] ^ f(x) = 2x + 3 [-3, 7] x [-2, 5] ^ -3 ≤ 2x + 3 ≤ 7 - 6 ≤ 2x ≤ 4 - 3 ≤ x ≤ 2 [-2, 5]  [-3, 2] = [-2, 2] Dom (g o f) = [-2, 2] 2 1x 2 132 x
  • 17. COMPOSICION DE FUNCIONES 2. Dadas las funciones : f(x) = 3x – 2 , si x < 0, > ; g(x)= ; si: x < - 3, 5 > . Hallar fog y gof . Solución Hallamos el D(fog) = { x Dg /x Dg g(x) Df } x <-3, 5> g(x) < 0, > entonces x <- 3, 5 > < 0, > = < 0; 5 > Calculamos la regla de correspondencia de fog: (fog)(x)= f(g(x)) = f( ) = 3 - 2 para x < 0, 5> Hacer lo mismo para gof : D(gof) x < 0, 7/3 > Regla de correspondencia: gof(x)= 9 - 12x + 4. ∩
  • 18. COMPOSICION DE FUNCIONES Dada las funciones f(x) = 3x – 4 y f(g(x)) = 6x + 5. Hallar la regla de correspondencia de la función g(x). Solución Sea: f(x)= 3x – 4 Entonces: f(g(x)) = 3g(x) – 4 6x + 5 = 3g(x) – 4 6x + 9 = 3g(x) 2x + 3 = g(x)
  • 19. RESOLVER Si f(x) = 2x2 – 3x + 1 y g(x) = {(-1, 2), (0, -1), (1, 3), (2, 0)} Determinar: a) (f2 – 3g)(-1) b) (2f + 3g2)(0) c) (f o g)(2) SOLUCIÓN: a) (f2 – 3g)(-1) = f2 (-1) – 3g(-1) = [f(-1)]2 – 3(2) = 36 – 6 = 30 b) (2f + 3g2 )(0) = 2f(0) + 3[g(0)]2 = 2(1) + 3(-1)2 = 2 + 3 = 5 c) (f o g)(2) = f(g(2)) = f(0) = 1
  • 20. TIPOS DE FUNCIONES 1) Función Inyectiva Si f: A B; f es inyectiva si x1 , x2 A debe cumplir que si: f(x1) = f(x2) en B. Entonces x1 = x2 Gráficamente una función es inyectiva si es cortada por una recta horizontal f a lo más en un punto. 2) Función Sobreyectiva o Sobre Si f: A B ; f es suryectiva si el Rang (f) = B 3) Función Biyectiva Si f: A B ; f es biyectiva, si es inyectiva y suryectiva, a la vez. B
  • 21. ¿CUÁL ES FUNCIÓN NO INYECTIVA? A B C D M N p f A B C D M N P Q g
  • 22. EJERCICIOS DE FUNCIONES INYECTIVAS 1) Probar que la funcion f(x)= 2x + 5, es inyectiva: Solución f(x1) = 2x1 + 5 f(x2) = 2x2 + 5 entonces : f(x1) = f(x2) 2x1 + 5 = 2x2 + 5 donde: x1 = x2 ; es inyectiva 2) Probar que la funcion : ; es inyectiva: Solución: ; es inyectiva.
  • 23. FUNCION INVERSA Dada la funcion f(x)={(x , f(x))/x Df } con dominio Df y rango Rf . Si “ f (x)” es inyectiva, entonces posee inversa. Notación: denota la inversa de f . ; donde : y Ejemplo: Consideremos la funcion: f = {( a, 1),(b, 2),(c, 3),(d, 4),(e, 5)} funcion inyectiva por lo tanto tiene inversa. Df f Rf D = { 1, 2, 3, 4, 5 } R = { a, b, c, d, e } = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d)} a b c d e 1 2 3 4 5
  • 24. GRAFICO DE LA FUNCION INVERSA Gráficamente f y f -1 son simétricas con respecto al eje de simetría y = x
  • 25. ¿CÓMO SE HALLA UNA FUNCIÓN INVERSA? Si f = { (x, y) R2 / 2x – 3y = 6 } Hallar la regla de correspondencia de f y f -1 y graficarlo. f : 2x – 3y = 6 f -1: 1. Demostrar que f es inyectiva: f(x1) = f(x2) x1 = x2 Si: x = 0 y = - 2 y = 0 x = 3 2. Despejamos: Cambiamos la variable x por y e y por x Si : x = 0 f -1 (0) = 3 f -1 (x) = 0 x = - 2 3 62   x y 2 36 )(1 x yxf   2121 21 6262 3 62 3 62 xxxx xx     2 36 y x  
  • 26. GRÁFICA DE F Y F -1 y x y = x f f -1 3 -2 -2 3
  • 27. FUNCION INVERSA 2. Hallar la inversa de la funcion: f(x)= 2x – 7 , x < - 3 ; 6 ] Solución 1ro Demostramos que la funcion es inyectiva: 2x1 – 7 = 2x2 – 7 x1 = x2 ; la funcion es inyectiva. 2do. Se despeja “x” de la ecuación: < - 3; 6] 3ro. Se permuta “x” por “y” : , x < - 13; 5] ojo: f <- 3,6] < -13, 5] − 13 < 𝑦 ≤ 5
  • 28. FUNCION INVERSA OBSERVACION: En el problema anterior la inversa se puede obtener resolviendo la ecuación: f( (x) )= x Entonces: f( (x) ) = 2 (x) - 7 = x (x) = 2. Hallar la inversa de la funcion: f(x)= - 2 Solución: es inyectiva f( (x) )= x , D (x) = R 3. Hallar la inversa de la funcion: f( (x) ) = x , D (x) = R – { 2/3}
  • 29. FUNCION INVERSA 4. Hallar la inversa de la siguiente funcion: Solución: Del grafico de la funcion se tiene: y Si: Rf1 = < - , 1] 1 Si: Rf2 = < 1 , > - 0,5 1 x Además : son inyectivas y -0,5 como: Rf1 Rf2 = , entonces f(x) es inyectiva. Calculo de la inversa de la funcion:
  • 30. EJERCICIOS DE APLICACION 1. Calcular: (f+g),(f-g),(f.g) y (f/g) de las funciones: y 2. Si: f(x) = 2x² +1 para x є <-2, 20>; g(x)= 2x +3 para x є < 6, ∞> Hallar el dominio, rango y regla de correspondencia de fog(x). 3. Hallar la función inversa de: f(x)=x²+4x-1, si x є <-4,-3> 30