SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 5
Descargar para leer sin conexión
Matrica
Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga
elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.Në përgjithësi matricat
emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [
ik]m,n.Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n} të
rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.[1]
Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.
Mbledhja dhe Shumzimi
Shuma e dy -matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo
tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të
rendeve dhe kolonave respektivisht. Shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu
Shembull konkret
Prodhimi Skalar
Një matricë shumëzohet me një Skalar , nëse të gjithë anëtarët e matricës shumëzohen me skalarin :
Shembull konkret
Prodhimi i dy matricave
Prodhimi i dy matricave është pak më i komplikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me
skalar. Dy matrica dhe shumëzohen, duke
prodhuar rendin e parë të matricës se parë me kolonën e parë të matricës së dytë për t'u fituar
anëtari i parë.
dhe
Shembull konkret
Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:
Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:
Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit
Kuptimi dhe barazia e matricave
Simbol
Matricat rëndom i emërtojmë me shkronja të mëdha të alfabetit:
Matrica drejtkëndore
Matrice drejtkëndore quhet bashkësia prej numrave të
radhitur në një tabelë të formës drejtkëndore e cila përmban rreshta dhe shtylla[1]
Formulimi i përkufizimit
ose shkurt (...1)
Numrat quhen elementet e matricës (1), ku indeksi i parë i
elementit shënon numrin e rreshtit në të cilin ndodhet elementi, kurse indeksi i dytë numrin e shtyllës. Kështu,
p.sh. elementi ndodhet në rreshtin e dytë dhe në shtyllën e tretë, përkatësisht në prerjen e rreshtit të dytë me
shtyllën e tretë.
Matrica komplekse
Matrica quhet matricë komplekse nëse së paku një element i saj është numër kompleks, ndërsa quhet matricë
reaIe, nëse të gjitha elementet e saja janë numra realë.
Matricat e tipit të njëjtë
Dy matrica që kanë numër të barabartë rreshtash ( ) dhe numër të barabartë shtyllash ( ) quhen
matrica të tipit të njëjtë ose formatës së njëjtë .
Matrica katrore
Matrica e tipit quhet matricë katrore
Smboli
Matrica katrore shënohet
ose shkurt (...2)
Rendi i matricëskatrore
Matrica katrore që ka rreshta dhe shtylla quhet matricë e rendit . Matrica katrore e rendit është
identike me vetë elementin. Në matricën katrore (2) elemente formojne diagonalen
kryesore ndërkaq, elementet diagonalen anësore të kësaj matrice.
Matrica njështyllore
Matrica e tipit :
ose shkurt (...3)
quhet matricë njështyllore.
Matrica njërreshtore
Matrica e tipit :
ose shkrut (...4)
quhet matricë njërreshtore.
Zero matrica
Matrica e tipit që ka të gjitha elementet të barabarta me zero quhet zero-matricë dhe shënohet
me ose me [2]
, pra:
(...6)
Barazia e matricave
Përkufizimi
Dy matrica janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur elementet
korresponduese të tyre janë të barabarta[3]
, pra:
(...5)
.
Përcaktorët
Përcaktori i matricës apo determinanti i matricës është i vetmi numër i caktuar që i shoqërohet
matricës katrore A=[aik]n
1 të rendit n[1]Përcaktoret shkruhen zakonisht me shkrojat e marra nga
vetë matrica me parashtesën det. P.sh. det A lexohet përcaktori apo determinati i matricës A.
Secilës matricë katrore të rendit i shoqërohet një dhe vetëm një numër i caktuar
i cili quhet përcaktor (determinant) i matricës ose vetëm përcaktor (determinant)dhe
shënohet ose
Kështu për shembull:
Matricës së rendit të dytë i shoqërohet numri , rrjedhimisht
(...24)
i cili quhet përcaktor i rendit të dytë.
Matricës së rendit të tretë i shoqërohet numri
(...2
5)
i cili quhet përcaktor i rendit të tretë.
Ky numër formohet në këtë mënyrë:
Marrim prodhimin e elementeve të matricës që ndodhennë diagonalen
kryesore. Nëse indekset e dyta të faktorëve të këtij prodhimi permutohen:
dhe secilit prodhim që del në këtë mënyrë i shoqërohet shenja ose , varësisht se a i përgjigjet
prodhimi permutacionit çift apo tek, atëherë përftohet numri:
që përkufizohet si përcaktor i rendit të tretë.
Në mënyrë të ngjashme matricës së rendit katërt i shoqërohet numri që përftohet
kur në prodhimin indeksat e dytë të faktorëve permutohen (dalin:
permutacione) dhe secilit prodhim i shoqërohet parashenja përkatëse:
.
Ky numër quhet përcaktor i rendit të katërt.
Në përgjithësi, matricës së rendit i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin
, (26)
(ku paraqet një permutacion prej elementeve , kurse shënon numrin e
inversioneve[1] të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit . Në formulën (26)
mbledhësit quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit ka
gjithsej kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej faktorëve - elementeve -,
ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë.
Jump up↑ 3) Në një permutacion dy elemente formojnë një inversion nëse ato nuk janë radhitur
sipas rritjes së rangut të tyre.
PROJEKT
TEMA:
MATRICAT DHE PERCAKTORET
LENDA:
MATEMATIKE E AVANCUAR
PUNOI: MATINA RUNAJ

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Analiza e thjeshte e regresionit
Analiza e thjeshte e regresionitAnaliza e thjeshte e regresionit
Analiza e thjeshte e regresionitMenaxherat
 
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdfVieni Dapaj
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)fatonbajrami1
 
Metodat e analizës dinamike
Metodat e analizës dinamikeMetodat e analizës dinamike
Metodat e analizës dinamikeMenaxherat
 
Konkurrenca e plotë apo përfekte
Konkurrenca e plotë apo  përfekteKonkurrenca e plotë apo  përfekte
Konkurrenca e plotë apo përfekteValdet Shala
 
Fazat e studimit statistikor
Fazat e studimit statistikorFazat e studimit statistikor
Fazat e studimit statistikorMenaxherat
 
Ushtrime statistika all
Ushtrime statistika allUshtrime statistika all
Ushtrime statistika allcoupletea
 
Sistemet e ekuacioneve lineare - Driton Bilalli
Sistemet e ekuacioneve lineare - Driton BilalliSistemet e ekuacioneve lineare - Driton Bilalli
Sistemet e ekuacioneve lineare - Driton BilalliDritonBilalli
 
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuencaLigjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuencacoupletea
 
Analize statistikore
Analize statistikoreAnalize statistikore
Analize statistikoreMenaxherat
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)fatonbajrami1
 
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikëMesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikëyllferizi
 
Statistike treguesit e korelacionit ardiana gashi
Statistike treguesit e korelacionit   ardiana gashiStatistike treguesit e korelacionit   ardiana gashi
Statistike treguesit e korelacionit ardiana gashiMenaxherat
 
Statistike indekset
Statistike indeksetStatistike indekset
Statistike indeksetMenaxherat
 
Bazat e Statistikes
Bazat e StatistikesBazat e Statistikes
Bazat e Statistikesguestc49863
 
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioniMonotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioniMaja
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikeskulla 2010
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikeskulla 2010
 

La actualidad más candente (20)

Analiza e thjeshte e regresionit
Analiza e thjeshte e regresionitAnaliza e thjeshte e regresionit
Analiza e thjeshte e regresionit
 
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
 
Metodat e analizës dinamike
Metodat e analizës dinamikeMetodat e analizës dinamike
Metodat e analizës dinamike
 
Konkurrenca e plotë apo përfekte
Konkurrenca e plotë apo  përfekteKonkurrenca e plotë apo  përfekte
Konkurrenca e plotë apo përfekte
 
Fazat e studimit statistikor
Fazat e studimit statistikorFazat e studimit statistikor
Fazat e studimit statistikor
 
Ushtrime statistika all
Ushtrime statistika allUshtrime statistika all
Ushtrime statistika all
 
Sistemet e ekuacioneve lineare - Driton Bilalli
Sistemet e ekuacioneve lineare - Driton BilalliSistemet e ekuacioneve lineare - Driton Bilalli
Sistemet e ekuacioneve lineare - Driton Bilalli
 
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuencaLigjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
 
Analize statistikore
Analize statistikoreAnalize statistikore
Analize statistikore
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)
 
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikëMesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
 
Statistike treguesit e korelacionit ardiana gashi
Statistike treguesit e korelacionit   ardiana gashiStatistike treguesit e korelacionit   ardiana gashi
Statistike treguesit e korelacionit ardiana gashi
 
Statistike indekset
Statistike indeksetStatistike indekset
Statistike indekset
 
Bazat e Statistikes
Bazat e StatistikesBazat e Statistikes
Bazat e Statistikes
 
Makroekonomia slides
Makroekonomia slidesMakroekonomia slides
Makroekonomia slides
 
Mikroekonomi 1
Mikroekonomi 1Mikroekonomi 1
Mikroekonomi 1
 
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioniMonotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikes
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikes
 

Más de Internet VloraAlb (20)

Lufta e drejtë dhe lufta partizane
Lufta e drejtë dhe lufta partizaneLufta e drejtë dhe lufta partizane
Lufta e drejtë dhe lufta partizane
 
Ndotja akustike
Ndotja akustike Ndotja akustike
Ndotja akustike
 
Schulsystem in Albanien
Schulsystem in AlbanienSchulsystem in Albanien
Schulsystem in Albanien
 
Ndotja e ujit ne Azi
Ndotja e ujit ne AziNdotja e ujit ne Azi
Ndotja e ujit ne Azi
 
Parisi
Parisi Parisi
Parisi
 
Unicef
UnicefUnicef
Unicef
 
Televizori
TelevizoriTelevizori
Televizori
 
Te gjithe njesoj
Te gjithe njesojTe gjithe njesoj
Te gjithe njesoj
 
Te drejtat e femijeve
Te drejtat e femijeveTe drejtat e femijeve
Te drejtat e femijeve
 
Sot dita nderkombetare e luftes kunder sides
Sot dita nderkombetare e luftes kunder sidesSot dita nderkombetare e luftes kunder sides
Sot dita nderkombetare e luftes kunder sides
 
Skënderbeu
SkënderbeuSkënderbeu
Skënderbeu
 
Njeriu
NjeriuNjeriu
Njeriu
 
Në shqipëri mbi 50 mijë fëmijë të punësuar
Në shqipëri mbi 50 mijë fëmijë të punësuarNë shqipëri mbi 50 mijë fëmijë të punësuar
Në shqipëri mbi 50 mijë fëmijë të punësuar
 
Dita Ndërkombëtare e gjuhës amtare
Dita Ndërkombëtare e gjuhës amtareDita Ndërkombëtare e gjuhës amtare
Dita Ndërkombëtare e gjuhës amtare
 
Mbrojtja e mjedisit
Mbrojtja e mjedisitMbrojtja e mjedisit
Mbrojtja e mjedisit
 
Nderim për dëshmorët e kombit
Nderim për dëshmorët e kombitNderim për dëshmorët e kombit
Nderim për dëshmorët e kombit
 
Kultura
KulturaKultura
Kultura
 
Krenaria jone kombetare gjergj kastrioti
Krenaria jone kombetare gjergj kastriotiKrenaria jone kombetare gjergj kastrioti
Krenaria jone kombetare gjergj kastrioti
 
Kongresi i manastirit
Kongresi i manastiritKongresi i manastirit
Kongresi i manastirit
 
Komunikimi
KomunikimiKomunikimi
Komunikimi
 

Matrica

  • 1. Matrica Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [ ik]m,n.Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n} të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.[1] Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850. Mbledhja dhe Shumzimi Shuma e dy -matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht. Shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu Shembull konkret Prodhimi Skalar Një matricë shumëzohet me një Skalar , nëse të gjithë anëtarët e matricës shumëzohen me skalarin : Shembull konkret Prodhimi i dy matricave Prodhimi i dy matricave është pak më i komplikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar. Dy matrica dhe shumëzohen, duke prodhuar rendin e parë të matricës se parë me kolonën e parë të matricës së dytë për t'u fituar anëtari i parë. dhe Shembull konkret Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:
  • 2. Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes: Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit Kuptimi dhe barazia e matricave Simbol Matricat rëndom i emërtojmë me shkronja të mëdha të alfabetit: Matrica drejtkëndore Matrice drejtkëndore quhet bashkësia prej numrave të radhitur në një tabelë të formës drejtkëndore e cila përmban rreshta dhe shtylla[1] Formulimi i përkufizimit ose shkurt (...1) Numrat quhen elementet e matricës (1), ku indeksi i parë i elementit shënon numrin e rreshtit në të cilin ndodhet elementi, kurse indeksi i dytë numrin e shtyllës. Kështu, p.sh. elementi ndodhet në rreshtin e dytë dhe në shtyllën e tretë, përkatësisht në prerjen e rreshtit të dytë me shtyllën e tretë. Matrica komplekse Matrica quhet matricë komplekse nëse së paku një element i saj është numër kompleks, ndërsa quhet matricë reaIe, nëse të gjitha elementet e saja janë numra realë. Matricat e tipit të njëjtë Dy matrica që kanë numër të barabartë rreshtash ( ) dhe numër të barabartë shtyllash ( ) quhen matrica të tipit të njëjtë ose formatës së njëjtë . Matrica katrore Matrica e tipit quhet matricë katrore Smboli Matrica katrore shënohet
  • 3. ose shkurt (...2) Rendi i matricëskatrore Matrica katrore që ka rreshta dhe shtylla quhet matricë e rendit . Matrica katrore e rendit është identike me vetë elementin. Në matricën katrore (2) elemente formojne diagonalen kryesore ndërkaq, elementet diagonalen anësore të kësaj matrice. Matrica njështyllore Matrica e tipit : ose shkurt (...3) quhet matricë njështyllore. Matrica njërreshtore Matrica e tipit : ose shkrut (...4) quhet matricë njërreshtore. Zero matrica Matrica e tipit që ka të gjitha elementet të barabarta me zero quhet zero-matricë dhe shënohet me ose me [2] , pra: (...6) Barazia e matricave Përkufizimi Dy matrica janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur elementet korresponduese të tyre janë të barabarta[3] , pra: (...5) .
  • 4. Përcaktorët Përcaktori i matricës apo determinanti i matricës është i vetmi numër i caktuar që i shoqërohet matricës katrore A=[aik]n 1 të rendit n[1]Përcaktoret shkruhen zakonisht me shkrojat e marra nga vetë matrica me parashtesën det. P.sh. det A lexohet përcaktori apo determinati i matricës A. Secilës matricë katrore të rendit i shoqërohet një dhe vetëm një numër i caktuar i cili quhet përcaktor (determinant) i matricës ose vetëm përcaktor (determinant)dhe shënohet ose Kështu për shembull: Matricës së rendit të dytë i shoqërohet numri , rrjedhimisht (...24) i cili quhet përcaktor i rendit të dytë. Matricës së rendit të tretë i shoqërohet numri (...2 5) i cili quhet përcaktor i rendit të tretë. Ky numër formohet në këtë mënyrë: Marrim prodhimin e elementeve të matricës që ndodhennë diagonalen kryesore. Nëse indekset e dyta të faktorëve të këtij prodhimi permutohen: dhe secilit prodhim që del në këtë mënyrë i shoqërohet shenja ose , varësisht se a i përgjigjet prodhimi permutacionit çift apo tek, atëherë përftohet numri: që përkufizohet si përcaktor i rendit të tretë. Në mënyrë të ngjashme matricës së rendit katërt i shoqërohet numri që përftohet kur në prodhimin indeksat e dytë të faktorëve permutohen (dalin: permutacione) dhe secilit prodhim i shoqërohet parashenja përkatëse: . Ky numër quhet përcaktor i rendit të katërt. Në përgjithësi, matricës së rendit i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin , (26) (ku paraqet një permutacion prej elementeve , kurse shënon numrin e inversioneve[1] të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit . Në formulën (26) mbledhësit quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit ka gjithsej kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej faktorëve - elementeve -, ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë. Jump up↑ 3) Në një permutacion dy elemente formojnë një inversion nëse ato nuk janë radhitur sipas rritjes së rangut të tyre.