1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara
Andrés Eloy Blanco
PDF: ADMINISTRACION
NUMEROS REALES Y
PLANO NUMERICO
ALUMNO: Marquina María
C.I: 29604743
SECCION: 0106
PNF: Administración

2. ¿QUE ES UN CONJUNTO?
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con
características similares considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números,
colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro)
pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo
dentro de él.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus
elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se
considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los
números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números
naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es
finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse
mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

3. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es
posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su
estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a
la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática:
mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como
los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere
pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que
dichos objetos pueden ser cualquier cosa:números, personas, letras, otros
conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los
objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se
dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1
la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a
A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.

4. POR EJEMPLO:
3 ∈ A , ♠ ∈ D
amarillo ∉ B, z ∉ C
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del
«conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

5. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Esta es la representación gráfica de un conjunto, en este caso tratamos el
conjunto de los polígonos, dentro de este hay multitud de elementos
(todos los polígonos), pero hay un conjunto perteneciente al anterior que
es el conjunto de polígonos regulares.
En las matemáticas, no podemos definir a un conjunto, por ser un
concepto primitivo, pero hacemos abstracción y lo pensamos como una
colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser
cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos
de un conjunto se les llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un
conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra
mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete
entre llaves corchetes o paréntesis. ({,}).

6. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de
estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas
de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:

7. NÚMERO REAL
Recta real
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por
{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R}) incluye tanto a los números
racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números
irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los
irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante
una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas
cifras decimales aperiódicas, tales como: {displaystyle {sqrt
{5}}}{sqrt {5}}, π, o el número real: {displaystyle
log(2)}{displaystyle log(2)}, cuya trascendencia fue enunciada por
Euler en el siglo XVIII.2
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas,
algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos
formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor
necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía
de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y
fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la
actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se
acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y
problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base
rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y
rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.3
En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas
más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy
de números

8. Ejemplos de Números Reales:
Son ejemplos de números reales los siguientes:
e, π (pi), √2, -√2, √3, -√5, 1/3, -2/5, 8/7, 1, -4, 0,
5...
DESIGUALDAD
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una
proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por
desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada
una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con
diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto
con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la
desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan
valores diferentes.

9. Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades
matemáticas posibles en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de
ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará
a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar:
4x – 2 > 9.
Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es
superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la
desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).

10. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número entero es el número natural que
resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
REAL
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo
número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) ∪ (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7

11. PROPIEDADES DEL VALOR
ABSOLUTO
1.) Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2.) El valor absoluto de un producto es igual al producto de los
valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
3.) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de
los valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7
Función valor absoluto
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a
trozos, siguiendo los siguientes pasos:

12. 1.) Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan
sus raíces
.
2.) Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada
intervalo.
3.) Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los
intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la
función.
4.) Representamos la función resultante.
D=

13. D=

14. DESIGUALDAD DE UN VALOR
ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable dentro.
DESIGUALDADES DE VALOR
ABSOLUTO (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que
4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.

15. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
EJEMPLO
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

16. DESIGUALDADES DE VALOR
ABSOLUTO (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que
4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.

17. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
EJEMPLO
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así: