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2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx

Primer y segundo teorema fundamental del cálculo, incluye teoría y ejercicios resueltos para un mejor entendimiento. Información básica para estudiantes de ingenieria.

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SEMANAS 1 y 2
INTEGRAL DEFINIDA
1. Definición de integral definida.
2. Interpretación geométrica.
3. Propiedades.
4. Primer teorema fundamental del Cálculo.
5. Segundo teorema fundamental del Cálculo.
4. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Función
Una
antiderivada
Antiderivada
general
2𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
1 + 𝑥2
𝑥2 𝑥2 + 𝐾
−𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐾
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐾
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐾
Teorema (Primer teorema fundamental del cálculo)
Si 𝒇 es una función continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 y
𝑭 es cualquier antiderivada de 𝒇 en 𝑎; 𝑏 , entonces
𝑎
𝑏
𝒇 𝒙 𝑑𝑥 = 𝑭(𝒙)
𝒂
𝒃
= 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂
Ejemplo 1.
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 ⟹ 𝑭 𝒙 = 𝒙 − 𝒙𝟐
1
2
1 − 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 − 𝒙𝟐
𝐹(𝑥) 1
2
=
1
2
1 − 2𝑥 𝑑𝑥
Calcular
Solución:
Una antiderivada
(2 − 4)
𝐹(2)
− 1 − 1
𝐹(1)
= −2
Por el Primer Teorema Fundamental

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  • 2. SEMANAS 1 y 2 INTEGRAL DEFINIDA 1. Definición de integral definida. 2. Interpretación geométrica. 3. Propiedades. 4. Primer teorema fundamental del Cálculo. 5. Segundo teorema fundamental del Cálculo.
  • 3. 4. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
  • 4. Función Una antiderivada Antiderivada general 2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 1 + 𝑥2 𝑥2 𝑥2 + 𝐾 −𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐾 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐾 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐾
  • 5. Teorema (Primer teorema fundamental del cálculo) Si 𝒇 es una función continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 y 𝑭 es cualquier antiderivada de 𝒇 en 𝑎; 𝑏 , entonces 𝑎 𝑏 𝒇 𝒙 𝑑𝑥 = 𝑭(𝒙) 𝒂 𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂
  • 6. Ejemplo 1. 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 ⟹ 𝑭 𝒙 = 𝒙 − 𝒙𝟐 1 2 1 − 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 − 𝒙𝟐 𝐹(𝑥) 1 2 = 1 2 1 − 2𝑥 𝑑𝑥 Calcular Solución: Una antiderivada (2 − 4) 𝐹(2) − 1 − 1 𝐹(1) = −2 Por el Primer Teorema Fundamental
  • 7. Ejemplo 2. 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) ⟹ 𝑭 𝒙 = −𝒍𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒙 Calcular Solución: 0 𝜋 4 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠(𝑥)| 𝜋 4 0 = −𝑙𝑛|cos 𝜋 4 | − (−𝑙𝑛 cos 0 ) = −𝑙𝑛 2 2 0 𝜋 4 tan 𝑥 𝑑𝑥 Una antiderivada Por el Primer Teorema Fundamental
  • 8. Teorema (Integración por partes para integrales definidas) Si 𝒇 y 𝒈 son funciones con derivada continua en 𝑎; 𝑏 , entonces 𝑎 𝑏 𝒇 𝒙 𝒖 ∙ 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒇 𝒙 𝒖 ∙ 𝒈 𝒙 𝑣 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝒈 𝒙 𝒗 ∙ 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒖
  • 9. Ejemplo 5. 0 1 (𝒙 + 𝟏)𝒆𝒙𝒅𝒙 Solución 0 1 𝒙 + 𝟏 𝑢 𝒆𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝒙 + 𝟏 ∙ 𝒆𝒙 𝑢𝑣 0 1 − 0 1 𝒆𝒙𝒅𝒙 𝑣𝑑𝑢 = 2𝑒 − 1 − 𝑒𝑥 0 1 = 2𝑒 − 1 − 𝑒 − 1 = 𝒆 Calcule 𝒖 = 𝒙 + 𝟏 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒆𝒙
  • 10. Teorema (Cambio de variable en una integral definida) Sea 𝒇 es una función continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 y 𝒈 una función con derivada continua en 𝑐; 𝑑 , donde 𝑔 𝑐 = 𝑎 y 𝑔 𝑑 = 𝑏 𝑐 𝑑 𝒇 𝒈 𝒙 ∙ 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑎 𝑏 𝒇 𝒖 𝒅𝒖
  • 11. Ejemplo 10. Calcule: 1 2 𝒙𝟐 + 𝟓 𝟐𝒙 𝑑𝑥 Solución Cambio de variable 𝑧 = 𝑥2 + 5 . 𝑑𝑧 = 2𝑥 𝑑𝑥 Cambio de límites de integración 𝑥 = 1, 𝑧 = 6 . 𝑥 = 2, 𝑧 = 9 1 2 𝑥2 + 5 2𝑥 𝑑𝑥 = 6 9 𝑧 𝑑𝑧 = 2 3 𝑧3 2 6 9 = 18 − 4 6
  • 12. a) Si 𝑓 es impar, entonces b) Si 𝑓 es par, entonces 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 0 . ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 : 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 . ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 : 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) Recuerde que:
  • 13. Teorema (Integración de funciones pares e impares) Sea 𝑎 > 0 y 𝒇 es una función continua en el intervalo cerrado −𝑎; 𝑎 a) Si 𝒇 es impar, entonces −𝑎 𝑎 𝒇 𝒙 𝑑𝑥 = 0 b) Si 𝒇 es par, entonces −𝑎 𝑎 𝒇 𝒙 𝑑𝑥 = 2 0 𝑎 𝒇 𝒙 𝑑𝑥
  • 14. Ejemplo 14. Calcule: Solución −2 2 𝑥 + 𝑥3 𝑑𝑥 1𝑇𝐹𝐶: −2 2 𝒙 + 𝒙𝟑 𝑑𝑥 = 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒙𝟒 𝟒 −2 2 = 6 − 6 = 0 −2 2 𝑥 + 𝑥3 𝑑𝑥 = −2 2 𝑥 + 𝑥3 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑥 = 0 𝑃𝑅𝑂𝑃𝐼𝐸𝐷𝐴𝐷
  • 15. Ejemplo 15. Calcule Solución 𝑃𝑅𝑂𝑃𝐼𝐸𝐷𝐴𝐷 −4 4 𝑥2 + 𝑥4 𝑑𝑥 −4 4 𝑥2 + 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝒙𝟑 𝟑 + 𝒙𝟓 𝟓 −4 4 = 43 1 3 + 42 5 − −4 3 1 3 + 42 5 = 6784 15 2 𝑥3 3 + 𝑥5 5 0 4 = 2.43 1 3 + 42 5 = 6784 15 −4 4 𝑥2 + 𝑥4 𝑑𝑥 = 2 0 4 𝑥2 + 𝑥4 𝑑𝑥 = 1𝑇𝐹𝐶
  • 16. Ejemplo 16 𝑎) −𝜋 π 𝒔𝒆𝒏𝒙𝑑𝑥 = 𝑐) −2 2 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 𝑑𝑥 = 𝑏) −𝜋 π 𝒄𝒐𝒔𝒙𝑑𝑥 = 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 = 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 0 , 0 , 2 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 , 𝑑) −1 1 𝑥. 3 𝑥4 + 1 𝑑𝑥 = 0 , 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑥. 3 𝑥4 + 1 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
  • 17. 4. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
  • 18. Ejemplo 1. Sea 𝐹 la función dada por 𝐹 𝑥 = 3 𝑥 𝒕𝟐 + 𝟒𝒕 − 𝟓 𝑑𝑡 ⟹ 𝐹 𝑥 = 𝒕𝟑 𝟑 + 𝟐𝒕𝟐 − 𝟓𝒕 3 𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑥3 3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 9 + 18 − 15 ⟹ 𝐹 𝑥 = 𝑥3 3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 12 𝐹′ 𝑥 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝒅 𝒅𝒙 𝟑 𝒙 (𝒕𝟐 +𝟒𝒕 − 𝟓)𝒅𝒕 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 Halle 𝐹′ 𝑥 Solución 𝐹 𝑥 = 3 𝑥 𝒕𝟐 + 𝟒𝒕 − 𝟓 𝑑𝑡 Por PTF es decir:
  • 19. Ejemplo 2. Sea 𝐹 la función dada por 𝐹 𝑥 = 𝜋 4 𝑥 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕) 𝑑𝑡 ⟹ 𝐹 𝑥 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕) 𝟐 𝜋 4 𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 2 ⟹ 𝐹 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2 − 1 2 𝐹′ 𝑥 = 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) 𝒅 𝒅𝒙 𝜋 4 𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕)𝒅𝒕 𝑭(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) Halle 𝐹′ 𝑥 Solución 𝐹 𝑥 = 𝜋 4 𝑥 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕) 𝑑𝑡 Por PTF 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 es decir:
  • 20. Ejemplo 3. 𝒅 𝒅𝒙 𝟑 𝒙 (𝒕𝟐+𝟒𝒕 − 𝟓)𝒅𝒕 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓, 𝒅 𝒅𝒙 𝜋 4 𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕)𝒅𝒕 𝑭(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑥 𝒕𝟐 + 𝟏𝑑𝑡 = 𝒙𝟐 + 𝟏 De los ejemplos 1 y 2 , tenemos: Podemos inferir que
  • 21. 𝑭 𝒙 = 𝒂 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕, 𝒙 ∈ 𝑰 Si 𝑓 es una función continua en el intervalo abierto 𝑰 que contiene al número 𝒂, entonces la función 𝐹 definida por Luego, 𝑭′ 𝒙 = 𝒅 𝒅𝒙 𝒂 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝒙 Teorema (Segundo teorema fundamental del cálculo)
  • 22. Ejemplo 4. Halle la derivada de la función 𝐹 dada por 𝐹 𝑥 = 1 𝑥 𝑙𝑛 𝑡2 + 1 𝑑𝑡 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 𝑒𝑡2+𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑥 = 4 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 1 𝑡 𝑑𝑡 ⟹ ⟹ ⟹ 𝐹′ 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥2 + 1) 𝐹′ 𝑥 = 𝑒𝑥2+𝑥 𝐹′ 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 1 𝑥
  • 23. ACTIVIDADES PARA EL ALUMNO EL ALUMNO DEBE RESOLVER DEL TEXTO LOS SIGUIENTES EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.2: Problemas 1 (b) – (i) – (n) – (p) , 4 y 7 1.4: Problemas 2 , 3, 6 (a) – (i) – (j) Código en Biblioteca: 515.43 C 2018 Dirección electrónica del documento: https://hdl.handle.net/20.500.12724/9478
  • 25. Ejemplo 3. −2 1 𝑥 + 21 (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) 𝑑𝑥 Calcular 𝒙 + 𝟐𝟏 𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵 𝑥 + 5 = 𝑨 𝒙 + 𝟓 + 𝑩 𝒙 − 𝟑 (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 5) Solución 𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝑨 𝒙 + 𝟓 + 𝑩 𝒙 − 𝟑 𝑆𝑖 𝑥 = 3: 24 = 8𝐴 ⟹ 𝐴 = 3 𝑆𝑖 𝑥 = −5: 16 = −8𝐵 ⟹ 𝐵 = −2 Se debe reexpresar la función racional por el método de descomposición en suma de fracciones parciales
  • 26. 𝑥 + 21 (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) = 3 𝑥 − 3 − 2 𝑥 + 5 −2 1 𝑥 + 21 (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 2 − 3 𝑙𝑛(5) −2 1 𝑥 + 21 (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = −2 1 3 𝑥 − 3 − 2 𝑥 + 5 𝑑𝑥 = 3𝑙𝑛 𝑥 − 3 − 2𝑙𝑛 𝑥 + 5 1 −2
  • 27. Calcule Solución −2 −1 6𝑥2 − 8𝑥 + 2 ) 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1 𝑑𝑥 Sea: 𝑓 𝑥 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 − 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥2 + 1 ⟹ 6𝑥2 − 8𝑥 + 2 ) 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1 = 𝐴 𝑥 − 2 𝑥2 + 1 + 𝐵𝑥 𝑥2 + 1 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥(𝑥 − 2) ) 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1 𝐼 = −2 −1 6𝑥2 − 8𝑥 + 2 ) 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1 𝑑𝑥 Ejemplo 4. 𝑓 𝑥
  • 28. 6𝑥2 − 8𝑥 + 2 ) 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1 = 𝐴 𝑥 − 2 𝑥2 + 1 + 𝐵𝑥 𝑥2 + 1 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥(𝑥 − 2) ) 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1 6𝑥2 − 8𝑥 + 2 = 𝐴 𝑥 − 2 𝑥2 + 1 + 𝐵𝑥 𝑥2 + 1 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥(𝑥 − 2) 𝐴 = −1, 𝐵 = 1 𝐶 = 0, 𝐷 = 4 Resolviendo: = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥3 + −2𝐴 − 2𝐶 + 𝐷 𝑥2 + 𝐴 + 𝐵 − 2𝐷 𝑥 − 2A 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0 −2𝐴 − 2𝐶 + 𝐷 = 6 𝐴 + 𝐵 − 2𝐷 = −8 −2𝐴 = 2 Dos polinomios son iguales ↔ sus correspondientes coeficientes son iguales 0 𝑥3 + 6𝑥2 − 8𝑥 + 2
  • 29. 𝐼 = −𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)] −1 −2 ] 𝐼 = 𝑙𝑛 3 + 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −1 − [−𝑙𝑛 2 + 𝑙𝑛 4 + 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −2 𝐼 = 𝑙𝑛 3 2 − 𝜋 + 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2) 𝐼 = 𝑙𝑛 3 + 𝑙𝑛 2 − 𝑙𝑛 4 + 4 −𝜋 4 − 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(−2) 𝐼 = −2 −1 −1 𝑥 + 1 𝑥 − 2 + 4 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛 𝐴 𝐵 = 𝑙𝑛 𝐴 − 𝑙𝑛 𝐵 𝑙𝑛 𝐴. 𝐵 = 𝑙𝑛 𝐴 + 𝑙𝑛 𝐵 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(−𝑥) = − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
  • 30. Ejemplo 5. 0 1 (𝒙 + 𝟏)𝒆𝒙𝒅𝒙 Solución 0 1 𝒙 + 𝟏 𝑢 𝒆𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝒙 + 𝟏 ∙ 𝒆𝒙 𝑢𝑣 0 1 − 0 1 𝒆𝒙𝒅𝒙 𝑣𝑑𝑢 = 2𝑒 − 1 − 𝑒𝑥 0 1 = 2𝑒 − 1 − 𝑒 − 1 = 𝒆 Calcule 𝒖 = 𝒙 + 𝟏 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒆𝒙
  • 31. Ejemplo 6. 1 𝑒 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Solución Calcule 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒙) → 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒙𝟑 𝟑 + 𝒙𝟐 1 𝑒 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝑢 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝒍𝒏𝒙 𝒙𝟑 𝟑 +𝒙𝟐 𝑢𝑣 1 𝑒 − 1 𝑒 𝒙𝟑 𝟑 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝑣𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑒 ∙ 𝒆𝟑 𝟑 +𝒆𝟐 − 𝟏 𝒆 𝒙𝟐 𝟑 + 𝒙 𝒅𝒙 = = 2𝑒3 9 + 𝑒2 2 + 11 18 𝒆𝟑 𝟑 + 𝒆𝟐 − 𝒙𝟑 𝟗 + 𝒙𝟐 𝟐 𝟏 𝒆
  • 32. Ejemplo 7. −3 −1 ) 𝑥. 𝑓′(𝑥 𝑑𝑥 si −3 −1 ) 𝑓(𝑥 𝑑𝑥 = 3 Solución −3 −1 ) 𝑥. 𝑓′(𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 𝒇(𝒙) −3 −1 − −3 −1 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −𝒇 −𝟏 + 𝟑𝒇 −𝟑 − 𝟑 Calcule 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒇(𝒙)
  • 33. Ejemplo 8 (Página 56_Problema 1g) Calcule 𝜋 4 𝜋 3 𝑥 𝑐𝑡𝑔2𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑢 = 𝑥 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥−1 𝑑𝑥 ⟹ 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑥 𝜋 4 𝜋 3 𝑥 𝑐𝑡𝑔2𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 4 𝜋 3 𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑑𝑥
  • 34. 𝜋 4 𝜋 3 𝑥 𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑑𝑥 = − 𝜋 4 𝜋 3 (𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥(𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑥) 𝜋 4 𝜋 3 𝑥(𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑥) 𝜋 4 𝜋 3 − 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑥2 2 𝜋 4 𝜋 3 = 𝜋 3 𝑡𝑎𝑛 𝜋 3 − 𝜋2 18 − 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐 𝜋 3 − 𝜋 4 𝑡𝑎𝑛 𝜋 4 − 𝜋2 32 − 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐 𝜋 4 = (4 3 − 3)𝜋 12 − 1 2 ln2 − 7𝜋2 288
  • 35. Ejemplo 9 (Página 56_Problema 1h) Calcular 0 1 𝑥5𝑒𝑥3 𝑑𝑥 𝒖 = 𝒙𝟑 → 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙𝟐𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝟑 . 𝒙𝟐𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝒆𝒙𝟑 Solución 0 1 𝑥5 𝑒𝑥3 𝑑𝑥 = 0 1 𝑥3 . 𝑒𝑥3 𝑥2 𝑑𝑥
  • 36. 0 1 𝒙𝟑 𝑢 . 𝑒𝑥3 𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥3𝑒𝑥3 3 𝑢𝑣 0 1 − 0 1 𝑒𝑥3 𝑥2 𝑑𝑥 𝑣𝑑𝑢 = 𝑥3𝑒𝑥3 3 0 1 − 𝑒𝑥3 3 0 1 = 1 3 𝒖 = 𝒙𝟑 → 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙𝟐𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝟑 . 𝒙𝟐 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝒆𝒙𝟑
  • 37. Ejemplo 11. 0 1 (𝑥 + 1)𝑒𝑥 1 + 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 Solución Cambio de los límites de integración: Cambio de variable: Calcule 𝑥 = 0 ⟹ 𝑧 = 1 𝑥 = 1 ⟹ 𝑧 = 1 + 𝑒 𝑧 = 1 + 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑧 = (𝑥 + 1)𝑒𝑥𝑑𝑥
  • 38. 0 1 (𝑥 + 1)𝑒𝑥 1 + 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 1 1+𝑒 𝑑𝑧 𝑧 = 𝑙𝑛 𝑧 1 1+𝑒 = ln(1 + 𝑒)
  • 39. Ejemplo 12. (Página 56_Problema 1a) 3 8 𝑥 𝑥 + 1 𝑑𝑥 Solución: Cambio de los límites de integración Cambio de variable Calcule 𝑧 = 𝑥 + 1 𝑥 = 𝑧2 − 1 𝑑𝑥 = 2𝑧𝑑𝑧 𝑥 = 3 ⟹ 𝑧 = 2 𝑥 = 8 ⟹ 𝑧 = 3 3 8 𝑥 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 2 3 𝑧2 − 1 𝑧 2𝑧𝑑𝑧 = 2 ∙ 2 3 𝑧2 − 1 𝑑𝑧 = 2 ∙ 1 3 𝑧3 − 𝑧 2 3 = 2 ∙ 6 − 2 3 = 32 3
  • 40. Ejemplo 13. (Página 56_Problema 1e) 0 𝑙𝑛 3 2 54 ∙ 𝑒3𝑥 9 − 𝑒6𝑥 𝑑𝑥 Solución Cambio de los límites de integración: Calcule 𝑥 = 0 ⟹ 𝑧 = 1 𝑥 = 𝑙𝑛 3 2 ⟹ 𝑧 = 3 2 3 2 0 𝑙𝑛 3 2 54 ∙ 𝑒3𝑥 9 − 𝑒6𝑥 𝑑𝑥 = 0 𝑙𝑛 3 2 54 ∙ 𝑒3𝑥 9 − 𝑒3𝑥 2 𝑑𝑥 Cambio de variable: 𝑧 = 𝑒3𝑥 𝑑𝑧 = 3𝑒3𝑥𝑑𝑥
  • 41. 0 𝑙𝑛 3 2 54 ∙ 𝑒3𝑥 9 − 𝑒3𝑥 2 𝑑𝑥 = 18 0 𝑙𝑛 3 2 1 9 − 𝑒3𝑥 2 3𝑒3𝑥 𝑑𝑥 = 18 1 3 2 3 2 1 9 − 𝑧2 𝑑𝑧 = 18 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑧 3 1 3 2 3 2 = 18 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 6 4 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1 3 𝑧 = 𝑒3𝑥 𝑑𝑧 = 3𝑒3𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = 0 ⟹ 𝑧 = 1 𝑥 = 𝑙𝑛 3 2 ⟹ 𝑧 = 3 6 4
  • 42. Ejemplo 5. Sea 𝑓 la función dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥 𝑡2 + 3𝑡 𝑑𝑡 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 1. Luego el punto de tangencia es 𝑃(1; 4). La pendiente de la recta tangente es 𝑓′ 1 . 𝐿𝑇: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′ 𝑥0 𝑚 𝑥 − 𝑥0 La ecuación solicitada es de la forma: 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 𝑓 1 = 12 + 3 1 + 1 1 𝑡2 + 3𝑡 𝑑𝑡 0 = 4 Solución
  • 43. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥 𝑡2 + 3𝑡 𝑑𝑡 Como ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝒅 𝒅𝒙 𝑥2 + 3𝑥 + 𝒅 𝒅𝒙 1 𝑥 𝑡2 + 3𝑡 𝑑𝑡 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 3 + 𝑥2 + 3𝑥 ⟹ 𝑓′(1) = 7 Luego, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 1 es: 𝐿𝑇: 𝑦 − 4 = 7 𝑥 − 1 𝐿𝑇: 𝑦 = 7𝑥 − 3 o
  • 44. Ejemplo 6. Sea 𝑓 la función dada por 𝑓 𝑥 = 5 + 𝑥3 − 3𝑥 + 1 ∙ 2 𝑥 𝑡2 + 10 𝑡 𝑑𝑡 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 2. Solución Como 𝑓 2 = 5 + 23 − 3(2) + 1 2 2 𝑡2 + 10 𝑡 𝑑𝑡 = 5 , el punto de tangencia es 𝑃(2; 5). La pendiente de la recta tangente es 𝑓′ 2 .
  • 45. Como 𝑓 𝑥 = 5 + 𝑥3 − 3𝑥 + 1 ∙ 2 𝑥 𝑡2 + 10 𝑡 𝑑𝑡 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 + 1 ′ ∙ 2 𝑥 𝑡2 + 10 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑥3 − 3𝑥 + 1 ∙ 2 𝑥 𝑡2 + 10 𝑡 𝑑𝑡 ′ 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 3 ∙ 2 𝑥 𝑡2 + 10 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑥3 − 3𝑥 + 1 ∙ 𝑥2 + 10 𝑥
  • 46. 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 3 ∙ 2 𝑥 𝑡2 + 10 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑥3 − 3𝑥 + 1 ∙ 𝑥2 + 10 𝑥 Luego, 𝑓′ 2 = 3(2)2−3 ∙ 2 2 𝑡2 + 10 𝑡 𝑑𝑡 0 + 23 − 3(2) + 1 ∙ 22 + 10 2 𝑓′ (2) = 9 Luego, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 2 es 𝐿𝑇: 𝑦 − 5 = 9 𝑥 − 2 𝐿𝑇: 𝑦 = 9𝑥 − 13 o
  • 47. ACTIVIDADES PARA EL ALUMNO EL ALUMNO DEBE RESOLVER DEL TEXTO LOS SIGUIENTES EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1: Problemas 3 y 8 1.2: Problemas 1 (b) – (i) – (n) – (p) , 4 y 7 1.4: Problemas 2 , 3, 6 (a) – (i) – (j) Código en Biblioteca: 515.43 C 2018 Dirección electrónica del documento: https://hdl.handle.net/20.500.12724/9478