El documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones como identidades, ecuaciones, soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes y métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Explica que una identidad siempre es verdadera mientras que una ecuación sólo lo es para ciertos valores de las incógnitas, y cómo usar reglas algebraicas para transformar ecuaciones en formas equivalentes y así poder resolverlas.

1. ECUACIONES
• Identidad: expresión en la que aparece una igualdad que se cumple
siempre.
- Numérica: sólo aparecen números.
4+3=7
- Algebraica: aparecen números y letras.
x+y=y+x
• Ecuación: expresión en la que aparecen números y letras en una
igualdad que se cumple sólo para ciertos valores de las letras.
x+5=7
Incógnita

2. SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN
• Soluciones de una ecuación son los valores que tiene que tomar la
incógnita para que se verifique la igualdad.
• Las ecuaciones que tienen solución se llaman compatibles.
x+2=5
¿Un número que al
sumarle 2 salga 5? 3
• Las ecuaciones que no tienen solución se llaman incompatibles.
x+5=x-1
No hay ningún número que al sumarle 5
y restarle 1 salga lo mismo

3. ECUACIONES EQUIVALENTES
 Regla de la suma: si a los dos miembros de una ecuación se les
suma o resta los mismos números o letras, se obtiene una ecuación
equivalente.
6x – 1 = 2x + 8
Resto 2x: 6x – 1 – 2x = 2x + 8 – 2x
4x – 1 = 8
Sumo 1: 4x – 1 + 1 = 8 + 1
4x = 9
Objetivo: dejar la x sola a
un lado de la igualdad

4. ECUACIONES EQUIVALENTES
 Regla del producto: si a los dos miembros de una ecuación se les
multiplica o divide por un mismo números distinto de 0, se obtiene
otra ecuación equivalente.
4x + 12 = 16
Divido entre 4: 4x + 12 16
4 4
x+3 = 4
Resto 3: x+3–3= 4 – 3
x = 1
Solución de la
ecuación

5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
 Para solucionar una ecuación hemos de despejar la incógnita
utilizando las dos reglas anteriores, aunque habitualmente hacemos
dos pasos en uno: pasamos términos de un miembro a otro
haciendo la operación contraria.
- Si algo suma se pasa restando y viceversa.
- Si algo multiplica se pasa dividiendo y viceversa.
2 6
x+2 = 8 *
9
18 –
3 2
Ahí“3” “2” que está
El El quela solución
está está está
El “2” que dividiendo
sumandomultiplicando
multiplicando restando
pasa pasa pasa
dividiendo

6. EJEMPLOS (I)
1 3
x + 2 = 2x −
3 2
1   3
6 ⋅  x + 2 = 6 ⋅  2x − 
3   2
2 x + 12 = 12 x − 9
21 = 10 x
21
x=
10

7. EJEMPLOS (II)
2 3
− x + = 4x −
5 2
 2  3
10 ⋅  − x +  = 10 ⋅  4 x − 
 5  2
− 10 x + 4 = 40 x − 15
19 = 50 x
19
x=
50

8. PROBLEMAS (I)
¿Cuál es el mayor cuadrado que puede inscribirse en un círculo de radio 10 cm?
2r
l

9. SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son
dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos
valores.
ax + by = c

a ′x + b ′y = c ′
La solución del sistema es el conjunto de valores que verifica ambas
ecuaciones simultáneamente.
Al igual que las ecuaciones, los sistemas pueden ser compatibles (tienen
solución) o incompatibles (no tienen solución).

10. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
• Regla de sustitución: si en una ecuación de un sistema se sustituye
una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de otra
ecuación, resulta otro sistema equivalente.
• Método de sustitución:
4º
1º Se despejalala ecuación resultante. en la ecuaciones.
3º
2º calcula otra incógnita, una de
resuelve una incógnita ensustituyendo en ecuación.
sustituye la expresión obtenida las otra la ecuación despejada
el valor obtenido.
y = 4 + 2x
− 2 x + y = 4
 Solución del sistema:
3 x + y = −6 3 x + + 2 ⋅ 2−x )== −6
y= 44+ ( 2 0
x = -2 , y = 0
−6−4
x = = −2
5

11. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
MÉTODO DE REDUCCIÓN
• Regla de reducción: si a una ecuación de un sistema se le suma o
resta otra ecuación del mismo, se obtiene un sistema equivalente.
• Método de reducción :
4º
3º
2º
1º Se igualan o la coeficientes (salvo el signo) de una incógnita.
calcula restan las resultante.
resuelvelos ecuación dos ecuaciones, el valor obtenido en
suman la otra incógnita sustituyendosegún convenga, para
cualquiera de las ecuaciones, o bien aplicando el método de
eliminar esa incógnita.
reducción de nuevo.
x4
3x= 19y = 7
y +4 12 x + 16 y = 28 12 x + 16 y = 28
  
En este caso sale
3 x + 5 y = 3
4 4y = 7 12 x + 15 y = automáticamente y = 9 x = −23
3 x + 9 ⋅ (19) x + 15
4 12 = 7
x3
y = 19

12. PROBLEMAS (I)
Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las
cifras el número disminuye en 9. ¿De qué número se trata?

13. PROBLEMAS (II)
Se quiere distribuir un lote de libros entre varias personas. Si a cada
una se le dan 3 , sobran 17 libros, y si a cada una se le asignan 4,
faltan 8 libros. ¿Cuántas personas y cuántos libros hay?

14. PROBLEMAS (III)
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 60 y cuya
altura es 2 unidades mayor que la base.

15. PROBLEMAS (IV)
Un tren parte de la estación “A” a las 9 horas con una velocidad de 30
km/h, y otro tren parte dos horas más tarde de la misma estación y con
el mismo itinerario a una velocidad de 40 km/h. Halla la hora de
encuentro y la distancia de A a la que se produce.
11:00
40 km/h
9:00
30 km/h