Simulacro de examen tema polinomios

1. 4º ESO B- Matemáticas Académicas
Nombre y apellidos: ...................................................................................................................................
TIEMPO MÁXIMO DE REALIZACIÓN DE LA PRUEBA: 50 MINUTOS
SIMULACRO
POLINOMIOS
INSTRUCCIONES SUGERENCIAS
(1) Las respuestas han de ser razonadas, y se valorarán los
procedimientos de resolución.
(2) En esta prueba se recomienda la calculadora.
(3) Cuida la presentación.
(4) Tiempo máximo: 50 minutos.
(1) Lee atentamente los enunciados varias veces.
(2) Dedica tiempo a pensar, para luego poder plantear, escoger la
estrategia adecuada, resolver y analizar críticamente los resultados.
(3) Comprueba siempre los resultados para ver si contestas a lo que
se te pregunta.
CUESTIONES
1. (0.70 puntos) Dados los siguientes polinomios, escribe las respuestas a las cuestiones en
el lugar correspondiente:
P(x) = – x2
– 5 – 4x7
– 3x5
El término independiente
El término de grado 4
El coeficiente de grado 5.
El coeficiente principal
El grado del polinomio
El término de grado 1
El coeficiente de grado 7
2. (1.10 puntos) Sean los polinomios:
A(x) = 3x5
–
3
2
x2
+
3
1
x – 2 ; B(x) = 5x5
–
3
2
x4
+ 3x –
2
1
C(x) = 2x4
–
2
3
x2
+
4
1
; D(x) =
2
3
x4
– 3x + 1
Efectúa las siguientes operaciones con polinomios, A(x) – {B(x) – C(x) – [B(x) – A(x) – D(x)] },
dando el resultado con el polinomio en sentido creciente.
3. (2.25 puntos) Efectúa los siguientes productos de polinomios, dando el resultado con el
polinomio en sentido decreciente:
(a) (x – 2)·(x2
– x)·(x – 5)·(– 3x + 4) (b) (3x2
– 2x – 2)2
(c) x·(x + 4)·(x + 2)·(x – 4)·(x – 2)
4. (1.50 puntos) Efectúa las siguientes divisiones de polinomios e indica el cociente y el
resto:
(a) (8x5
– 4x4
– 3x2
+ 6x – 1) : (x3
+ 3x – 1) (b) (x4
– 4x3
+ x – 2) : (x + 2)
5. (3 puntos) Factoriza los siguientes polinomios:
(a) 32 – 2x4
(b) 5x3
– 37x2
+ 64x – 20 (c) – 5x2
+ 20x3
(d) 9x2
+ 24x + 16 (e) 3x2
+ 3x – 6 (f) x4
+ 6 x3
+ 9x2
6. (0.45 puntos) Enuncia y demuestra el teorema del resto.
7. (1 punto) Calcula el valor de "m" para que los 2 siguientes polinomios sean divisibles:
P(x) = x5
– 8x2
+ mx – 6x3
+ 1 ; Q(x) = x – 4
NOVIEMBRE
152016
Calificación

2. TIEMPO MÁXIMO DE REALIZACIÓN DE LA PRUEBA: 50 MINUTOS
CUESTIONES
1. (0.70 puntos) Dados los siguientes polinomios, escribe las respuestas a las cuestiones en
el lugar correspondiente:
P(x) = – x2
– 5 – 4x7
– 3x5
El término independiente – 5
El término de grado 4 0 / 0x4
El coeficiente de grado 5. – 3
El coeficiente principal – 4
El grado del polinomio 7
El término de grado 1 0 / 0x
El coeficiente de grado 7 – 4
2. (1.10 puntos) Sean los polinomios:
A(x) = 3x5
–
3
2
x2
+
3
1
x – 2 ; B(x) = 5x5
–
3
2
x4
+ 3x –
2
1
C(x) = 2x4
–
2
3
x2
+
4
1
; D(x) =
2
3
x4
– 3x + 1
Efectúa las siguientes operaciones con polinomios, A(x) – {B(x) – C(x) – [B(x) – A(x) – D(x)] },
dando el resultado con el polinomio en sentido creciente.
RESOLUCIÓN:
A(x) – {B(x) – C(x) – [A(x) + D(x)] } =
Simplificamos la expresión:
A(x) – {B(x) – C(x) – A(x) – D(x) } =
A(x) – B(x) + C(x) + A(x) + D(x) =
2A(x) – B(x) + C(x) + D(x) =
Sustituimos:
6x5
–
3
4
x2
+
3
2
x – 4 – 5x5
+
3
2
x4
– 3x +
2
1
+ 2x4
–
2
3
x2
+
4
1
+
2
3
x4
– 3x + 1 =
En este tipo de problemas con muchas fracciones agrupamos los términos de igual grado,
para una más cómoda resolución:
nº  – 4 +
2
1
+
4
1
+ 1 = – 3 +
2
1
+
4
1
=
4
1212 
=
4
9
x 
3
2
– 3 – 3 =
3
992 
=
3
16
x2
 –
3
4
–
2
3
=
6
98 
=
6
17
x3
 0
x4

3
2
+ 2 +
2
3
=
6
9124 
=
6
25
x5
 3 – 5 + 3 = 1
= –
4
9
–
3
16
x –
6
17
x2
+
6
25
x4
+ x5
3. (2.25 puntos) Efectúa los siguientes productos de polinomios, dando el resultado con el
polinomio en sentido decreciente:

3. 4º ESO B- Matemáticas Académicas
Nombre y apellidos: ...................................................................................................................................
TIEMPO MÁXIMO DE REALIZACIÓN DE LA PRUEBA: 50 MINUTOS
(a) (x – 2)·(x2
– x)·(x – 5)·(– 3x + 4) (b) (3x2
– 2x – 2)2
(c) x·(x + 4)·(x + 2)·(x – 4)·(x – 2)
(a) (x – 2)·(x2
– x)·(x – 5)·(– 3x + 4)
(x – 2)·(x2
– x)·(x – 5)·(– 3x + 4) =
= (x3
– x2
– 2x2
+ 2x)·(–3x2
+ 4x + 15x – 20) =
= (x3
– 3x2
+ 2x)·(–3x2
+ 19x – 20) =
= – 3x5
+ 19x4
– 20x3
+ 9x4
– 57x3
+ 60x2
– 6x3
+ 38x2
– 40x =
= – 3x5
+ 28x4
– 83x3
+ 98x2
– 40x
(b) (3x2
– 2x – 2)2
= (3x2
– 2x – 2)·(3x2
– 2x – 2) =
= 9x6
– 6x4
– 6x3
– 6x4
+4x2
+ 4x – 6x3
+ 4x + 4 =
= 9x6
– 12x4
– 12x3
+ 4x2
+ 8x + 4
(c) x·(x + 4)·(x + 2)·(x – 4)·(x – 2)
x·(x + 4)·(x + 2)·(x – 4)·(x – 2) =
= x (x + 2)·(x – 2)·(x + 4)·(x – 4) =
= x·(x2
– 4)·(x2
– 16) =
= (x3
– 4x)·(x2
– 16) =
= x5
– 16x3
– 4x3
+ 64x =
= x5
– 20x3
+ 64x
4. (1.50 puntos) Efectúa las siguientes divisiones de polinomios e indica el cociente y el
resto:
(a) (8x5
– 4x4
– 3x2
+ 6x – 1) : (x3
+ 3x – 1) (b) (x4
– 4x3
+ x – 2) : (x + 2)
RESOLUCIÓN:
8x5
– 4x4
+ 0x3
– 3x2
+ 6x – 1 x3
+ 3x – 1
– 8x5
– 24x3
+ 8x2
8x2
– 4x – 24
– 4x4
– 24x3
+ 5x2
+ 6x – 1

4. TIEMPO MÁXIMO DE REALIZACIÓN DE LA PRUEBA: 50 MINUTOS
+ 4x4
+ 12x2
– 4x
– 24x3
+ 17x2
+ 2x – 1
– 24x3
+ 72x – 24
+ 17x2
+ 74x – 25
Cociente: 8x2
– 4x – 24; Resto: 17x2
+ 74x – 25
(b) (x4
– 4x3
+ x – 2) : (x + 2)
RESOLUCIÓN:
Este es un caso en el que nos está permitido efectuar la división por el método de Ruffini:
x4
– 4x3
+ x – 2 : x + 2
1 – 4 0 1 – 2
– 2 – 2 12 – 24 + 46
1 – 6 12 – 23 44
Cociente: x3
– 6x2
+ 12x – 23
Resto: 44
Comprobación con la ayuda del Teorema del Resto:
P(– 2) = (– 2)4
– 4(– 2)3
+ (– 2) – 2
P(– 2) = 16 + 32 – 4
P(– 2) = 44
5. (3 puntos) Factoriza los siguientes polinomios:
(a) 32 – 2x4
(b) 5x3
– 37x2
+ 64x – 20 (c) – 5x2
+ 20x3
(d) 9x2
+ 24x + 16 (e) 3x2
+ 3x – 6 (f) x4
+ 6 x3
+ 9x2
(a) 32 – 2x4
1.– ¿Se puede sacar factor común?
= 2·(16 – x4
)
= 2·(24
– x4
)
= 2 · (22
+ x2
) (22
– x2
)
= 2(16 – x4
)
= 2·(4 + x2
) · (4 – x2
)
= 2·(4 + x2
) · (2 + x) · (2 – x)
2(22
+ x2
)·(2 + x)·(2 – x)

5. 4º ESO B- Matemáticas Académicas
Nombre y apellidos: ...................................................................................................................................
TIEMPO MÁXIMO DE REALIZACIÓN DE LA PRUEBA: 50 MINUTOS
(b) 5x3
– 37x2
+ 64x – 20
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO 2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO
3.– ¿Diferencia de cuadrados? NO 4.– ¿Fórmula ecuación 2º grado? NO
Factorizamos por el método de Ruffini:
5 – 37 64 – 20
5 25 – 60 20
5 – 12 4 0
2 10 – 4
5 – 2 0
(x – 2)·(x – 5)·(5x – 2)
(c) – 5x2
+ 20x3
Solución 1: 5x2
·(– 1 + 4x )
Solución 2: – 5x2
·(–1 – 4x )
(d) 9x2
+ 24x + 16
1.– ¿Se puede sacar factor común? No
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
(3x + 4)2
(e) 3x2
+ 3x – 6
RESOLUCIÓN:
Método I
1.– ¿Se puede sacar factor común?
SÍ  3 (x2
+ x – 2)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO 3.– ¿Diferencia de cuadrados? NO
4.– Aplicamos fórmula de ecuación de 2º grado para obtener las raíces:
x =
12
)2(1411


=
2
811 
=
2
31
=












2
2
4
2
31
1
2
2
2
31
3·(x – 1)·(x + 2)
Método II
3x2
+ 3x – 6
x =
32
63493

 )(
=
6
7293 
=
6
93 
=












2
6
12
6
93
1
6
93
3·(x – 1)·(x + 2)

6. TIEMPO MÁXIMO DE REALIZACIÓN DE LA PRUEBA: 50 MINUTOS
(f) x4
+ 6 x3
+ 9x2
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
SÍ  x2
·( x2
+ 6 x + 9)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
SÍ  x2
·( x + 3)2
6. (0.45 puntos) Enuncia y demuestra el teorema del resto.
El resto de la división de un polinomio P(x) entre x – a es el valor numérico del polinomio
para x = a
Demostración:
Sea una división cualquiera:
P(x) x – a
R(x) C(x)
Dividendo = divisor · cociente + resto
P(x) = (x – a) · C(x) + R(x)
para x = a
P(a) = (a – a) · C(a) + R(a)
P(a) = R(a)
Q.E.D.
7. (1 punto) Calcula el valor de "m" para que los 2 siguientes polinomios sean divisibles:
P(x) = x5
– 8x2
+ mx – 6x3
+ 1 ; Q(x) = x – 4
RESOLUCIÓN:
x5
– 8x2
+ mx – 6x3
+ 1 : x – 4  R = 0
Aplicamos el teorema del resto
45
– 8·42
+ m·4 – 6·43
+ 1 = Resto
1025 – 128 + 4m – 384 + 1 = 0
1025 – 512 + 4m = 0
513 + 4m = 0
4m = – 513
m = – 513/4