02_Fromas Cuadraticas.pptx

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Formas cuadráticas
Distribución de Chi-Cuadrado • Distribución Chi-cuadrado central • Distribución de z’z con z~Nn(0,I) • Distribución Chi-cuadrado no central • Distribución de y’y con y~Nn(,I) • Esperanza de una Chi-cuadrado no central • Varianza de una Chi-cuadrado no central • Distribución de la suma de Chi-cuadrado no centrales independientes
  ( 2)/ 2 / 2 ( / 2) 2 2 2 ( , ) 0 0 n u n n u e u n para u                con     / 2 ( ) ; 1/ 2 (1 2 ) n u m t t t Función generatriz de momentos Distribución 2 central con n grados de libertad Función de Densidad
Distribución 2central con n grados de libertad Definición a partir de normales • Sea • con • y definimos • Entonces I) ~ ( , n N z 0 2 ~ ( ) U n     1 2 , ,..., n z z z z   U z z
                            /2 1/2 /2 1/2 ( ) 2 2 n n n t U n t m t e e d e d z z z z z z z z z z R R            /2 (1/2 ) ( ) 2 n n t U m t e d z z z R    ' ( ) m E et y y t fgm
Teorema 1.10.1 Graybill F.A. Theory and Application of Linear Models. Duxbury Press. (pag. 48) • Sean – a0 y b0 constantes, – a y b vectores nx1, – A una matriz simétrica nxn de constantes y – B una matriz definida positiva de constantes. I  1 2 n / 2  1/ 2 B exp 1 4 b' 1 B b  bo   tr 1 AB   b' 1 B a  1 2 b' 1 B 1 AB b  2ao         1 2 ... ' exp ' ... o o n I a b dy dy dy                y'Ay y a y'By y b
           R /2 (1/2 ) ( 2 ) n t U n m t e d z z z     1 1 1 1 / 1 1 1 2 1 2 / 4 2 1 2 xp ' e 2 o n o b I a tr                 b a b' b A b' b B B B B B A B       1 2 ... ' exp ' ... o o n I b dy dy y a d                y y'Ay y a y b 'By  A 0      /2 0 2 n a  a 0  I   1/ 2 t B  b 0  0 0 b
           R / 2 (1/ 2 ) ( ) 2 n n t U m t e d z z z       I       /2 /2 /2 1 ( 1 ( ) 2 2 2 1/ 2 ) n n U m t t             /2 /2 /2 /2 (1 2 2 2 1 2 2 ) n n n n t    / 2 (1 2 ) n t     1 1 1 1 1 2 1/ 1 2 /2 1 4 1 2 exp ' 2 o n o b I a tr                 b a b' b A b' b B B B B B A B
Distribución 2 con n grados de libertad Esperanza y varianza ( ) ( ) 2 E U n V U n  
Distribución 2 no central Función de densidad                          / 2 ( 2 2)/ 2 2 ( / 2) 0 2 2 ! 2 ( , , ) 0 0 j v n j n j j n j e e v j v n para v ( j =1 para  =0 y j=0 )
Distribución 2 no central f (u) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 n=4; =0 n=4; =1 n=4; =5 u
Distribución 2 no central Función generatriz de momentos   con             / 2 2 ( ) exp ; 1/ 2 (1 2 ) 1 2 n V t m t t t t
Chi cuadrado no central a partir de normales independientes con esperanzas distintas de 0 Ver demostración en notas de clases I) ~ ( , n N y μ     2 ; ~ ( , ) V V n y y      1 2 μ μ
                 R / 2 1/ 2 ( ) 2 n n t y y V m t e e d y u y u y                   R / 2 1/ 2 2 n n t e d y u y u y y y                     R / 2 1/ 2 2 n n t e d y y y u u y u u y y y                     R /2 /2 /2 2 n t n e d y y y u u u y y y                         2 2 2 / 1 / 2 n t n e d y u u u y y y R
     /2 0 2 n a I         1 2 2 t B   b μ   0 2 b μ μ     1-2t I 2 1-2t I 2                                    1 1 1/2 4 /2 2 2 / 1 ( ) 2 2 2 n n V m t e μ μ μ μ     1/2 1 1 /2 1 1 1 1 1 4 2 1 exp ' 2 2 o o n I t b a r                 ' b a b' b AB B B AB b B b B       1 2 ... ' exp ' ... o o n I a b dy dy dy                y'Ay y a y'By y b                         2 2 2 / 1 / 2 n t n e d y u u u y y y R
        1-2t I 2 n/2 2 1-2t                      1 1 / 2 / 2 4 2 / 2 1 ( ) 2 2 2 n n n V m t e μ μ μ μ     1-2t I 2 1-2t I 2                                    1 1 1/2 4 /2 2 2 / 1 ( ) 2 2 2 n n V m t e μ μ μ μ  1 ( 2 ) V m t  /2 n n/2 2  /2 n     1-2t I 2 1-2t                   1 /2 1 4 2 2 2 n e μ μ μ μ      
  1-2t 1-2t      2 4 2 1 /2 ( ) n V m t e μ μ μ μ   1-2t 1-2t      1 /2 ( ) n V m t e     1-2t 1-2t 1-2t                      1 1 1 2 1 /2 /2 1-2 ( ) t n n t V m t e e   1-2t          2 /2 1-2 t n t e   1-2t I 2 1-2t                   1 1 /2 4 2 ( ) n V m t e μ μ μ μ
Distribución 2 Esperanza y varianza       ( ) 2 ( ) 2( 4 ) E V n V V n Práctica: Encontrar esperanza y varianza de una chi-cuadrado no central
Distribución de la suma de chi- cuadrados independientes I) 1 1 1 ~ ( , n N y μ I) 2 2 2 ~ ( , n N y μ   1 1 1 U y y   2 2 2 U y y  1 2 Cov( , ) y y 0        1 2 1 1 2 2 U U y y y y y y     1 2 [ | ] y y y I)  1 2 ~ ( , n n N y μ     1 2 [ | ] μ μ μ      2 1 2 ~ ; U U n   1 2 n n n            1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 ( ) μ μ μμ μ μ
Distribución de formas cuadráticas 𝐲′ 𝐀𝐲
Distribución de formas cuadráticas • Distribución de Y’AY, Y~Nn(0,I), A idempotente simétrica • Distribución de Y’AY, Y~Nn(,I), A idempotente simétrica • Distribución de Y’AY, Y~Nn(,),A simétrica A idempotente • Condiciones equivalente a A idempotente • Distribución (n-1)S2/2 • Independencia de Formas Cuadráticas y Lineales • Prueba T para una muestra • Independencia de formas cuadráticas • Esperanza de formas cuadráticas
Distribución con   I ~ , N y 0 nxn A Simétrica e idempotente de rango k  ' P AP D Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que Teorema 1.2.50 en Grabill, 1975 LOS ELEMENTOS DE D SON CERO O UNOS. ¿Por qué?
  z P y     y Ay y PDP y    y Ay z Dz   I ~ , N z 0
• Si A tiene rango k, entonces sólo existen k elementos diagonales de D iguales a 1 siendo el resto iguales a 0 (¿por qué?) • Supongamos que los k elementos 1 son los primeros k elementos de D y que hemos ordenados los correspondientes elementos de y
1 1 1 1 2 2                    z z y Ay z Dz D z z z z 1 I ~ ( , ) k N z 0     k 2 2 ~ ( ) rango     y Ay A
Distribución con   I ~ , N y μ k I         0 P AP 0 0 nxn A Simétrica e idempotente de rango k Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que  1 2 [ | ] P P P k I 1 1    P AP   z P y 1 1 1 2 2 2 [ | ]                      P y z P y P P y z P y z
        z y Ay Pz A P k I                           1 1 2 2 z z 0 z P APz z Dz z z 0 0 k I     1 1 1 1 z z z z
I I 1 1 1 1 1 ~ ( , ) ( , ) k k N N     z Pμ P P Pμ       1 2 1 1 1 1 2 ~ ( ), rango z z A μ PPμ 1 1      PDP A PP A k I 1 1 2 1 1 2 [ | ]                    P 0 A PDP P P PP P 0 0      1 2 2 ~ ( ), rango y Ay A μ Aμ
Distribución con A, simétrica de rango k   ~ , N  y μ  A idempotente        1           z y μ y z μ                                 1 1 y Ay z μ A z μ z μ A z μ v Bv   I 1 ~ , n N    v μ si essimétrica eidempotente... B
                              1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 B A μ μ μ μ μ Aμ      1 2 2 ~ (¿ ?), rango Bo y A A y μ Aμ                       1 2 1 1 2 ~ ( ), rango y Ay v Bv B μ B μ si essimétrica eidempotente... B
 idempotente B Para probar que BB=B tenemos que usar Lema 2 pag. 16 en Searle             BB A A A A     B A           A A A
                                                                      ( ) ( ) ) 0 0 ( ( ) PX QX PX QX QX PX Q P QX XQ QX XP PX XQ PX XP PX XP PX PX QX QX X PX X QX X XQ QX XP QX XQ Q P P PX X Q P X X Q X Q X X P X X X Lema 2 pag. 16 en Searle
     BB A A     B A  Si post multiplicamos …. y por tenemos               BB A A A A A          B A A 2                    B B A A A A A A
Ejemplo: Distribución de   2 2 1 / n S  
    1 2 2 1 1 n i i S n y y         1 2 , ,..., n y y y   I 2 , n N  μ   I J             2 2 2 1 1 1 / n n S n y y   2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 n n n n i i i i i i i i i y y y y y y y ny ny y ny                      I 2 1 n i i y       y y y y J 1 2 n n ny   y y J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n                11 proposición demostración
J                                           1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,..., ... n n n n n n n i i i i i n i i i i i i i n y y y y y y y y y y y n n n y y y I= I J I= I J 2 2 2 1 1 1 n n n n                    A A                      2 2 2 1 2 1 1 1 1 ... n n i i y ny y ny y ny ny y n y ny n n n I J 2 1 1 n n          A y y Luego lo que tenemos que mostrar es que es idempotente I J 1 n n       
I J I J =I- J J J J =I-2 J J I- J                         2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n
Síntesis       2 2 1 / n S y Ay I J 2 1 1 n n          A  idempotente A         2 1 ~ ( ), ' 2 rango A A y Ay μ μ I J I J                1 1 ¿ ? n n rango traza porqué n n
Síntesis • Además… • Luego… I J I J 2 2 2 1 1 1 1 1 0 2 2 2 n n n n n n                                   μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ      2 ~ 1 n y Ay
Independencia de formas cuadráticas y lineales de un vector aleatorio con distribución Normal
Caso 1. El vector aleatorio con tiene matriz de covarianzas identidad   I ~ , N y μ q n  B  ( ) simétrica n n A By  y Ay   independencia de BA 0 y
• simetría de A garantiza la existencia de P ortogonal tal que (Teorema 1.2.50 Grabill, 1975). • Reordenando los elementos de y, las filas y columnas de A y de P   P AP D 11         D 0 P AP 0 0     ( ) 11 k k derangocompleto rango A D
      ¿ ? porqué BA 0 B P AP 0 P 11 12 11 11 21 21 22 0 0 , 0 0                   C D C C D BPP AP C 0 C 0 C C (¿Por qué?)     2 ( ) q n q k q n k          C 0 ,C
11 1 11 1               D 0 y Ay z P APz z z z D z 0 0   2 2 2     By BPz Cz 0,C z C z   z P y Si definimos entonces
  I      ~ n N z P y P P P    I      ~ n N z P y P P P 
  I      ~ n N z P y P P P    I   n N P    I      ~ n N z P y P P P    I   n N P 
  I      ~ n N z P y P P P  1 z 2 z Independientes ¿Por qué?   I   n N P    I      ~ n N z P y P P P    I   n N P 
  I      ~ n N z P y P P P  1 z 2 z Independientes ¿Por qué?  y Ay By Implica independencia de   I   n N P    I      ~ n N z P y P P P    I   n N P 
Caso 2. Generalización al caso en que el la matriz de covarianzas es definida positiva    ~ , N y μ q n  B  ( ) simétrica n n A By  y Ay    independencia de B A 0 y
1     z y            I 1 1 1 1 ~ N N                z      y z                 y Ay z A z z A z    By B z          ? 0 B A             B A B A   B A 0          B A 0 Por hipótesis luego
                y Ay z A z A z z    By B z          A B 0   I    1 ~ N z 
Independencia de formas cuadráticas de un vector aleatorio con distribución Normal
   ~ , N y μ  n n B  ( ) simétrica n n A ' y By  y Ay    independencia de B A 0 y
    
          A B A B
          A B A B          0 por hipótesis C K A B A B
         0 por hipótesis C K A B A B
1 '     z P y       I                1 1 1 1 ~ ' ' ' N N z P P P P  
                 0 C K C K P PP P P B A P B A   I    1 ~ ' N z P                                  11 1 11 1 C y Ay Pz A Pz z P Pz z P Pz D 0 z z z D z 0 0 A C                                 2 22 2 22 K y By Pz B Pz z P Pz z P Pz 0 0 z z z D 0 D K z B 1 '     z P y
Distribución T de Student William Sealy Gosset (1908) 2008-Placa recordatoria en la cervecería Guinness (Dublin) de la IBS a los 100 años del test T
~ Z T U  
  2 y T S n     • Estadístico T • Demostrar que tiene distribución T bajo Ho
              2 2 2 1 / 1 S y n n n Raíz cuadrada de una Chi-cuadrado dividida sus grados de libertad Normal estándar (bajo H0)
         2 1 n n y     2 2 / 1 S n 
         2 2 2 / y n S
         2 2 2 / y n S
             2 2 2 / y n S
       2 y    2 2 / n S   
         2 / S y n
• Para demostrar independencia del numerador y del denominador • Tenemos que escribir el numerador y denominador de: como una forma lineal y una cuadrática respectivamente y mostrar que son independientes          2 / S y n
           [1 ,1 ,...,1 ] [1 ,1 ,...,1 ] n n n n n y n y B
                                          2 / 1 1 1 1 1 1 n n n n I J n n n n I J n n S n y y A
                                   2 2 [1 ,1 ,...,1 ] 1 1 1 1 1 [1 ,1 ,...,1 ] n n n n n I J n n n I J n n n n n n n n I n A B
                        1 1 1 1 1 1 [1 ,1 ,...,1 ] [1 ,1 1 1 1 1 1 1 1 ,...,1 ] [1 ,1 ,...,1 ] [1 ,1 ,...,1 ] [ , , 1 1 1 . ] 0 .. , n n n n n n n n n n n n n n n n n I J n n n n n n
Distribución F (no central)
W=(U1/n1)/(U2/n2) es una F-no central U1 una chi- cuadrado no central con parámetros n1 y , U2 una chi- cuadrado central con n2 grados de libertad U1 y U2 independientes
Distribución F (no central)         0 0 ! ) , , : ( 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 / ) 2 ( 2 2 2 2 / ) 2 ( 2 2 2 / ) 2 ( 0 2 1                          w para w j e n n w n w n n n j j n n n n n n n j n j j j F    ( j =1 para  =0 y j=0 )
0.00 4.14 8.29 12.43 16.57 Variable F 0.0 0.2 0.3 0.5 0.6 Densidad F(8,4,0) F(8,4,10) Distribución F (no central)
• Demostrar que tiene distribución F bajo Ho  2 1 2 2 S F S

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