Descripción de los elementos de la Hipérbola y su ecuación

1. Hipérbola

2. Índice
 La
hipérbola.
 La hipérbola como lugar geométrico.
 Elementos de la hipérbola.
 Ecuación analítica de la hipérbola.
 Ecuación analítica de la hipérbola con centro en (
 Asíntotas.
 Ejemplo.
 Propiedad de reflexión de la hipérbola.

3. Hipérbola

La hipérbola, se origina al
cortar el cono con un plano
que no pase por el vértice y
cuyo ángulo de inclinación
respecto aleje del cono es
menor que el de la
generatriz del cono.
Eje
Plano
Vértice
Generatriz

4. La Hipérbola como Lugar Geométrico:

Hipérbola es el lugar
geométrico de los
puntos del plano cuya
diferencia de
distancias a dos
puntos fijos, llamados
focos, es constante.

5. Elementos de la hipérbola

Y
En toda hipérbola conviene considerar:
Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la
mediatriz del eje focal.
P
X: Es el eje focal de la hipérbola.
F´
A´
O
A
F
X
F y F´: Son los focos de la hipérbola.
A y A´: Son los vértices de la hipérbola.
O: Es el centro de la hipérbola.
P: Es un punto de la hipérbola.
PF y PF´: Son los radio vectores de la
hipérbola.

6. Elementos de la hipérbola
Y
P
2c: Se le llama distancia focal.
2a: Es la resta de los radio vectores PF y
PF´ de un punto.
F´
AA´: A este segmento se le denomina eje
real.
O
A´
2a
2c
A
F

7. Ecuación analítica de la hipérbola:

Ubiquemos los focos sobre el eje x,
F = ( c, 0 ) y F' = ( -c, 0 ), y tomemos
un punto cualquiera P = (x, y) de la
hipérbola.

En este caso, la diferencia de las
distancias entre PF y PF' es igual al
doble de la distancia que hay entre el
centro de coordenadas y la
intersección de la hipérbola con el eje
x.

Entonces tendremos que:
PF – PF' = 2a

8. Elevando al cuadrado ambos miembros y
procediendo matemáticamente podemos llegar a
esta expresión:
(c2 – a2)x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0
Nota: Los cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo
que hicimos para la elipse.

Nuevamente a partir del dibujo anterior y aplicando
Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo
tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2.
Dividiendo cada término por a2b2 obtenemos:

9. Ecuación analítica de la hipérbola
con centro en (p, q):

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos
que:
b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = – a2
C = – 2pb2
D = 2qa2
E = p2b2 – q2a2 – a2b2
Tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos
comprobar que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los
términos A y B no tienen porqué ser iguales.

10. Asíntotas:

Son rectas que
jamás cortan a la
hipérbola, aunque
se acercan lo más
posible a ella.
Ambas deben
pasar por el
"centro" (p, q)

Las ecuaciones de
las asíntotas son:

11. Ejemplo

Esbócese la curva 36x2 - 64y2 = 2304
x2 y2
−
=1
Si divide entre 2304 y se reduce la ecuación a:
64 36
La gráfica es una hipérbola en la cual a = 8, b =6 y c = 10.
Por lo tanto los vértices son ( ±8, 0) y los focos ( ±10, 0).
Las ecuaciones de las asíntotas son:
3x -4y = 0 y 3x + 4y = 0
Haz click y
observa la gráfica

12. Propiedad de reflexión de la Hipérbola:

La Hipérbola tiene propiedades de reflexión
análogas a las de la elipse. Si se dirige un
haz de luz en dirección de un foco, por
ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él
en la hipérbola en dirección del foco f '.