SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 44
© L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
www.matematicaspr.com
Polinomios
Factorizar Polinomios
1
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Objetivos
Factorizar polinomios utilizando:
Factor Común
Diferencia de Cuadrados
Suma de Cubos
Diferencia de Cubos
Agrupación
Tanteo
Estrategias de Factorización
2
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Factorización
La factorización es el proceso que se
utiliza para expresar un polinomio como una
multiplicación. Veamos algunos ejemplos de
polinomios factorizados.
3
𝑥2 − 16
2𝑥3
− 18𝑥
= 𝑥 + 4 𝑥 − 4
= 𝑥 + 3 𝑥 − 3
2𝑥
polinomios factores del polinomio
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Factor Común
4
Un factor es un factor común cuando es un
factor de todos los términos de un polinómio.
Esta técnica consiste en encontrar los factores
comunes entre todos los términos del polinomio.
2𝑦4 + 6𝑦3 + 12𝑦2
2𝑦2
polinomio
factor común
Escribir los tres términos
del otro factor del polinomio.
𝑦2
+ 3𝑦 + 6
factorización
Identificar el máximo común
factor del polinomio. El factor
mayor que se repite en todos los
términos del polinomio. Dividir el
polinomio por el máximo común
factor.
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Factor Común
5
Ejemplo 1:
Factorizar el polinomio 4𝑥 − 36𝑥𝑦.
Solución:
Identificar el máximo común factor
del polinomio. El factor mayor que se
repite en todos los términos del
polinomio.
Dividir todos los términos que tiene el
polinomio por el máximo común factor.
4𝑥 − 36𝑥𝑦
4𝑥
4𝑥 36𝑥𝑦
−
4𝑥 4𝑥
Escribir la forma factorizada del
polinomio.
4𝑥 1− 9𝑦
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Factor Común
6
Ejemplo 2:
Factorizar el polinomio 3𝑥3 + 6𝑥.
Solución:
Identificar el máximo común factor
del polinomio. El factor mayor que se
repite en todos los términos del
polinomio.
Dividir todos los términos que tiene el
polinomio por el máximo común factor.
3𝑥3 + 6𝑥
3𝑥
3𝑥3 6𝑥
+
3𝑥 3𝑥
Escribir la forma factorizada del
polinomio.
3𝑥 𝑥2
+ 2
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
9
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 1
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Factor Común
10
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 4𝑥2 + 12𝑥
2. 4𝑥2 − 4𝑥 + 28
3. 4𝑥2𝑦 + 14𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦2
4. 12𝑥 𝑥 − 6 − 6 𝑥 − 6
5. 5𝑥2 𝑥 + 3 − 15𝑥 𝑥 + 3
6. 𝑥 − 1 2 𝑥 + 2 + 𝑥 − 1 𝑥 + 2 3
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Una diferencia de cuadrados es un binomio de
la forma 𝑎2 – 𝑏2 . Una diferencia de cuadrados
factoriza de la forma 𝑎2 – 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏).
Diferencia de Cuadrados
11
Requisitos para alpicar esta técnica
El polinomio sea un binomio.
La operación es resta.
Los términos se pueden escribir como cuadrados.
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Diferencia de Cuadrados
3
Ejemplo 6:
Factorizar el polinomio 16𝑦2 − 25𝑥2.
Solución:
Identificar que el polinomio es una
diferencia de cuadrados.
Obtener la raíz cuadrada de los dos
términos y escribir el polinomio en la
forma de diferencia de cuadrados.
16𝑦2 − 25𝑥2
16𝑦2 − 25𝑥2
4𝑦 2 − 5𝑥 2
Escribir la forma factorizada del
polinomio.
4𝑦+5𝑥 4𝑦−5𝑥
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Diferencia de Cuadrados
15
Ejemplo 8:
Factorizar el polinomio 36 − 𝑦 + 2 2.
Solución:
Identificar que el polinomio es una
diferencia de cuadrados.
Obtener la raíz cuadrada de los dos
términos y escribir el polinomio en la
forma de diferencia de cuadrados.
Escribir la forma factorizada del
polinomio y simplificar cada factor si es
posible.
36 − 𝑦 + 2 2
36
6
−
𝑦 + 2
−
𝑦 + 2 2
6 𝑦 + 2
+
6 2 − 𝑦 + 2 2
8 + 𝑦 4 − 𝑦
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
16
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 2
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Diferencia de Cuadrados
17
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 36𝑚2 − 25
2. 4𝑥2 − 49
3. 121𝑥2 − 144𝑘2
4.
9
25
𝑏2 −
49
36
𝑐2
5. 16 𝑥 + 3 2 − 9
6. 𝑥 − 1 2
− 2𝑥 + 3 2
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Una suma de cubos es un binomio de la forma
𝑎3 + 𝑏3. La factorización de una suma de cubos
tiene dos factores, un binomio (𝑎 + 𝑏) y un
trinomio (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2).
Suma de Cubos
18
Requisitos para aplicar esta técnica:
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
El polinomio debe ser un binomio.
+
La operación debe ser suma.
Los términos se pueden escribir como cubos.
𝑎3
𝑏3
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Suma de Cubos
19
Ejemplo 9:
Factorizar el polinomio 𝑥3 + 8.
Solución:
Identificar que el polinomio es una
suma de cubos.
Obtener la raíz cubica de los dos
términos y escribir el polinomio en la
forma de suma de cubos.
Escribir la forma factorizada del
polinomio y simplificar cada factor si es
posible.
𝑥 +2 𝑥2−2𝑥 +4
𝑥 +2 𝑥 2
− 2 𝑥 + 2 2
𝑥 3 + 2 3
3
𝑥3 +
3
8
𝑥3 + 8
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Suma de Cubos
22
Ejemplo 12:
Factorizar el polinomio 27𝑝3 + 64.
Solución:
Identificar que el polinomio es una
suma de cubos.
Obtener la raíz cubica de los dos
términos y escribir el polinomio en la
forma de suma de cubos.
27𝑝3
+ 64
3
27𝑝3 +
3
64
3𝑝 3 + 4 3
Escribir la forma factorizada del
polinomio y simplificar cada factor si es
posible.
3𝑝+4 9𝑝2−12𝑝+16
3𝑝+4 3𝑝 2
− 3𝑝 4 + 4 2
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
23
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 3
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Suma de Cubos
24
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 125𝑚3 + 27
2. 8𝑥3 + 343
3. 64𝑥3 + 27𝑘3
4.
27
8
𝑏3 +
64
27
𝑐3
5. 𝑥 + 3 3 + 27
6. 216𝑥3 + 125𝑦3
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Una diferencia de cubos es un binomio de la
forma 𝑎3 + 𝑏3. La factorización de una diferencia
de cubos tiene dos factores, un binomio (𝑎 − 𝑏) y
un trinomio (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2).
Diferencia de Cubos
25
Requisitos para aplicar esta técnica:
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 – 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)
El polinomio debe ser un binomio.
−
La operación debe ser resta.
Los términos se pueden escribir como cubos.
𝑎3
𝑏3
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Diferencia de Cubos
26
Ejemplo 13:
Factorizar el polinomio 𝑥3 − 27.
Solución:
Identificar que el polinomio es una
diferencia de cubos.
Obtener la raíz cubica de los dos
términos y escribir el polinomio en la
forma de diferencia de cubos.
𝑥3
− 27
3
𝑥3 −
3
27
𝑥 3 − 3 3
Escribir la forma factorizada del
polinomio y simplificar cada factor si es
posible.
𝑥 −3 𝑥2+3𝑥 +9
𝑥 − 3 𝑥 2 + 𝑥 3 + 3 2
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Diferencia de Cubos
29
Ejemplo 16:
Factorizar el polinomio 27𝑝3 − 8.
Solución:
3𝑝−2 9𝑝2+6𝑝 +4
Escribir la forma factorizada del
polinomio y simplificar cada factor si es
posible.
3𝑝−2 3𝑝 2
+ 3𝑝 2 + 2 2
3𝑝 3 − 2 3
Obtener la raíz cubica de los dos
términos y escribir el polinomio en la
forma de diferencia de cubos.
3
27𝑝3 −
3
8
27𝑝3 − 8 Identificar que el polinomio es una
diferencia de cubos.
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
30
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 4
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Diferencia de Cubos
31
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 27𝑚3 − 125
2. 8𝑥3 − 343
3. 64𝑥3 − 27𝑘3
4.
64
27
𝑏3 −
27
8
𝑐3
5. 𝑥 − 3 3 − 27
6. 125𝑥3 − 216𝑦3
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Generalmente esta técnica se aplica cuando el
polinomio tiene cuatro términos o más.
Se utiliza en combinación con las otras
técnicas especialmente con la de factores
comunes.
Método de Agrupación
32
El método consiste en agrupar los términos
de manera que se destaque algún factor común
en cada grupo.
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Método de Agrupación
33
Ejemplo 17:
Factorizar el polinomio 3𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 6.
Solución:
Identificar el máximo común factor
de cada grupo. El factor mayor que se
repite en todos los términos de cada
grupo.
Dividir todos los términos que tiene
cada grupo por el máximo común factor
que corresponde al grupo y escribir la
forma factorizada de cada grupo.
Repetir los pasos anteriores para el
nuevo polinomio que tiene dos términos.
Escribir la forma factorizada del
polinomio.
3𝑥 2
+
3𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 6
3𝑥3 + 2𝑥2 + −9𝑥 − 6
𝑥2 𝑥2
3𝑥 2
+
𝑥2 3𝑥 2
−3
−3 −3
3𝑥 2
+ 3𝑥 2
+
𝑥2
− 3
+
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Método de Agrupación
36
Ejemplo 20:
Factorizar el polinomio 4𝑥2 − 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦.
Solución:
4𝑥2
− 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦
4𝑥2 − 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦
2𝑥 5
− 𝑦
𝑦 𝑦
+ 2𝑥 5
+
2𝑥 5
+
Identificar el máximo común factor
de un grupo. El otro grupo factoriza
utilizando diferencia de cuadrados.
Dividir todos los términos del grupo
que tiene el máximo común factor por
este.
Identificar el máximo común factor
del nuevo polinomio.
2𝑥 + 5
Dividir todos los
términos de este polinomio por el
máximo común factor.
2𝑥 + 5 2𝑥 + 5
Escribir la forma
factorizada del polinomio.
2𝑥 5
+ + 𝑦
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
37
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 5
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Método de Agrupación
38
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 𝑚3 + 2𝑚2 + 5𝑚 + 10
2. 𝑎𝑑𝑦 − 𝑤 + 𝑑 − 𝑎𝑤𝑦
3. 𝑥2𝑦2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑦2 − 𝑏𝑥2
4. 2𝑤3 − 2𝑤2 + 3𝑤 − 3
5. 𝑥3
+ 𝑥2
− 7𝑥 − 7
6. 6𝑦𝑧 − 3𝑦 − 10𝑧 + 5
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Tanteo Trinomios 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
39
Los trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde
𝑏 y 𝑐 son números enteros, se obtienen al
multiplicar polinomios lineales de la forma
𝑥 + 𝑝 y 𝑥 + 𝑞 .
𝑥 + 𝑝 ∙ 𝑥 + 𝑞
𝑞𝑥
𝑝𝑥
𝑥2 𝑝𝑞
+
= 𝑥2 + 𝑝 + 𝑞 𝑥 + 𝑝𝑞
= 𝑥2 𝑝𝑥
+ 𝑞𝑥
+ 𝑝𝑞
+
El proceso consiste en buscar dos números
enteros 𝑝 y 𝑞 cuya suma sea 𝑏 y producto sea 𝑐.
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Tanteo Trinomios 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
40
Ejemplo 21:
Factorizar el polinomio 𝑝2 − 𝑝 − 2.
Solución:
El primer y el tercer termino tienen
signos diferentes por lo tanto usamos la
combinación de factores que se restan.
𝑝2 − 𝑝 − 2
Escribir los factores del primer y tercer
termino.
Buscar el producto de los factores cuya
resta es −𝑝. Utilizar diferentes productos
de factores hasta obtener la factorización.
De otra manera no existe la factorización.
𝒑
𝒑
−𝟐
𝟏
−𝟐𝒑
𝒑
= −𝒑
𝑝 𝑝 −1 2
∗
∗
1 −2
∗
−𝑝 −𝑝
∗
Escribir la factorización del polinomio.
𝑝 𝑝
2 1
− +
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Tanteo Trinomios 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
43
Ejemplo 24:
Factorizar el polinomio 𝑥2 − 11𝑥 + 18.
Solución:
El primer y el tercer termino tienen
signos diferentes por lo tanto usamos la
combinación de factores que se restan.
𝑥2 − 11𝑥 + 18
Escribir los factores del primer y tercer
termino.
Buscar el producto de los factores cuya
suma es −11𝑥. Utilizar varios productos de
factores hasta obtener la factorización.
De otra manera no existe la factorización.
𝑥 𝑥
2 9
∗
∗ −2 −9
∗
−𝑥 −𝑥
∗ 3 6
∗
−3 −6
∗
Escribir la factorización del polinomio.
𝒙
𝒙
−𝟐
−𝟔
−𝟐𝒙
−𝟗𝒙
= −𝟏𝟏𝒙
𝑥 𝑥
2 9
− −
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
44
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 6
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Tanteo Trinomios 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
45
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 𝑚2 + 5𝑚 − 14
2. 𝑏2 − 13𝑏 + 14
3. 𝑥2 + 𝑥 − 30
4. 𝑤2 + 3𝑤 − 28
5. 𝑥2
− 6𝑥 + 8
6. 𝑝2 − 13𝑝 − 30
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Trinomios 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
46
Los trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde
𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números enteros, se obtienen al
multiplicar polinomios lineales de la forma
𝑟𝑥 + 𝑝 y 𝑠𝑥 + 𝑞 .
𝑟𝑥 + 𝑝 ∙ 𝑠𝑥 + 𝑞
𝑞𝑟𝑥
𝑝𝑠𝑥
𝑝𝑞
+
= 𝑟𝑠𝑥2 + 𝑝𝑠 + 𝑞𝑟 𝑥 + 𝑝𝑞
= 𝑟𝑠𝑥2 𝑝𝑠𝑥
+ 𝑞𝑟𝑥
+ 𝑝𝑞
+
𝑟𝑠𝑥2
El proceso consiste en buscar dos números
enteros 𝑝𝑠 y 𝑞𝑟 cuya suma sea 𝑏 y producto sea 𝑎𝑐.
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Trinomios 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
48
Ejemplo 26:
Factorizar el polinomio 6𝑥2 − 7𝑥 − 3.
Solución:
6𝑥2 − 7𝑥 − 3
3𝑥
2𝑥 1 −3
+
Identificar los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
𝑎 = 6 𝑏 = −7 𝑐 = −3
𝑎 ∙ 𝑐 = 6 −3 = −18 Buscar el producto de 𝑎 y 𝑐.
Escribir el polinomio a factorizar.
¿Qué dos expresiones tienen como
producto −18𝑥2 y suma −7𝑥?
2𝑥 −9𝑥
𝑦
6𝑥2 + 2𝑥 −9𝑥 − 3
+
3𝑥 1
+
Formar un grupo con el primer término
y una de estas expresiones y otro con el
tercer término y la otra expresión.
Factorizar por agrupación.
Escribir la factorización del polinomio.
3𝑥+1 2𝑥−3
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Trinomios 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
49
Ejemplo 27:
Factorizar el polinomio 10𝑥2 − 3𝑥 − 4.
Solución:
10𝑥2 − 3𝑥 − 4
5𝑥
2𝑥 4 +
Identificar los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
𝑎 = 10 𝑏 = −3 𝑐 = −4
𝑎 ∙ 𝑐 = 10 −4 = −40 Buscar el producto de 𝑎 y 𝑐.
Escribir el polinomio a factorizar.
¿Qué dos expresiones tienen como
producto −40𝑥2 y suma −3𝑥?
−8𝑥 5𝑥
𝑦
10𝑥2
− 8𝑥 5𝑥 − 4
+
5𝑥 4
−
Formar un grupo con el primer término
y una de estas expresiones y otro con el
tercer término y la otra expresión.
Factorizar por agrupación.
Escribir la factorización del polinomio.
−
5𝑥−4 2𝑥+1
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
51
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 7
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Trinomios 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
52
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 2𝑚2 + 11𝑚 − 6
2. 6𝑏2 − 𝑏 − 2
3. 4𝑥2 + 5𝑥 − 6
4. 10𝑤2 − 11𝑤 − 6
5. 12𝑥2
+ 17𝑥 + 6
6. 12𝑝2 − 32𝑝 + 21
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
1. Factorizar todos los factores comunes.
2. Observar el número de términos en el polinomio. Si el
polinomio tiene:
a. Cuatro términos o más:
b. Tres términos:
c. Dos términos y cuadrados:
d. Dos términos y cubos:.
3. Verificar que la factorización fue completa.
Estrategia General
Factorizar formando grupos
Tanteo o Criterio AC
Diferencia de cuadrados
Suma o Diferencia de cubos
53
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Estrategia General
54
Solución:
Utilizar la estrategia del factor
común. Factor que se repite en todos los
términos.
En el binomio se aplica la estrategia
de diferencia de dos cuadrados.
3𝑥3 − 48𝑥
3𝑥 𝑥2
− 16
3𝑥 𝑥2
− 42
Ejemplo 29:
Factorizar el polinomio 3𝑥3 − 48𝑥.
Escribir la forma factorizada del
polinomio y simplificar cada factor si es
posible.
3𝑥 𝑥 + 4 𝑥 −4
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Estrategia General
55
Ejemplo 30:
Factorizar completamente 3𝑥3 + 2𝑥2 − 27𝑥 − 18.
Solución:
El polinomio no tiene factor común.
Este tiene cuatro términos, por lo tanto
utilizamos la estrategia de agrupación.
3𝑥 2
+
3𝑥3
+ 2𝑥2
− 27𝑥 − 18
3𝑥3 + 2𝑥2 + −27𝑥 − 18
3𝑥 2
+
𝑥2 3𝑥 2
−9 +
3𝑥 2
+ 𝑥2
− 32
3𝑥 2
+
En uno de los factores se utiliza la
estrategia de la diferencia de dos
cuadrados.
𝑥2
− 9
𝑥 + 3 𝑥 − 3
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
58
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 8
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Estrategia General
59
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 6𝑚2 + 33𝑚 − 18
2. 16𝑏4 − 81𝑥4
3. 16𝑡4
+ 54𝑤3
𝑡
4. 𝑤4 − 𝑤3 + 𝑤 − 1
5. 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2
6. −6𝑝4
−𝑝3
+15𝑝2
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Mapa Factorizar Polinomios
60
Suma de
Cubos
Trinomios
𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Trinomios
a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Diferencia
de Cubos
Diferencia
de
Cuadrados
Factor
Común
Agrupación
Estrategias de
Factorización

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

clase de factorizacion
clase de factorizacionclase de factorizacion
clase de factorizacion
 
Monomios
MonomiosMonomios
Monomios
 
Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicasExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas
 
EJERCICIOS DE RADICALES CON RESPUESTAS
EJERCICIOS DE RADICALES CON RESPUESTASEJERCICIOS DE RADICALES CON RESPUESTAS
EJERCICIOS DE RADICALES CON RESPUESTAS
 
Multiplicación de Polinomios
Multiplicación de PolinomiosMultiplicación de Polinomios
Multiplicación de Polinomios
 
Ecuaciones cuadraticas factorizacion
Ecuaciones cuadraticas factorizacionEcuaciones cuadraticas factorizacion
Ecuaciones cuadraticas factorizacion
 
Ejercicios numeros complejos
Ejercicios  numeros complejosEjercicios  numeros complejos
Ejercicios numeros complejos
 
Ecuacion de una recta
Ecuacion de una rectaEcuacion de una recta
Ecuacion de una recta
 
Logaritmo
LogaritmoLogaritmo
Logaritmo
 
Lenguaje algebraico
Lenguaje algebraicoLenguaje algebraico
Lenguaje algebraico
 
Axiomas de números reales
Axiomas de números realesAxiomas de números reales
Axiomas de números reales
 
4. ecuaciones con valor absoluto
4. ecuaciones con valor absoluto4. ecuaciones con valor absoluto
4. ecuaciones con valor absoluto
 
Tema 3 polinomios especiales
Tema 3   polinomios especialesTema 3   polinomios especiales
Tema 3 polinomios especiales
 
Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado
 
Transformaciones Funciones
Transformaciones Funciones Transformaciones Funciones
Transformaciones Funciones
 
Factorización y fracciones algebraicas
Factorización y fracciones algebraicasFactorización y fracciones algebraicas
Factorización y fracciones algebraicas
 
Factorizacion
FactorizacionFactorizacion
Factorizacion
 
Practica 1 numeros naturales y enteros
Practica 1 numeros naturales y enterosPractica 1 numeros naturales y enteros
Practica 1 numeros naturales y enteros
 
Ecuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta - Prof. Mónica LordiEcuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
 
Ecuaciones de Primer Grado con Una Incógnita
Ecuaciones de Primer Grado con Una IncógnitaEcuaciones de Primer Grado con Una Incógnita
Ecuaciones de Primer Grado con Una Incógnita
 

Destacado

Practica nº4 operación de polinomios y factorización(corregido)
Practica nº4  operación de polinomios y factorización(corregido)Practica nº4  operación de polinomios y factorización(corregido)
Practica nº4 operación de polinomios y factorización(corregido)Rodrigo Huanca Torrez
 
Números decimales (6.º Primaria)
Números decimales (6.º Primaria)Números decimales (6.º Primaria)
Números decimales (6.º Primaria)Maestro Javier
 
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
RELACIONES  MÉTRICAS EN  LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSRELACIONES  MÉTRICAS EN  LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSLUISRUBINOS
 
Factorizacion de-polinomios
Factorizacion de-polinomiosFactorizacion de-polinomios
Factorizacion de-polinomiossitayanis
 
Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulos
Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulosRelaciones métricas en los triangulos oblicuangulos
Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulosJunior Casana
 

Destacado (6)

Practica nº4 operación de polinomios y factorización(corregido)
Practica nº4  operación de polinomios y factorización(corregido)Practica nº4  operación de polinomios y factorización(corregido)
Practica nº4 operación de polinomios y factorización(corregido)
 
Factorizacion de Polinomios
Factorizacion de PolinomiosFactorizacion de Polinomios
Factorizacion de Polinomios
 
Números decimales (6.º Primaria)
Números decimales (6.º Primaria)Números decimales (6.º Primaria)
Números decimales (6.º Primaria)
 
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
RELACIONES  MÉTRICAS EN  LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSRELACIONES  MÉTRICAS EN  LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
 
Factorizacion de-polinomios
Factorizacion de-polinomiosFactorizacion de-polinomios
Factorizacion de-polinomios
 
Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulos
Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulosRelaciones métricas en los triangulos oblicuangulos
Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulos
 

Similar a Factorizar polinomios (slide share)

6. 1° TUTORIA DE 14 -03 al 4 - 04 PRIMER AÑO INAM.pptx
6. 1°  TUTORIA DE   14 -03  al  4 - 04   PRIMER AÑO INAM.pptx6. 1°  TUTORIA DE   14 -03  al  4 - 04   PRIMER AÑO INAM.pptx
6. 1° TUTORIA DE 14 -03 al 4 - 04 PRIMER AÑO INAM.pptxkarina ivett martinez
 
MODULO 2022_1_FASE_CERO.pdf
MODULO 2022_1_FASE_CERO.pdfMODULO 2022_1_FASE_CERO.pdf
MODULO 2022_1_FASE_CERO.pdfPaoloMendez5
 
Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
Diapositivas unidad 1 - Expresiones AlgebraicasDiapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
Diapositivas unidad 1 - Expresiones AlgebraicasAngelica Delgado Vasquez
 
Presentación repaso factorización.ppt
Presentación repaso factorización.pptPresentación repaso factorización.ppt
Presentación repaso factorización.pptJohnJGomesEsquivel
 
Operaciones Algebraicas
Operaciones AlgebraicasOperaciones Algebraicas
Operaciones Algebraicasjuliocepeda
 
Semestral de matematicas
Semestral de matematicasSemestral de matematicas
Semestral de matematicasRahgid
 
Factorización Parte 1
Factorización Parte 1Factorización Parte 1
Factorización Parte 1Jose Ojeda
 
algebra 5º(agos-nov).doc
algebra 5º(agos-nov).docalgebra 5º(agos-nov).doc
algebra 5º(agos-nov).docrosanaquesquen
 
trabajo de matematica.pdf
trabajo de matematica.pdftrabajo de matematica.pdf
trabajo de matematica.pdfvaleskapiero
 

Similar a Factorizar polinomios (slide share) (20)

Metodo completando cuadrado
Metodo completando cuadradoMetodo completando cuadrado
Metodo completando cuadrado
 
6. 1° TUTORIA DE 14 -03 al 4 - 04 PRIMER AÑO INAM.pptx
6. 1°  TUTORIA DE   14 -03  al  4 - 04   PRIMER AÑO INAM.pptx6. 1°  TUTORIA DE   14 -03  al  4 - 04   PRIMER AÑO INAM.pptx
6. 1° TUTORIA DE 14 -03 al 4 - 04 PRIMER AÑO INAM.pptx
 
MODULO 2022_1_FASE_CERO.pdf
MODULO 2022_1_FASE_CERO.pdfMODULO 2022_1_FASE_CERO.pdf
MODULO 2022_1_FASE_CERO.pdf
 
Modelo de examen bimestral iii segundo solucion tipeada
Modelo de examen bimestral iii segundo solucion tipeadaModelo de examen bimestral iii segundo solucion tipeada
Modelo de examen bimestral iii segundo solucion tipeada
 
Guia productos notables
Guia productos notablesGuia productos notables
Guia productos notables
 
Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
Diapositivas unidad 1 - Expresiones AlgebraicasDiapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
 
NÚMEROS FRACCIONARIOS.pptx
NÚMEROS FRACCIONARIOS.pptxNÚMEROS FRACCIONARIOS.pptx
NÚMEROS FRACCIONARIOS.pptx
 
Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicasExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas
 
Modulo factorizacion
Modulo factorizacionModulo factorizacion
Modulo factorizacion
 
Presentación repaso factorización.ppt
Presentación repaso factorización.pptPresentación repaso factorización.ppt
Presentación repaso factorización.ppt
 
Operaciones Algebraicas
Operaciones AlgebraicasOperaciones Algebraicas
Operaciones Algebraicas
 
Anual Uni_Semana 2_Álgebra.pdf
Anual Uni_Semana 2_Álgebra.pdfAnual Uni_Semana 2_Álgebra.pdf
Anual Uni_Semana 2_Álgebra.pdf
 
Practica 22 prueba sobre el modelo del bimestral solucion
Practica 22   prueba sobre el modelo del bimestral solucionPractica 22   prueba sobre el modelo del bimestral solucion
Practica 22 prueba sobre el modelo del bimestral solucion
 
Semestral de matematicas
Semestral de matematicasSemestral de matematicas
Semestral de matematicas
 
Factorización Parte 1
Factorización Parte 1Factorización Parte 1
Factorización Parte 1
 
algebra 5º(agos-nov).doc
algebra 5º(agos-nov).docalgebra 5º(agos-nov).doc
algebra 5º(agos-nov).doc
 
trabajo de matematica.pdf
trabajo de matematica.pdftrabajo de matematica.pdf
trabajo de matematica.pdf
 
Examen bimestral 2 segundo solucion
Examen bimestral 2   segundo solucionExamen bimestral 2   segundo solucion
Examen bimestral 2 segundo solucion
 
Examen bimestral 2 segundo solucion
Examen bimestral 2   segundo solucionExamen bimestral 2   segundo solucion
Examen bimestral 2 segundo solucion
 
Álgebra, Factores.
Álgebra, Factores.Álgebra, Factores.
Álgebra, Factores.
 

Más de L2DJ Temas de Matemáticas Inc.

Más de L2DJ Temas de Matemáticas Inc. (18)

Gráficas de ecuaciones (slide share)
Gráficas de ecuaciones (slide share)Gráficas de ecuaciones (slide share)
Gráficas de ecuaciones (slide share)
 
Líneas rectas (slide share)
Líneas rectas (slide share)Líneas rectas (slide share)
Líneas rectas (slide share)
 
Pendiante de las líneas rectas
Pendiante de las líneas rectasPendiante de las líneas rectas
Pendiante de las líneas rectas
 
Ecuaciones logaritmicas
Ecuaciones logaritmicasEcuaciones logaritmicas
Ecuaciones logaritmicas
 
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones exponencialesEcuaciones exponenciales
Ecuaciones exponenciales
 
Graficas rosas
Graficas rosasGraficas rosas
Graficas rosas
 
Graficas polares (estudiantes)
Graficas polares (estudiantes)Graficas polares (estudiantes)
Graficas polares (estudiantes)
 
Coordenadas cartesianas (slide share)
Coordenadas cartesianas (slide share)Coordenadas cartesianas (slide share)
Coordenadas cartesianas (slide share)
 
Propiedades de las funciones (slide share)
Propiedades de las funciones (slide share)Propiedades de las funciones (slide share)
Propiedades de las funciones (slide share)
 
Modelos de gráficas de funciones
Modelos de gráficas de funcionesModelos de gráficas de funciones
Modelos de gráficas de funciones
 
Gráficas senoidales
Gráficas senoidalesGráficas senoidales
Gráficas senoidales
 
Determinantes
DeterminantesDeterminantes
Determinantes
 
Desigualdades no lineales
Desigualdades no linealesDesigualdades no lineales
Desigualdades no lineales
 
Funciones Trigonométricas
Funciones TrigonométricasFunciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas
 
Funciones racionales
Funciones racionalesFunciones racionales
Funciones racionales
 
Funciones exponenciales
Funciones exponencialesFunciones exponenciales
Funciones exponenciales
 
Funciones polinomicas
Funciones polinomicasFunciones polinomicas
Funciones polinomicas
 
Angulos y sus medidas
Angulos y sus medidasAngulos y sus medidas
Angulos y sus medidas
 

Último

Los Nueve Principios del Desempeño de la Sostenibilidad
Los Nueve Principios del Desempeño de la SostenibilidadLos Nueve Principios del Desempeño de la Sostenibilidad
Los Nueve Principios del Desempeño de la SostenibilidadJonathanCovena1
 
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docxSIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docxLudy Ventocilla Napanga
 
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdfTarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdfManuel Molina
 
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfFichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfssuser50d1252
 
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTESaraNolasco4
 
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfssuser50d1252
 
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación iniciallibro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicialLorenaSanchez350426
 
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORDETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORGonella
 
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024gharce
 
EDUCACION FISICA 1° PROGRAMACIÓN ANUAL 2023.docx
EDUCACION FISICA 1°  PROGRAMACIÓN ANUAL 2023.docxEDUCACION FISICA 1°  PROGRAMACIÓN ANUAL 2023.docx
EDUCACION FISICA 1° PROGRAMACIÓN ANUAL 2023.docxLuisAndersonPachasto
 
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...fcastellanos3
 
Fichas de matemática DE PRIMERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de matemática DE PRIMERO DE SECUNDARIA.pdfFichas de matemática DE PRIMERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de matemática DE PRIMERO DE SECUNDARIA.pdfssuser50d1252
 
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdfMapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdfvictorbeltuce
 
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxPresentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxYeseniaRivera50
 

Último (20)

Los Nueve Principios del Desempeño de la Sostenibilidad
Los Nueve Principios del Desempeño de la SostenibilidadLos Nueve Principios del Desempeño de la Sostenibilidad
Los Nueve Principios del Desempeño de la Sostenibilidad
 
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docxSIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
 
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdfTarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
 
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfFichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
 
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
 
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
 
TL/CNL – 2.ª FASE .
TL/CNL – 2.ª FASE                       .TL/CNL – 2.ª FASE                       .
TL/CNL – 2.ª FASE .
 
Sesión La luz brilla en la oscuridad.pdf
Sesión  La luz brilla en la oscuridad.pdfSesión  La luz brilla en la oscuridad.pdf
Sesión La luz brilla en la oscuridad.pdf
 
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación iniciallibro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
 
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORDETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
 
Earth Day Everyday 2024 54th anniversary
Earth Day Everyday 2024 54th anniversaryEarth Day Everyday 2024 54th anniversary
Earth Day Everyday 2024 54th anniversary
 
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
 
EDUCACION FISICA 1° PROGRAMACIÓN ANUAL 2023.docx
EDUCACION FISICA 1°  PROGRAMACIÓN ANUAL 2023.docxEDUCACION FISICA 1°  PROGRAMACIÓN ANUAL 2023.docx
EDUCACION FISICA 1° PROGRAMACIÓN ANUAL 2023.docx
 
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
 
Fichas de matemática DE PRIMERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de matemática DE PRIMERO DE SECUNDARIA.pdfFichas de matemática DE PRIMERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de matemática DE PRIMERO DE SECUNDARIA.pdf
 
La luz brilla en la oscuridad. Necesitamos luz
La luz brilla en la oscuridad. Necesitamos luzLa luz brilla en la oscuridad. Necesitamos luz
La luz brilla en la oscuridad. Necesitamos luz
 
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdfMapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
 
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxPresentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
 
Tema 7.- E-COMMERCE SISTEMAS DE INFORMACION.pdf
Tema 7.- E-COMMERCE SISTEMAS DE INFORMACION.pdfTema 7.- E-COMMERCE SISTEMAS DE INFORMACION.pdf
Tema 7.- E-COMMERCE SISTEMAS DE INFORMACION.pdf
 
recursos naturales america cuarto basico
recursos naturales america cuarto basicorecursos naturales america cuarto basico
recursos naturales america cuarto basico
 

Factorizar polinomios (slide share)

  • 1. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. www.matematicaspr.com Polinomios Factorizar Polinomios 1
  • 2. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Objetivos Factorizar polinomios utilizando: Factor Común Diferencia de Cuadrados Suma de Cubos Diferencia de Cubos Agrupación Tanteo Estrategias de Factorización 2
  • 3. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Factorización La factorización es el proceso que se utiliza para expresar un polinomio como una multiplicación. Veamos algunos ejemplos de polinomios factorizados. 3 𝑥2 − 16 2𝑥3 − 18𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 − 4 = 𝑥 + 3 𝑥 − 3 2𝑥 polinomios factores del polinomio
  • 4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Factor Común 4 Un factor es un factor común cuando es un factor de todos los términos de un polinómio. Esta técnica consiste en encontrar los factores comunes entre todos los términos del polinomio. 2𝑦4 + 6𝑦3 + 12𝑦2 2𝑦2 polinomio factor común Escribir los tres términos del otro factor del polinomio. 𝑦2 + 3𝑦 + 6 factorización Identificar el máximo común factor del polinomio. El factor mayor que se repite en todos los términos del polinomio. Dividir el polinomio por el máximo común factor.
  • 5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Factor Común 5 Ejemplo 1: Factorizar el polinomio 4𝑥 − 36𝑥𝑦. Solución: Identificar el máximo común factor del polinomio. El factor mayor que se repite en todos los términos del polinomio. Dividir todos los términos que tiene el polinomio por el máximo común factor. 4𝑥 − 36𝑥𝑦 4𝑥 4𝑥 36𝑥𝑦 − 4𝑥 4𝑥 Escribir la forma factorizada del polinomio. 4𝑥 1− 9𝑦
  • 6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Factor Común 6 Ejemplo 2: Factorizar el polinomio 3𝑥3 + 6𝑥. Solución: Identificar el máximo común factor del polinomio. El factor mayor que se repite en todos los términos del polinomio. Dividir todos los términos que tiene el polinomio por el máximo común factor. 3𝑥3 + 6𝑥 3𝑥 3𝑥3 6𝑥 + 3𝑥 3𝑥 Escribir la forma factorizada del polinomio. 3𝑥 𝑥2 + 2
  • 7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 9 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1
  • 8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Factor Común 10 Práctica: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 4𝑥2 + 12𝑥 2. 4𝑥2 − 4𝑥 + 28 3. 4𝑥2𝑦 + 14𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦2 4. 12𝑥 𝑥 − 6 − 6 𝑥 − 6 5. 5𝑥2 𝑥 + 3 − 15𝑥 𝑥 + 3 6. 𝑥 − 1 2 𝑥 + 2 + 𝑥 − 1 𝑥 + 2 3
  • 9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Una diferencia de cuadrados es un binomio de la forma 𝑎2 – 𝑏2 . Una diferencia de cuadrados factoriza de la forma 𝑎2 – 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏). Diferencia de Cuadrados 11 Requisitos para alpicar esta técnica El polinomio sea un binomio. La operación es resta. Los términos se pueden escribir como cuadrados.
  • 10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Diferencia de Cuadrados 3 Ejemplo 6: Factorizar el polinomio 16𝑦2 − 25𝑥2. Solución: Identificar que el polinomio es una diferencia de cuadrados. Obtener la raíz cuadrada de los dos términos y escribir el polinomio en la forma de diferencia de cuadrados. 16𝑦2 − 25𝑥2 16𝑦2 − 25𝑥2 4𝑦 2 − 5𝑥 2 Escribir la forma factorizada del polinomio. 4𝑦+5𝑥 4𝑦−5𝑥
  • 11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Diferencia de Cuadrados 15 Ejemplo 8: Factorizar el polinomio 36 − 𝑦 + 2 2. Solución: Identificar que el polinomio es una diferencia de cuadrados. Obtener la raíz cuadrada de los dos términos y escribir el polinomio en la forma de diferencia de cuadrados. Escribir la forma factorizada del polinomio y simplificar cada factor si es posible. 36 − 𝑦 + 2 2 36 6 − 𝑦 + 2 − 𝑦 + 2 2 6 𝑦 + 2 + 6 2 − 𝑦 + 2 2 8 + 𝑦 4 − 𝑦
  • 12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 16 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 2
  • 13. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Diferencia de Cuadrados 17 Práctica: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 36𝑚2 − 25 2. 4𝑥2 − 49 3. 121𝑥2 − 144𝑘2 4. 9 25 𝑏2 − 49 36 𝑐2 5. 16 𝑥 + 3 2 − 9 6. 𝑥 − 1 2 − 2𝑥 + 3 2
  • 14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Una suma de cubos es un binomio de la forma 𝑎3 + 𝑏3. La factorización de una suma de cubos tiene dos factores, un binomio (𝑎 + 𝑏) y un trinomio (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2). Suma de Cubos 18 Requisitos para aplicar esta técnica: 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) El polinomio debe ser un binomio. + La operación debe ser suma. Los términos se pueden escribir como cubos. 𝑎3 𝑏3
  • 15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Suma de Cubos 19 Ejemplo 9: Factorizar el polinomio 𝑥3 + 8. Solución: Identificar que el polinomio es una suma de cubos. Obtener la raíz cubica de los dos términos y escribir el polinomio en la forma de suma de cubos. Escribir la forma factorizada del polinomio y simplificar cada factor si es posible. 𝑥 +2 𝑥2−2𝑥 +4 𝑥 +2 𝑥 2 − 2 𝑥 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 3 𝑥3 + 3 8 𝑥3 + 8
  • 16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Suma de Cubos 22 Ejemplo 12: Factorizar el polinomio 27𝑝3 + 64. Solución: Identificar que el polinomio es una suma de cubos. Obtener la raíz cubica de los dos términos y escribir el polinomio en la forma de suma de cubos. 27𝑝3 + 64 3 27𝑝3 + 3 64 3𝑝 3 + 4 3 Escribir la forma factorizada del polinomio y simplificar cada factor si es posible. 3𝑝+4 9𝑝2−12𝑝+16 3𝑝+4 3𝑝 2 − 3𝑝 4 + 4 2
  • 17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 23 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 3
  • 18. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Suma de Cubos 24 Práctica: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 125𝑚3 + 27 2. 8𝑥3 + 343 3. 64𝑥3 + 27𝑘3 4. 27 8 𝑏3 + 64 27 𝑐3 5. 𝑥 + 3 3 + 27 6. 216𝑥3 + 125𝑦3
  • 19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Una diferencia de cubos es un binomio de la forma 𝑎3 + 𝑏3. La factorización de una diferencia de cubos tiene dos factores, un binomio (𝑎 − 𝑏) y un trinomio (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2). Diferencia de Cubos 25 Requisitos para aplicar esta técnica: 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 – 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) El polinomio debe ser un binomio. − La operación debe ser resta. Los términos se pueden escribir como cubos. 𝑎3 𝑏3
  • 20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Diferencia de Cubos 26 Ejemplo 13: Factorizar el polinomio 𝑥3 − 27. Solución: Identificar que el polinomio es una diferencia de cubos. Obtener la raíz cubica de los dos términos y escribir el polinomio en la forma de diferencia de cubos. 𝑥3 − 27 3 𝑥3 − 3 27 𝑥 3 − 3 3 Escribir la forma factorizada del polinomio y simplificar cada factor si es posible. 𝑥 −3 𝑥2+3𝑥 +9 𝑥 − 3 𝑥 2 + 𝑥 3 + 3 2
  • 21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Diferencia de Cubos 29 Ejemplo 16: Factorizar el polinomio 27𝑝3 − 8. Solución: 3𝑝−2 9𝑝2+6𝑝 +4 Escribir la forma factorizada del polinomio y simplificar cada factor si es posible. 3𝑝−2 3𝑝 2 + 3𝑝 2 + 2 2 3𝑝 3 − 2 3 Obtener la raíz cubica de los dos términos y escribir el polinomio en la forma de diferencia de cubos. 3 27𝑝3 − 3 8 27𝑝3 − 8 Identificar que el polinomio es una diferencia de cubos.
  • 22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 30 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 4
  • 23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Diferencia de Cubos 31 Práctica: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 27𝑚3 − 125 2. 8𝑥3 − 343 3. 64𝑥3 − 27𝑘3 4. 64 27 𝑏3 − 27 8 𝑐3 5. 𝑥 − 3 3 − 27 6. 125𝑥3 − 216𝑦3
  • 24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Generalmente esta técnica se aplica cuando el polinomio tiene cuatro términos o más. Se utiliza en combinación con las otras técnicas especialmente con la de factores comunes. Método de Agrupación 32 El método consiste en agrupar los términos de manera que se destaque algún factor común en cada grupo.
  • 25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Agrupación 33 Ejemplo 17: Factorizar el polinomio 3𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 6. Solución: Identificar el máximo común factor de cada grupo. El factor mayor que se repite en todos los términos de cada grupo. Dividir todos los términos que tiene cada grupo por el máximo común factor que corresponde al grupo y escribir la forma factorizada de cada grupo. Repetir los pasos anteriores para el nuevo polinomio que tiene dos términos. Escribir la forma factorizada del polinomio. 3𝑥 2 + 3𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 6 3𝑥3 + 2𝑥2 + −9𝑥 − 6 𝑥2 𝑥2 3𝑥 2 + 𝑥2 3𝑥 2 −3 −3 −3 3𝑥 2 + 3𝑥 2 + 𝑥2 − 3 +
  • 26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Agrupación 36 Ejemplo 20: Factorizar el polinomio 4𝑥2 − 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦. Solución: 4𝑥2 − 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦 4𝑥2 − 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦 2𝑥 5 − 𝑦 𝑦 𝑦 + 2𝑥 5 + 2𝑥 5 + Identificar el máximo común factor de un grupo. El otro grupo factoriza utilizando diferencia de cuadrados. Dividir todos los términos del grupo que tiene el máximo común factor por este. Identificar el máximo común factor del nuevo polinomio. 2𝑥 + 5 Dividir todos los términos de este polinomio por el máximo común factor. 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 Escribir la forma factorizada del polinomio. 2𝑥 5 + + 𝑦
  • 27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 37 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 5
  • 28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Método de Agrupación 38 Práctica: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 𝑚3 + 2𝑚2 + 5𝑚 + 10 2. 𝑎𝑑𝑦 − 𝑤 + 𝑑 − 𝑎𝑤𝑦 3. 𝑥2𝑦2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑦2 − 𝑏𝑥2 4. 2𝑤3 − 2𝑤2 + 3𝑤 − 3 5. 𝑥3 + 𝑥2 − 7𝑥 − 7 6. 6𝑦𝑧 − 3𝑦 − 10𝑧 + 5
  • 29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Tanteo Trinomios 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 39 Los trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑏 y 𝑐 son números enteros, se obtienen al multiplicar polinomios lineales de la forma 𝑥 + 𝑝 y 𝑥 + 𝑞 . 𝑥 + 𝑝 ∙ 𝑥 + 𝑞 𝑞𝑥 𝑝𝑥 𝑥2 𝑝𝑞 + = 𝑥2 + 𝑝 + 𝑞 𝑥 + 𝑝𝑞 = 𝑥2 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞 + El proceso consiste en buscar dos números enteros 𝑝 y 𝑞 cuya suma sea 𝑏 y producto sea 𝑐.
  • 30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Tanteo Trinomios 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 40 Ejemplo 21: Factorizar el polinomio 𝑝2 − 𝑝 − 2. Solución: El primer y el tercer termino tienen signos diferentes por lo tanto usamos la combinación de factores que se restan. 𝑝2 − 𝑝 − 2 Escribir los factores del primer y tercer termino. Buscar el producto de los factores cuya resta es −𝑝. Utilizar diferentes productos de factores hasta obtener la factorización. De otra manera no existe la factorización. 𝒑 𝒑 −𝟐 𝟏 −𝟐𝒑 𝒑 = −𝒑 𝑝 𝑝 −1 2 ∗ ∗ 1 −2 ∗ −𝑝 −𝑝 ∗ Escribir la factorización del polinomio. 𝑝 𝑝 2 1 − +
  • 31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Tanteo Trinomios 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 43 Ejemplo 24: Factorizar el polinomio 𝑥2 − 11𝑥 + 18. Solución: El primer y el tercer termino tienen signos diferentes por lo tanto usamos la combinación de factores que se restan. 𝑥2 − 11𝑥 + 18 Escribir los factores del primer y tercer termino. Buscar el producto de los factores cuya suma es −11𝑥. Utilizar varios productos de factores hasta obtener la factorización. De otra manera no existe la factorización. 𝑥 𝑥 2 9 ∗ ∗ −2 −9 ∗ −𝑥 −𝑥 ∗ 3 6 ∗ −3 −6 ∗ Escribir la factorización del polinomio. 𝒙 𝒙 −𝟐 −𝟔 −𝟐𝒙 −𝟗𝒙 = −𝟏𝟏𝒙 𝑥 𝑥 2 9 − −
  • 32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 44 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 6
  • 33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Tanteo Trinomios 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 45 Práctica: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 𝑚2 + 5𝑚 − 14 2. 𝑏2 − 13𝑏 + 14 3. 𝑥2 + 𝑥 − 30 4. 𝑤2 + 3𝑤 − 28 5. 𝑥2 − 6𝑥 + 8 6. 𝑝2 − 13𝑝 − 30
  • 34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Trinomios 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 46 Los trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números enteros, se obtienen al multiplicar polinomios lineales de la forma 𝑟𝑥 + 𝑝 y 𝑠𝑥 + 𝑞 . 𝑟𝑥 + 𝑝 ∙ 𝑠𝑥 + 𝑞 𝑞𝑟𝑥 𝑝𝑠𝑥 𝑝𝑞 + = 𝑟𝑠𝑥2 + 𝑝𝑠 + 𝑞𝑟 𝑥 + 𝑝𝑞 = 𝑟𝑠𝑥2 𝑝𝑠𝑥 + 𝑞𝑟𝑥 + 𝑝𝑞 + 𝑟𝑠𝑥2 El proceso consiste en buscar dos números enteros 𝑝𝑠 y 𝑞𝑟 cuya suma sea 𝑏 y producto sea 𝑎𝑐.
  • 35. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Trinomios 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 48 Ejemplo 26: Factorizar el polinomio 6𝑥2 − 7𝑥 − 3. Solución: 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 3𝑥 2𝑥 1 −3 + Identificar los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐. 𝑎 = 6 𝑏 = −7 𝑐 = −3 𝑎 ∙ 𝑐 = 6 −3 = −18 Buscar el producto de 𝑎 y 𝑐. Escribir el polinomio a factorizar. ¿Qué dos expresiones tienen como producto −18𝑥2 y suma −7𝑥? 2𝑥 −9𝑥 𝑦 6𝑥2 + 2𝑥 −9𝑥 − 3 + 3𝑥 1 + Formar un grupo con el primer término y una de estas expresiones y otro con el tercer término y la otra expresión. Factorizar por agrupación. Escribir la factorización del polinomio. 3𝑥+1 2𝑥−3
  • 36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Trinomios 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 49 Ejemplo 27: Factorizar el polinomio 10𝑥2 − 3𝑥 − 4. Solución: 10𝑥2 − 3𝑥 − 4 5𝑥 2𝑥 4 + Identificar los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐. 𝑎 = 10 𝑏 = −3 𝑐 = −4 𝑎 ∙ 𝑐 = 10 −4 = −40 Buscar el producto de 𝑎 y 𝑐. Escribir el polinomio a factorizar. ¿Qué dos expresiones tienen como producto −40𝑥2 y suma −3𝑥? −8𝑥 5𝑥 𝑦 10𝑥2 − 8𝑥 5𝑥 − 4 + 5𝑥 4 − Formar un grupo con el primer término y una de estas expresiones y otro con el tercer término y la otra expresión. Factorizar por agrupación. Escribir la factorización del polinomio. − 5𝑥−4 2𝑥+1
  • 37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 51 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 7
  • 38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Trinomios 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 52 Práctica: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 2𝑚2 + 11𝑚 − 6 2. 6𝑏2 − 𝑏 − 2 3. 4𝑥2 + 5𝑥 − 6 4. 10𝑤2 − 11𝑤 − 6 5. 12𝑥2 + 17𝑥 + 6 6. 12𝑝2 − 32𝑝 + 21
  • 39. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 1. Factorizar todos los factores comunes. 2. Observar el número de términos en el polinomio. Si el polinomio tiene: a. Cuatro términos o más: b. Tres términos: c. Dos términos y cuadrados: d. Dos términos y cubos:. 3. Verificar que la factorización fue completa. Estrategia General Factorizar formando grupos Tanteo o Criterio AC Diferencia de cuadrados Suma o Diferencia de cubos 53
  • 40. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Estrategia General 54 Solución: Utilizar la estrategia del factor común. Factor que se repite en todos los términos. En el binomio se aplica la estrategia de diferencia de dos cuadrados. 3𝑥3 − 48𝑥 3𝑥 𝑥2 − 16 3𝑥 𝑥2 − 42 Ejemplo 29: Factorizar el polinomio 3𝑥3 − 48𝑥. Escribir la forma factorizada del polinomio y simplificar cada factor si es posible. 3𝑥 𝑥 + 4 𝑥 −4
  • 41. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Estrategia General 55 Ejemplo 30: Factorizar completamente 3𝑥3 + 2𝑥2 − 27𝑥 − 18. Solución: El polinomio no tiene factor común. Este tiene cuatro términos, por lo tanto utilizamos la estrategia de agrupación. 3𝑥 2 + 3𝑥3 + 2𝑥2 − 27𝑥 − 18 3𝑥3 + 2𝑥2 + −27𝑥 − 18 3𝑥 2 + 𝑥2 3𝑥 2 −9 + 3𝑥 2 + 𝑥2 − 32 3𝑥 2 + En uno de los factores se utiliza la estrategia de la diferencia de dos cuadrados. 𝑥2 − 9 𝑥 + 3 𝑥 − 3
  • 42. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 58 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 8
  • 43. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Estrategia General 59 Práctica: Factoriza los siguientes polinomios. 1. 6𝑚2 + 33𝑚 − 18 2. 16𝑏4 − 81𝑥4 3. 16𝑡4 + 54𝑤3 𝑡 4. 𝑤4 − 𝑤3 + 𝑤 − 1 5. 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 6. −6𝑝4 −𝑝3 +15𝑝2
  • 44. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Mapa Factorizar Polinomios 60 Suma de Cubos Trinomios 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Trinomios a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Diferencia de Cubos Diferencia de Cuadrados Factor Común Agrupación Estrategias de Factorización