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3 La divisibilidad 1 Matemáticas 1º ESO Múltiplos de un número Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales  Como sabes:  5 · 0 = 0 5 · 2 = 10 5 · 7 = 35 5 · 11 = 55 Cada vez que  multiplicas 5  por cualquier número se obtiene otro número que es  múltiplo de 5 . Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7) 44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4  44 no es múltiplo de 5 , pues multiplicando 5 por cualquier otro número natural no da 44 0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, pues:  0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ... 0  es múltiplo de todos los números
3 La divisibilidad 2 Matemáticas 1º ESO Divisores de un número Un número es  divisor  de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta.  44 : 5   no es exacta 44 dividido entre 11 da 4 Se dice que 11  es divisor  de 44 5  no es divisor  de 44 Divisor y factor  significa lo mismo . Observa: 44 : 4 = 11 44 = 4 · 11  44 = 4 · 11  4 es divisor de 44 44 es producto de los factores 4 y 11 44 es múltiplo de 4 y de 11 (También 11 es divisor de 44) Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.
3 La divisibilidad 3 Matemáticas 1º ESO Cálculo de todos los divisores de un número Un número puede tener varios divisores Por ejemplo: 18 tiene por divisores a  1,  2,  3,  6,  9  y  18  Para hallar todos los divisores de un número: Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1. Se termina cuando se repitan los factores. Ejemplo: 45 = 1 · 45 45 = 3 · 15 1 y 45 son factores 3 y 15 son factores 45 = 5 · 9 5 y 9 son factores 45 = 9 · 5 Se repiten los factores Los divisores de 45 son:  1,  3,  5,  9,  15  y  45 Compruébalo Los factores aparecidos son todos los divisores del número.
3 La divisibilidad 4 Matemáticas 1º ESO Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un número en sus factores primos. Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues  24 = 4 · 6. También que 72 es divisible por 9, pues  72 = 9 · 8. Un  criterio de divisibilidad  es una regla que permite reconocer, sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro.  ¿Sabes si 29058 es divisible por 3? ¿Habría que dividir? No es necesario, pues la suma de las cifras  de 29058,  2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3 Esto es un truco, que llamamos criterio.
3 La divisibilidad 5 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 2, por 5 y por 10 Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado  por la cifra de las unidades. Luego: 170 8  es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10. Ejemplos: 28 0   es divisible por 10, y por 5, y por 2. 1039 5  es divisible por 5. Observa: 438 = 43 · 10 + 8 10 es divisible por 2, por 5 y por 10 Luego, 438 será divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es 8 Como 8 es divisible por 2,  438 es divisible por 2.  Como 8 no es divisible por 5 ni por 10,  438 tampoco lo es. Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0. 232451  no  es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.
3 La divisibilidad 6 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 4, por 25 y por 100 Un número es divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras. 17 80  es divisible por 4; no lo es por 25 ni por 100. Ejemplos: 28 00   es divisible por 100, por 25 y por 4. 103 75  es divisible por 25; no lo es por 4 ni por 100. Observa: 13528 = 135 · 100 + 28 100 es divisible por 4, por 25 y por 100 Luego, 13528 será divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es 28. Como 28 es divisible por 4, 13528 es divisible por 4.   Como 28 no es divisible por 25 ni por 100, 13528 no es divisible por 25 ni por 100. 232451  no  es divisible por 4, ni por 25 ni por 100. 135 · 100 + 25 = 13525  es divisible por 25, pues 25 lo es. 135 · 100 + 100 = 13600  es divisible por 100, por 25 y por 4. Luego, para ver la divisibilidad por 4, por 25 y por 100 sólo hay que fijarse en las dos últimas cifras .
3 La divisibilidad 7 Matemáticas 1º ESO Criterios de divisibilidad por 3 y por 9 Ejemplos: Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 3.  a)  1428  es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es  1  +  4  +  2  +  8  = 15,  y 15 es divisible por 3. Por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 9.  Ejemplo: 5643  es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es  5  +  6  +  4  +  3  = 18 , y 18 es divisible por 9. Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3; lo contrario no siempre es cierto. 50067 es divisible por 9 (y por 3). 78105 es divisible por 3, pero no por 9 b)   1429  no  es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.
3 La divisibilidad 8 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 11 Para saber si un número es divisible por 11: Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares  y los impares en la escritura del número. Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el número dado es divisible por 11. Ejemplo: 709181 es múltiplo de 11, pues : 7 0 9 1 8 1 Cifras pares: 7  +  9  +  8  =  24 Cifras impares: 0 + 1 + 1 = 2 Diferencia: 24  - 2 =  22 La división  44968 : 11  es exacta. 44968 es múltiplo de11. Distingamos en 44968 las cifras pares y las impares:  4  4  9  6  8 Las cifras  pares  suman:  4 + 6 =   10 Las cifras  impares  suman:  4  +  9  +  8  = 21 21 – 10 = 11
3 La divisibilidad 9 Matemáticas 1º ESO Números primos y compuestos 17 sólo tiene dos divisores:  1  y  17.  Cuando un número tiene más de dos divisores se llama  compuesto. Hemos visto que 45 tiene varios divisores: 1,  3,  5,  9,  15  y  45  43 también tiene sólo dos divisores:  1 y 43 Cuando un número tiene solamente dos divisores se llama  primo. Los primeros números primos son : 2  3  5  7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43  47  53  59  61  67  71  79  83  89  97  101  103  107  109 En cambio: Los números 17 y 43 son primos. 45  y 18 son números compuestos
3 La divisibilidad 10 Matemáticas 1º ESO Descomposición de un número en sus factores primos Para descomponer un número en  factores primos: Se divide el número por un factor primo. Se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se  repite el procedimiento hasta que el último cociente sea 1. El número es igual al producto de los factores primos por los  que se ha ido dividiendo. Vamos a escribir 132 como producto de sus factores primos: 132 = 2 ·  66 66  =  2 ·33 = 2 ·  2 · 33 33  =  3·11 = 2 · 2 ·  3 · 11 Disposición práctica 132 2 66 2 33 3 11 11 1 A la derecha de la raya vertical quedan todos los factores primos  Comprueba que  360 = 2 3  · 3 2  · 5 2, 3 y 5 son los factores primos de 360. Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de factores primos. = 2 2  · 3 · 11
3 La divisibilidad 11 Matemáticas 1º ESO El máximo común divisor: m.c.d. El  máximo común divisor  de varios números es  el mayor de sus divisores comunes.  Consideremos los números 30 y 18.  Divisores de 30: 1  2  3   5  6   15  30 Divisores de 18: 1   2  3   6   9  18  Divisores comunes son:  1,  2,  3  y  6   El máximo común divisor de varios números es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. Escribimos:  m.c.d(30 y 18) = 6 El mayor de ellos es el 6. Para calcularlo  se descompone cada número en sus factores primos: 30 =  2 · 3  · 5  18 =  2 · 3  · 3 = 2 · 3 2   Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es. 2 · 3 = 6
3 La divisibilidad 12 Matemáticas 1º ESO El mínimo común múltiplo: m.c.m. El  mínimo común múltiplo  de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, excluido el cero.  Consideremos los números 35 y 25.  Múltiplos de 35: 0  35  70  105  140  175   210 …  350  … 525, ...   Múltiplos de 25: 0  25  50  75  100  125  150  175   …  350  …  525, ...  Múltiplos comunes son: 0, 175, 350, 525 ... El  mínimo común múltiplo  de varios números es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Escribimos:  m.c.m(35 y 25) = 175 Factores comunes: 5 Mayor exponente: 2 m.c.m(35 y 25) = 5 2  · 7 = 175 Factores no comunes: 7 El menor de ellos, excluido el 0, es 175 35 = 5 · 7 25 = 5 2
3 La divisibilidad 13 Matemáticas 1º ESO Cálculo del m.c.d y del m.c.m. Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números 780 y 600. 780 2 390 2 195 3 65 5 13 Los descomponemos en factores primos: 300 2 150 2 75 3 25 5 5 1 13 1 5 m.c.d.(780, 600) = 2 2  · 3 · 5 = 60  m.c.m.(780, 600) = 2 3  · 3 · 5 2  ·13 = 7800 Factores comunes:  2  3  5  Menor exponente respectivo:  2,  1  y  1 Mayor exponente respectivo:  3,  1  y  2  Factores no comunes:  13 600 2 780 = 2 2  · 3 · 5 · 13 600 = 2 3  · 3 · 5 2 Máximo común divisor:  Mínimo común múltiplo:  Factores comunes:  2  3  5  780 = 2 2  · 3 · 5 · 13 600 = 2 3  · 3 · 5 2

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Matemáticas 1o ESO: La divisibilidad

  • 1. 3 La divisibilidad 1 Matemáticas 1º ESO Múltiplos de un número Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales Como sabes: 5 · 0 = 0 5 · 2 = 10 5 · 7 = 35 5 · 11 = 55 Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otro número que es múltiplo de 5 . Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7) 44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4 44 no es múltiplo de 5 , pues multiplicando 5 por cualquier otro número natural no da 44 0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ... 0 es múltiplo de todos los números
  • 2. 3 La divisibilidad 2 Matemáticas 1º ESO Divisores de un número Un número es divisor de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta. 44 : 5 no es exacta 44 dividido entre 11 da 4 Se dice que 11 es divisor de 44 5 no es divisor de 44 Divisor y factor significa lo mismo . Observa: 44 : 4 = 11 44 = 4 · 11 44 = 4 · 11 4 es divisor de 44 44 es producto de los factores 4 y 11 44 es múltiplo de 4 y de 11 (También 11 es divisor de 44) Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.
  • 3. 3 La divisibilidad 3 Matemáticas 1º ESO Cálculo de todos los divisores de un número Un número puede tener varios divisores Por ejemplo: 18 tiene por divisores a 1, 2, 3, 6, 9 y 18 Para hallar todos los divisores de un número: Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1. Se termina cuando se repitan los factores. Ejemplo: 45 = 1 · 45 45 = 3 · 15 1 y 45 son factores 3 y 15 son factores 45 = 5 · 9 5 y 9 son factores 45 = 9 · 5 Se repiten los factores Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45 Compruébalo Los factores aparecidos son todos los divisores del número.
  • 4. 3 La divisibilidad 4 Matemáticas 1º ESO Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un número en sus factores primos. Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6. También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8. Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro. ¿Sabes si 29058 es divisible por 3? ¿Habría que dividir? No es necesario, pues la suma de las cifras de 29058, 2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3 Esto es un truco, que llamamos criterio.
  • 5. 3 La divisibilidad 5 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 2, por 5 y por 10 Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado por la cifra de las unidades. Luego: 170 8 es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10. Ejemplos: 28 0 es divisible por 10, y por 5, y por 2. 1039 5 es divisible por 5. Observa: 438 = 43 · 10 + 8 10 es divisible por 2, por 5 y por 10 Luego, 438 será divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es 8 Como 8 es divisible por 2, 438 es divisible por 2. Como 8 no es divisible por 5 ni por 10, 438 tampoco lo es. Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0. 232451 no es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.
  • 6. 3 La divisibilidad 6 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 4, por 25 y por 100 Un número es divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras. 17 80 es divisible por 4; no lo es por 25 ni por 100. Ejemplos: 28 00 es divisible por 100, por 25 y por 4. 103 75 es divisible por 25; no lo es por 4 ni por 100. Observa: 13528 = 135 · 100 + 28 100 es divisible por 4, por 25 y por 100 Luego, 13528 será divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es 28. Como 28 es divisible por 4, 13528 es divisible por 4. Como 28 no es divisible por 25 ni por 100, 13528 no es divisible por 25 ni por 100. 232451 no es divisible por 4, ni por 25 ni por 100. 135 · 100 + 25 = 13525 es divisible por 25, pues 25 lo es. 135 · 100 + 100 = 13600 es divisible por 100, por 25 y por 4. Luego, para ver la divisibilidad por 4, por 25 y por 100 sólo hay que fijarse en las dos últimas cifras .
  • 7. 3 La divisibilidad 7 Matemáticas 1º ESO Criterios de divisibilidad por 3 y por 9 Ejemplos: Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 3. a) 1428 es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 1 + 4 + 2 + 8 = 15, y 15 es divisible por 3. Por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 9. Ejemplo: 5643 es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es 5 + 6 + 4 + 3 = 18 , y 18 es divisible por 9. Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3; lo contrario no siempre es cierto. 50067 es divisible por 9 (y por 3). 78105 es divisible por 3, pero no por 9 b) 1429 no es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.
  • 8. 3 La divisibilidad 8 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 11 Para saber si un número es divisible por 11: Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares y los impares en la escritura del número. Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el número dado es divisible por 11. Ejemplo: 709181 es múltiplo de 11, pues : 7 0 9 1 8 1 Cifras pares: 7 + 9 + 8 = 24 Cifras impares: 0 + 1 + 1 = 2 Diferencia: 24 - 2 = 22 La división 44968 : 11 es exacta. 44968 es múltiplo de11. Distingamos en 44968 las cifras pares y las impares: 4 4 9 6 8 Las cifras pares suman: 4 + 6 = 10 Las cifras impares suman: 4 + 9 + 8 = 21 21 – 10 = 11
  • 9. 3 La divisibilidad 9 Matemáticas 1º ESO Números primos y compuestos 17 sólo tiene dos divisores: 1 y 17. Cuando un número tiene más de dos divisores se llama compuesto. Hemos visto que 45 tiene varios divisores: 1, 3, 5, 9, 15 y 45 43 también tiene sólo dos divisores: 1 y 43 Cuando un número tiene solamente dos divisores se llama primo. Los primeros números primos son : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 79 83 89 97 101 103 107 109 En cambio: Los números 17 y 43 son primos. 45 y 18 son números compuestos
  • 10. 3 La divisibilidad 10 Matemáticas 1º ESO Descomposición de un número en sus factores primos Para descomponer un número en factores primos: Se divide el número por un factor primo. Se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se repite el procedimiento hasta que el último cociente sea 1. El número es igual al producto de los factores primos por los que se ha ido dividiendo. Vamos a escribir 132 como producto de sus factores primos: 132 = 2 · 66 66 = 2 ·33 = 2 · 2 · 33 33 = 3·11 = 2 · 2 · 3 · 11 Disposición práctica 132 2 66 2 33 3 11 11 1 A la derecha de la raya vertical quedan todos los factores primos Comprueba que 360 = 2 3 · 3 2 · 5 2, 3 y 5 son los factores primos de 360. Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de factores primos. = 2 2 · 3 · 11
  • 11. 3 La divisibilidad 11 Matemáticas 1º ESO El máximo común divisor: m.c.d. El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Consideremos los números 30 y 18. Divisores de 30: 1 2 3 5 6 15 30 Divisores de 18: 1 2 3 6 9 18 Divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6 El máximo común divisor de varios números es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. Escribimos: m.c.d(30 y 18) = 6 El mayor de ellos es el 6. Para calcularlo se descompone cada número en sus factores primos: 30 = 2 · 3 · 5 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3 2 Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es. 2 · 3 = 6
  • 12. 3 La divisibilidad 12 Matemáticas 1º ESO El mínimo común múltiplo: m.c.m. El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, excluido el cero. Consideremos los números 35 y 25. Múltiplos de 35: 0 35 70 105 140 175 210 … 350 … 525, ... Múltiplos de 25: 0 25 50 75 100 125 150 175 … 350 … 525, ... Múltiplos comunes son: 0, 175, 350, 525 ... El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Escribimos: m.c.m(35 y 25) = 175 Factores comunes: 5 Mayor exponente: 2 m.c.m(35 y 25) = 5 2 · 7 = 175 Factores no comunes: 7 El menor de ellos, excluido el 0, es 175 35 = 5 · 7 25 = 5 2
  • 13. 3 La divisibilidad 13 Matemáticas 1º ESO Cálculo del m.c.d y del m.c.m. Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números 780 y 600. 780 2 390 2 195 3 65 5 13 Los descomponemos en factores primos: 300 2 150 2 75 3 25 5 5 1 13 1 5 m.c.d.(780, 600) = 2 2 · 3 · 5 = 60 m.c.m.(780, 600) = 2 3 · 3 · 5 2 ·13 = 7800 Factores comunes: 2 3 5 Menor exponente respectivo: 2, 1 y 1 Mayor exponente respectivo: 3, 1 y 2 Factores no comunes: 13 600 2 780 = 2 2 · 3 · 5 · 13 600 = 2 3 · 3 · 5 2 Máximo común divisor: Mínimo común múltiplo: Factores comunes: 2 3 5 780 = 2 2 · 3 · 5 · 13 600 = 2 3 · 3 · 5 2