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MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y               MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

                        Máximo común divisor


    El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el

mayor número que divide a todos exactamente.




                   Cálculo del máximo común divisor


    1. Se descomponen los números en factores primos.


    2. Se toman los factores comunes con menor exponente.


     Ejemplo



    Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.


    1.




    72 = 23 · 32


    108 = 22 · 33


    60 = 22 · 3 · 5


    2.


    m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12


    12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.


     El número 12 es divisor de 36.


     m. c. d. (12, 36) = 12




                       Mínimo común múltiplo


     Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números ,

excluido el cero.




                Cálculo del mínimo común múltiplo


     1. Se descomponen los números en factores primos


     2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor

exponente.



      Ejemplo


     72 = 23 · 32


     108 = 22 · 33


     60 = 22 · 3 · 5


     m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080


     1 080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60.



     Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de

ambos.


     El número 36 es múltiplo de 12.


     m. c. m. (12, 36) = 36
Relación entre el m. c. d. y m. c. m.


 m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b




Ejercicios


 Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:


 1428 y 376


 428 = 22 · 107


 376 = 23 · 47


 m. c. d. (428, 376) = 22 = 4


 m. c. m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40 232


 2148 y 156


 148 = 22 · 37


 156 = 22 · 3 · 13


 m. c. d. (148 , 156) = 22 = 4


 m. c. m. (148 , 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5772


 3600 y 1 000


 600 = 23 · 3 · 52


 1000 = 23 · 53


 m. c. d. (600 , 1000) = 23 · 52 = 200


 m. c. m. ( 600 , 1000) = 23 · 3 · 53 = 3000
Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:


11048, 786 y 3930




1048 = 23 · 131


786 = 2 · 3 · 131


3930 = 2 · 3 · 5 · 131


m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262


m. c. m. (1048, 786, 3930) = 23 · 3 · 5 · 131 = 15 720


23120, 6200 y 1864




3210 = 24 · 3 · 5 · 13


6200 = 23 · 52 · 31


1864 = 23 · 233


m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 23 = 8


m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 24 ·3 · 52 · 13 · 31 · 233 =


= 1 746 521 400
Ejercicios resueltos.-


     1.-Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y

un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.


     Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos

siguientes.


     12 = 22 · 3


     18 = 2· 32


     60 = 22 · 3 · 5


     m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5= 180


     180 : 60 = 3


     Sólo a las 6.33 h.




     2.-Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy

han estado los dos en Barcelona.


     ¿Dentro   de   cuantos   días   volverán   a   estar   los   dos   a   la   vez   en

Barcelona?


     18 = 2 · 32


     24 = 23 · 3


     m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72


     Dentro de 72 días.
3.-¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15,

20, 36 y 48 en cada caso dar de resto 9?


     m. c. m. (15 , 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720


     720 + 9 = 729




     4.-En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son:

250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de

garrafas   iguales.   Calcular   las   capacidades   máximas         de   estas   garrafas

para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los

toneles, y el número de garrafas que se necesitan.


     m. c. d.(250, 360, 540) = 10


     Capacidad de las garrafas = 10 l.


     Número de garrafas de T       1   = 250 / 10 = 25


     Número de garrafas de T       2   = 360 / 10 = 36


     Número de garrafas de T       3   = 540 / 10 = 54


     Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.




     5.-El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m

de largo y 3 m de ancho.


     Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de

baldosas   que   se   coloque    sea   mínimo   y   que   no   sea    necesario     cortar

ninguna de ellas.


     3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5


     5 m = 50 dm 50 = 2 · 52
A = 30 · 50 = 1500 dm2


     m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado


     A   b   = 102 = 100 dm2


     1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas




     6.-Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772

naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas

o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de

naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.


     m. c. d. (12 028, 12 772) = 124


     124 naranjas en cada caja.


     Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104


     Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97


     Cajas necesarias = 104 + 97 = 201




     7.-¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número

exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y

cuántas baldosas se necesitan?


     8 m = 80 dm 80 = 24 · 5


     6.4 m = 64 dm64 = 26


     m. c. d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado


     A   b   = 162 = 256 dm2


     A = 80 · 64 = 5120 dm2
5120 dm2 : 256 dm2 = 15 baldosas

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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

  • 1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Máximo común divisor El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. Ejemplo Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60. 1. 72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5 2. m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12 12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
  • 2. Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d. El número 12 es divisor de 36. m. c. d. (12, 36) = 12 Mínimo común múltiplo Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números , excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Ejemplo 72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5 m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080 1 080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60. Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos. El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36) = 36
  • 3. Relación entre el m. c. d. y m. c. m. m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b Ejercicios Calcular el m. c. d. y m.c.m. de: 1428 y 376 428 = 22 · 107 376 = 23 · 47 m. c. d. (428, 376) = 22 = 4 m. c. m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40 232 2148 y 156 148 = 22 · 37 156 = 22 · 3 · 13 m. c. d. (148 , 156) = 22 = 4 m. c. m. (148 , 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5772 3600 y 1 000 600 = 23 · 3 · 52 1000 = 23 · 53 m. c. d. (600 , 1000) = 23 · 52 = 200 m. c. m. ( 600 , 1000) = 23 · 3 · 53 = 3000
  • 4. Calcular el m. c. d. y m.c.m. de: 11048, 786 y 3930 1048 = 23 · 131 786 = 2 · 3 · 131 3930 = 2 · 3 · 5 · 131 m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262 m. c. m. (1048, 786, 3930) = 23 · 3 · 5 · 131 = 15 720 23120, 6200 y 1864 3210 = 24 · 3 · 5 · 13 6200 = 23 · 52 · 31 1864 = 23 · 233 m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 23 = 8 m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 24 ·3 · 52 · 13 · 31 · 233 = = 1 746 521 400
  • 5. Ejercicios resueltos.- 1.-Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 12 = 22 · 3 18 = 2· 32 60 = 22 · 3 · 5 m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5= 180 180 : 60 = 3 Sólo a las 6.33 h. 2.-Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? 18 = 2 · 32 24 = 23 · 3 m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72 Dentro de 72 días.
  • 6. 3.-¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48 en cada caso dar de resto 9? m. c. m. (15 , 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720 720 + 9 = 729 4.-En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. m. c. d.(250, 360, 540) = 10 Capacidad de las garrafas = 10 l. Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36 Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54 Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas. 5.-El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas. 3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5 5 m = 50 dm 50 = 2 · 52
  • 7. A = 30 · 50 = 1500 dm2 m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado A b = 102 = 100 dm2 1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas 6.-Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. m. c. d. (12 028, 12 772) = 124 124 naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104 Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97 Cajas necesarias = 104 + 97 = 201 7.-¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan? 8 m = 80 dm 80 = 24 · 5 6.4 m = 64 dm64 = 26 m. c. d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado A b = 162 = 256 dm2 A = 80 · 64 = 5120 dm2
  • 8. 5120 dm2 : 256 dm2 = 15 baldosas